第2课时 功率
[学习任务] 1．理解功率的概念，能运用功率的定义式P＝进行有关的计算。
2．理解公式P＝Fv的意义，并用来分析牵引力与速度的关系。
3．会利用P＝Fv结合动力学知识分析机车启动问题。
[问题初探] 问题1．什么是功率？
问题2．功率的物理意义是什么？
问题3．怎样计算平均功率和瞬时功率？
[自我感知] 经过你认真的预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系。
功率
1．定义：力对物体所做的功W与完成这些功所用时间t的比值。
2．定义式：P＝。
3．单位：在国际单位制中，功率的单位是瓦特，简称瓦，用符号W表示。
4．意义：功率是标量，它是表示物体做功快慢的物理量。
5．输入功率与输出功率
(1)输入功率：机器工作时，外界对机器做功的功率。
(2)输出功率：机器对外界做功的功率。
(3)机械效率：η＝。
6．额定功率与实际功率
(1)额定功率：机器长时间正常工作允许的最大输出功率。
(2)实际功率：机器实际工作时的输出功率。
(3)关系：实际功率往往小于额定功率。
7．功率与速度
(1)关系：当一个力与物体运动方向在同一直线上时，这个力对物体做功的功率等于这个力与物体速度的乘积。
(2)关系式：P＝Fv。
①若v是物体的平均速度，则P＝Fv为对应时间t内的平均功率。
②若v是瞬时速度，则P表示该时刻的瞬时功率。
(3)应用：从P＝Fv可以看出，汽车、火车等交通工具，当发动机的输出功率P一定时，牵引力F与速度v成反比，要增大牵引力，就要减小速度。
如图所示是解放军正用吊车将一辆坦克车从码头上吊起装上舰船，将质量为m的坦克车匀速吊起，坦克车在t时间内匀速上升h高度(重力加速度为g)。
【问题】
(1)怎样计算吊车t时间内的平均功率？
(2)若坦克车在相同的时间t内，从静止开始以加速度a匀加速上升高度h时，该过程中吊车的平均功率是多少？
(3)若坦克车在相同的时间t内，从静止开始以加速度a匀加速上升，则t时刻瞬时功率是多少？
提示：(1)坦克车匀速上升，根据平衡条件有吊车对坦克车的拉力F＝mg，则吊车对坦克车做的功W＝Fh＝mgh。功率P＝。
(2)由牛顿第二定律可得F′－mg＝ma，该过程中吊车的平均功率为。
(3)瞬时功率为P瞬＝F′v＝m(g＋a)at。
1．平均功率的计算
(1)利用 。
(2)利用 ＝Fcos α，其中F为恒力， 为物体运动的平均速度。
2．瞬时功率的计算
(1)利用公式P＝Fv cos α，其中v为瞬时速度。
(2)若vF为物体的速度在力F方向上的分速度，则P＝FvF。
(3)若Fv为物体所受外力在速度v方向上的分力，则P＝Fvv。
3．平均功率与瞬时功率的区别与联系
平均功率表示物体在某段时间内做功的平均快慢，瞬时功率表示力在某时刻做功的快慢。所以平均功率大，物体的瞬时功率不一定大。
【典例1】 (对平均功率与瞬时功率的理解)(多选)如图所示，定点投篮训练时，篮球两次从出手到进筐在空中的运动轨迹对应a、b两段曲线，不计空气阻力，比较这两次投篮，篮球沿a曲线( )
A．进筐时重力的瞬时功率较小
B．进筐时重力的瞬时功率较大
C．克服重力做功的平均功率较小
D．克服重力做功的平均功率较大
BC [由题图可知，篮球沿a曲线运动时，最大高度较大，抛出时的竖直速度较大。落到篮筐中的竖直速度也较大，根据PG＝G vy可知，篮球沿a曲线进筐时重力的瞬时功率较大，故A错误，B正确；因篮球沿a曲线运动抛出时的竖直速度较大，根据t＝可知，在空中运动的时间较长，而两次篮球的初、末位置都相同，则克服重力做功相同，根据P＝可知，篮球沿a曲线运动时克服重力做功的平均功率较小，故C正确，D错误。]
【典例2】 (平均功率与瞬时功率的计算)质量为m＝0.5 kg 的物体自由下落，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。求：(物体未落地)
(1)从物体开始下落，前3 s内重力对物体做功的平均功率P；
(2)第3 s末重力对物体做功的瞬时功率P′。
[解析] (1)由h＝gt2可得
h＝×10×32 m＝45 m
重力所做的功为W＝mgh＝225 J
前3 s内重力做功的平均功率为
P＝ W＝75 W。
(2)第3 s末物体的速度为
v＝gt＝10×3 m/s＝30 m/s
重力在第3 s末对物体做功的瞬时功率为
P′＝mgv＝150 W。
[答案] (1)75 W (2)150 W
【典例3】 (选自鲁科版教材·平均功率与瞬时功率的计算)跳绳是一种健身运动。一位同学在原地跳绳过程中，离开地面后竖直方向的速率—时间图像如图所示。若已知t0和跳绳者的质量m，重力加速度为g，不计阻力，请估算：
(1)跳绳者重心上升的最大高度；
(2)t0时间内，跳绳者克服重力做功的平均功率。
[解析] (1)根据题意，上升的时间为
t1＝t0＝t0
所以上升的最大高度
h ＝＝。
(2)t0时间内克服重力做的功为
W＝mgh
功率为P＝mg2t0。
[答案] (2)mg2t0
计算功率应该注意的问题
(1)明确所求的功率是平均功率还是瞬时功率。
(2)求平均功率时，应明确是哪一段时间内的平均功率；求瞬时功率时，应明确是哪一时刻的瞬时功率。
(3)应该明确是哪一个力对物体做功的功率，是动力还是阻力，是恒力还是变力等。
机车启动的两种方式
1．两种启动过程对比
两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P-t图像和 v-t图像
牵引力的 变化图像
OA 段 过程 分析 v↑ F＝↓ a＝↓ a＝不变 F不变 P＝Fv↑直到P额＝Fv1
运动 性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，维持时间t0＝
AB 段 过程 分析 F＝Ff a＝0 Ff＝ v↑ F＝↓ a＝↓
运动 性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动
BC段 — F＝Ff a＝0 Ff＝，以vm做匀速直线运动
2．几个重要关系式
(1)机车的最大速度vmax的求法：达到最大速度时，a＝0，即牵引力F等于阻力F阻，故vmax＝。
(2)匀加速启动最长时间的求法：牵引力F＝ma＋F阻，匀加速的最后速度vmax′＝，时间t＝。
(3)瞬时加速度的求法：据F＝求出对应瞬时速度v的牵引力，则加速度a＝。
【微提醒】 P＝Fv中F为机车的牵引力而不是合力，无论哪种运行过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vmax＝(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力F阻)。
【典例4】 (以恒定功率启动)某汽车公司展示了最新研发的、具有百分百自主知识产权的无人驾驶技术。在一次性能测试中，汽车发动机的额定功率为40 kW，质量为1 000 kg，当汽车在水平路面上行驶时受到阻力为自重的0.2，取重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)汽车在路面上能达到的最大速度大小；
(2)若汽车以额定功率启动，当汽车速度为8 m/s时的加速度大小。
[解析] (1)当牵引力等于阻力时，汽车速度达到最大，则有
P＝Fvm＝fvm
可得最大速度大小为
vm＝ m/s＝20 m/s。
(2)当速度v＝8 m/s时，牵引力大小为
F1＝ N＝5×103 N
根据牛顿第二定律得
F1－f＝ma
可得加速度大小为
a＝ m/s2＝3 m/s2。
[答案] (1)20 m/s (2)3 m/s2
【典例5】 (以恒定加速度启动)(多选)一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5 s内做匀加速直线运动，5 s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v-t图像如图所示，已知汽车的质量m＝2×103 kg，汽车受到地面的阻力为车重的0.1，取重力加速度g＝10 m/s2，则( )
A．汽车在前5 s内的牵引力为6×103 N
B．汽车的额定功率为120 kW
C．汽车的最大速度为vm＝30 m/s
D．当汽车速度为20 m/s时，汽车加速度大小为2 m/s2
BD [汽车在前5 s内做匀加速直线运动，由题图可知加速度a＝3 m/s2，由牛顿第二定律F－f＝ma，得F＝f＋ma＝(0.1×2×103×10＋2×103×3)N＝8×103 N，A错误；汽车在5 s末功率达到额定功率P＝Fv＝8×103×15 W＝120 kW，B正确；当牵引力等于阻力时，汽车达最大速度，则最大速度vm＝ m/s＝60 m/s，C错误；当汽车速度为20 m/s时，则F1＝ N＝6×103 N，F1－f＝ma1，得a1＝2 m/s2，D正确。]
【典例6】 (选自粤教版教材·以恒定加速度启动)如图所示是修建高层建筑常用的塔式起重机，在起重机将质量m＝5×103 kg的重物沿竖直方向吊起的过程中，重物由静止开始向上做匀加速直线运动，加速度a＝0.2 m/s2，当起重机输出功率达到其允许的最大值时，保持该功率直到重物做vmax＝1.2 m/s的匀速运动，不计额外功，求：(取重力加速度g＝10 m/s2)
(1)重物做匀速运动时，起重机的输出功率；
(2)重物做匀加速直线运动时的最大速度大小(结果保留三位有效数字)。
[解析] (1)设起重机允许输出的最大功率为Pm，重物达到最大速度时，此时重物做匀速直线运动，所受拉力F大小等于重力。由
Pm＝Fvmax
F＝mg
可得起重机的最大输出功率为
Pm＝mgvmax＝6.0×104 W。
(2)匀加速运动结束时，起重机达到允许输出的最大功率，设此时重物受到的拉力为F1，速度为v′m，由
F1－mg＝ma
Pm＝F1v′m
可解得v′m≈1.18 m/s。
[答案] (1)6.0×104 W (2)1.18 m/s
【典例7】 (两种启动方式综合运用)在平直路面上运动的汽车的额定功率为60 kW，若其总质量为5 t，在水平路面上所受的阻力为5×103 N。
(1)求汽车所能达到的最大速度大小。
(2)若汽车以0.5 m/s2的加速度由静止开始做匀加速运动，则这一过程能维持多长时间？
(3)若汽车以额定功率启动，则汽车车速v′＝2 m/s时其加速度为多大？
[解析] (1)当汽车速度达到最大时，牵引力F＝Ff，
则由P＝Fv得汽车所能达到的最大速度
vmax＝ m/s＝12 m/s。
(2)设汽车以恒定的加速度a做匀加速运动，能够达到的最大速度为v，则有
－Ff＝ma
得v＝ m/s＝8 m/s，
由v＝at得这一过程维持的时间
t＝ s＝16 s。
(3)当汽车以额定功率启动达到2 m/s的速度时，牵引力F′＝ N＝3×104 N
由牛顿第二定律得汽车的加速度
a′＝ m/s2＝5 m/s2。
[答案] (1)12 m/s (2)16 s (3)5 m/s2
用公式P＝Fv处理机车启动问题时应注意的问题
(1)公式P＝Fv中的F指的是机车的牵引力，而不是合力。
(2)只有机车匀速运动时，牵引力F才等于它受到的阻力Ff大小。
(3)机车以恒定加速度启动时，匀加速结束时的速度并没有达到最终匀速运动的速度vm。
【教用·备选例题】 某同学对一辆自制小遥控车的性能进行测试，让小车在水平地面上由静止开始运动。小车上的传感器将小车运动的全过程记录下来，通过数据处理得到如图所示的v-t图像。已知小车在0～2 s内做匀加速直线运动，2～10 s内小车牵引力的功率保持不变，在10 s末停止遥控，关闭电动机。小车的总质量m＝1 kg，整个过程中小车受到的阻力保持不变。求：
(1)小车关闭电动机后加速度a1的大小及阻力的大小；
(2)小车的额定功率；
(3)小车匀加速启动时加速度a2的大小及牵引力的大小；
(4)小车3 s时速度为5 m/s，此时小车加速度a3的大小；
(5)0～8 s内电动机对小车做的功。
[解析] (1)对小车分析，关闭电动机后在10～14 s内由
a＝
解得加速度大小
a1＝ m/s2＝2 m/s2
根据牛顿第二定律有
f＝ma1
解得阻力的大小
f＝2 N。
(2)小车在2～10 s内功率不变，设为P，在8～10 s内，由小车做匀速运动，根据平衡条件可得
F2＝f
根据功率
P＝F2vm
解得P＝16 W。
(3)在0～2 s内，由
a＝
解得a2＝＝2 m/s2
根据牛顿第二定律有
F1－f＝ma2
解得F1＝4 N。
(4)小车3 s时速度为5 m/s，此时牵引力大小
F3＝＝3.2 N
根据牛顿第二定律
F3－f＝ma3
解得a3＝1.2 m/s2。
(5)0～2 s的位移
x1＝×4×2 m＝4 m
0～8 s时电动机对小车做的功
W＝F1x1＋Pt2
代入数据可得
W＝4×4 J＋16×6 J＝112 J。
[答案] (1)2 m/s2 2 N (2)16 W (3)2 m/s2 4 N (4)1.2 m/s2 (5)112 J
1．(选自鲁科版教材)某同学的质量为50 kg，所骑自行车的质量为15 kg，设该同学在平直路面上正常骑行时自行车的功率为40 W，若人与车受到的阻力是其重力的0.02倍，重力加速度g取10 m/s2，则匀速骑行自行车时的速度大小约为( )
A．3 m/s B．6 m/s
C．13 m/s D．30 m/s
A [根据P＝Fv，匀速运动时F＝f＝0.02×65×10 N＝13 N，则v＝ m/s≈3 m/s，故选A。]
2．一位质量为60 kg的同学从一楼走到五楼的时间为一分钟，已知每层楼的高度约为3 m，重力加速度g取10 m/s2。则该同学上楼过程克服重力做功的平均功率约为( )
A．12 W B．15 W
C．120 W D．150 W
C [根据功率的定义 P＝，其中t＝60 s，h＝12 m，代入数据解得平均功率P＝120 W，故选C。]
3．机车以下列两种方式启动，且沿直线运动(设阻力不变)。方式①：机车以不变的额定功率启动；方式②：机车的启动功率先随速度均匀增加，后保持额定功率不变。如图所示给出的四个图像中，能够正确反映机车的速度v随时间t变化的是( )
A．甲对应方式①，乙对应方式②
B．乙对应方式①，丙对应方式②
C．甲对应方式①，丙对应方式②
D．丙对应方式①，丁对应方式②
B [机车以不变的额定功率启动时，由公式得P＝Fv，时间增大，速度v增大，P恒定时，F减小，对机车受力分析得F－f＝ma，F减小，则a减小，当F＝f时，速度不再变化，则题图乙为机车以不变的额定功率启动的速度时间图像。机车以恒定牵引力启动时，对机车受力分析得F－f＝ma，则加速度a不变，机车做匀加速直线运动，当增大到额定功率时，随着速度的继续增加，牵引力变小，加速度变小，做加速度减小的加速运动，当牵引力减小到和阻力相等后，机车做匀速直线运动，则题图丙是机车的启动功率先随速度均匀增加，后保持额定功率不变的启动的速度时间图像。故选B。]
4．质量为50 kg的某同学在做引体向上，从双臂伸直到肩部与单杠同高度算1次，若他在1分钟内完成了12次，每次肩部上升的距离均为0.5 m，重力加速度大小g＝10 m/s2，则他在1分钟内克服重力所做的功及相应的功率约为( )
A．250 J，5 W B．3 000 J，250 W
C．3 000 J，50 W D．6 000 J，100 W
C [1分钟内完成了12次引体向上，克服重力所做的功W＝12mgh＝3 000 J，平均功率P＝ W＝50 W，故选C。]
5．如图所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的固定斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，求：
(1)前2 s内重力做的功；
(2)前2 s内重力的平均功率；
(3)2 s末重力的瞬时功率。
[解析] (1)木块所受的合力
F合＝mg sin θ－μmg cos θ＝mg(sin θ－μcos θ)＝2×10×(0.6－0.5×0.8) N＝4 N
木块的加速度a＝ m/s2＝2 m/s2
前2 s内木块的位移
s＝at2＝×2×22 m＝4 m
所以重力在前2 s内做的功为
W＝mgs sin θ＝2×10×4×0.6 J＝48 J。
(2)前2 s内重力的平均功率为
W＝24 W。
(3)木块在2 s末的速度
v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s
2 s末重力的瞬时功率
P＝mgv sin θ＝2×10×4×0.6 W＝48 W。
[答案] (1)48 J (2)24 W (3)48 W
回归本节知识，完成以下问题：
1．功率的计算有哪几种方式？
提示：平均功率P＝，瞬时功率P＝Fv cos α。
2．平均功率与瞬时功率的区别？
提示：平均功率表示物体在某段时间内做功的平均快慢，瞬时功率表示力在某时刻做功的快慢。所以平均功率大，物体的瞬时功率不一定大。
3．两种启动方式中如何求最大速度？
提示：达到最大速度时，牵引力与阻力相等，vmax＝。
课时分层作业(十四)
?题组一 功率的分析与计算
1．下列关于功率的计算式P＝和P＝Fv说法正确的是( )
A．据P＝可知，机器做功越多，其功率就越大
B．由P＝知，只要知道W和t就可求出任意时刻的功率
C．由P＝Fv只能求某一时刻的瞬时功率
D．由P＝Fv知，当汽车发动机功率一定时，牵引力与速度成反比
D [公式P＝中，做功W越大，但是时间t不知道，所以功率并不一定大，A错误；公式P＝是求一段时间的平均功率，B错误；P＝Fv中，当速度是瞬时速度时，求的是瞬时功率，当速度为平均速度时，求的就是平均功率，C错误；由P＝Fv可知，当P一定时，F与v成反比，D正确。故选D。]
2．某力做的功随时间变化的关系如图所示，该力做功的功率为( )
A．10 W B．20 W
C．30 W D．40 W
B [由功率的计算公式P＝，可得W＝Pt，由题图可知，W与t的数值关系式为W＝20t J，即P＝20 W，故选项B正确。]
3．如图所示是小孩滑滑梯的情境，假设滑梯是固定光滑斜面，倾角为30°，小孩质量为m，由静止开始沿滑梯下滑，重力加速度为g，在滑梯上滑行距离为s时，重力的瞬时功率为( )
A．mg B．mg
C．mg D．mg
B [小孩的加速度a＝g，由v2＝2as得，小孩滑行距离为s时的速率v＝，故此时重力的瞬时功率P＝mgv sin 30°＝mg，B正确。]
4．质量为50 kg的同学做仰卧起坐运动。若该同学上半身的质量约为全身质量的，她在1 min内做了50个仰卧起坐，每次上半身重心上升的距离均为0.3 m，g取10 m/s2，则她1 min内克服重力做的功W和相应的功率P约为( )
A．W＝4 500 J，P＝75 W
B．W＝4 500 J，P＝7.5 W
C．W＝3 600 J，P＝60 W
D．W＝3 600 J，P＝6 W
A [每次上半身重心上升的距离均为0.3 m，则她每一次克服重力做的功W0＝mgh＝×50×10×0.3 J＝90 J，1 min内克服重力所做的功W＝50W0＝50×90 J＝4 500 J，相应的功率约为P＝ W＝75 W，故A正确，B、C、D错误。]
?题组二 机车启动的两种方式
5．汽车由静止开始运动，若要使汽车在开始运动的一小段时间内保持匀加速直线运动，则( )
A．不断增大牵引力和牵引力的功率
B．不断减小牵引力和牵引力的功率
C．保持牵引力不变，不断增大牵引力功率
D．不能判断牵引力功率怎样变化
C [汽车保持匀加速直线运动，所受合力不变，其中牵引力也不变，但速度增大，牵引力的功率增大，C正确，A、B、D错误。]
6．某探测器在月面点火，顺利携带月壤送入预定环月轨道。已知1 000牛约等于1.36马力，1马力约等于735瓦特。该探测器以3 000 牛的恒定功率上升，发动机工作6分钟做的功约为( )
A．1×104 J B．1×105 J
C．1×106 J D．1×107 J
C [功率恒定，加速上升，因此牵引力减小，为变力做功，根据题干信息得W＝Pt＝×1.36×735×6×60 J≈1×106 J，故选项C正确。]
7．(多选)质量为m的汽车由静止开始以加速度a做匀加速运动，经过时间t，汽车达到额定功率，则下列说法正确的是( )
A．at是汽车额定功率下的速度最大值
B．at不是汽车额定功率下的速度最大值
C．汽车的额定功率是ma2t
D．题中所给条件求不出汽车的额定功率
BD [汽车在额定功率下的最大速度是a＝0时，vm＝，故A项错误，B项正确；汽车的功率是牵引力的功率，不是合力的功率，故C项错误；由F－Ff＝ma可知，F＝Ff＋ma，因Ff未知，则求不出F，故求不出汽车的额定功率，故D项正确。]
8．一辆汽车以功率P1在平直公路上匀速行驶，驾驶员突然减小油门，使汽车的功率减小为P2并继续行驶。若整个过程中阻力恒定不变，汽车发动机的牵引力将( )
A．保持不变
B．不断减小
C．突然减小，再增大，后保持不变
D．突然增大，再减小，后保持不变
C [由P1＝Fv知，当汽车以功率P1匀速行驶时，F＝Ff，加速度a＝0，若突然减小油门，汽车的功率由P1减小到P2，则F突然减小，整个过程中阻力Ff恒定不变，即减小油门后F＜Ff，所以汽车将减速，由P2＝Fv知，此后保持功率P2不变继续行驶，v减小，F增大，当F＝Ff时，汽车不再减速，而以一较小速度匀速行驶，牵引力不再增大。故选项C正确。]
9．汽车在平直公路上以速度v0匀速行驶，发动机功率为P，快进入闹市区时，司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半并保持该功率继续行驶。下面四个图像中，哪个图像正确表示了从司机减小油门开始，汽车的速度与时间的关系( )
A B
C D
C [汽车在匀速行驶时牵引力等于阻力，而当功率减半时速度不变，由此可知牵引力减半，故阻力大于牵引力，车将减速，因功率恒定，而牵引力变大，由a＝知加速度逐渐减小，故做变减速运动。当牵引力等于阻力后，汽车将做匀速运动。由以上分析可知C项正确。]
10．放在粗糙水平地面上的物体受到水平拉力的作用，在0～6 s内其速度与时间关系图像和水平拉力的功率与时间关系图像如图甲、乙所示。下列说法正确的是( )
A．0～6 s内物体的位移大小为20 m
B．0～6 s内拉力做功为100 J
C．滑动摩擦力的大小为5 N
D．0～6 s内滑动摩擦力做功为－50 J
D [由题图甲可知，在0～6 s内物体的位移大小为x＝×(4＋6)×6 m＝30 m，故A错误；由题图乙可知，P-t图线与时间轴围成的面积表示拉力做功的大小，则0～6 s内拉力做功为WF＝×2×30 J＋10×4 J＝70 J，故B错误；在2～6 s内，v＝6 m/s，P＝10 W，物体做匀速运动，摩擦力Ff＝F＝ N，故C错误；在0～6 s内物体的位移大小为 30 m，滑动摩擦力做负功，即WFf＝－×30 J＝－50 J，故D正确。]
11．若汽车的质量为2×103 kg(可视为质点)，正以10 m/s的速度向右匀速运动，如图甲所示，汽车前方的水平路段BC较粗糙，汽车通过整个ABC路段的v -t图像如图乙所示(在t＝15 s处水平虚线与曲线相切)，运动过程中汽车发动机的输出功率保持20 kW不变，假设汽车在两个路段上受到的阻力(含地面摩擦力和空气阻力等)各自有恒定的大小。求：
(1)汽车在AB路段上运动时所受阻力Ff1的大小；
(2)汽车刚好开过B点时加速度a的大小。
[解析] (1)汽车在AB路段做匀速直线运动，根据平衡条件，有F1＝Ff1
P＝F1v1
解得Ff1＝ N＝2 000 N。
(2)t＝15 s时汽车处于平衡状态，有
F2＝Ff2，P＝F2v2
解得Ff2＝ N＝4 000 N
刚好开过B点时汽车的牵引力仍为F1，根据牛顿第二定律，有Ff2－F1＝ma
解得加速度的大小a＝1 m/s2。
[答案] (1)2 000 N (2)1 m/s2
12．汽车发动机的额定功率为60 kW，汽车的质量为4 t，当它行驶在坡度为0.02(sin α＝0.02)的长直公路上时，如图所示，所受摩擦阻力为车重的0.1(g＝10 m/s2)。
(1)求汽车所能达到的最大速度vm。
(2)若汽车从静止开始以0.6 m/s2的加速度做匀加速直线运动，则此过程能维持多长时间(结果保留三位有效数字)
[解析] (1)汽车在坡路上向上行驶，所受阻力由两部分构成，即f＝0.1mg＋mg sin α＝4 000 N＋800 N＝4 800 N
又因为F＝f时，额定功率P＝fvm
所以vm＝ m/s＝12.5 m/s。
(2)汽车从静止开始，以a＝0.6 m/s2的加速度匀加速行驶，由牛顿第二定律，有
F′－f＝ma
解得F′＝ma＋f＝4×103×0.6 N＋4 800 N＝7.2×103 N
保持这一牵引力，汽车可达到匀加速行驶的最大速度设为vm′，有
vm′＝ m/s＝ m/s
由运动学规律可以求出匀加速行驶的时间
t＝≈13.9 s。
[答案] (1)12.5 m/s (2)13.9 s
13．(多选)如图所示为汽车的加速度a和车速的倒数的关系图像，若汽车质量为2.5×103 kg，它由静止开始沿平直公路行驶，且行驶中阻力恒定，最大车速为30 m/s，则( )
A．汽车的最大功率为6.5×104 W
B．汽车匀加速所需时间为4 s
C．汽车所受阻力为2.5×103 N
D．汽车在车速为5 m/s时，功率为3.75×104 W
CD [根据牛顿第二定律可得F－f＝ma，汽车的功率为P＝Fv，解得a＝，汽车由恒定的加速度a＝2 m/s2启动，先做匀加速直线运动，当v1＝10 m/s时，功率达到额定功率Pm，此后保持额定功率不变做加速度减小的变加速直线运动，当加速度等于零时，速度为vm＝30 m/s，此后做匀速直线运动，结合题图可得2 m/s2＝，0＝，代入数据解得Pm＝7.5×104 W，f＝2.5×103 N，故A错误，C正确；匀加速运动的时间为t1＝＝5 s，故B错误；汽车匀加速直线运动的牵引力为F1＝f＋ma＝7.5×103 N，汽车在车速为5 m/s时正处于匀加速直线运动的阶段，汽车的瞬时功率为P＝F1v＝3.75×104 W，故D正确。](共79张PPT)
第2课时 功率
第八章 机械能守恒定律
1．功与功率
整体感知·自我新知初探
[自我感知] 经过你认真的预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系。
探究重构·关键能力达成
1．定义：力对物体所做的_____与完成这些功所用_______的比值。
2．定义式：P＝__________。
3．单位：在国际单位制中，功率的单位是______，简称瓦，用符号W表示。
知识点一 功率
功W
时间t
瓦特
4．意义：功率是标量，它是表示物体做功______的物理量。
5．输入功率与输出功率
(1)输入功率：机器工作时，______对机器做功的功率。
(2)输出功率：机器对______做功的功率。
(3)机械效率：η＝______。
6．额定功率与实际功率
(1)额定功率：机器________________允许的最大输出功率。
(2)实际功率：机器__________时的输出功率。
(3)关系：实际功率往往______额定功率。
快慢
外界
外界
长时间正常工作
实际工作
小于
7．功率与速度
(1)关系：当一个力与物体运动方向在同一直线上时，这个力对物体做功的功率等于这个力与__________的乘积。
(2)关系式：P＝Fv。
①若v是物体的平均速度，则P＝Fv为对应时间t内的平均功率。
②若v是瞬时速度，则P表示该时刻的瞬时功率。
(3)应用：从P＝Fv可以看出，汽车、火车等交通工具，当发动机的输出功率P一定时，牵引力F与速度v成______，要增大牵引力，就要减小速度。
物体速度
反比
如图所示是解放军正用吊车将一辆坦克车从码头上吊起装上舰船，将质量为m的坦克车匀速吊起，坦克车在t时间内匀速上升h高度(重力加速度为g)。
【问题】
(1)怎样计算吊车t时间内的平均功率？
(2)若坦克车在相同的时间t内，从静止开始以加速度a匀加速上升高度h时，该过程中吊车的平均功率是多少？
(3)若坦克车在相同的时间t内，从静止开始以加速度a匀加速上升，则t时刻瞬时功率是多少？
3．平均功率与瞬时功率的区别与联系
平均功率表示物体在某段时间内做功的平均快慢，瞬时功率表示力在某时刻做功的快慢。所以平均功率大，物体的瞬时功率不一定大。
【典例1】 (对平均功率与瞬时功率的理解)(多选)如图所示，定点投篮训练时，篮球两次从出手到进筐在空中的运动轨迹对应a、b两段曲线，不计空气阻力，比较这两次投篮，篮球沿a曲线( )
A．进筐时重力的瞬时功率较小
B．进筐时重力的瞬时功率较大
C．克服重力做功的平均功率较小
D．克服重力做功的平均功率较大
√
√
【典例2】 (平均功率与瞬时功率的计算)质量为m＝0.5 kg 的物体自由下落，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。求：(物体未落地)
(1)从物体开始下落，前3 s内重力对物体做功的平均功率P；
(2)第3 s末重力对物体做功的瞬时功率P′。
[答案] (1)75 W (2)150 W
【典例3】 (选自鲁科版教材·平均功率与瞬时功率的计算)跳绳是一种健身运动。一位同学在原地跳绳过程中，离开地面后竖直方向的速率—时间图像如图所示。若已知t0和跳绳者的质量m，重力加速度为g，不计阻力，请估算：
(1)跳绳者重心上升的最大高度；
(2)t0时间内，跳绳者克服重力做功的平均功率。
规律方法 计算功率应该注意的问题
(1)明确所求的功率是平均功率还是瞬时功率。
(2)求平均功率时，应明确是哪一段时间内的平均功率；求瞬时功率时，应明确是哪一时刻的瞬时功率。
(3)应该明确是哪一个力对物体做功的功率，是动力还是阻力，是恒力还是变力等。
1．两种启动过程对比
知识点二 机车启动的两种方式
两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P-t图像和
v-t图像
两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
牵引力的
变化图像
两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
OA
段 过程
分析
运动
性质 加速度减小的加速直线运动
两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
AB
段 过程
分析
运动
性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动
BC段 —
【典例4】 (以恒定功率启动)某汽车公司展示了最新研发的、具有百分百自主知识产权的无人驾驶技术。在一次性能测试中，汽车发动机的额定功率为40 kW，质量为1 000 kg，当汽车在水平路面上行驶时受到阻力为自重的0.2，取重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)汽车在路面上能达到的最大速度大小；
(2)若汽车以额定功率启动，当汽车速度为8 m/s时的加速度大小。
[答案] (1)20 m/s (2)3 m/s2
【典例5】 (以恒定加速度启动)(多选)一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5 s内做匀加速直线运动，5 s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v-t图像如图所示，已知汽车的质量m＝2×103 kg，汽车受到地面的阻力为车重的0.1，取重力加速度g＝
10 m/s2，则( )
A．汽车在前5 s内的牵引力为6×103 N
B．汽车的额定功率为120 kW
C．汽车的最大速度为vm＝30 m/s
D．当汽车速度为20 m/s时，汽车加速度大小为2 m/s2
√
√
【典例6】 (选自粤教版教材·以恒定加速度启动)如图所示是修建高层建筑常用的塔式起重机，在起重机将质量m＝5×103 kg的重物沿竖直方向吊起的过程中，重物由静止开始向上做匀加速直线运动，加速度a＝0.2 m/s2，当起重机输出功率达到其允许的最大值时，保持该功率直到重物做vmax＝1.2 m/s的匀速运动，不计额外功，求：(取重力加速度g＝10 m/s2)
(1)重物做匀速运动时，起重机的输出功率；
(2)重物做匀加速直线运动时的最大速度大小(结果保留三位有效数字)。
[解析] (1)设起重机允许输出的最大功率为Pm，重物达到最大速度时，此时重物做匀速直线运动，所受拉力F大小等于重力。由
Pm＝Fvmax
F＝mg
可得起重机的最大输出功率为Pm＝mgvmax＝6.0×104 W。
(2)匀加速运动结束时，起重机达到允许输出的最大功率，设此时重物受到的拉力为F1，速度为v′m，由F1－mg＝ma
Pm＝F1v′m
可解得v′m≈1.18 m/s。
[答案] (1)6.0×104 W (2)1.18 m/s
【典例7】 (两种启动方式综合运用)在平直路面上运动的汽车的额定功率为60 kW，若其总质量为5 t，在水平路面上所受的阻力为5×103 N。
(1)求汽车所能达到的最大速度大小。
(2)若汽车以0.5 m/s2的加速度由静止开始做匀加速运动，则这一过程能维持多长时间？
(3)若汽车以额定功率启动，则汽车车速v′＝2 m/s时其加速度为多大？
[答案] (1)12 m/s (2)16 s (3)5 m/s2
易错警示 用公式P＝Fv处理机车启动问题时应注意的问题
(1)公式P＝Fv中的F指的是机车的牵引力，而不是合力。
(2)只有机车匀速运动时，牵引力F才等于它受到的阻力Ff大小。
(3)机车以恒定加速度启动时，匀加速结束时的速度并没有达到最终匀速运动的速度vm。
【教用·备选例题】 某同学对一辆自制小遥控车的性能进行测试，让小车在水平地面上由静止开始运动。小车上的传感器将小车运动的全过程记录下来，通过数据处理得到如图所示的v-t图像。已知小车在0～2 s内做匀加速直线运动，2～10 s内
小车牵引力的功率保持不变，在10 s末停止
遥控，关闭电动机。小车的总质量m＝1 kg，
整个过程中小车受到的阻力保持不变。求：
(1)小车关闭电动机后加速度a1的大小及阻力的大小；
(2)小车的额定功率；
(3)小车匀加速启动时加速度a2的大小及牵引力的大小；
(4)小车3 s时速度为5 m/s，此时小车加速度a3的大小；
(5)0～8 s内电动机对小车做的功。
(2)小车在2～10 s内功率不变，设为P，在8～10 s内，由小车做匀速运动，根据平衡条件可得
F2＝f
根据功率
P＝F2vm
解得P＝16 W。
[答案] (1)2 m/s2 2 N (2)16 W (3)2 m/s2 4 N (4)1.2 m/s2 (5)112 J
应用迁移·随堂评估自测
1．(选自鲁科版教材)某同学的质量为50 kg，所骑自行车的质量为
15 kg，设该同学在平直路面上正常骑行时自行车的功率为40 W，若人与车受到的阻力是其重力的0.02倍，重力加速度g取10 m/s2，则匀速骑行自行车时的速度大小约为( )
A．3 m/s B．6 m/s
C．13 m/s D．30 m/s
√
2
4
3
题号
1
5
2．一位质量为60 kg的同学从一楼走到五楼的时间为一分钟，已知每层楼的高度约为3 m，重力加速度g取10 m/s2。则该同学上楼过程克服重力做功的平均功率约为( )
A．12 W B．15 W
C．120 W D．150 W
√
2
4
3
题号
1
5
3．机车以下列两种方式启动，且沿直线运动(设阻力不变)。方式①：机车以不变的额定功率启动；方式②：机车的启动功率先随速度均匀增加，后保持额定功率不变。如图所示给出的四个图像中，能够正确反映机车的速度v随时间t变化的是( )
2
4
3
题号
1
5
A．甲对应方式①，乙对应方式②
B．乙对应方式①，丙对应方式②
C．甲对应方式①，丙对应方式②
D．丙对应方式①，丁对应方式②
√
2
4
3
题号
1
5
2
4
3
题号
1
5
B [机车以不变的额定功率启动时，由公式得P＝Fv，时间增大，速度v增大，P恒定时，F减小，对机车受力分析得F－f＝ma，F减小，则a减小，当F＝f时，速度不再变化，则题图乙为机车以不变的额定功率启动的速度时间图像。机车以恒定牵引力启动时，对机车受力分析得F－f＝ma，则加速度a不变，机车做匀加速直线运动，当增大到额定功率时，随着速度的继续增加，牵引力变小，加速度变小，做加速度减小的加速运动，当牵引力减小到和阻力相等后，机车做匀速直线运动，则题图丙是机车的启动功率先随速度均匀增加，后保持额定功率不变的启动的速度时间图像。故选B。]
4．质量为50 kg的某同学在做引体向上，从双臂伸直到肩部与单杠同高度算1次，若他在1分钟内完成了12次，每次肩部上升的距离均为0.5 m，重力加速度大小g＝10 m/s2，则他在1分钟内克服重力所做的功及相应的功率约为( )
A．250 J，5 W B．3 000 J，250 W
C．3 000 J，50 W D．6 000 J，100 W
2
4
3
题号
1
5
√
5．如图所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的固定斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，求：
(1)前2 s内重力做的功；
(2)前2 s内重力的平均功率；
(3)2 s末重力的瞬时功率。
2
4
3
题号
1
5
2
4
3
题号
1
5
2
4
3
题号
1
5
[答案] (1)48 J (2)24 W (3)48 W
回归本节知识，完成以下问题：
1．功率的计算有哪几种方式？
2．平均功率与瞬时功率的区别？
提示：平均功率表示物体在某段时间内做功的平均快慢，瞬时功率表示力在某时刻做功的快慢。所以平均功率大，物体的瞬时功率不一定大。
3．两种启动方式中如何求最大速度？
课时分层作业（十四）
1
题号
2
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4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
√
1
题号
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10
11
12
13
2．某力做的功随时间变化的关系如图所示，该力做功的功率为
( )
A．10 W B．20 W
C．30 W D．40 W
√
1
题号
2
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题号
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1
?题组二 机车启动的两种方式
5．汽车由静止开始运动，若要使汽车在开始运动的一小段时间内保持匀加速直线运动，则( )
A．不断增大牵引力和牵引力的功率
B．不断减小牵引力和牵引力的功率
C．保持牵引力不变，不断增大牵引力功率
D．不能判断牵引力功率怎样变化
√
题号
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11
12
13
1
C [汽车保持匀加速直线运动，所受合力不变，其中牵引力也不变，但速度增大，牵引力的功率增大，C正确，A、B、D错误。]
题号
2
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5
6
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12
13
1
6．某探测器在月面点火，顺利携带月壤送入预定环月轨道。已知
1 000牛约等于1.36马力，1马力约等于735瓦特。该探测器以3 000 牛的恒定功率上升，发动机工作6分钟做的功约为( )
A．1×104 J B．1×105 J
C．1×106 J D．1×107 J
√
题号
2
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6
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11
12
13
1
7．(多选)质量为m的汽车由静止开始以加速度a做匀加速运动，经过时间t，汽车达到额定功率，则下列说法正确的是( )
A．at是汽车额定功率下的速度最大值
B．at不是汽车额定功率下的速度最大值
C．汽车的额定功率是ma2t
D．题中所给条件求不出汽车的额定功率
√
题号
2
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1
√
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13
1
8．一辆汽车以功率P1在平直公路上匀速行驶，驾驶员突然减小油门，使汽车的功率减小为P2并继续行驶。若整个过程中阻力恒定不变，汽车发动机的牵引力将( )
A．保持不变
B．不断减小
C．突然减小，再增大，后保持不变
D．突然增大，再减小，后保持不变
√
题号
2
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12
13
1
C [由P1＝Fv知，当汽车以功率P1匀速行驶时，F＝Ff，加速度a＝0，若突然减小油门，汽车的功率由P1减小到P2，则F突然减小，整个过程中阻力Ff恒定不变，即减小油门后F＜Ff，所以汽车将减速，由P2＝Fv知，此后保持功率P2不变继续行驶，v减小，F增大，当F＝Ff时，汽车不再减速，而以一较小速度匀速行驶，牵引力不再增大。故选项C正确。]
题号
2
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1
9．汽车在平直公路上以速度v0匀速行驶，发动机功率为P，快进入闹市区时，司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半并保持该功率继续行驶。下面四个图像中，哪个图像正确表示了从司机减小油门开始，汽车的速度与时间的关系( )
√
题号
2
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1
A B
C D
题号
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1
10．放在粗糙水平地面上的物体受到水平拉力的作用，在0～6 s内其速度与时间关系图像和水平拉力的功率与时间关系图像如图甲、乙所示。下列说法正确的是( )
A．0～6 s内物体的位移大小为20 m
B．0～6 s内拉力做功为100 J
C．滑动摩擦力的大小为5 N
D．0～6 s内滑动摩擦力做功为－50 J
√
题号
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1
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1
11．若汽车的质量为2×103 kg(可视为质点)，正以10 m/s的速度向右匀速运动，如图甲所示，汽车前方的水平路段BC较粗糙，汽车通过整个ABC路段的v -t图像如图乙所示(在t＝15 s处水平虚线与曲线相切)，运动过程中汽车发动机的输出功率保持20 kW不变，假设汽车在两个路段上受到的阻力(含地面摩擦力和空气阻力等)各自有恒定的大小。求：
题号
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1
(1)汽车在AB路段上运动时所受阻力Ff1的大小；
(2)汽车刚好开过B点时加速度a的大小。
题号
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1
[答案] (1)2 000 N (2)1 m/s2
12．汽车发动机的额定功率为60 kW，汽车的质量为4 t，当它行驶在坡度为0.02(sin α＝0.02)的长直公路上时，如图所示，所受摩擦阻力为车重的0.1(g＝10 m/s2)。
题号
2
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5
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1
(1)求汽车所能达到的最大速度vm。
(2)若汽车从静止开始以0.6 m/s2的加速度做匀加速直线运动，则此过程能维持多长时间(结果保留三位有效数字)
题号
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[答案] (1)12.5 m/s (2)13.9 s
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1
