4.2 一元二次不等式及其解法
学习任务 核心素养
1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．(重点、难点) 2．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．(难点) 1．通过对一元二次不等式的学习，培养数学抽象和直观想象素养． 2．借助一元二次不等式解集的求解，培养数学运算能力．
1．一元二次不等式的概念是什么？
2．一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解有什么对应关系？
3．求解一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的过程是什么？
知识点1 一元二次不等式的概念
1．定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫作一元二次不等式．
2．一般表达式：ax2＋bx＋c>0，或ax2＋bx＋c<0，或ax2＋bx＋c≥0，或ax2＋bx＋c≤0(其中a，b，c均为常数，且a≠0)．
3．解集：使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集．
1．(1)不等式x2＋>0是一元二次不等式吗？
(2)一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗？
[提示] (1)不是，一元二次不等式一定为整式不等式．
(2)不可以，若a＝0，就不是二次不等式了．
1．下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0．其中一定为一元二次不等式的有____________．(填序号)
[答案] ②④
知识点2 一元二次不等式的求解方法
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与方程ax2＋bx＋c＝0的实数根、不等式ax2＋bx＋c>0和ax2＋bx＋c<0的解集之间的关系：
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
方程ax2＋bx＋c＝0的实数根 x1，2＝(x1
函数y＝ax2＋bx＋c的图象
不等式ax2＋bx＋c>0的解集 {x|xx2} R
不等式ax2＋bx＋c<0的解集 {x|x12．(1)关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R，a，b，c满足的条件是什么？
(2)关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为 ，a，b，c满足的条件是什么？
[提示] (1)或
(2)或
2．不等式x(x－2)>0的解集为________，不等式x(x－2)<0的解集为________．
[答案] {x|x<0，或x>2} {x|03．不等式3x2－2x＋1>0的解集是________．
R [因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8<0，所以不等式3x2－2x＋1>0的解集为R.]
类型1 一元二次不等式的解法
二次项系数大于0
【例1】 解不等式3x2＋5x－2>0．
[解] 方程3x2＋5x－2＝0的两解是x1＝－2，x2＝.
函数y＝3x2＋5x－2的图象是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(－2，0)和.观察图象(如图)可得，不等式的解集为.
二次项系数小于0
【例2】 解不等式－2x2＋3x＋2≤0.
[解] 原不等式化为2x2－3x－2≥0，∵2x2－3x－2＝0的两解为x1＝－，x2＝2，且a＝2>0，∴不等式2x2－3x－2≥0的解集是.即原不等式的解集是.
一元二次不等式的一般解题步骤
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
(2)计算对应方程的判别式，若判别式不小于零，求出相应的一元二次方程的根；
(3)画出对应函数的简图，由图象得出不等式的解集．
[跟进训练]
1．解不等式x2>2x－1．
[解] 原不等式化为x2－2x＋1>0．
∵Δ＝0，∴方程x2－2x＋1＝0有两相等实根x1＝x2＝1.
函数y＝x2－2x＋1的图象是开口向上的抛物线，如图，
观察图象可得，原不等式的解集为{x|x≠1}．
类型2 含参数的一元二次不等式的解法
【例3】 解关于x的不等式ax2＋2x＋1<0.
[解] (1)当a＝0时，不等式的解集为，
(2)当a>0时，Δ＝4－4a，
①Δ>0即0不等式的解集为；
②Δ≤0即a≥1时，
不等式的解集为 .
(3)当a<0时，Δ＝4－4a>0，
不等式的解集为．
解含参数的一元二次不等式时，应对系数中的参数进行讨论：
(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向．
(2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x轴交点的个数．
(3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小．
简记为“一a，二Δ，三两根大小”.
最后对系数中的参数进行完全分类，即将(－∞，＋∞)分成若干个区间，根据相应二次函数在各个区间的值，写出一元二次不等式的解集．
[跟进训练]
2．解关于x的不等式x2－ax－2a2<0.
[解] 原不等式变形为(x－2a)(x＋a)<0．
①若a>0，则－a②若a<0，则2a③若a＝0，则原不等式即为x2<0，此时解集为 .
类型3 三个“二次”关系的应用
【例4】 (1)若不等式ax2＋bx－2＜0的解集为，则ab＝( )
A．－28 B．－26
C．28 D．26
(2)若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集为(1，m)，则实数a的值为________，m的值为________．
(1)C (2)2 2 [(1)－2，是方程ax2＋bx－2＝0的两根，∴
∴a＝4，b＝7．∴ab＝28.
(2)由题意可知1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的两个根，且a>0，所以
解得]
一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤
(1)求解方法：
由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集．
(2)求解步骤：
第一步：审结论——明确解题方向
如要解ax2＋bx＋c<0，首先确定a的符号，最好能确定a，b，c的值．
第二步：审条件——挖掘题目信息
利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于a，b，c的方程组，用c表示a，b.
第三步：建联系——找解题突破口
由给定不等式的解集形式→确定关于a，b，c的方程组→用c表示a，b→代入所求不等式→求解ax2＋bx＋c<0的解集．
[跟进训练]
3．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a＜0的解集是( )
A．(2，3)
B．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C．
D．∪
A [依题意，－ 与－是方程ax2－bx－1＝0的两根，
则即
又a＜0，不等式x2－bx－a＜0可化为x2－x－1＞0，即－x2＋x－1＞0，
解得2＜x＜3.]
1．不等式x2－3x＋2＜0的解集为( )
A．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)
B．(－2，－1)
C．(－∞，1)∪(2，＋∞)
D．(1，2)
D [∵(x－1)(x－2)＜0，
∴1＜x＜2.
故原不等式的解集为(1，2)．]
2．下列四个不等式：
①－x2＋x＋1≥0；②x2－2x＋>0；③x2＋6x＋10>0；④2x2－3x＋4<1．其中解集为R的是( )
A．① B．②
C．③ D．④
C [①显然不可能；②中Δ＝(－2)2－4×>0，解集不为R；③中Δ＝62－4×10<0，满足条件；④中不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．故选C.]
3．设集合S＝{x||x|<5}，T＝{x|x2＋4x－21<0}，则S∩T＝( )
A．{x|－7C．{x|－5C [S＝{x|－5∴S∩T＝{x|－54．不等式2x2＋x－15<0的解集为________．
[由2x2＋x－15＝(2x－5)(x＋3)<0，得－3∴原不等式的解集为.]
5．不等式ax2＋5x＋c>0的解集为，则a＝________，c＝________．
－6 －1 [由题意知，方程ax2＋5x＋c＝0的两根为x1＝，x2＝，由根与系数的关系得x1＋x2＝＝－，x1x2＝＝，解得a＝－6，c＝－1.]
课时分层作业(十一) 一元二次不等式及其解法
一、选择题
1．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是( )
A． B．
C． D．R
B [∵9x2＋6x＋1＝(3x＋1)2≥0，∴9x2＋6x＋1≤0的解集为x.]
2．不等式x(2－x)＞3的解集是( )
A．{x|－1＜x＜3} B．{x|－3＜x＜1}
C．{x|x＜－3，或x＞1} D．
D [将不等式化为x2－2x＋3＜0，由于对应方程的判别式Δ＜0，所以不等式x(2－x)＞3的解集为 .]
3．若集合A＝，B＝{x∈N*|x≤5}，则A∩B＝( )
A． B．
C． D．
B [由题意可得A＝，B＝{1，2，3，4，5}，所以A∩B＝.]
4．若全集U＝R，集合A＝{x|x2＋3x－4<0}，B＝，则 U(A∩B)＝( )
A． B．
C． D．
D [由题意可得A＝{x|－4所以A∩B＝{x|－2所以 U(A∩B)＝.]
5．若一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集是，则一元二次不等式cx2＋bx＋a>0的解集是( )
A． B．
C． D．
C [由题意得，a<0，－＝1，＝－2，所以cx2＋bx＋a>0可化为x2＋x＋1<0，即－2x2－x＋1<0，解得x＜－1，或x＞.]
二、填空题
6．{x|－x2－x＋2>0}∩Z＝________.
{－1，0} [{x|－x2－x＋2>0}∩Z＝{x|－27．当a<0时，关于x的不等式(x－5a)(x＋a)>0的解集是__________．
[∵a<0，∴5a<－a，
由(x－5a)(x＋a)>0，得x<5a，或x>－a.]
8．不等式ax2－bx＋c＞0的解集是，对于a，b，c有以下结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a＋b＋c＞0；⑤a－b＋c＞0．其中正确结论的序号是________．
③⑤ [由于ax2－bx＋c＞0的解集为，
可知a＜0，且－＋2＝，－×2＝，∴b＜0，c＞0.
又x＝－1时不等式不成立，∴a＋b＋c＞0不成立．
x＝1时，不等式成立，∴a－b＋c＞0成立．故选③⑤.]
三、解答题
9．在①{1，a} {a2－2a＋2，a－1，0}，②关于x的不等式1＜ax＋b≤3的解集为{x|3＜x≤4}，③一次函数y＝ax＋b的图象过A(－1，1)，B(2，7)两点，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答．
问题：已知________，求关于x的不等式ax2－5x＋a＞0的解集．
[解] 选①：若1＝a2－2a＋2，解得a＝1，不符合条件；
若1＝a－1，解得a＝2，则a2－2a＋2＝2，符合条件．
将a＝2代入不等式整理得(x－2)(2x－1)＞0，
解得x＞2或x＜，故原不等式的解集为∪(2，＋∞)．
选②：因为不等式1＜ax＋b≤3的解集为{x|3＜x≤4}，
所以解得：a＝2，b＝－5，
将a＝2代入所要求不等式整理得(x－2)(2x－1)＞0，
解得x＞2或x＜，所以不等式的解集为∪(2，＋∞)．
选③：由题意得解得a＝2，b＝3，
将a＝2代入所要求不等式整理得(x－2)(2x－1)＞0，解得x＞2或x＜，
所以不等式的解集为∪(2，＋∞)．
10．解关于x的不等式x2－2mx＋m＋1>0．
[解] 不等式对应方程的判别式Δ＝(－2m)2－4(m＋1)＝4(m2－m－1)．
(1)当Δ>0，即m>或m<时，
由于方程x2－2mx＋m＋1＝0的根是x＝m±，
所以不等式的解集是{x|xm＋}；
(2)当Δ＝0，即m＝时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠m}；
(3)当Δ<0，即11．若0A．{x|3a2≤x≤3a} B．{x|3a≤x≤3a2}
C．{x|x≤3a2，或x≥3a} D．{x|x≤3a，或x≥3a2}
A [因为012．不等式|x|(1－2x)>0的解集是( )
A． B．(－∞，0)
C． D．
B [原不等式可变形为
解得0所以原不等式的解集为(－∞，0)，故选B.]
13．在R上定义运算：＝ad－bc.若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为________．
[原不等式等价于x(x－1)－(a－2)(a＋1)≥1，即x2－x－1≥(a＋1)(a－2)对任意x恒成立，因为x2－x－1＝－≥－，
所以－≥a2－a－2，解得－≤a≤.
所以a的最大值为.]
14．对于实数x，当且仅当n≤x{x|2≤x<8} [由4[x]2－36[x]＋45<0，得<[x]<，又当且仅当n≤x15．已知不等式ax2＋2ax＋1≥0对任意x∈R恒成立，解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0.
[解] ∵ax2＋2ax＋1≥0对任意x∈R恒成立，
当a＝0时，1≥0，不等式恒成立；
当a≠0时，
则
解得0综上，0≤a≤1.
由x2－x－a2＋a<0，
得(x－a)[x－(1－a)]<0.
∵0≤a≤1，
∴①当1－a>a，
即0≤a<时，a②当1－a＝a，即a＝时，<0，不等式无解；
③当1－a综上，当0≤a<时，原不等式的解集为{x|a4.2 一元二次不等式及其解法
§4 一元二次函数与一元二次不等式
第一章 预备知识
学习任务 核心素养
1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．(重点、难点)
2．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．(难点) 1．通过对一元二次不等式的学习，培养数学抽象和直观想象素养．
2．借助一元二次不等式解集的求解，培养数学运算能力．
4.2 一元二次不等式及其解法
必备知识·情境导学探新知
1．一元二次不等式的概念是什么？
2．一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解有什么对应关系？
3．求解一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的过程是什么？
知识点1 一元二次不等式的概念
1．定义：一般地，只含有____未知数，并且未知数的最高次数是_的不等式叫作一元二次不等式．
2．一般表达式：_____________，或______________，或ax2＋bx＋c≥0，或ax2＋bx＋c≤0(其中a，b，c均为常数，且a≠0)．
3．解集：使一元二次不等式成立的__________的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集．
一个
2
ax2＋bx＋c>0
ax2＋bx＋c<0
所有未知数
[提示] (1)不是，一元二次不等式一定为整式不等式．
(2)不可以，若a＝0，就不是二次不等式了．
体验1．下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0．其中一定为一元二次不等式的有____________．(填序号)
②④
知识点2 一元二次不等式的求解方法
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与方程ax2＋bx＋c＝0的实数根、不等式ax2＋bx＋c>0和ax2＋bx＋c<0的解集之间的关系：
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
方程ax2＋bx＋c＝0的实数根 无实数根
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
函数y＝ax2＋bx＋c的图象
不等式ax2＋bx＋c>0的解集 {x|xx2} R
不等式ax2＋bx＋c<0的解集 {x|x1思考2．(1)关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R，a，b，c满足的条件是什么？
(2)关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为 ，a，b，c满足的条件是什么？
体验2．不等式x(x－2)>0的解集为____________________，不等式x(x－2)<0的解集为________________．
体验3．不等式3x2－2x＋1>0的解集是________．
R [因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8<0，所以不等式3x2－2x＋1>0的解集为R.]
{x|x<0，或x>2}
{x|0R
关键能力·合作探究释疑难
类型1 一元二次不等式的解法
角度1 二次项系数大于0
【例1】 解不等式3x2＋5x－2>0．
角度2 二次项系数小于0
【例2】 解不等式－2x2＋3x＋2≤0.
反思领悟 一元二次不等式的一般解题步骤
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
(2)计算对应方程的判别式，若判别式不小于零，求出相应的一元二次方程的根；
(3)画出对应函数的简图，由图象得出不等式的解集．
[跟进训练]
1．解不等式x2>2x－1．
[解] 原不等式化为x2－2x＋1>0．
∵Δ＝0，∴方程x2－2x＋1＝0有两相等实根x1＝x2＝1.
函数y＝x2－2x＋1的图象是开口向上的抛物线，如图，
观察图象可得，原不等式的解集为{x|x≠1}．
类型2 含参数的一元二次不等式的解法
【例3】 解关于x的不等式ax2＋2x＋1<0.
反思领悟 解含参数的一元二次不等式时，应对系数中的参数进行讨论：
(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向．
(2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x轴交点的个数．
(3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小．
简记为“一a，二Δ，三两根大小”.
最后对系数中的参数进行完全分类，即将(－∞，＋∞)分成若干个区间，根据相应二次函数在各个区间的值，写出一元二次不等式的解集．
[跟进训练]
2．解关于x的不等式x2－ax－2a2<0.
[解] 原不等式变形为(x－2a)(x＋a)<0．
①若a>0，则－a②若a<0，则2a③若a＝0，则原不等式即为x2<0，此时解集为 .
√
2
2
反思领悟 一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤
(1)求解方法：
由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集．
(2)求解步骤：
第一步：审结论——明确解题方向
如要解ax2＋bx＋c<0，首先确定a的符号，最好能确定a，b，c的值．
第二步：审条件——挖掘题目信息
利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于a，b，c的方程组，用c表示a，b.
第三步：建联系——找解题突破口
由给定不等式的解集形式→确定关于a，b，c的方程组→用c表示a，b→代入所求不等式→求解ax2＋bx＋c<0的解集．
√
学习效果·课堂评估夯基础
√
1．不等式x2－3x＋2＜0的解集为( )
A．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)
B．(－2，－1)
C．(－∞，1)∪(2，＋∞)
D．(1，2)
2
4
3
题号
1
5
D [∵(x－1)(x－2)＜0，∴1＜x＜2.
故原不等式的解集为(1，2)．]
√
2
4
3
题号
1
5
3．设集合S＝{x||x|<5}，T＝{x|x2＋4x－21<0}，则S∩T＝( )
A．{x|－7C．{x|－5√
2
4
3
题号
1
5
C [S＝{x|－5∴S∩T＝{x|－54．不等式2x2＋x－15<0的解集为____________________．
2
4
3
题号
1
5
2
4
3
题号
1
5
－6
－1