5.3.2复数乘除运算的几何意义 教学课件(共22张PPT)高中数学北师大版（2019）必修第二册

(共22张PPT)
*5.3.2复数乘除运算的几何意义
北师大版（2019）必修第二册
第五章 复数
学习目标
通过研究复数的乘除运算的几何意义，揭示数与形之间的联系，帮助学生掌握数形结合的思想方法，培养学生数学抽象与直观想象的素养．
02
通过复数的几何意义，了解复数乘除运算的三角表示式及其几何意义．
01
知识回顾
复数的代数形式有乘除运算，那么复数的三角形式是否可以乘除运算？如果可以，又以什么规律进行运算？
思考：如果把复数，分别写成三角形式，sin，你能计算 并将结果分别表示成三角形式吗？
复数乘法能表示成三角形式，其三角表示公式为
sin sinisin ．
知识探究
复数乘法能表示成三角形式，其三角表示公式为
sin sinisin ．
根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到：
推导如下：
两个复数相乘，积的模等于它们的模的积，积的辐角等于它们的辐角的和，可以简述为“模相乘，辐角相加”．
知识探究
思考：复数的加、减运算具有几何意义，那么复数乘法很可能也具有几何意义．请你由复数乘法运算的三角表示进行探索、尝试．
两个复数，相乘时，可以先分别画出它们分别对应的向量， ，
然后把向量绕点原点 O 按逆时针方向旋转角（若<0，就要把绕原点 O 按顺时针方向旋转角| |），
再把它的模变为原来的倍，得到向量， 表示的复数就是积．这就是复数乘法的几何意义．
例2 如图，向量与复数 对应，把绕原点 O 按逆时针方向旋转120°得到．
求向量对应的复数（用代数形式表示）．
解：根据复数乘法的几何意义，所求的复数就是 乘一个复数的积，其中复数的模是1，辐角的主值是120°．
向量对应的复数为
．
．
例3 试证明：．
证明：
　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　．
知识探究
思考：复数的除法运算是乘法运算的逆运算，根据复数乘法运算的三角表示，你能得出复数的除法运算的三角表示吗？
推导过程如下：
设，，且，则
知识探究
复数除法能表示成三角形式，其三角表示公式为
用文字语言可表述为：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．
模相除，辐角相减
知识探究
思考：类比复数乘法的几何意义，由复数除法运算的三角表示，你能得出复数除法的几何意义吗？
两个复数z1，z2相除，可以先画出z1，z2对应的向量， ，将向量按__________________(若θ2<0，则按逆时针方向旋转|θ2|)，再把模变为____________，所得向量就表示商.
顺时针方向旋转θ2
原来的倍
复数除法实质也是向量的_______________．
旋转和伸缩
解：
例4 计算 ，并把结果化为代数形式．
思考交流：请计算复数 的平方根和3次方程，并与同学交流.
解：设z1＝ r1(cos x＋isin x)，且z12＝ r(cos θ＋isin θ)，
∴r12(cos 2x＋isin 2x) ＝ r(cos θ＋isin θ)，
∴r12 ＝r，且2x＝θ＋2kπ(k∈Z)，
∵x∈[0，2π)，θ∈[0，2π)，∴k可取0、1，
思考交流：请计算复数 的平方根和3次方程，并与同学交流.
设z2＝ r2(cos y＋isin y)，且z23＝ r(cos θ＋isin θ)，
∴r23(cos 3y＋isin 3y) ＝ r(cos θ＋isin θ)，
∴r22 ＝r，且3y＝θ＋2kπ(k∈Z)，
∵y∈[0，2π)，θ∈[0，2π)，∴k可取0、1、2，
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