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第2课时 实验：探究向心力大小的表达式
第六章 圆周运动
2．向心力
[实验目标] 1．探究向心力大小与质量、半径、角速度的关系。2．学会用控制变量法探究物理规律。
必备知识·自主预习储备
探究重构·关键能力达成
类型一 实验原理与操作
【典例1】 用如图所示的装置可以探究做匀速圆周运动的物体需要的向心力的大小与哪些因素有关。
(1)本实验采用的科学方法是________。
A．控制变量法 B．累积法
C．微元法 D．放大法
(2)图示情境正在探究的是________。
A．向心力的大小与半径的关系
B．向心力的大小与线速度大小的关系
C．向心力的大小与角速度大小的关系
D．向心力的大小与物体质量的关系
A
D
(3)通过本实验可以得到的结论是________。
A．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成正比
B．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与线速度的大小成正比
C．在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比
D．在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成反比
C
[解析] (1)探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系，要采用控制变量法探究。故正确选项为A。
(2)实验中，两小球的种类不同，故是保持两小球的转动半径、转动的角速度相同，探究向心力的大小跟物体质量的定量关系。故正确选项为D。
(3)两小球的转动半径、转动的角速度相同，探究向心力的大小跟物体质量成正比。故正确选项为C。
类型二 数据处理和误差分析
【典例2】 如图所示是探究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系的实验装置图，转动手柄1，可使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动。皮带分别套在塔轮2和3上的不同圆盘上，可使两个槽内的小球6、7分别以不同的角速度做匀速圆周运动。小球做圆周运动的向心力由横臂8的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过横臂8的杠杆作用使弹簧测力套筒9下降，从而露出标尺10，标尺10上露出的红白相间的等分格显示出两个球所受向心力的比值。那么：
(1)现将两小球分别放在两边的槽内，为了探究小球受到的向心力大小和角速度的关系，下列说法正确的是________。
A．在小球运动半径相等的情况下，用质量相同的小球做实验
B．在小球运动半径相等的情况下，用质量不同的小球做实验
C．在小球运动半径不等的情况下，用质量不同的小球做实验
D．在小球运动半径不等的情况下，用质量相同的小球做实验
(2)在该实验中应用了______________(选填“理想实验法”“控制变量法”或“等效替代法”)来探究向心力的大小与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。
A
控制变量法
(3)当用两个质量相等的小球做实验，且左边小球的轨道半径为右边小球的2倍时，转动时发现右边标尺上露出的红白相间的等分格数为左边的2倍，那么，左边塔轮与右边塔轮之间的角速度之比为________，左边塔轮与右边塔轮的半径之比为________。
1∶2
2∶1
[解析] (1)本实验探究小球受到的向心力大小和角速度、小球运动半径和小球质量之间的关系，需采用控制变量法，当探究小球受到的向心力大小和角速度的关系时，需保持小球运动半径和小球质量不变，即在小球运动半径相等的情况下，用质量相同的小球做实验。故选A。
(2)由(1)分析可知，在该实验中应用了控制变量法。
类型三 创新实验设计
【典例3】 某兴趣小组用如图甲所示的装置与传感器结合，探究向心力大小的影响因素。实验时用手拨动旋臂使其做圆周运动，力传感器和光电门固定在实验器材上，测量角速度和向心力。
(1)电脑通过光电门测量挡光杆通过光电门的时间，并由挡光杆的宽度d、挡光杆通过光电门的时间Δt、挡光杆做圆周运动的半径r，自动计算出砝码做圆周运动的角速度，则计算其角速度的表达式为________。
(2)图乙中取①②两条曲线为相同半径、不同质量下向心力与角速度的关系图线，由图可知，曲线①对应
的砝码质量________(选填“大于”或“小于”)曲线②对应的砝码质量。
小于
应用迁移·随堂评估自测
1．用如图所示的装置可以探究做匀速圆周运动的物体需要的向心力的大小与哪些因素有关。
2
4
3
题号
1
5
(1)本实验采用的科学方法是________。
A．控制变量法 B．累积法
C．微元法 D．放大法
A
(2)通过本实验可以得到的结果是________。
A．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成正比
B．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与线速度的大小成正比
C．在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比
D．在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成反比
2
4
3
题号
1
5
C
(3)如图所示，在验证向心力公式的实验中，质量相同的钢球①②分别放在A盘和B盘的边缘，A、B两盘的半径之比为2∶1，a、b分别是与A盘、B盘同轴的轮，a轮、b轮半径之比为1∶2，当a、b两轮在同一皮带带动下匀速转动时，钢球①、②受到的向心力之比为________。
A．2∶1 B．4∶1
C．1∶4 D．8∶1
2
4
3
题号
1
5
D
2
4
3
题号
1
5
2
4
3
题号
1
5
2．一同学通过图甲所示的装置探究物体做圆周运动的向心力与质量、轨道半径及线速度的关系。滑块套在光滑水平杆上，随杆一起绕竖直杆做匀速圆周运动，力传感器通过一细绳连接滑块，用来测量向心力的大小F。滑块上固定一遮光片，与固定在铁架台上的光电门可测量滑块的线速度v。该同学先保持滑块质量和半径不变，来探究向心力大小与线速度大小的关系。
2
4
3
题号
1
5
(1)该同学采用的实验方法主要是________(填正确答案标号)。
A．理想模型法 B．控制变量法 C．等效替代法
(2)该同学通过改变转速测量多组数据，记录力传感器示数F，算出对应的线速度v及v2的数值，以v2为横轴，F为纵轴，作出F-v2图线，如图乙所示，若滑块运动半径r＝0.2 m，由图线可得滑块的质量m＝________ kg(保留两位有效数字)。
2
4
3
题号
1
5
B
0.13
2
4
3
题号
1
5
3．某同学利用如图所示的向心力演示器定量探究匀速圆周运动所需向心力F与小球质量m、转速n和运动半径r之间的关系。
2
4
3
题号
1
5
(1)为了单独探究向心力跟小球质量的关系，必须用________法。
(2)转动手柄可以使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的球随之做匀速圆周运动。这时我们可以看到弹簧测力筒上露出标尺，通过标尺上红白相间等分格数，即可求得两个球所受的_________________________________。
控制变量
向心力大小之比(或向心力之比)
(3)该同学通过实验得到如下表所示的数据：
2
4
3
题号
1
5
次数 球的质
量m/g 转动半
径r/cm 转速/每秒
几圈n/(r·s-1) 向心力大小F/红格数
1 14.0 15.00 1 2
2 28.0 15.00 1 4
3 14.0 15.00 2 8
4 14.0 30.00 1 4
根据以上数据，可归纳概括出向心力F跟小球质量m之间的关系是：______________________________(文字表述)。
向心力F跟小球质量m成正比
[解析] (1)为了单独探究向心力跟小球质量的关系，需要使转速、小球转动的半径不变，即使用控制变量法。
(2)弹簧测力筒上标尺上红白相间等分格数可以表示向心力的大小，所以通过标尺上红白相间等分格数，即可求得两个球向心力的比值。
(3)通过1、2两次实验可知r、n相同时，向心力F的大小跟小球的质量m成正比。
2
4
3
题号
1
5
4．如图甲是一个研究向心力大小与哪些因素有关的DIS实验装置的示意图，其中沿图中虚线做匀速圆周运动的圆柱体的质量为m，放置在未画出的水平圆盘上，圆周轨道的半径为r，力电传感器测定的是向心力，光电传感器测定的是圆柱体的线速度大小，图乙的三个图像是保持圆柱体质量和圆周运动的半径均不变的条件下，根据实验记录表格数据得到的F-v图像、F-v2图像、F-v3图像。
2
4
3
题号
1
5
v/(m·s-1) 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
F/N 0.88 2.00 F3 5.50 7.90
2
4
3
题号
1
5
2
4
3
题号
1
5
向心力F与线速度的平方v2成正比
3.52
0.10 m
2
4
3
题号
1
5
5．如图所示是“DIS向心力实验器”，当一定质量的砝码随旋转臂一起在水平面内做圆周运动时，所需的向心力可通过牵引杆由力传感器测得；旋转臂另一端的挡光杆每经过光电门一次，通过力传感器和光电门就同时获得一组向心力F和挡光时间Δt的数据。
2
4
3
题号
1
5
(1)本实验应该采用的实验方法为________。
A．理想实验法 B．等效替代法 C．控制变量法
(2)用游标卡尺测得挡光杆的宽度为3.0 mm，某次旋转过程中挡光杆的旋转半径为0.20 m，经过光电门时的挡光时间为1.0×10-3 s，则角速度为________ rad/s。
2
4
3
题号
1
5
C
15
2
4
3
题号
1
5
A
2
4
3
题号
1
5
2
4
3
题号
1
5第2课时 实验：探究向心力大小的表达式
[实验目标] 1．探究向心力大小与质量、半径、角速度的关系。2．学会用控制变量法探究物理规律。
类型一 实验原理与操作
【典例1】 用如图所示的装置可以探究做匀速圆周运动的物体需要的向心力的大小与哪些因素有关。
(1)本实验采用的科学方法是________。
A．控制变量法 B．累积法
C．微元法 D．放大法
(2)图示情境正在探究的是________。
A．向心力的大小与半径的关系
B．向心力的大小与线速度大小的关系
C．向心力的大小与角速度大小的关系
D．向心力的大小与物体质量的关系
(3)通过本实验可以得到的结论是________。
A．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成正比
B．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与线速度的大小成正比
C．在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比
D．在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成反比
[解析] (1)探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系，要采用控制变量法探究。故正确选项为A。
(2)实验中，两小球的种类不同，故是保持两小球的转动半径、转动的角速度相同，探究向心力的大小跟物体质量的定量关系。故正确选项为D。
(3)两小球的转动半径、转动的角速度相同，探究向心力的大小跟物体质量成正比。故正确选项为C。
[答案] (1)A (2)D (3)C
类型二 数据处理和误差分析
【典例2】 如图所示是探究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系的实验装置图，转动手柄1，可使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动。皮带分别套在塔轮2和3上的不同圆盘上，可使两个槽内的小球6、7分别以不同的角速度做匀速圆周运动。小球做圆周运动的向心力由横臂8的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过横臂8的杠杆作用使弹簧测力套筒9下降，从而露出标尺10，标尺10上露出的红白相间的等分格显示出两个球所受向心力的比值。那么：
(1)现将两小球分别放在两边的槽内，为了探究小球受到的向心力大小和角速度的关系，下列说法正确的是________。
A．在小球运动半径相等的情况下，用质量相同的小球做实验
B．在小球运动半径相等的情况下，用质量不同的小球做实验
C．在小球运动半径不等的情况下，用质量不同的小球做实验
D．在小球运动半径不等的情况下，用质量相同的小球做实验
(2)在该实验中应用了________(选填“理想实验法”“控制变量法”或“等效替代法”)来探究向心力的大小与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。
(3)当用两个质量相等的小球做实验，且左边小球的轨道半径为右边小球的2倍时，转动时发现右边标尺上露出的红白相间的等分格数为左边的2倍，那么，左边塔轮与右边塔轮之间的角速度之比为________，左边塔轮与右边塔轮的半径之比为________。
[解析] (1)本实验探究小球受到的向心力大小和角速度、小球运动半径和小球质量之间的关系，需采用控制变量法，当探究小球受到的向心力大小和角速度的关系时，需保持小球运动半径和小球质量不变，即在小球运动半径相等的情况下，用质量相同的小球做实验。故选A。
(2)由(1)分析可知，在该实验中应用了控制变量法。
(3)由公式F＝mω2r可得ω＝
则左边塔轮与右边塔轮之间的角速度之比为
由于左边塔轮与右边塔轮皮带连接，则塔轮边缘的线速度大小相等，由公式v＝ωr可得，左边塔轮与右边塔轮的半径之比为。
[答案] (1)A (2)控制变量法 (3)1∶2 2∶1
类型三 创新实验设计
【典例3】 某兴趣小组用如图甲所示的装置与传感器结合，探究向心力大小的影响因素。实验时用手拨动旋臂使其做圆周运动，力传感器和光电门固定在实验器材上，测量角速度和向心力。
(1)电脑通过光电门测量挡光杆通过光电门的时间，并由挡光杆的宽度d、挡光杆通过光电门的时间Δt、挡光杆做圆周运动的半径r，自动计算出砝码做圆周运动的角速度，则计算其角速度的表达式为________。
(2)图乙中取①②两条曲线为相同半径、不同质量下向心力与角速度的关系图线，由图可知，曲线①对应
的砝码质量________(选填“大于”或“小于”)曲线②对应的砝码质量。
[解析] (1)挡光杆转动的线速度v＝
由ω＝计算得出挡光杆的角速度ω＝
因砝码与挡光杆的角速度相同，故计算砝码角速度的表达式为ω＝。
(2)若保持角速度和半径都不变，由向心力公式F＝mω2r可知，质量大的物体需要的向心力大，所以曲线①对应的砝码质量小于曲线②对应的砝码质量。
[答案] (1) (2)小于
1．用如图所示的装置可以探究做匀速圆周运动的物体需要的向心力的大小与哪些因素有关。
(1)本实验采用的科学方法是________。
A．控制变量法 B．累积法
C．微元法 D．放大法
(2)通过本实验可以得到的结果是________。
A．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成正比
B．在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与线速度的大小成正比
C．在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比
D．在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成反比
(3)如图所示，在验证向心力公式的实验中，质量相同的钢球①②分别放在A盘和B盘的边缘，A、B两盘的半径之比为2∶1，a、b分别是与A盘、B盘同轴的轮，a轮、b轮半径之比为1∶2，当a、b两轮在同一皮带带动下匀速转动时，钢球①、②受到的向心力之比为________。
A．2∶1 B．4∶1
C．1∶4 D．8∶1
[解析] (1)本实验采用的科学方法是控制变量法。故选A。
(2)根据向心力公式F＝m＝mω2r，可知在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度平方成正比，故A错误；质量和半径一定的情况下，向心力的大小与线速度的平方成正比，故B错误；在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比，故C正确；在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成正比，故D错误。
(3)皮带传送，边缘上的点线速度大小相等，所以va＝vb，a轮、b轮半径之比为1∶2，根据v＝ωr，所以，共轴的点，角速度相等，两个钢球的角速度分别与共轴轮子的角速度相等，则，根据向心力F＝mω2r，可得，故选D。
[答案] (1) A (2) C (3)D
2．一同学通过图甲所示的装置探究物体做圆周运动的向心力与质量、轨道半径及线速度的关系。滑块套在光滑水平杆上，随杆一起绕竖直杆做匀速圆周运动，力传感器通过一细绳连接滑块，用来测量向心力的大小F。滑块上固定一遮光片，与固定在铁架台上的光电门可测量滑块的线速度v。该同学先保持滑块质量和半径不变，来探究向心力大小与线速度大小的关系。
(1)该同学采用的实验方法主要是________(填正确答案标号)。
A．理想模型法 B．控制变量法 C．等效替代法
(2)该同学通过改变转速测量多组数据，记录力传感器示数F，算出对应的线速度v及v2的数值，以v2为横轴，F为纵轴，作出F-v2图线，如图乙所示，若滑块运动半径r＝0.2 m，由图线可得滑块的质量m＝________ kg(保留两位有效数字)。
[解析] (1)由题意可知，该实验是先保持小滑块质量和做圆周运动的半径不变，然后去探究向心力和转速的关系，即先控制一些变量，再研究其中两个物理量之间的关系，该研究方法为控制变量法。故选B。
(2)根据F＝m可得F-v2图像的斜率为k＝，可得滑块的质量m＝kr＝×0.2 kg≈0.13 kg。
[答案] (1)B (2)0.13
3．某同学利用如图所示的向心力演示器定量探究匀速圆周运动所需向心力F与小球质量m、转速n和运动半径r之间的关系。
(1)为了单独探究向心力跟小球质量的关系，必须用________法。
(2)转动手柄可以使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的球随之做匀速圆周运动。这时我们可以看到弹簧测力筒上露出标尺，通过标尺上红白相间等分格数，即可求得两个球所受的________。
(3)该同学通过实验得到如下表所示的数据：
次数 球的质 量m/g 转动半 径r/cm 转速/每秒 几圈n/(r·s-1) 向心力大小F/红格数
1 14.0 15.00 1 2
2 28.0 15.00 1 4
3 14.0 15.00 2 8
4 14.0 30.00 1 4
根据以上数据，可归纳概括出向心力F跟小球质量m之间的关系是：________________(文字表述)。
[解析] (1)为了单独探究向心力跟小球质量的关系，需要使转速、小球转动的半径不变，即使用控制变量法。
(2)弹簧测力筒上标尺上红白相间等分格数可以表示向心力的大小，所以通过标尺上红白相间等分格数，即可求得两个球向心力的比值。
(3)通过1、2两次实验可知r、n相同时，向心力F的大小跟小球的质量m成正比。
[答案] (1)控制变量 (2)向心力大小之比(或向心力之比) (3) 向心力F跟小球质量m成正比
4．如图甲是一个研究向心力大小与哪些因素有关的DIS实验装置的示意图，其中沿图中虚线做匀速圆周运动的圆柱体的质量为m，放置在未画出的水平圆盘上，圆周轨道的半径为r，力电传感器测定的是向心力，光电传感器测定的是圆柱体的线速度大小，图乙的三个图像是保持圆柱体质量和圆周运动的半径均不变的条件下，根据实验记录表格数据得到的F-v图像、F-v2图像、F-v3图像。
v/(m·s-1) 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
F/N 0.88 2.00 F3 5.50 7.90
(1)研究图像后可得出：m、r不变时，向心力F和圆柱体线速度大小v的关系是________(用文字表述)。
(2)表格中F3＝________ N。
(3)上述实验中，圆柱体的质量为m＝90 g，若已知向心力公式为F＝m，根据上面的图线可以推算出，本实验中圆柱体圆周运动的半径为________(保留两位有效数字)。
[解析] (1)由题图乙可知，m、r不变时，向心力F与速度的平方v2成正比。
(2)根据F＝m，结合其他组数据可知F＝0.88v2，所以F3＝0.88×22 N＝3.52 N。
(3)根据F＝m及F＝0.88v2，将m＝90 g代入，解得r≈0.10 m。
[答案] (1)向心力F与线速度的平方v2成正比 (2)3.52 (3)0.10 m
5．如图所示是“DIS向心力实验器”，当一定质量的砝码随旋转臂一起在水平面内做圆周运动时，所需的向心力可通过牵引杆由力传感器测得；旋转臂另一端的挡光杆每经过光电门一次，通过力传感器和光电门就同时获得一组向心力F和挡光时间Δt的数据。
(1)本实验应该采用的实验方法为________。
A．理想实验法 B．等效替代法 C．控制变量法
(2)用游标卡尺测得挡光杆的宽度为3.0 mm，某次旋转过程中挡光杆的旋转半径为0.20 m，经过光电门时的挡光时间为1.0×10-3 s，则角速度为________ rad/s。
(3)保持砝码质量和挡光杆的旋转半径不变，以力传感器力F为纵坐标，以________为横坐标，可在坐标纸中描出数据点作一条直线。若在坐标纸中描出数据点作一条如图所示直线，则图线不过坐标原点的原因是________。
A．砝码在旋转臂上受到摩擦力作用
B．砝码在随旋转臂转动时位置发生了变化
C．光电门记录数据存在延迟
[解析] (1)实验中保持砝码的质量和转动半径不变，改变其转速，所以采用的是控制变量法。故选C。
(2)挡光杆的宽度d＝3 mm，在挡光过程的极短时间内，挡光杆的平均线速度为v＝＝3.0 m/s，因为时间极短，可以认为此平均速度大小等于挡光杆的瞬时线速度的大小。挡光杆的旋转半径R＝0.20 m，则其角速度ω＝＝15 rad/s。
(3)由上析分析可知，挡光杆的挡光时间Δt与挡光杆旋转角速度之间的关系为ω＝，砝码与挡光杆具有相同的角速度，设砝码旋转半径为r，根据向心力公式有F＝mω2r＝，所以F与成线性关系，以F为纵坐标，以为横坐标，相关数据点应可拟合得到一条直线。砝码和水平杆之间有摩擦力，开始一段时间，摩擦力提供向心力，当摩擦力达到最大值后，才存在牵引杆的拉力，故A正确；砝码在随旋转臂转动时位置发生了变化，不会出现题图所示的图像，故B错误；光电门记录数据存在延迟，不会出现题图所示的图像，故C错误。
[答案] (1)C (2)15 (3) A
