6.4.1直线与平面平行 教学课件（共28张PPT）高中数学北师大版（2019）必修第二册

6.4.1直线与平面平行
北师大版（2019）必修第二册
第六章 立体几何初步
学习目标
理解并掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题.
02
理解并掌握直线与平面平行的性质定理，并能应用性质定理证明一些简单的问题.
01
知识引入
回顾在空间中，直线与平面的关系有哪些？
?????????=?
?
?????????
?
????????????=????
?
?????∥????
?
（1）直线在平面内
即直线上的每个点都在平面内
????
?
????
?
????
?
????
?
P
（2）直线与平面相交
（3）直线与平面平行
直线与平面无公共点
????
?
????
?
????
?
知识引入
同学们能不能举出生活中直线与平面平行的例子呢？
双杠所在的直线与地面
课桌边沿所在直线与地面
长方体上底面棱所在直线与下底面
知识探究
问题1：如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系?
l
b
α
l
α
b
平行
异面
问题2：如果直线 l 与平面 α 平行，那么在平面 α 内与直线 l 平行的直线有多少条？这些直线的位置关系如何？
无数条，相互平行
l
α
知识探究
问题3：如果直线 l 与平面 α 平行，那么经过直线 l 的平面与平面 α 相交于直线 a，那么直线 l，a 的位置如何？为什么？
a
l
????
?
????
?
因为???? ∥ ????? ，
?
又因为 ??????????，
?
因为 ????∩????=?????，
?
又因为 ??????????
?
所以????∩????=?
?
所以????∩????=?
?
所以 ?????????
?
所以???? ∥ ????
?
证明：
知识探究
直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.
这个定理由“线面平行”（直线与平面平行）得出了关于“线线平行”（直线与直线平行）的结论，即“线线平行”是“线面平行”的必要条件.在空间中，经常应用这条定理由“线面平行”去判断“线线平行”
符号语言：l∥α
l?β
α∩β＝a
?l∥a
l
a
α
β
三个条件缺一不可
简记为：线面平行，则线线平行.
例1 有一块木料如图，已知棱BC∥平面A1B1C1D1，要经过木料表面A1B1C1D1内的一点 P和棱 BC 将木料锯开，应怎样画线？
解：
因为 BC∥平面A1B1C1D1 ，BC?平面A1B1C1D1 ，
平面A1B1C1D1 ??平面BCC1B1＝ B1C1
所以BC∥B1C1（线面平行的性质定理）
?
A
B
C
B1
D1
C1
A1
P
D
E
F
过 P 点作 EF∥B1C1
故EF∥BC（基本事实4）
所以EB?平面EBCF，FC?平面EBCF
连接 BE、CF，则BE、CF 、EF即所需画的线
?
例2 求证：如果一条直线与一个平面平行，那么夹在这条直线和这个平面间的平行线段相等. 已知：如图，AB∥????，AC∥BD，且AC∩?????= C，BD∩?????= D.
求证：AC=BD.
?
解：
因为AC∥BD，所以A、B、D、C四点在同一平面内.
连接CD.
因为AB∥????，AB?平面ABDC，平面ABDC∩?????＝ CD
所以 AB∥CD(线面平行的性质定理)
又因为 AC∥BD，所以四边形 ABDC 是平行四边形
所以 AC＝BD
?
A
B
C
D
????
?
知识探究
思考：门扇的竖直两边是平行的，当门扇绕着一边转动时只要门扇不被关闭，不论转动到什么位置，它能活动的竖直一边所在直线 a 都与固定的竖直边所在平面(墙面) α 有怎样的位置关系？
平行.
因为门扇绕着一边转动时，另一边始终与墙面没有公共点.
α
a
b
怎样判定直线与平面平行呢？
知识探究
怎样判定直线与平面平行呢？
根据定义判定直线与平面平行，只需判定直线与平面没有公共点.
但是，如何保证直线与平面没有公共点呢？
观察上图，直线 a 不在平面 α 内，直线 b 在平面 α 内.直观上看，如果 a∥b，那么直线 a 与直线 b 没有公共点，从而直线 a 与平面 α 没有公共点，即直线 a 与平面 α 平行.
尝试证一证
知识探究
证一证：已知 a∥b，b?α，a?α，则a∥α.
?
证：假设直线 a 与平面 α 相交，
则 a 与 α 一定有交点，可设a∩α＝P，
设由 a∥b 确定平面为 β，
那么 α∩β＝P，
又b?α，b?β，∴点 P 在直线 b 上，
所以直线 a 与直线 b 相交，
这与 a∥b 矛盾，假设不成立，即a∥α.
a
b
α
P
a
b
α
β
知识探究
直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
符号语言：a∥b
b?α
a?α
?
?a∥α
简记为：线线平行，则线面平行.
a
b
α
三个条件缺一不可
线线平行
线面平行
线面平行的判定定理
线面平行的性质定理
思考交流：判断下列命题是否正确，若正确，请简述理由；若不正确，请给出反例
（1）若直线 l 与平面 ???? 内的一条直线平行，则 l∥????．
（2）若直线 l 平行于平面 ???? 内的无数条直线，则 l∥????．
（3）若直线 l 与平面 ???? 相交，则 ???? 内不存在直线与直线 l 平行．
?
?
?
l
????
?
（1）
没有说明?????????，条件不足，线面平行的判定定理不成立．
?
（2）
当?????????时，l也平行于平面内的无数条直线．
?
l
????
?
（3）
若直线l与平面????相交，则????内的直线与直线l相交或异面．
?
l
????
?
思考交流：判断下列命题是否正确，若正确，请简述理由；若不正确，请给出反例
（4）若 l∥a，a∥????，则 l∥????．
（5）若 l∥????，a∥????，则 l∥a．
（6）若直线 l 与平面 ???? 平行，则它与平面 ???? 内的任何直线都平行．
?
?
?
（4）
没有说明?????????，条件不足，也可能是?????????．
?
l
????
?
a
（5）
????
?
l
a
l与a可能相交．
（6）
l与平面????内的直线可能异面．
?
????
?
l
b
?
例3 如图，在空间四边形 ABCD 中，点 E、F、G、H 分别是 AB、AD、BC、CD 的中点，试指出图中满足线面平行位置关系的所有情况，并说明理由．
解：因为点 E、F 分别是 AB、AD 的中点，
所以EF∥BD．
又因为 BD?平面BCD，EF?平面BCD，
所以 EF∥平面BCD（线面平行的判定定理）．
?
类似地，GH∥平面ABD、EG∥平面ADC、
FH∥平面ABC、BD∥平面EGHF．
A
D
F
H
C
G
E
B
例4 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1 中，点 E 为 DD1 的中点，试判断 BD1 与平面AEC 的位置关系，并说明理由.
解：BD′∥平面AEC，理由如下：
如图，连接 BD 交 AC 于 O 点，
则点 O 为 BD 的中点，连接 EO，
因为点 E 为 DD1的中点，所以EO∥BD1．
又因为 EO?平面AEC，BD1?平面AEC，
所以BD1∥平面AEC（线面平行的判定定理）．
?
A
B
C
D
E
A1
D1
C1
B1
O
当堂检测
B
B
????????
?
P是CC1的中点
E
课堂总结
直线与平面平行的性质定理：
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.
注意：定理共有三个条件，在应用时缺一不可：
①线面平行，“???? ∥ ????”
?
②线在面内，“?????????”
?
③面面相交，“????∩????=????”
?
a
l
????
?
????
?
课堂总结
线面平行的判定定理：
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
????
?
a
l
①一线面外，“l?α”
?
②一线面内，“?????????”
?
③两线平行，“????∥????”
?
注意：定理共有三个条件，在应用时缺一不可：
感谢您的聆听与指导
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