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【同步提升】北师大版七年级下册数学考点归纳与题型专训（单元+期中+期末）
第08讲 平行线的性质
要点一、平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等
几何语言：∵a∥b
∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）
性质2：两直线平行，内错角相等
几何语言：∵a∥b
∴∠3=∠6（两直线平行，内错角相等）
性质3：两直线平行，同旁内角互补
几何语言：∵a∥b
∴∠3+∠5=180°（两直线平行，同旁内角互补）
要点诠释：①若两直线平行，我们应联想到同位角相等，内错角相等，同旁内角互补等性质，为解决有关角的问题提供依据；②平行线的性质与判定的区别和联系在于两者的条件和结论是互逆的，解题时要注意恰当运用．
要点二、两条平行线的距离
求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．
如图，直线∥，过直线上的一点作直线的垂线，垂足为，则垂线段的长就是平行线、间的距离．
要点诠释：在此定义中，因为任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都是一个定值，所以又可看作“平行线间的距离处处相等”，即：①一条直线如果垂直于两条平行线中的一条，必定垂直于另一条：②夹在两条平行线间的平行线段相等；③平行线间的距离处处相等．
【考点1】利用平行线的性质求角度
【例1】如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1＝70°，则∠CBE的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【变式1】如图，已知直线，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，AB∥CD，EF⊥AB于点E，EF交CD于点F，EM交CD于点M，已知∠1＝57°，则∠2的度数为（ ）
A．33° B．57° C．43° D．123°
【考点2】平行线与直角三角板问题
【例2】如图，将一块直角三角板的顶点与直尺的一边重合，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，将一块带有角的直角三角板放置在一组平行线上，若，则的度数应该是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】将一副三角板（厚度不计）如图摆放，使含角的三角板的一条直角边与含角的三角板的斜边垂直，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【考点3】利用平行线的性质解决折叠问题
【例3】将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（△ABC），BC为折痕，若∠1＝42°，则∠2的度数为（ ）
A．48° B．58° C．60° D．69°
【变式1】如图，将一个矩形纸片按如图折叠，若∠1＝32°，则∠2的度数是 ．
【变式2】用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则∠2的度数为 ．
【考点4】平行线之间的拐点问题
【例4】如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】若，则，，的度数之比可能为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】如图，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是（ ）
A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360° B．∠A+∠D＝∠C+∠E
C．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180° D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°
【考点5】平行线的判定和性质的综合运用
【例5】如图，已知与互补，平分，那么（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图所示，四边形ABCD中，∠1=∠2，∠D=72°，则∠BCD=_______.
【变式2】如图，，，交的延长线于点E．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【考点6】判断结论是否正确
【例6】如图，在中，的平分线相交于F，过点F作，交于D，交于E，那么下列结论正确的是（ ）
①；②；③；④．
A．①② B．③④ C．①③ D．①②③
【变式1】如图，若∠1＝∠2，∠3＝∠4，给出下面四个结论：①AB∥CD；②AD∥BC；③∠B＝∠BCD；④∠B+∠BCD＝180°．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②④
【变式2】如图，，点B在上，点F在上，连接，平分，平分交于点H，．给出下面四个结论：
①；
②平分；
③；
④．
上述结论中，正确结论的序号有 ．
【考点7】补全推理过程
【例7】已知：如图，，，，，求证：．
证明：，（已知）
（垂直定义）
（_______）
______（_______）
（已知）
______（等量代换）
（_______）
______（_______）
（已知）
（_______）
【变式1】在下列解答中，填空并填写理由
如图，已知 ， ，试说明：．
证明：∵ （已知）
∴（ ）
又∵（已知）
∴ （ ）
∴（ ）
【变式2】完成下面的证明．
已知：如图，平分平分．求证：．
证明：（已知），
（_______）．
又（已知），
_______．
（已知），
．
又平分（已知），
_______．
又平分（已知），
_______，
（_______+_______），
，
，即．
【考点8】与平行线相关的跨学科问题
【例8】如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图，的两边均为平面反光镜，，在上有一点，从点射出一束光线经上的点反射后，反射光线恰好与平行，这里，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则的度数为 ．
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【同步提升】北师大版七年级下册数学考点归纳与题型专训（单元+期中+期末）
第08讲 平行线的性质
要点一、平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等
几何语言：∵a∥b
∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）
性质2：两直线平行，内错角相等
几何语言：∵a∥b
∴∠3=∠6（两直线平行，内错角相等）
性质3：两直线平行，同旁内角互补
几何语言：∵a∥b
∴∠3+∠5=180°（两直线平行，同旁内角互补）
要点诠释：①若两直线平行，我们应联想到同位角相等，内错角相等，同旁内角互补等性质，为解决有关角的问题提供依据；②平行线的性质与判定的区别和联系在于两者的条件和结论是互逆的，解题时要注意恰当运用．
要点二、两条平行线的距离
求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．
如图，直线∥，过直线上的一点作直线的垂线，垂足为，则垂线段的长就是平行线、间的距离．
要点诠释：在此定义中，因为任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都是一个定值，所以又可看作“平行线间的距离处处相等”，即：①一条直线如果垂直于两条平行线中的一条，必定垂直于另一条：②夹在两条平行线间的平行线段相等；③平行线间的距离处处相等．
【考点1】利用平行线的性质求角度
【例1】如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1＝70°，则∠CBE的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】B
【详解】解：∵DE∥BC，
∴∠1＝∠ABC＝70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABC＝35°．
故选：B．
【变式1】如图，已知直线，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如下图所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
故选： D．
【变式2】如图，AB∥CD，EF⊥AB于点E，EF交CD于点F，EM交CD于点M，已知∠1＝57°，则∠2的度数为（ ）
A．33° B．57° C．43° D．123°
【答案】A
【详解】解：如图所示：
∵AB∥CD，∠1＝57°，
∴∠3＝∠1＝57°，
∵EF⊥AB，
∴∠AEF＝∠3+∠2＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣57°＝33°．
故选：A．
【考点2】平行线与直角三角板问题
【例2】如图，将一块直角三角板的顶点与直尺的一边重合，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】依题意：
又
故选：B
【变式1】如图，将一块带有角的直角三角板放置在一组平行线上，若，则的度数应该是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，过三角形的角的顶点作，
，
，
，
，，
，
，
故选：．
【变式2】将一副三角板（厚度不计）如图摆放，使含角的三角板的一条直角边与含角的三角板的斜边垂直，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：如图，由题意，得：，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选D．
【考点3】利用平行线的性质解决折叠问题
【例3】将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（△ABC），BC为折痕，若∠1＝42°，则∠2的度数为（ ）
A．48° B．58° C．60° D．69°
【答案】D
【详解】解：如图所示，
∵长方形的两条长边平行，∠1＝42°，
∴∠1＝∠4＝42°，∠4＝∠5，
∴∠5＝42°，
由折叠的性质可知，∠2＝∠3，
∵∠2+∠3+∠5＝180°，
∴∠2＝69°，
故选：D．
【变式1】如图，将一个矩形纸片按如图折叠，若∠1＝32°，则∠2的度数是 ．
【答案】74°
【详解】解：如图，
由平行线的性质可得：∠1＝∠3＝∠4＝32°，
由翻折可知：．
故答案为：74°．
【变式2】用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则∠2的度数为 ．
【答案】/度
【详解】解：如图，先标注点与角，
由对折可得：，
∴，
∵，
∴；
故答案为：
【考点4】平行线之间的拐点问题
【例4】如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：过P作直线，如下图所示，
∵，，
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【变式1】若，则，，的度数之比可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：过的顶点作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，，的度数之比可能为，故C正确．
故选：C．
【变式2】如图，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图所示，过点E作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选A．
【变式3】如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是（ ）
A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360° B．∠A+∠D＝∠C+∠E
C．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180° D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°
【答案】C
【详解】解：如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，
则∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，
∵AB∥EF，
∴CG∥DH，
∴∠CDH＝∠DCG，
∴∠C＝∠ACG+∠CDH＝∠A+∠D﹣（180°﹣∠E），
∴∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180°．
故选：C．
【考点5】平行线的判定和性质的综合运用
【例5】如图，已知与互补，平分，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵与互补，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【变式1】如图所示，四边形ABCD中，∠1=∠2，∠D=72°，则∠BCD=_______.
【答案】108°
【详解】∵∠1=∠2，
∴AD∥BC，
∴∠D+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-∠D=180°-72°=108°．
故答案：108°．
【变式2】如图，，，交的延长线于点E．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：，
．
，
，
；
（2）解：，
．
，
．
．
，
．
【考点6】判断结论是否正确
【例6】如图，在中，的平分线相交于F，过点F作，交于D，交于E，那么下列结论正确的是（ ）
①；②；③；④．
A．①② B．③④ C．①③ D．①②③
【答案】C
【详解】∵，
∴，所以①正确；
∵的平分线相交于F，，
∴
∴，所以②错误；
∵，
∴，所以③正确；
∵平分，
∴，
∵，
∴，所以④错误．
答案：C．
【变式1】如图，若∠1＝∠2，∠3＝∠4，给出下面四个结论：①AB∥CD；②AD∥BC；③∠B＝∠BCD；④∠B+∠BCD＝180°．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②④
【答案】D
【详解】解：∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠BCD＝180°，
∴①、④正确，③错误；
∵∠3＝∠4，
∴AD∥BC，
∴②正确；
故选：D．
【变式2】如图，，点B在上，点F在上，连接，平分，平分交于点H，．给出下面四个结论：
①；
②平分；
③；
④．
上述结论中，正确结论的序号有 ．
【答案】①②④
【详解】解：∵，
∴，，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵，，
∴，
∴平分；故②正确；
∵，，但不一定成立，
∴不一定成立，即③错误；
∵，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即；故④正确．
故答案为①②④．
【考点7】补全推理过程
【例7】已知：如图，，，，，求证：．
证明：，（已知）
（垂直定义）
（_______）
______（_______）
（已知）
______（等量代换）
（_______）
______（_______）
（已知）
（_______）
【答案】同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；等量代换
【详解】证明：，（已知）
（垂直定义）
（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，内错角相等）
（已知）
（等量代换）
（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，同位角相等）
（已知）
（等量代换）
；
故答案为：同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；等量代换
【变式1】在下列解答中，填空并填写理由
如图，已知 ， ，试说明：．
证明：∵ （已知）
∴（ ）
又∵（已知）
∴ （ ）
∴（ ）
【答案】同位角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行
【详解】解：补全的证明过程如下：
证明：∵ （已知）
∴（同位角相等，两直线平行）
又∵（已知）
∴（同旁内角互补，两直线平行）
∴（平行于同一条直线的两条直线平行）
【变式2】完成下面的证明．
已知：如图，平分平分．求证：．
证明：（已知），
（_______）．
又（已知），
_______．
（已知），
．
又平分（已知），
_______．
又平分（已知），
_______，
（_______+_______），
，
，即．
【答案】两直线平行，内错角相等；；；；；；
【详解】证明：（已知），
（两直线平行，内错角相等）．
又（已知），
，
．
（已知），
．
又平分（已知），
．
又平分（已知），
，
，
，
，即．
故答案为∶ 两直线平行，内错角相等；；；；；；．
【考点8】与平行线相关的跨学科问题
【例8】如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的度数为．
故选：B．
【变式1】如图，的两边均为平面反光镜，，在上有一点，从点射出一束光线经上的点反射后，反射光线恰好与平行，这里，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：过点D作DF⊥AO交OB于点F．
∵入射角等于反射角，
∴∠1=∠3，
∵CD∥OB，
∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）；
∴∠2=∠3（等量代换）；
在Rt△DOF中，∠ODF=90°，∠AOB=35°，
∴∠2=55°；
∴在△DEF中，∠DEB=180°-2∠2=70°．
故选：B．
【变式2】光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则的度数为 ．
【答案】/122度
【详解】解：如图：
∵水中的两条光线平行，，
∴，
∵水面和杯底互相平行，
∴，
∵，
故答案为：．
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