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【同步提升】北师大版七年级下册数学考点归纳与题型专训（单元+期中+期末）
第07讲 探索直线平行的条件
要点一、平行线的概念
1.平行线的概念：在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种。在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
2.平行线的概念包含三层意思：
（1）“在同一平面内”是前提条件，不可缺少，因为在空间里，还存在两条直线既不相交，也不平行的情况
（2）“不相交”就是说两条直线没有交点，两条直线向两个方向怎样延长都不会相交；
（3）平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或两条线段，平常所说的两条射线或线段平行，实质上是指它们所在的直线平行。
3.怎样表示两条直线互相平行呢？
平行线的表示方法：“平行”用符号“∥”表示，如图中直线AB和CD是平行线，记做AB∥CD（或CD∥AB），读做“AB平行CD”（或“CD平行AB”）。如果用m，n表示这两条直线，那么直线m与直线n平行，记做m∥n（或n∥m），读做“m平行n”（或“n平行m”）。
要点二、平行线的定义及画法
1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．
要点诠释：
（1）平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；
（2）有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．
（3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．
2．平行线的画法：
用直尺和三角板作平行线的步骤：
①落：用三角板的一条直角边与已知直线重合.
②靠：用直尺紧靠三角板另一条直角边.
③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的直角边通过已知点.
④画：沿着这条直角边画一条直线,所画直线与已知直线平行.
要点二、平行公理及推论
1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
要点诠释：
（1）平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．
（2）公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．
（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.
要点三、直线平行的判定
1．同位角相等，两直线平行
几何语言：∵∠1=∠5
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）
2．内错角相等，两直线平行
几何语言：∵∠3=∠6
∴a∥b（内错角相等，两直线平行）
3．同旁内角互补，两直线平行
几何语言：∵∠3+∠5=180°
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）
4．在同一平面内，如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行
几何语言：∵a∥c b∥c
∴a∥b
5．平行线公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
6．在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行
即：若a⊥c，且b⊥c，则a∥b
要点四、概念补充
1．平行线的一组同位角的角平分线平行；
2．平行线的一组内错角的角平分线平行；
3．平行线的一组同旁内角的角平分线互相垂直；
【考点1】判断平面内两直线的位置关系
【例1】在同一平面内，直线L1与L2满足下列条件：
（1）L1与L2没有公共点，则L1与L2 ；
（2）L1与L2有且只有一个公共点，则L1与L2 ；
（3）L1与L2有两个公共点，则L1与L2 ．
【变式1】同一平面内不重合的两条直线的位置关系有（ ）
A．相交、垂直 B．相交、平行
C．垂直、平行 D．相交、垂直、平行
【变式2】下列说法正确的是（ ）
A．同一个平面内，不相交的两条线段是平行线 B．同一个平面内，两条直线不相交就重合
C．同一个平面内，没有公共点的两条直线是平行线 D．不相交的两条直线是平行线
【考点2】判断棱柱体中的平行的棱
【例2】如图是一个长方体的图形，它的每条棱都是一条线段，请你从这些线段所在的直线中找出：（1）一对平行的线段： （写出一对即可）；（2）一对不在同一平面内的线段： （写出一对即可）．
【变式1】如图，在长方体中，与面垂直，又与面平行的棱是 ．
【变式2】已知长方体ABCD-EFGH如图所示，那么下列各条棱中与棱GC平行的是（ ）
A．棱EA； B．棱AB； C．棱GH； D．棱GF．
【考点3】尺规画平行线
【例3】如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（ ）
①沿直尺下移三角尺； ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线．
A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①②
【变式1】读下列语句，并画出图形．
点P是直线AB外一点，直线CD经过点P，且与直线AB平行，直线EF也经过点P且与直线AB垂直．
【变式2】如图所示，在内有一点P．
(1)过P画；
(2)过P画．
【考点4】平行线基本事实的应用
【例4】如图，过C点作线段AB的平行线，下列说法正确的是( )
A．不能作 B．只能作一条
C．能作两条 D．能作无数条
【变式1】如图，是一个可折叠衣架，AB是地平线，当时，就可以确定点N，P，M在同一直线上，这样判定的依据是（ ）
A．两点确定一条直线
B．内错角相等，两直线平行
C．平行于同一直线的两直线平行
D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
【变式2】如图，MC∥AB，NC∥AB，则点M，C，N在同一条直线上，理由是 ．
【考点5】平行线基本事实推论的应用
【例5】若直线a∥b，a∥c，则直线b与c的位置关系是 ．
【变式1】如图，AB∥CD，过点E画EF∥AB，则EF与CD的位置关系是 ，理由是 ．
【变式2】如图所示，取一张长方形的硬纸板ABCD，将硬纸板ABCD对折使CD与AB重合，EF为折痕．把长方形ABFE平放在桌面上，另一个面CDEF无论怎么改变位置总有CD∥AB存在，你知道为什么吗？
【考点6】平行线相关的综合运用
【例6】下列说法正确的有（填序号）： ．
①同位角相等；
②一条直线有无数条平行线；
③在同一平面内，两条不相交的线段是平行线；
④在同一平面内，如果a∥b，b∥c，则a∥c；
⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
【变式1】如图，按要求画图并回答问题：
(1)过点画点到直线的垂线段，垂足为；
(2)过点画直线，交的延长线于点；
(3)在线段，，中，最短的是______，理由为______．
【变式2】如图所示的正方形网格，点、、都在格点上．
(1)利用网格作图：
①过点画直线的平行线，并标出平行线所经过的格点；
②过点画直线的垂线，并标出垂线所经过的格点，垂足为点；
(2)线段_________的长度是点到直线的距离；
(3)比较大小：（填＞、＜或＝），理由是：__________________．
【考点7】利用同位角相等判定两直线平行
【例7】如图所示，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，则下列条件中，能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】在同一平面内，有三条直线a、b、c，如果，，则a c．
【考点8】利用内错角相等判定两直线平行
【例8】如图，下列条件能判断两直线平行的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】下列图形中，由，能得到是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】在一次数学活动课上，老师让同学们借助一副三角板画平行线，如图是小曼的作法，则她作法的依据是___________________________________ ．
【考点9】利用同旁内角互补判定两直线平行
【例9】如图所示，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为（ ）
A．∠C+∠ADC＝180° B．∠A+∠ABD＝180°
C．∠CBD＝∠ADC D．∠C＝∠CDA
【变式1】能判定直线的条件是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式2】如图，是小明学习三线八角时制作的模具，经测量∠2＝105°，要使木条a与b平行，则∠1的度数必须是 度．
【考点10】有关平行线判定的开放性问题
【例10】如图，要得到AB∥CD，只需要添加一个条件，这个条件可以是 ．
【变式1】如图是一款教室的日光灯管，用两根线，吊在天花板上，为了保护眼睛，使空间内光线更匀称，不易反光，需使灯管与天花板平行，已知，请你添加一个条件： ，使灯管与天花板平行．
【变式2】如图，已知，直线经过点A，请写出一个能判定的条件 ．（写出一个即可）
【考点11】补全推理过程
【例11】已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．试说明：AB∥DC．（请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由）
解：∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知），
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC （ ），
∵∠ABC＝∠ADC （ ），
∴∠ ＝∠ （等量代换）．
∵∠1＝∠3 （ ），
∴∠2＝∠ （ ）．
∴ ∥ （ ）．
【变式1】如图，已知直线被直线所截，平分，平分，，吗？为什么？
因为平分，平分（已知），
所以___________，___________，
所以___________（ ），
因为（ ），
所以___________，
所以（ ）．
【变式2】阅读下面的解答过程，并填空．
如图，，平分，平分，．求证：．
证明：∵平分，平分，（已知）
∴__________，_________．（角平分线的定义）
又∵，（已知）
∴∠____________=∠____________．（等量代换）
又∵，（已知）
∴∠____________=∠____________．（等量代换）
∴．（____________）
【考点12】平行线判定的实际应用
【例12】如图，一条街道有两个拐角和，测得，则，就可以知道//，其依据的定理是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行 D．平行于同一条直线的两直线平行
【变式1】一学员练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，则这两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次向左拐，第二次向右拐
B．第一次向右拐，第二次向左拐
C．第一次向右拐，第二次向右拐
D．第一次向左拐，第二次向左拐
【变式2】如图，一条公路的两个拐角和若，要使公路和在同一方向上，需要使 度，依据是 ．
【考点13】平行线判定相关的综合运用
【例13】如图，在下列给出的条件中，不能判定的是( )
A. B.
C. D.
【变式1】如图，点B在AC上，BD⊥BE，∠1＋∠C＝90°，问射线CF与BD平行吗？试用两种方法说明理由．
【变式2】如图，已知射线与直线交于点O，平分，于点O，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
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【同步提升】北师大版七年级下册数学考点归纳与题型专训（单元+期中+期末）
第07讲 探索直线平行的条件
要点一、平行线的概念
1.平行线的概念：在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种。在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
2.平行线的概念包含三层意思：
（1）“在同一平面内”是前提条件，不可缺少，因为在空间里，还存在两条直线既不相交，也不平行的情况
（2）“不相交”就是说两条直线没有交点，两条直线向两个方向怎样延长都不会相交；
（3）平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或两条线段，平常所说的两条射线或线段平行，实质上是指它们所在的直线平行。
3.怎样表示两条直线互相平行呢？
平行线的表示方法：“平行”用符号“∥”表示，如图中直线AB和CD是平行线，记做AB∥CD（或CD∥AB），读做“AB平行CD”（或“CD平行AB”）。如果用m，n表示这两条直线，那么直线m与直线n平行，记做m∥n（或n∥m），读做“m平行n”（或“n平行m”）。
要点二、平行线的定义及画法
1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．
要点诠释：
（1）平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；
（2）有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．
（3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．
2．平行线的画法：
用直尺和三角板作平行线的步骤：
①落：用三角板的一条直角边与已知直线重合.
②靠：用直尺紧靠三角板另一条直角边.
③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的直角边通过已知点.
④画：沿着这条直角边画一条直线,所画直线与已知直线平行.
要点二、平行公理及推论
1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
要点诠释：
（1）平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．
（2）公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．
（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.
要点三、直线平行的判定
1．同位角相等，两直线平行
几何语言：∵∠1=∠5
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）
2．内错角相等，两直线平行
几何语言：∵∠3=∠6
∴a∥b（内错角相等，两直线平行）
3．同旁内角互补，两直线平行
几何语言：∵∠3+∠5=180°
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）
4．在同一平面内，如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行
几何语言：∵a∥c b∥c
∴a∥b
5．平行线公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
6．在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行
即：若a⊥c，且b⊥c，则a∥b
要点四、概念补充
1．平行线的一组同位角的角平分线平行；
2．平行线的一组内错角的角平分线平行；
3．平行线的一组同旁内角的角平分线互相垂直；
【考点1】判断平面内两直线的位置关系
【例1】在同一平面内，直线L1与L2满足下列条件：
（1）L1与L2没有公共点，则L1与L2 ；
（2）L1与L2有且只有一个公共点，则L1与L2 ；
（3）L1与L2有两个公共点，则L1与L2 ．
【答案】（1）平行（2）相交（3）重合
【详解】解：（1）L1与L2没有公共点，则L1与L2平行．
（2）L1与L2有且只有一个公共点，则L1与L2相交．
（3）L1与L2有两个公共点，则L1与L2重合．
【变式1】同一平面内不重合的两条直线的位置关系有（ ）
A．相交、垂直 B．相交、平行
C．垂直、平行 D．相交、垂直、平行
【答案】B
【详解】解：同一平面内的两直线只有相交与平行两种位置关系．
故选：B．
【变式2】下列说法正确的是（ ）
A．同一个平面内，不相交的两条线段是平行线 B．同一个平面内，两条直线不相交就重合
C．同一个平面内，没有公共点的两条直线是平行线 D．不相交的两条直线是平行线
【答案】C
【详解】解：A、应该是不相交的两条直线，故错误；
B、还有平行的情况，故错误；
C、正确；
D、应该是在同一平面内，故错误．
故选：C．
【考点2】判断棱柱体中的平行的棱
【例2】如图是一个长方体的图形，它的每条棱都是一条线段，请你从这些线段所在的直线中找出：（1）一对平行的线段： （写出一对即可）；（2）一对不在同一平面内的线段： （写出一对即可）．
【答案】 ； AD与BG．
【详解】解：(1)AB∥FG(答案不唯一)；
(2)AD与BG不在同一平面内(答案不唯一).
故答案为(1)AB∥FG；(2)AD与BG.
【变式1】如图，在长方体中，与面垂直，又与面平行的棱是 ．
【答案】棱，棱
【详解】解：根据长方体的特点，与面垂直的棱是长方体宽的四条棱，，，；
与面平行的是相对面上的四条棱，，，，
所以，在长方体中，与面垂直，又与面平行的棱是棱，棱．
故答案为：棱，棱．
【变式2】已知长方体ABCD-EFGH如图所示，那么下列各条棱中与棱GC平行的是（ ）
A．棱EA； B．棱AB； C．棱GH； D．棱GF．
【答案】A
【详解】解：观察图象可知，与棱GC平行的棱有AE、BF、DH．
故选：A．
【考点3】尺规画平行线
【例3】如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线，请将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是（ ）
①沿直尺下移三角尺； ②用直尺紧靠三角尺的另一条边；③沿三角尺的边作出直线；④作直线，并用三角尺的一条边贴住直线．
A．④①②③ B．④②①③ C．④②③① D．④③①②
【答案】B
【详解】解：根据同位角相等两直线平行则正确的操作步骤是④②③①，
故选：B．
【变式1】读下列语句，并画出图形．
点P是直线AB外一点，直线CD经过点P，且与直线AB平行，直线EF也经过点P且与直线AB垂直．
【答案】见解析
【详解】解：如图所示：
．
【变式2】如图所示，在内有一点P．
(1)过P画；
(2)过P画．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）解：如图，直线即为所求；
（2）如图，直线即为所求；
【考点4】平行线基本事实的应用
【例4】如图，过C点作线段AB的平行线，下列说法正确的是( )
A．不能作 B．只能作一条
C．能作两条 D．能作无数条
【答案】B
【解析】作线段AB的平行线，即作它所在直线的平行线，根据“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”可知只能作一条，故B正确．
【变式1】如图，是一个可折叠衣架，AB是地平线，当时，就可以确定点N，P，M在同一直线上，这样判定的依据是（ ）
A．两点确定一条直线
B．内错角相等，两直线平行
C．平行于同一直线的两直线平行
D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
【答案】D
【详解】解：依题意，当时，；
当时，，就可以确定点，，在同一直线上（过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行）．
故选：D．
【变式2】如图，MC∥AB，NC∥AB，则点M，C，N在同一条直线上，理由是 ．
【答案】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
【详解】解：∵MC∥AB，NC∥AB，∴点M，C，N在同一条直线上，
理由是：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
【考点5】平行线基本事实推论的应用
【例5】若直线a∥b，a∥c，则直线b与c的位置关系是 ．
【答案】平行
【详解】解：若直线a∥b，a∥c，则直线b与c的位置关系是平行，
故答案为：平行．
【变式1】如图，AB∥CD，过点E画EF∥AB，则EF与CD的位置关系是 ，理由是 ．
【答案】EF∥CD；平行于同一直线的两直线互相平行．
【详解】解：EF与CD的位置关系是EF∥CD，
理由是：平行于同一直线的两直线互相平行．
故答案为：EF∥CD；平行于同一直线的两直线互相平行．
【变式2】如图所示，取一张长方形的硬纸板ABCD，将硬纸板ABCD对折使CD与AB重合，EF为折痕．把长方形ABFE平放在桌面上，另一个面CDEF无论怎么改变位置总有CD∥AB存在，你知道为什么吗？
【答案】理由见解析.
【详解】因为AB∥EF,CD∥EF,所以CD∥AB.
【考点6】平行线相关的综合运用
【例6】下列说法正确的有（填序号）： ．
①同位角相等；
②一条直线有无数条平行线；
③在同一平面内，两条不相交的线段是平行线；
④在同一平面内，如果a∥b，b∥c，则a∥c；
⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
【答案】②④
【详解】解：①应是两直线平行，同位角相等，故本小题错误；
②一条直线有无数条平行线，正确；
③因为线段有端点，所以有长短，不相交也不一定平行，故在同一平面内，两条不相交的线段不一定是平行线，故本小题错误；
④在同一平面内，如果a∥b，b∥c，则a∥c，符合平行公理，正确；
⑤应为过直线外一点可以而且只可以画一条直线与已知直线平行，故本小题错误，
故答案为：②④．
【变式1】如图，按要求画图并回答问题：
(1)过点画点到直线的垂线段，垂足为；
(2)过点画直线，交的延长线于点；
(3)在线段，，中，最短的是______，理由为______．
【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，垂线段最短
【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求；
（2）解：如图所示，直线即为所求；
（3）解：由垂线段最短可知，在线段，，中，最短的是，
故答案为：，垂线段最短．
【变式2】如图所示的正方形网格，点、、都在格点上．
(1)利用网格作图：
①过点画直线的平行线，并标出平行线所经过的格点；
②过点画直线的垂线，并标出垂线所经过的格点，垂足为点；
(2)线段_________的长度是点到直线的距离；
(3)比较大小：（填＞、＜或＝），理由是：__________________．
【答案】(1)详见解析 (2) (3)，垂线段最短
【详解】（1）解：①的平行线如图所示；
②的垂线如图所示；
（2）解：线段的长度是点到直线的距离，
故答案是：CF；
（3）解：．理由是：垂线段最短．
故答案是：＜，垂线段最短．
【考点7】利用同位角相等判定两直线平行
【例7】如图所示，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，
∴（同位角相等，两直线平行），
故选：D．
【变式1】如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，则下列条件中，能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，
∴，故A不符合题意；
∵，
∴，故B不符合题意；
由，不能判定，故C不符合题意；
∵，
∴，故D符合题意；
故选：D．
【变式2】在同一平面内，有三条直线a、b、c，如果，，则a c．
【答案】/平行于
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：
【考点8】利用内错角相等判定两直线平行
【例8】如图，下列条件能判断两直线平行的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】A．由可得，故不符合题意；
B．由可得，故符合题意；
C．由不能得到任何两条直线平行，故不符合题意；
D．由不能得到任何两条直线平行，故不符合题意；
故选B．
【变式1】下列图形中，由，能得到是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A、对顶角相等，不能得到；
B、，不能得到；
C、，内错角相等，两直线平行，能得到，不能得到；
D、，内错角相等，两直线平行，得到；
故选D．
【变式2】在一次数学活动课上，老师让同学们借助一副三角板画平行线，如图是小曼的作法，则她作法的依据是___________________________________ ．
【答案】内错角相等，两直线平行
【详解】解；由三角板中角度的特点可知，
∴由内错角相等，两直线平行可得，
故答案为：内错角相等，两直线平行．
【考点9】利用同旁内角互补判定两直线平行
【例9】如图所示，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为（ ）
A．∠C+∠ADC＝180° B．∠A+∠ABD＝180°
C．∠CBD＝∠ADC D．∠C＝∠CDA
【答案】A
【详解】解：若∠C+∠ADC＝180°，则BC∥AD，故A选项正确；
若∠A+∠ABC＝180°，则BC∥AD，∠A+∠ABD＝180°，无法得到BC∥AD，故B选项错误；
若∠CBD＝∠ADB，则BC∥AD，∠CBD＝∠ADC，无法得到BC∥AD，故C选项错误；
若∠C＝∠CDE，则BC∥AD，∠C＝∠CDA，无法得到BC∥AD，故D选项错误；
故选：A．
【变式1】能判定直线的条件是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【详解】解：A．由，，不能判定直线，故A选项不符合题意；
B．由，，不能判定直线，故B选项不符合题意；
C．由，，不能判定直线，故C选项不符合题意；
D．由，，可得，能判定直线，故D选项符合题意；
故选：D．
【变式2】如图，是小明学习三线八角时制作的模具，经测量∠2＝105°，要使木条a与b平行，则∠1的度数必须是 度．
【答案】75
【详解】解：如图，∵∠2＝105°，
∴∠3＝∠2＝105°，
∴要使b与a平行，则∠1+∠3＝180°，
∴∠1＝180°﹣105°＝75°．
故答案为：75．
【考点10】有关平行线判定的开放性问题
【例10】如图，要得到AB∥CD，只需要添加一个条件，这个条件可以是 ．
【答案】
【详解】解：添加∠2＝∠4，根据“内错角相等，两直线平行”推知AB∥CD．
故答案为：∠2＝∠4 （答案不唯一）．
【变式1】如图是一款教室的日光灯管，用两根线，吊在天花板上，为了保护眼睛，使空间内光线更匀称，不易反光，需使灯管与天花板平行，已知，请你添加一个条件： ，使灯管与天花板平行．
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：添加：，
，，
，
，
故答案为：（答案不唯一）．
【变式2】如图，已知，直线经过点A，请写出一个能判定的条件 ．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【详解】能判定的条件有，，，．
故答案为：（答案不唯一）．
【考点11】补全推理过程
【例11】已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．试说明：AB∥DC．（请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由）
解：∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知），
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC （ ），
∵∠ABC＝∠ADC （ ），
∴∠ ＝∠ （等量代换）．
∵∠1＝∠3 （ ），
∴∠2＝∠ （ ）．
∴ ∥ （ ）．
【答案】角平分线的定义；已知；1，2；已知；3，等量代换；AB，DC，内错角相等，两直线平行．
【详解】证明：∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，（已知）
∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC （角平分线定义）
又∵∠ABC＝∠ADC（已知）
∴∠1＝∠2（等量代换），
又∵∠1＝∠3（已知），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴AB∥DC （内错角相等，两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义；已知；1，2；已知；3，等量代换；AB，DC，内错角相等，两直线平行．
【变式1】如图，已知直线被直线所截，平分，平分，，吗？为什么？
因为平分，平分（已知），
所以___________，___________，
所以___________（ ），
因为（ ），
所以___________，
所以（ ）．
【答案】平行，见解析
【详解】解：因为平分，平分（已知），
所以，，
所以（等量代换），
因为（已知），
所以，
所以（同旁内角互补，两直线平行）．
【变式2】阅读下面的解答过程，并填空．
如图，，平分，平分，．求证：．
证明：∵平分，平分，（已知）
∴__________，_________．（角平分线的定义）
又∵，（已知）
∴∠____________=∠____________．（等量代换）
又∵，（已知）
∴∠____________=∠____________．（等量代换）
∴．（____________）
【答案】；；；；；；同位角相等，两直线平行
【详解】证明：∵平分，平分，（已知）
∴，．（角平分线的定义）
又∵，（已知）
∴．（等量代换）
又∵，（已知）
∴．（等量代换）
∴．（同位角相等，两直线平行）．
【考点12】平行线判定的实际应用
【例12】如图，一条街道有两个拐角和，测得，则，就可以知道//，其依据的定理是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行 D．平行于同一条直线的两直线平行
【答案】C
【详解】解：，
（内错角相等，两直线平行）．
故选：C．
【变式1】一学员练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，则这两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次向左拐，第二次向右拐
B．第一次向右拐，第二次向左拐
C．第一次向右拐，第二次向右拐
D．第一次向左拐，第二次向左拐
【答案】A
【详解】解：A．如图所示，
由图可知，两次转弯后，行驶方向与原来相同，故A符合题意；
B．如图所示，
由图可知，两次转弯后，行驶方向与原来不相同，故B不符合题意；
C．如图所示，
由图可知，两次转弯后，行驶方向与原来不相同，故C不符合题意；
D．如图所示，
由图可知，两次转弯后，行驶方向与原来不相同，故D不符合题意．
故选A．
【变式2】如图，一条公路的两个拐角和若，要使公路和在同一方向上，需要使 度，依据是 ．
【答案】 内错角相等，两直线平行
【详解】解：要使公路和在同一方向上，即，
当时，
依据是内错角相等，两直线平行，
故答案为：内错角相等，两直线平行
【考点13】平行线判定相关的综合运用
【例13】如图，在下列给出的条件中，不能判定的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】、因为，所以（同位角相等，两直线平行），不符合题意；
、因为，所以（内错角相等，两直线平行），不符合题意；
、因为，所以（同位角相等，两直线平行），不能证出，符合题意，
、因为，所以（同旁内角互补，两直线平行），不符合题意；
故答案为：．
【变式1】如图，点B在AC上，BD⊥BE，∠1＋∠C＝90°，问射线CF与BD平行吗？试用两种方法说明理由．
【答案】平行，理由见解析.
【详解】CF∥BD.
方法一：∵BD⊥BE，
∴∠DBE＝90°，
∴∠1＋∠2＝90°，
∵∠1＋∠C＝90°，
∴∠2＝∠C，
∴CF∥BD(同位角相等，两直线平行)．
方法二：∵BD⊥BE，
∴∠DBE＝90°，
∵∠1＋∠C＝90°，
∴∠C＋∠DBC＝∠1＋∠DBE＋∠C＝90°＋90°＝180°，
∴CF∥BD(同旁内角互补，两直线平行)．
【变式2】如图，已知射线与直线交于点O，平分，于点O，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析 (2)
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴
∴；
（2）解：由（1）可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
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