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第1课时 向心力
第六章 圆周运动
2．向心力
整体感知·自我新知初探
[学习任务] 1．理解向心力的概念及其表达式的确切含义。
2．知道向心力的大小与哪些因素有关，并能用来进行计算。
3．知道在变速圆周运动中，可利用公式求质点在某一点的向心力。
[问题初探] 问题1．什么是向心力？
问题2．向心力表达式有哪些？
问题3．向心力是物体所受的力吗？
[自我感知] 经过你认真的预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系。
探究重构·关键能力达成
1．定义
做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向______，这个指向圆心的力就叫作向心力。
知识点一 向心力
圆心
2．方向
向心力的方向始终沿半径指向______。
3．公式：Fn＝______或者Fn＝_________。
4．效果力
向心力是根据力的__________来命名的，凡是由某个力或者几个力的合力提供物体做匀速圆周运动的力，不管属于哪种性质，都是向心力。
圆心
mω2r
作用效果
光滑桌面上一个小球在细线的牵引下绕桌面上的图钉做匀速圆周运动。
【问题】
(1)分析小球的受力情况？小球做什么样的运动？
(2)小球的向心力来源于哪儿？ 是物体实际受到的力吗？
(3)把细线剪断，小球怎么运动？
提示：(1)小球受重力、支持力、绳的拉力；做匀速圆周运动。
(2)绳子的拉力；向心力不是物体受到的力。
(3)沿切线方向飞出，做匀速直线运动。
2．常见的几个实例分析
实例分析 图例 向心力来源
在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未发生滑动 弹力提供向心力
用细绳拴住小球在光滑的水平面内做匀速圆周运动 绳的拉力(弹力)提供向心力
实例分析 图例 向心力来源
物体随转盘做匀速圆周运动，且物体相对于转盘静止 静摩擦力提供向心力
用细绳拴住小球在竖直平面内做圆周运动，当小球经过最低点时 拉力和重力的合力提供向心力
实例分析 图例 向心力来源
小球在细绳作用下，在水平面内做匀速圆周运动时 绳的拉力的水平分力(或拉力与重力的合力)提供向心力
【微提醒】 匀速圆周运动，合外力提供向心力，合外力方向与线速度方向垂直。
【典例1】 (向心力的来源)如图所示，有一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，小强站在距圆心为r处的P点不动。关于小强的受力，下列说法正确的是( )
A．小强在P点不动，因此不受摩擦力作用
B．小强随圆盘做匀速圆周运动，其重力和
支持力充当向心力
C．小强随圆盘做匀速圆周运动，圆盘对他的摩擦力充当向心力
D．若圆盘的转速变小时，小强在P点受到的摩擦力不变
√
[思路点拨] 本题可按以下思路进行分析：
(1)对小强进行受力分析。
(2)分析向心力由什么力提供。
(3)根据公式，明确向心力与转速的关系。
C [由于小强随圆盘做匀速圆周运动，所以一定需要向心力，且该力一定指向圆心方向，而重力和支持力均在竖直方向上，它们不能充当向心力，因此小强会受到静摩擦力的作用，且静摩擦力充当向心力，选项A、B错误，C正确；由于小强随圆盘转动，半径不变，当圆盘的转速变小时，由F＝m(2πn)2r可知，所需向心力变小，受到的静摩擦力变小，选项D错误。]
【典例2】 (选自鲁科版教材·对向心力的理解)关于向心力的说法，正确的是( )
A．物体由于做匀速圆周运动而产生了一个向心力
B．做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的
C．做圆周运动的物体其向心力一定为其所受的合外力
D．向心力不改变圆周运动物体的速度大小
√
D [向心力只是效果力，物体做匀速圆周运动是因为合力刚好提供所需的向心力，并不是产生了一个向心力，故A错误；做匀速圆周运动的物体其向心力大小不变，方向时刻发生变化，故B错误；做圆周运动的物体其向心力不一定为其所受的合外力，比如变速圆周运动，故C错误；向心力方向总是与线速度方向垂直，向心力不改变圆周运动物体的速度大小，故D正确。]
√
√
【典例4】 (水平方向圆周运动向心力的计算)长度分别为3L和2L的两段轻杆一端各固定一个小球A、B，按如图所示的方式连接在一起。将杆的一端与光滑竖直轴O连接在一起，两杆在同一直线上，整个系统可以在光滑水平面上绕轴O转动。小球A的线速度大小为v，两个小球的质量均为m。求：
(1)小球B的向心加速度大小；
(2)两段轻杆中拉力的大小分别是多少
(其中OA杆拉力大小为F1，AB杆拉力大小为F2)。
【典例5】 (圆锥摆中向心力的计算)有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示。长为L的钢绳一端系着质量为m的座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转动轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ。不计钢绳的重力，重力加速度为g，求：
(1)转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系；
(2)此时钢绳的拉力。
【典例6】 (圆锥摆中向心力的计算)如图所示，已知绳长L＝20 cm，水平杆长L′＝0.1 m，小球质量m＝0.3 kg，整个装置可绕竖直轴转动。(g取10 m/s2)
(1)要使绳子与竖直方向成37°角，该装置必须以多大的角速度转动？(答案可以用根号表示)
(2)此时绳子的张力为多大？
[解析] (1)小球绕竖直轴做圆周运动，其轨道平面在水平面内，轨道半径r＝ L′＋Lsin 37°
规律方法 匀速圆周运动中力学问题的解题步骤
(1)明确研究对象，确定物体在哪个平面内做匀速圆周运动，明确圆心和半径r。
(2)对研究对象进行受力分析，明确向心力是由什么力提供的。
(3)确定v、ω、T、n等物理量中哪些是已知的，选择合适的公式列式求解。
(4)根据F合＝F向列方程，求解。
√
2．如图所示，水平地面上固定一开口向上的圆锥形桶，圆锥形桶高为2R，开口半径为R，桶内中心有一直杆OP。在桶内放置一质量为m的小球(视为质点)，小球停在圆锥形桶靠底部位置。现在给小球一个初速度，让小球绕竖直转轴在水平面内转动起来，用同样的方法缓慢增加小球的线速度，最终小球从桶的
上方以水平速度飞出，已知重力加速度大小
为g，不计摩擦和空气阻力，求：
(1)小球静止时小球对桶壁的压力大小FN；
(2)当小球距离水平地面的高度为R时，小球的角速度大小ω；
(3)小球从桶内飞出后的落地点到O点的距离s。
[解析] (1)对小球受力分析如图所示
1．变速圆周运动的合力
变速圆周运动所受合外力并不严格指向运动轨迹的______。合外力一般产生两个方面的效果：
(1)跟圆周相切的分力Ft，此分力与物体运动的速度在一条直线上，改变物体速度的______。
(2)指向圆心的分力Fn，此分力提供物体做圆周运动所需的________，改变物体速度的______。
知识点二 变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点
圆心
大小
向心力
方向
2．一般的曲线运动
(1)定义：运动轨迹既不是______也不是______的曲线运动，称为一般的曲线运动，如图所示。
(2)处理方法：将曲线分割为许多很短的小段，这样，质点在每一小段的运动都可以看作圆周运动的一部分。
直线
圆周
如图所示，汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N行驶。
【问题】
(1)如果汽车匀速转弯，画出汽车合力方向？
(2)如果汽车减速转弯，画出汽车的合力方向？
(3)如果汽车加速转弯，画出汽车的合力方向？
1．变速圆周运动
(1)受力特点：变速圆周运动中合力不指向圆心，合力F产生改变线速度大小和方向的两个作用效果。
2．一般的曲线运动
曲线轨迹上每一小段看成圆周运动的一部分，在分析其速度大小与合力关系时，可采用圆周运动的分析方法来处理。
(1)合力方向与速度方向夹角为锐角时，合力为动力，速率越来越大。
(2)合力方向与速度方向夹角为钝角时，合力为阻力，速率越来越小。
【微提醒】 不管是匀速圆周运动 还是变速圆周运动，都是非匀变速曲线运动。
【典例7】 (一般的曲线运动向心力的计算)一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图甲所示，曲线上的A点的曲率圆定义：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一个圆，在极限情况下，这个圆就叫作A点的曲率圆，其半径ρ叫作A点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图乙所示。已知重力加速度大小为g，则在其轨迹最高点P处的曲率半径是( )
√
[思路点拨] 物体在轨迹最高点以某一曲率半径做圆周运动的向心力由重力提供，列出表达式进行求解。
√
D [物体做加速曲线运动，合力不为零，A错误；物体做速度大小变化的圆周运动，合力不指向圆心，合力沿半径方向的分力提供向心力，合力沿切线方向的分力使物体速率变大，即除在最低点外，物体的速度方向与合力方向间的夹角为锐角，合力方向与速度方向不垂直，B、C错误，D正确。]
应用迁移·随堂评估自测
1．汽车在一水平公路上转弯时，汽车的运动可视为匀速圆周运动。下列关于汽车转弯时的说法正确的是( )
A．汽车处于平衡状态
B．汽车的向心力由重力和支持力提供
C．汽车的向心力由摩擦力提供
D．汽车的向心力由支持力提供
√
2
4
3
题号
1
C [汽车转弯时做匀速圆周运动，运动状态不断变化，所以不是处于平衡状态，故A错误；汽车在水平面内做匀速圆周运动，重力和支持力都沿竖直方向，不可能提供向心力，所以提供向心力的一定是在水平方向的摩擦力，故B、D错误，C正确。]
2
4
3
题号
1
2．如图所示，一圆盘可绕一通过圆心且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一橡皮块，橡皮块随圆盘一起转动(俯视为逆时针)。某段时间内圆盘转速不断增大，但橡皮块仍相对圆盘静止，在这段时间内，关于橡皮块所受摩擦力Ff的方向的四种表示(俯视图)中，正确的是( )
2
3
题号
1
4
√
A B C D
2
3
题号
1
4
C [因为圆盘转速不断增大，所以橡皮块将随圆盘一起做加速圆周运动，此时摩擦力Ff既要提供指向圆心的向心力，又要提供与运动方向相同的切向力，所以合力方向应该指向轨道内侧且与速度方向成锐角，故C项正确。]
3．(选自沪科版教材)有一种大型游戏器械，它是一个圆筒型大容器，筒壁竖直，悬伫立在高空，可以绕其中心轴线转动。游客进入容器后靠筒壁站立，当圆筒开始转动后，转速增大到一定程度时，地板突然塌落，惊恐的游客却发现自己并没有落下去，这是因为( )
A．游客受到离心力的作用
B．游客处于失重状态
C．游客受到的摩擦力大小等于重力
D．游客随着转速的增大有沿筒壁向上滑动的趋势
2
3
题号
4
1
√
2
3
题号
4
1
C [地板突然塌落时游客受到筒壁的弹力提供向心力，从而使游客与筒壁之间存在摩擦力，游客受到的摩擦力大小等于重力大小，所以游客在竖直方向上合力为零，加速度为零，不处于失重状态，故A、B错误，C正确；无论转速是否增大，在重力作用下，游客都有沿筒壁向下滑动的趋势，故D错误。]
4．(选自粤教版教材)飞行表演队在某次飞行表演时，飞机向上拉升做后空翻动作的一段轨迹可看成一段圆弧(如图)。设飞机做后空翻动作时，在最高点附近做半径r＝160m的圆周运动。如果飞行员质量m＝70 kg，g取10 m/s2。
2
4
3
题号
1
(1)飞机经过最高点P时的速度v＝360 km/h，则这时飞行员对座椅的压力是多大？
(2)若要使飞行员对座椅恰好无作用力，则飞机经过P点的速度应该为多大？
2
4
3
题号
1
2
4
3
题号
1
[答案] (1)3 675 N (2)40 m/s
回归本节知识，完成以下问题：
1．向心力的特点是什么？
提示：向心力的方向始终指向圆心，向心力的作用效果用来改变速度的方向。
2．向心力一定是合外力吗？
提示：不一定，匀速圆周运动的向心力是合外力。
3．向心力的大小和哪些因素有关？
提示：与物体的质量、线速度、角速度、运动半径有关。
课时分层作业（五）
?题组一 对匀速圆周运动向心力的理解
1．物体做匀速圆周运动，则( )
A．必受到恒力作用
B．所受合力必为零
C．必受大小不变的向心力作用
D．属于速度不变的运动
1
题号
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11
12
√
C [物体做匀速圆周运动，合力提供向心力，大小不变，方向改变，故A、B错误，C正确；物体做匀速圆周运动，速度的大小不变，方向改变，不属于速度不变的运动，故D错误。]
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题号
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2．洗衣机脱水时有一件衣物附在竖直筒壁上，
如图所示，则下列说法正确的是( )
A．衣物受到重力、筒壁对它的弹力、摩擦力
及向心力共四个力的作用
B．衣物随筒壁做圆周运动的向心力由筒壁对它的弹力提供
C．筒的转速增大时，筒壁对衣物的摩擦力增大
D．筒的转速增大时，筒壁对衣物的弹力保持不变
√
1
题号
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12
B [衣物受到重力、筒壁对它的弹力、摩擦力共三个力的作用，衣物随筒壁做圆周运动的向心力由筒壁对它的弹力提供，故A错误，B正确；竖直方向根据受力平衡可得f＝mg，水平方向根据牛顿第二定律可得N＝mω2r，筒的转速增大时，即角速度增大，可知筒壁对衣物的摩擦力不变，筒壁对衣物的弹力增大，故C、D错误。]
题号
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1
3．如图所示为高铁经过一转弯处的照片。车厢内甲、乙两名乘客并排坐着，其中甲乘客的座位靠近一侧的车窗。转弯时，下列说法正确的是( )
A．两名乘客的线速度大小相等
B．两名乘客的角速度大小相等
C．两名乘客的向心力大小一定不等
D．高铁速度超过设计速度时会受到离心力的作用
√
题号
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1
B [车厢内甲、乙两名乘客并排坐着，可知两名乘客的角速度大小相等，故B正确；两名乘客做圆周运动的半径不同，根据v＝ωr，F＝mω2r，可知两名乘客的线速度大小不相等，由于不清楚两名乘客的质量关系，所以不能确定向心力大小的关系，故A、C错误；高铁速度超过设计速度时，会有离心现象，但不是受到离心力的作用，是实际受到的力不足以提供所需的向心力的原因，故D错误。]
题号
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1
?题组二 变速圆周运动与一般曲线运动
4．(多选)“S路”曲线行驶是我国驾驶证考试中的一个项目。假设某次考试过程中，有两名体重相等的学员分别坐在驾驶座和副驾驶座上，并且始终与汽车保持相对静止，汽车在弯道上行驶时可视作圆周运动，行驶过程中未发生打滑。如图所示，当汽车在水平“S路”图示位置处减速行驶时( )
A．两名学员具有相同的线速度
B．两名学员具有相同的角速度
C．汽车受到的摩擦力与速度方向相反
D．汽车受到的摩擦力指向弯道内侧偏后的方向
√
题号
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1
√
BD [两名学员绕同一点做圆周运动，则他们的角速度相等，两名学员离圆心的距离不相等，根据v＝rω可知，他们的线速度大小不相等，故A错误，B正确；摩擦力的一部分分力指向轨迹圆心，提供汽车做圆周运动所需的向心力，摩擦力的另一部分分力与速度方向相反，使汽车减速，所以摩擦力方向不与速度方向相反，而是指向弯道内侧偏后的方向，故C错误，D正确。]
题号
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1
5．(2021·浙江6月选考)质量为m的小明坐在秋千上摆动，关于他在最高点时状态的描述，下列说法正确的是( )
A．秋千对小明的作用力小于mg
B．秋千对小明的作用力大于mg
C．小明的速度为零，所受合力为零
D．小明的加速度为零，所受合力为零
√
题号
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?题组三 向心力的计算
6．甲、乙两名滑冰运动员，在某次滑冰表演时，面对面拉着弹簧测力计做匀速圆周运动(不计冰面的摩擦)，如图所示，m甲＝80 kg，m乙＝40 kg，两人相距0.9 m，弹簧测力计的示数为9.2 N。下列判断正确的是( )
A．两人的线速度大小相等，约为40 m/s
B．两人的角速度相同，为6 rad/s
C．两人的运动半径不同，甲为0.3 m，乙为0.6 m
D．两人的运动半径相同，都是0.45 m
√
题号
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题号
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1
7．链球运动员在将链球抛掷出去之前，总要双手抓住链条，加速转动几圈，如图所示，这样可以使链球的速度尽量增大，抛出去后飞行更远，在运动员加速转动的过程中，能发现他手中与链球相连的链条与竖直方向的夹角θ将随链球转速的增大而增大，则以下几个图像中能描述ω与θ的关系的是( )
√
题号
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A B C D
题号
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√
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]
√
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11．如图所示，水平转台上有一个质量m＝1 kg的小物体，离转台中心的距离为r＝0.5 m。求：
(1)若小物体随转台一起转动的线速度大小为1 m/s，物体的角速度；
(2)在第(1)问条件下，物体所受的摩擦力大小；
(3)若小物体与转台之间的最大静摩擦力大小为
4.5 N，小物体与转台间不发生相对滑动时，转
台转动的最大角速度。
题号
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[答案] (1)2 rad/s (2)2 N (3)3 rad/s
12．如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合，转台以一定角速度ω匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°。
已知重力加速度大小为g。
题号
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12．向心力
第1课时 向心力
[学习任务] 1．理解向心力的概念及其表达式的确切含义。
2．知道向心力的大小与哪些因素有关，并能用来进行计算。
3．知道在变速圆周运动中，可利用公式求质点在某一点的向心力。
[问题初探] 问题1．什么是向心力？
问题2．向心力表达式有哪些？
问题3．向心力是物体所受的力吗？
[自我感知] 经过你认真的预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系。
向心力
1．定义
做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心，这个指向圆心的力就叫作向心力。
2．方向
向心力的方向始终沿半径指向圆心。
3．公式：Fn＝mω2r或者Fn＝m。
4．效果力
向心力是根据力的作用效果来命名的，凡是由某个力或者几个力的合力提供物体做匀速圆周运动的力，不管属于哪种性质，都是向心力。
光滑桌面上一个小球在细线的牵引下绕桌面上的图钉做匀速圆周运动。
【问题】
(1)分析小球的受力情况？小球做什么样的运动？
(2)小球的向心力来源于哪儿？ 是物体实际受到的力吗？
(3)把细线剪断，小球怎么运动？
提示：(1)小球受重力、支持力、绳的拉力；做匀速圆周运动。
(2)绳子的拉力；向心力不是物体受到的力。
(3)沿切线方向飞出，做匀速直线运动。
1．向心力的大小及来源
(1)向心力大小：公式Fn＝m＝mω2r＝mωv。
(2)向心力的来源：向心力是根据力的作用效果命名的，它不是物体受到的力，可以由重力、弹力等各种性质的力，或者是几个力的合力、某个力的分力提供。
2．常见的几个实例分析
实例分析 图例 向心力来源
在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未发生滑动 弹力提供向心力
用细绳拴住小球在光滑的水平面内做匀速圆周运动 绳的拉力(弹力)提供向心力
物体随转盘做匀速圆周运动，且物体相对于转盘静止 静摩擦力提供向心力
用细绳拴住小球在竖直平面内做圆周运动，当小球经过最低点时 拉力和重力的合力提供向心力
小球在细绳作用下，在水平面内做匀速圆周运动时 绳的拉力的水平分力(或拉力与重力的合力)提供向心力
【微提醒】 匀速圆周运动，合外力提供向心力，合外力方向与线速度方向垂直。
【典例1】 (向心力的来源)如图所示，有一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，小强站在距圆心为r处的P点不动。关于小强的受力，下列说法正确的是( )
A．小强在P点不动，因此不受摩擦力作用
B．小强随圆盘做匀速圆周运动，其重力和支持力充当向心力
C．小强随圆盘做匀速圆周运动，圆盘对他的摩擦力充当向心力
D．若圆盘的转速变小时，小强在P点受到的摩擦力不变
[思路点拨] 本题可按以下思路进行分析：
(1)对小强进行受力分析。
(2)分析向心力由什么力提供。
(3)根据公式，明确向心力与转速的关系。
C [由于小强随圆盘做匀速圆周运动，所以一定需要向心力，且该力一定指向圆心方向，而重力和支持力均在竖直方向上，它们不能充当向心力，因此小强会受到静摩擦力的作用，且静摩擦力充当向心力，选项A、B错误，C正确；由于小强随圆盘转动，半径不变，当圆盘的转速变小时，由F＝m(2πn)2r可知，所需向心力变小，受到的静摩擦力变小，选项D错误。]
【典例2】 (选自鲁科版教材·对向心力的理解)关于向心力的说法，正确的是( )
A．物体由于做匀速圆周运动而产生了一个向心力
B．做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的
C．做圆周运动的物体其向心力一定为其所受的合外力
D．向心力不改变圆周运动物体的速度大小
D [向心力只是效果力，物体做匀速圆周运动是因为合力刚好提供所需的向心力，并不是产生了一个向心力，故A错误；做匀速圆周运动的物体其向心力大小不变，方向时刻发生变化，故B错误；做圆周运动的物体其向心力不一定为其所受的合外力，比如变速圆周运动，故C错误；向心力方向总是与线速度方向垂直，向心力不改变圆周运动物体的速度大小，故D正确。]
【典例3】 (选自人教版教材·竖直方向圆周运动向心力的计算)(多选)如图所示，长为L的悬线固定在O点，在O点正下方处有一钉子C，把悬线另一端的小球m拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球运动到悬点正下方时悬线碰到钉子，则小球的( )
A．线速度突然增大为原来的2倍
B．角速度突然增大为原来的2倍
C．向心加速度突然增大为原来的2倍
D．悬线拉力突然增大为原来的2倍
BC [悬线与钉子碰撞前后，线的拉力始终与球运动方向垂直，不改变小球线速度大小，故小球的线速度大小不变，故A错误；当半径减小时，由ω＝知半径减小为原来的，ω变大为原来的2倍，故B正确；由a向＝知向心加速度突然增大为原来的2倍，故C正确；在最低点F－mg＝m，故碰到钉子后合力变为原来的2倍，悬线拉力变大，但不是原来的2倍，故D错误。]
【典例4】 (水平方向圆周运动向心力的计算)长度分别为3L和2L的两段轻杆一端各固定一个小球A、B，按如图所示的方式连接在一起。将杆的一端与光滑竖直轴O连接在一起，两杆在同一直线上，整个系统可以在光滑水平面上绕轴O转动。小球A的线速度大小为v，两个小球的质量均为m。求：
(1)小球B的向心加速度大小；
(2)两段轻杆中拉力的大小分别是多少(其中OA杆拉力大小为F1，AB杆拉力大小为F2)。
[解析] (1)小球A和B的角速度相等
ωA＝ωB
对小球A有v＝ωA·3L
小球B的向心加速度大小为aB＝·5L
解得a＝。
(2)对小球B，由牛顿第二定律得F2＝maB
解得F2＝
对小球A，由牛顿第二定律得
F1－F2＝maA
其中aA＝
解得F1＝。
[答案] (1) (2)F1＝ F2＝
【典例5】 (圆锥摆中向心力的计算)有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示。长为L的钢绳一端系着质量为m的座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转动轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ。不计钢绳的重力，重力加速度为g，求：
(1)转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系；
(2)此时钢绳的拉力。
[解析] (1)以座椅为研究对象，作出受力分析图如图所示。
转盘转动的角速度为ω时，钢绳与竖直方向的夹角为θ，则座椅到转轴的距离即座椅做圆周运动的半径R＝r＋L sin θ
根据几何关系可知Fn＝mg tan θ
由向心力的公式有Fn＝mω2R
解得ω＝。
(2)由几何关系知钢绳的拉力为FT＝。
[答案] (1)ω＝ (2)
【典例6】 (圆锥摆中向心力的计算)如图所示，已知绳长L＝20 cm，水平杆长L′＝0.1 m，小球质量m＝0.3 kg，整个装置可绕竖直轴转动。(g取10 m/s2)
(1)要使绳子与竖直方向成37°角，该装置必须以多大的角速度转动？(答案可以用根号表示)
(2)此时绳子的张力为多大？
[解析] (1)小球绕竖直轴做圆周运动，其轨道平面在水平面内，轨道半径r＝ L′＋Lsin 37°
设绳对小球的拉力为F，小球重力为mg，对小球受力分析如图所示。
绳的拉力与重力的合力F合＝mgtan 37°
由合力提供小球做圆周运动的向心力，可得
mg tan 37°＝mω2r
联立解得ω＝ rad/s。
(2)绳子对小球的拉力
F＝＝3.75 N。
[答案] (1) rad/s (2)3.75 N
匀速圆周运动中力学问题的解题步骤
(1)明确研究对象，确定物体在哪个平面内做匀速圆周运动，明确圆心和半径r。
(2)对研究对象进行受力分析，明确向心力是由什么力提供的。
(3)确定v、ω、T、n等物理量中哪些是已知的，选择合适的公式列式求解。
(4)根据F合＝F向列方程，求解。
【教用·备选例题】
1．如图所示，一不可伸长的轻质细绳，一端固定在O点，另一端挂接小球，用手把小球拉离最低点，保持细绳拉直，给小球初速度，第一次小球在甲水平面内做匀速圆周运动，运动过程中细绳与竖直轴线夹角为37°，第二次小球在乙水平面内做匀速圆周运动，运动过程中细绳与竖直轴线夹角为53°，重力加速度为g，小球两次做圆周运动的周期之比等于( )
A． B．
C． D．
D [对运动的小球进行受力分析，其受到重力以及细绳的拉力，小球在这两个力的合力作用下做圆周运动，设细绳与竖直方向的夹角为θ，细绳的长度为L，对小球由牛顿第二定律有mg tan θ＝mL sin θ，整理有T＝2π，由题意可知，第一次夹角为37°，第二次夹角为53°，将角度数据带入，整理有，故选D。]
2．如图所示，水平地面上固定一开口向上的圆锥形桶，圆锥形桶高为2R，开口半径为R，桶内中心有一直杆OP。在桶内放置一质量为m的小球(视为质点)，小球停在圆锥形桶靠底部位置。现在给小球一个初速度，让小球绕竖直转轴在水平面内转动起来，用同样的方法缓慢增加小球的线速度，最终小球从桶的上方以水平速度飞出，已知重力加速度大小为g，不计摩擦和空气阻力，求：
(1)小球静止时小球对桶壁的压力大小FN；
(2)当小球距离水平地面的高度为R时，小球的角速度大小ω；
(3)小球从桶内飞出后的落地点到O点的距离s。
[解析] (1)对小球受力分析如图所示
小球静止时对小球受力分析可知FNsin θ＝mg
由几何关系可知sin θ＝
解得FN＝mg。
(2)当小球距离水平地面的高度为R时，小球的向心力大小Fn＝
由匀速圆周运动规律可知Fn＝mω2r
由几何关系可知r＝，tan θ＝
解得ω＝。
(3)当小球从桶内飞出时，由匀速圆周运动规律可知Fn＝
小球从飞出到落地的时间为t，竖直方向有
2R＝gt2
水平方向有x＝vt
由几何关系可知小球落地点到O点的距离
s＝
解得s＝3R。
[答案] (1)mg (2) (3)3R
变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点
1．变速圆周运动的合力
变速圆周运动所受合外力并不严格指向运动轨迹的圆心。合外力一般产生两个方面的效果：
(1)跟圆周相切的分力Ft，此分力与物体运动的速度在一条直线上，改变物体速度的大小。
(2)指向圆心的分力Fn，此分力提供物体做圆周运动所需的向心力，改变物体速度的方向。
2．一般的曲线运动
(1)定义：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，称为一般的曲线运动，如图所示。
(2)处理方法：将曲线分割为许多很短的小段，这样，质点在每一小段的运动都可以看作圆周运动的一部分。
如图所示，汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N行驶。
【问题】
(1)如果汽车匀速转弯，画出汽车合力方向？
(2)如果汽车减速转弯，画出汽车的合力方向？
(3)如果汽车加速转弯，画出汽车的合力方向？
提示：(1) (2) (3)
1．变速圆周运动
(1)受力特点：变速圆周运动中合力不指向圆心，合力F产生改变线速度大小和方向的两个作用效果。
(2)某一点的向心力仍可用公式Fn＝m＝mω2r求解。
2．一般的曲线运动
曲线轨迹上每一小段看成圆周运动的一部分，在分析其速度大小与合力关系时，可采用圆周运动的分析方法来处理。
(1)合力方向与速度方向夹角为锐角时，合力为动力，速率越来越大。
(2)合力方向与速度方向夹角为钝角时，合力为阻力，速率越来越小。
【微提醒】 不管是匀速圆周运动 还是变速圆周运动，都是非匀变速曲线运动。
【典例7】 (一般的曲线运动向心力的计算)一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图甲所示，曲线上的A点的曲率圆定义：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一个圆，在极限情况下，这个圆就叫作A点的曲率圆，其半径ρ叫作A点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图乙所示。已知重力加速度大小为g，则在其轨迹最高点P处的曲率半径是( )
B．
D．
[思路点拨] 物体在轨迹最高点以某一曲率半径做圆周运动的向心力由重力提供，列出表达式进行求解。
C [斜抛出去的物体同时参与两个方向的运动：水平方向以速度vx＝v0cos α做匀速直线运动，竖直方向以初速度vy＝v0sin α做匀减速直线运动。到最高点时，竖直方向速度减为零，其速度为vP＝v0cos α，且为水平方向。这时重力提供其做圆周运动的向心力，由mg＝m得ρ′＝，所以C正确，A、B、D错误。]
【典例8】 (变速圆周运动合力方向)如图所示，某物体沿光滑圆弧轨道由最高点滑到最低点的过程中，物体的速率逐渐增大，则( )
A．物体的合力为零
B．物体的合力大小不变，方向始终指向圆心O
C．物体的合力就是向心力
D．物体的合力方向始终与其运动方向不垂直(最低点除外)
D [物体做加速曲线运动，合力不为零，A错误；物体做速度大小变化的圆周运动，合力不指向圆心，合力沿半径方向的分力提供向心力，合力沿切线方向的分力使物体速率变大，即除在最低点外，物体的速度方向与合力方向间的夹角为锐角，合力方向与速度方向不垂直，B、C错误，D正确。]
变速圆周运动问题的两点注意
(1)变速圆周运动中，某一点的向心力均可用Fn＝m、Fn＝mrω2公式求解，这些公式虽然是从匀速圆周运动中得出的，但在变速圆周运动中它们仍然适用，只不过应用时要注意Fn、ω、v必须是同一时刻的瞬时值。
(2)曲线运动中，质点在某一点的速度方向是曲线上这一点的切线方向，此点的曲率半径表示曲线在此处的弯曲程度。
1．汽车在一水平公路上转弯时，汽车的运动可视为匀速圆周运动。下列关于汽车转弯时的说法正确的是( )
A．汽车处于平衡状态
B．汽车的向心力由重力和支持力提供
C．汽车的向心力由摩擦力提供
D．汽车的向心力由支持力提供
C [汽车转弯时做匀速圆周运动，运动状态不断变化，所以不是处于平衡状态，故A错误；汽车在水平面内做匀速圆周运动，重力和支持力都沿竖直方向，不可能提供向心力，所以提供向心力的一定是在水平方向的摩擦力，故B、D错误，C正确。]
2．如图所示，一圆盘可绕一通过圆心且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一橡皮块，橡皮块随圆盘一起转动(俯视为逆时针)。某段时间内圆盘转速不断增大，但橡皮块仍相对圆盘静止，在这段时间内，关于橡皮块所受摩擦力Ff的方向的四种表示(俯视图)中，正确的是( )
A B C D
C [因为圆盘转速不断增大，所以橡皮块将随圆盘一起做加速圆周运动，此时摩擦力Ff既要提供指向圆心的向心力，又要提供与运动方向相同的切向力，所以合力方向应该指向轨道内侧且与速度方向成锐角，故C项正确。]
3．(选自沪科版教材)有一种大型游戏器械，它是一个圆筒型大容器，筒壁竖直，悬伫立在高空，可以绕其中心轴线转动。游客进入容器后靠筒壁站立，当圆筒开始转动后，转速增大到一定程度时，地板突然塌落，惊恐的游客却发现自己并没有落下去，这是因为( )
A．游客受到离心力的作用
B．游客处于失重状态
C．游客受到的摩擦力大小等于重力
D．游客随着转速的增大有沿筒壁向上滑动的趋势
C [地板突然塌落时游客受到筒壁的弹力提供向心力，从而使游客与筒壁之间存在摩擦力，游客受到的摩擦力大小等于重力大小，所以游客在竖直方向上合力为零，加速度为零，不处于失重状态，故A、B错误，C正确；无论转速是否增大，在重力作用下，游客都有沿筒壁向下滑动的趋势，故D错误。]
4．(选自粤教版教材)飞行表演队在某次飞行表演时，飞机向上拉升做后空翻动作的一段轨迹可看成一段圆弧(如图)。设飞机做后空翻动作时，在最高点附近做半径r＝160m的圆周运动。如果飞行员质量m＝70 kg，g取10 m/s2。
(1)飞机经过最高点P时的速度v＝360 km/h，则这时飞行员对座椅的压力是多大？
(2)若要使飞行员对座椅恰好无作用力，则飞机经过P点的速度应该为多大？
[解析] (1)飞机经过最高点时，v＝360 km/h＝100 m/s。
对飞行员进行受力分析，飞行员在竖直方向共受到重力mg和座椅的支持力FN，设座椅对人有向下的支持力FN。
由牛顿第二定律得FN＋mg＝m
所以FN＝m－mg＝3 675 N
与假设相符合，由牛顿第三定律得，飞行员对座椅的压力为3 675 N。
(2)飞行员对座椅恰好无作用力，则在最高点只受重力，由牛顿第二定律得mg＝m
所以v＝ m/s＝40 m/s。
[答案] (1)3 675 N (2)40 m/s
回归本节知识，完成以下问题：
1．向心力的特点是什么？
提示：向心力的方向始终指向圆心，向心力的作用效果用来改变速度的方向。
2．向心力一定是合外力吗？
提示：不一定，匀速圆周运动的向心力是合外力。
3．向心力的大小和哪些因素有关？
提示：与物体的质量、线速度、角速度、运动半径有关。
课时分层作业(五)
?题组一 对匀速圆周运动向心力的理解
1．物体做匀速圆周运动，则( )
A．必受到恒力作用
B．所受合力必为零
C．必受大小不变的向心力作用
D．属于速度不变的运动
C [物体做匀速圆周运动，合力提供向心力，大小不变，方向改变，故A、B错误，C正确；物体做匀速圆周运动，速度的大小不变，方向改变，不属于速度不变的运动，故D错误。]
2．洗衣机脱水时有一件衣物附在竖直筒壁上，如图所示，则下列说法正确的是( )
A．衣物受到重力、筒壁对它的弹力、摩擦力及向心力共四个力的作用
B．衣物随筒壁做圆周运动的向心力由筒壁对它的弹力提供
C．筒的转速增大时，筒壁对衣物的摩擦力增大
D．筒的转速增大时，筒壁对衣物的弹力保持不变
B [衣物受到重力、筒壁对它的弹力、摩擦力共三个力的作用，衣物随筒壁做圆周运动的向心力由筒壁对它的弹力提供，故A错误，B正确；竖直方向根据受力平衡可得f＝mg，水平方向根据牛顿第二定律可得N＝mω2r，筒的转速增大时，即角速度增大，可知筒壁对衣物的摩擦力不变，筒壁对衣物的弹力增大，故C、D错误。]
3．如图所示为高铁经过一转弯处的照片。车厢内甲、乙两名乘客并排坐着，其中甲乘客的座位靠近一侧的车窗。转弯时，下列说法正确的是( )
A．两名乘客的线速度大小相等
B．两名乘客的角速度大小相等
C．两名乘客的向心力大小一定不等
D．高铁速度超过设计速度时会受到离心力的作用
B [车厢内甲、乙两名乘客并排坐着，可知两名乘客的角速度大小相等，故B正确；两名乘客做圆周运动的半径不同，根据v＝ωr，F＝mω2r，可知两名乘客的线速度大小不相等，由于不清楚两名乘客的质量关系，所以不能确定向心力大小的关系，故A、C错误；高铁速度超过设计速度时，会有离心现象，但不是受到离心力的作用，是实际受到的力不足以提供所需的向心力的原因，故D错误。]
?题组二 变速圆周运动与一般曲线运动
4．(多选)“S路”曲线行驶是我国驾驶证考试中的一个项目。假设某次考试过程中，有两名体重相等的学员分别坐在驾驶座和副驾驶座上，并且始终与汽车保持相对静止，汽车在弯道上行驶时可视作圆周运动，行驶过程中未发生打滑。如图所示，当汽车在水平“S路”图示位置处减速行驶时( )
A．两名学员具有相同的线速度
B．两名学员具有相同的角速度
C．汽车受到的摩擦力与速度方向相反
D．汽车受到的摩擦力指向弯道内侧偏后的方向
BD [两名学员绕同一点做圆周运动，则他们的角速度相等，两名学员离圆心的距离不相等，根据v＝rω可知，他们的线速度大小不相等，故A错误，B正确；摩擦力的一部分分力指向轨迹圆心，提供汽车做圆周运动所需的向心力，摩擦力的另一部分分力与速度方向相反，使汽车减速，所以摩擦力方向不与速度方向相反，而是指向弯道内侧偏后的方向，故C错误，D正确。]
5．(2021·浙江6月选考)质量为m的小明坐在秋千上摆动，关于他在最高点时状态的描述，下列说法正确的是( )
A．秋千对小明的作用力小于mg
B．秋千对小明的作用力大于mg
C．小明的速度为零，所受合力为零
D．小明的加速度为零，所受合力为零
A [在最高点，小明的速度为0，设秋千的摆长为l，摆到最高点时摆绳与竖直方向的夹角为θ，秋千对小明的作用力为F，则对小明进行受力分析，沿摆绳方向有F－mg cos θ＝m，由于小明的速度为0，则有F＝mg cos θ?题组三 向心力的计算
6．甲、乙两名滑冰运动员，在某次滑冰表演时，面对面拉着弹簧测力计做匀速圆周运动(不计冰面的摩擦)，如图所示，m甲＝80 kg，m乙＝40 kg，两人相距0.9 m，弹簧测力计的示数为9.2 N。下列判断正确的是( )
A．两人的线速度大小相等，约为40 m/s
B．两人的角速度相同，为6 rad/s
C．两人的运动半径不同，甲为0.3 m，乙为0.6 m
D．两人的运动半径相同，都是0.45 m
C [甲、乙两人做匀速圆周运动的角速度相同，向心力大小都等于弹簧测力计的弹力，有m甲ω2r甲＝m乙ω2r乙，即m甲r甲＝m乙r乙，且r甲＋r乙＝0.9 m，m甲＝80 kg，m乙＝40 kg，解得r甲＝0.3 m，r乙＝0.6 m；由于F＝m甲ω2r甲，所以ω＝ rad/s≈0.62 rad/s；线速度v＝ωr，甲、乙的角速度相同，运动半径不相等，则线速度大小不相等。故A、B、D错误，C正确。]
7．链球运动员在将链球抛掷出去之前，总要双手抓住链条，加速转动几圈，如图所示，这样可以使链球的速度尽量增大，抛出去后飞行更远，在运动员加速转动的过程中，能发现他手中与链球相连的链条与竖直方向的夹角θ将随链球转速的增大而增大，则以下几个图像中能描述ω与θ的关系的是( )
A B C D
D [设链条长为L，链球质量为m，链球做圆周运动的向心力是重力mg和拉力F的合力，半径是L sin θ，向心力Fn＝mg tan θ＝mω2(L sin θ)，解得ω2＝，故选项D正确，A、B、C错误。]
8．质量不计的轻质弹性杆P插在桌面上，杆端套有一个质量为m的小球，今使小球沿水平方向做半径为R的匀速圆周运动，角速度为ω，如图所示，重力加速度大小为g，则杆的上端受到的作用力大小为( )
A．mω2R B．
C． D．不能确定
C [小球在重力和杆的作用力下做匀速圆周运动，这两个力的合力充当向心力，指向圆心，如图所示。用力的合成法可得杆的作用力F＝，根据牛顿第三定律，小球对杆的上端的作用力F′＝F，C正确。
]
9．如图所示，滑块M能在水平光滑杆上自由滑动，滑杆连架装在转盘上。滑块M用绳跨过在圆心处的光滑滑轮与另一质量为m的物体相连。当转盘以角速度ω转动时，M离轴距离为r，且恰能保持稳定转动。当转盘转速增至原来的2倍，调整r使之达到新的稳定转动状态，则滑块M( )
A．所需要的向心力变为原来的4倍
B．线速度变为原来的
C．半径r变为原来的
D．M的角速度变为原来的
B [转速增加，再次稳定时，M做圆周运动的向心力仍由绳的拉力提供，仍然等于m的重力，所以向心力不变，A错误；转速增至原来的2倍，则角速度变为原来的2倍，D错误；根据F＝mrω2，向心力不变，则半径r变为原来的，C错误；根据v＝rω，线速度变为原来的，B正确。]
10．旋转木马可以简化为如图所示的模型，a、b两个小球分别用悬线悬于水平杆上的A、B两点，2OA＝AB。装置绕竖直杆稳定匀速旋转后，a、b在同一水平面内做匀速圆周运动，两悬线与竖直方向的夹角分别为α、θ，则α、θ关系满足( )
A．tan θ＝tan α B．tan θ＝3tan α
C．sin θ＝sin α D．sin θ＝3sin α
B [设OA段长为L，OB段长为3L，匀速旋转小球到悬点的高度均为h，由于a、b两球做圆周运动的角速度相同，且都满足mg tan φ＝mω2r，则有，解得tan θ＝3tan α，故选B。]
11．如图所示，水平转台上有一个质量m＝1 kg的小物体，离转台中心的距离为r＝0.5 m。求：
(1)若小物体随转台一起转动的线速度大小为1 m/s，物体的角速度；
(2)在第(1)问条件下，物体所受的摩擦力大小；
(3)若小物体与转台之间的最大静摩擦力大小为4.5 N，小物体与转台间不发生相对滑动时，转台转动的最大角速度。
[解析] (1)已知v＝1 m/s，r＝0.5 m，则由v＝ωr
得ω＝＝2 rad/s。
(2)小物体随转台一起转动，向心力由转台对小物体的静摩擦力提供，由牛顿第二定律得物体所受的摩擦力F静＝Fn＝m＝2 N。
(3)当小物体所受静摩擦力最大时，角速度最大，有
Fm＝r，得ωm＝＝3 rad/s。
[答案] (1)2 rad/s (2)2 N (3)3 rad/s
12．如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合，转台以一定角速度ω匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°。已知重力加速度大小为g。
(1)若小物块受到的摩擦力恰好为零，求此时的角速度ω0。
(2)若陶罐以角速度ω＝转动，小物块仍相对陶罐静止，求小物块此时所受的摩擦力的大小及方向。
[解析] (1)当小物块受到的摩擦力为零时，由支持力和重力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律可得mg tan θ＝R sin θ
解得ω0＝。
(2)陶罐以角速度ω＝转动时，ω<ω0，小物块受力如图所示。
竖直方向，根据受力平衡可得
N cos θ＋f sin θ＝mg
水平方向，由牛顿第二定律得
N sin θ－f cos θ＝mω2R sin θ
联立解得f＝mg
方向沿罐壁切线向上与水平方向夹角为60°。
[答案] (1) (2)mg，方向沿罐壁切线向上与水平方向夹角为60°
