(共59张PPT)
3．向心加速度
第六章 圆周运动
整体感知·自我新知初探
[学习任务] 1．理解向心加速度的概念，知道向心加速度的大小和方向。
2．知道向心加速度和线速度、角速度的关系式，并能进行相关计算。
3．能够运用向心加速度公式求解有关问题。
[问题初探] 问题1．向心加速度定义是什么？
问题2．向心加速度方向指向哪里？
问题3．向心加速度的表达式有哪些？
[自我感知] 经过你认真的预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系。
探究重构·关键能力达成
1．向心加速度定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向______，我们把它叫作向心加速度。
2．向心加速度方向：总沿半径指向______，并且与线速度方向______。
3．向心加速度的物理意义：描述线速度方向改变快慢的物理量。
知识点一 匀速圆周运动的加速度方向
圆心
圆心
垂直
如图所示为游乐设施旋转飞车的示意图，旋转飞车的运动可以看作匀速圆周运动。
【问题】
(1)飞车做匀速圆周运动时，飞车受几个力？合力的方向如何？
(2)合力产生的加速度就是向心加速度吗？
(3)飞车加速旋转过程中，合力产生的加速度就是向心加速度吗？
(4)圆周运动的加速度方向一定指向圆心吗？
提示：(1)在匀速圆周运动中，飞车受两个力，重力和绳子的拉力，合力指向做圆周运动的圆心。
(2)合力产生的加速度就是向心加速度，加速度方向一定指向圆心。
(3)飞车加速旋转过程中，合力产生的加速度不是向心加速度。
(4)匀速圆周运动的加速度方向一定指向圆心，非匀速圆周运动的加速度方向不指向圆心。
1．向心加速度的物理意义
向心加速度只表示线速度方向变化的快慢，不表示线速度大小变化的快慢。
2．向心加速度方向特点
(1)指向圆心：无论匀速圆周运动，还是变速圆周运动，向心加速度的方向都指向圆心，或者说与线速度的方向垂直。
(2)时刻改变：无论向心加速度的大小是否变化，向心加速度的方向随线速度方向的改变而改变，所以一切圆周运动都是变加速曲线运动。
3．非匀速圆周运动的加速度
对于非匀速圆周运动，如图所示。
(1)物体加速度的方向不再指向圆心。
(2)其中一个分加速度的方向指向圆心，为向心加速度，其作用仍然是改变速度的方向。
(3)另一个分加速度改变速度的大小。
【微提醒】 匀速圆周运动中“不变量”是角速度、周期、线速度大小、向心加速度大小；“变化量”是线速度和加速度的方向。
√
【典例2】 (对向心加速度的理解)下列关于向心加速度的说法正确的是( )
A．向心加速度的方向始终指向圆心
B．向心加速度的方向保持不变
C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化
√
A [向心加速度的方向时刻指向圆心，不断变化，A正确，B错误；在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不变，方向时刻指向圆心，C、D错误。]
知识点二 匀速圆周运动的加速度大小
ω2r
如图所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的半径不一样，RC＞RA＞RB。A、B、C是它们边缘上的三个点，请思考：
【问题】
(1)哪两个点的向心加速度与半径成正比？
(2)哪两个点的向心加速度与半径成反比？
(3)如何比较A点和C点的向心加速度大小？
提示：(1)B、C两个点同轴转动，它们的角速度相同，向心加速度与半径成正比。
(2)A、B两个点的线速度大小相等，向心加速度与半径成反比。
(3)根据A、B两点线速度大小相等，可知aB＞aA，再根据B、C两点角速度相等，可知aC＞aB，故aC＞aA。
1．向心加速度的几种表达式
2．向心加速度的大小与半径的关系
(1)当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比，随频率的增大或周期的减小而增大。
(2)当角速度一定时，向心加速度的大小与运动半径成正比。
(3)当线速度一定时，向心加速度的大小与运动半径成反比。
(4)an与r的关系图像：如图所示，由
an-r图像可以看出，an与r成正比还是
反比，要看ω恒定还是v恒定。
A．P位置的小水珠速度方向沿a方向
B．P、Q两位置，杯子的向心加速度相同
C．杯子在旋转时的线速度大小约为6π m/s
D．杯子在旋转时的向心加速度大小约为9π2 m/s2
√
【典例4】 (选自教科版教材·加速度a的大小随半径r变化)(多选)如图所示为A、B两物体做匀速圆周运动的向心加速度a的大小随半径r变化的图像，其中A为反比例函数图像的一个分支，由图可知
( )
A．A物体运动的线速度大小不变
B．A物体运动的角速度不变
C．B物体运动的角速度不变
D．B物体运动的线速度大小不变
√
√
【典例5】 (向心加速度的计算)甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为9∶4，转动周期之比为3∶4，则它们的向心加速度大小之比为( )
A．1∶4 B．4∶1
C．4∶9 D．9∶4
√
[答案] 4 m/s2 24 m/s2
√
应用迁移·随堂评估自测
1．关于向心加速度，下列说法正确的是( )
A．向心加速度是描述物体速率变化快慢的物理量
B．匀速圆周运动的向心加速度恒定不变
C．向心加速度是描述物体运动方向变化快慢的物理量
D．向心加速度随着轨道半径的增大而减小
√
2
4
3
题号
1
C [向心加速度与速度垂直，是描述物体运动方向变化快慢的物理量，故A错误，C正确；匀速圆周运动的向心加速度大小不变、方向时刻改变，故B错误；根据an＝ω2r可知，角速度一定时，轨道半径越大，向心加速度越大，故D错误。]
2
4
3
题号
1
2
3
题号
1
4
√
3．如图所示，半径为R的圆盘绕过圆心的竖直轴OO′匀速转动，在距轴为r处有一竖直杆，杆上用长为L的细线悬挂一小球。当圆盘以角速度ω匀速转动时，小球也以同样的角速度做匀速圆周运动，这时细线与竖直方向的夹角为θ，则小球的向心加速度大小为
( )
A．ω2R
B．ω2r
C．ω2L sin θ
D．ω2(r＋L sin θ)
2
3
题号
4
1
√
D [小球运动的轨迹是水平面内的圆，如题图中虚线所示，其圆心是水平面与转轴OO′的交点，所以圆周运动的半径为r＋L sin θ，由an＝ω2r，可知其向心加速度大小为 ω2(r＋L sin θ)，选项D正确。]
2
3
题号
4
1
4．A、B两小球都在水平面上做匀速圆周运动，A球的轨道半径是B球轨道半径的2倍，A的转速为30 r/min，B的转速为15 r/min。则两球的向心加速度之比为( )
A．1∶1 B．2∶1
C．4∶1 D．8∶1
2
4
3
题号
1
√
回归本节知识，完成以下问题：
1．圆周运动的加速度一定指向圆心吗？
提示：不一定，只有匀速圆周运动的加速度才指向圆心。
2．向心加速度的物理意义是什么？
提示：反映线速度方向变化快慢。
3．向心加速度表达式有哪些？
阅读材料·拓宽物理视野
旋转的足球——香蕉球
某足球运动员踢出的足球在行进中绕过“人墙”转弯进入球门，其轨迹如图甲所示，这就是所谓的“香蕉球”。运动员踢出足球时，一方面使它向前运动，另一方面又使它绕轴旋转。设旋转方向和前进方向如图乙(a)所示，若自上向下看，如图乙(b)，由于足球的自转，足球表面附近有一层空气被足球带动做同一旋向的转动，造成足球A、B两侧附近空气相对于足球的速度不相等，A侧附近空气的流速
大于B侧附近空气的流速。根据流体的速度与压强的关系可知，空气对足球 B 侧的压强大于对A侧的压强，从而使足球的 A、B 两侧形成一个压力差，其合力F的方向由 B 指向 A，正是这个压力差，使足球偏离了原来的运动方向，在空中划出一条形如香蕉的轨迹。
问题
(1)图乙(a)中的a、b两点相同的物理量是什么？
(2)a、b两点的向心加速度哪个大？
提示：(1)相同的角速度。(2)b点向心加速度大。
课时分层作业（六）
?题组一 对向心加速度的理解
1．(多选)在圆周运动中，下列说法正确的是( )
A．做匀速圆周运动的物体，任意相同的时间内路程相同
B．做匀速圆周运动的物体，任意相同的时间内位移相同
C．做圆周运动的物体，所受的合力一定时刻指向圆心
D．做圆周运动的物体，其向心力一定指向圆心
1
题号
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√
√
AD [做匀速圆周运动的物体瞬时速度大小不变，所以任意相同的时间内路程相同，故A正确；匀速圆周运动是任意相同的时间内位移大小相等，但是方向不同的曲线运动，故B错误；做匀速圆周运动的物体，所受合力一定时刻指向圆心，但是非匀速圆周运动的合力不指向圆心，故C错误；向心力是指向圆心的那部分改变速度方向的合力，无论是不是匀速圆周运动，其向心力总指向圆心，非匀速圆周运动还会有一部分合力沿切线方向，改变速度的大小，故D正确。]
1
题号
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2．如图所示，物体以恒定的速率沿圆弧做曲线运动，下列对其运动分析正确的是( )
A．因为物体的速率恒定不变，做匀变速曲线运动
B．该物体受的合力一定不等于零
C．该物体受的合力可能等于零
D．物体的加速度方向与速度方向有可能在同一直线上
√
1
题号
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B [虽然物体的速率恒定不变，但加速度方向不断变化，即加速度不是恒定的，则物体不是做匀变速曲线运动，选项A错误；该物体做匀速圆周运动，则受的合力一定不等于零，选项B正确，C错误；物体做曲线运动，则它的加速度方向与速度方向不可能在同一直线上，选项D错误。]
题号
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1
3．(多选)如图所示，细绳的一端固定，另一端系一小球，让小球在水平面内做圆周运动，关于小球运动到P点时的加速度方向，下列图中可能的是( )
√
题号
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1
A B C D
√
BD [若小球做匀速圆周运动，则合力提供向心力，加速度指向圆心，故B项正确；若小球做变速圆周运动，运动到P点时，所受的合力可分解为向心力和沿切线方向的分力，即P点的加速度可分解为沿PO方向的向心加速度和垂直于PO的切向加速度，故D项正确。]
题号
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1
?题组二 向心加速度的表达式及应用
4．“旋转纽扣”是一种传统游戏。如图所示，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达
50 r/s，此时纽扣上距离中心1 cm 处的点向心加速度大小约为( )
A．10 m/s2 B．100 m/s2
C．1 000 m/s2 D．10 000 m/s2
√
题号
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1
C [向心加速度的公式an＝ω2r，结合角速度与转速的关系ω＝2πn，代入数据可得an约为1 000m/s2，C正确。]
5．(多选)冰上芭蕾舞表演中，演员展开双臂单脚点地做着优美的旋转动作，在他将双臂逐渐放下的过程中，他转动的速度会逐渐变快，则他肩上某点随之转动的( )
A．周期变大 B．线速度变大
C．角速度变大 D．向心加速度变大
√
题号
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1
√
√
6．如图所示为自行车皮带传动装置，主动轮O1上两轮的半径分别为3r和r，从动轮O2的半径为2r，A、B、C分别为轮缘上的三点，设皮带不打滑，A、B、C三点( )
√
题号
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1
A．线速度之比vA∶vB∶vC＝3∶2∶2
B．加速度之比aA∶aB∶aC＝6∶2∶1
C．角速度之比ωA∶ωB∶ωC＝1∶1∶2
D．周期之比TA∶TB∶TC＝2∶1∶1
题号
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√
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1
9．如图甲所示，修正带是通过两个齿轮的相互啮合进行工作的，其原理可简化为图乙中所示的模型。A、B是转动的大、小齿轮边缘的两点，C是大轮上的一点。若大轮半径是小轮的两倍，C为大轮半径的中点，则A、B、C三点( )
A．线速度之比是1∶1∶2
B．角速度之比是1∶2∶2
C．向心加速度之比是4∶2∶1
D．转动周期之比是2∶1∶1
√
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11．(多选)由于高度限制，车库出入口采用图所示的曲杆道闸，道闸由转动杆OP与横杆PQ链接而成，P、Q为横杆的两个端点。在道闸抬起过程中，杆PQ始终保持水平。杆OP绕O点从与水平方向夹角为30°匀速转动到60°的过程中，下列说法正确的是( )
A．P点的线速度大小不变
B．P点的加速度方向不变
C．Q点的运动轨迹是圆
D．Q点在水平方向做匀速运动
√
题号
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√
AC [P点绕O点匀速转动，可知 P点的线速度大小不变，选项A正确；P点绕O点做匀速圆周运动，则加速度方向指向O点，不断变化，选项B错误；因P点做圆周运动，Q点相对P点静止，可知Q点的运动轨迹是圆，选项C正确；因P点做匀速圆周运动，杆OP绕O点从与水平方向夹角为30°匀速转动到60°的过程中，P点的水平速度增加，则Q点的水平速度也增加，则Q点在水平方向不是匀速运动，选项D错误。]
题号
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13．向心加速度
[学习任务] 1．理解向心加速度的概念，知道向心加速度的大小和方向。
2．知道向心加速度和线速度、角速度的关系式，并能进行相关计算。
3．能够运用向心加速度公式求解有关问题。
[问题初探] 问题1．向心加速度定义是什么？
问题2．向心加速度方向指向哪里？
问题3．向心加速度的表达式有哪些？
[自我感知] 经过你认真的预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系。
匀速圆周运动的加速度方向
1．向心加速度定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，我们把它叫作向心加速度。
2．向心加速度方向：总沿半径指向圆心，并且与线速度方向垂直。
3．向心加速度的物理意义：描述线速度方向改变快慢的物理量。
如图所示为游乐设施旋转飞车的示意图，旋转飞车的运动可以看作匀速圆周运动。
【问题】
(1)飞车做匀速圆周运动时，飞车受几个力？合力的方向如何？
(2)合力产生的加速度就是向心加速度吗？
(3)飞车加速旋转过程中，合力产生的加速度就是向心加速度吗？
(4)圆周运动的加速度方向一定指向圆心吗？
提示：(1)在匀速圆周运动中，飞车受两个力，重力和绳子的拉力，合力指向做圆周运动的圆心。
(2)合力产生的加速度就是向心加速度，加速度方向一定指向圆心。
(3)飞车加速旋转过程中，合力产生的加速度不是向心加速度。
(4)匀速圆周运动的加速度方向一定指向圆心，非匀速圆周运动的加速度方向不指向圆心。
1．向心加速度的物理意义
向心加速度只表示线速度方向变化的快慢，不表示线速度大小变化的快慢。
2．向心加速度方向特点
(1)指向圆心：无论匀速圆周运动，还是变速圆周运动，向心加速度的方向都指向圆心，或者说与线速度的方向垂直。
(2)时刻改变：无论向心加速度的大小是否变化，向心加速度的方向随线速度方向的改变而改变，所以一切圆周运动都是变加速曲线运动。
3．非匀速圆周运动的加速度
对于非匀速圆周运动，如图所示。
(1)物体加速度的方向不再指向圆心。
(2)其中一个分加速度的方向指向圆心，为向心加速度，其作用仍然是改变速度的方向。
(3)另一个分加速度改变速度的大小。
【微提醒】 匀速圆周运动中“不变量”是角速度、周期、线速度大小、向心加速度大小；“变化量”是线速度和加速度的方向。
【典例1】 (对向心加速度的理解)关于向心加速度，下列说法正确的是( )
A．向心加速度是描述线速度大小变化快慢的物理量
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C．向心加速度的大小恒定，方向时刻改变
D．向心加速度是平均加速度，大小可用a＝来计算
B [向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，它是描述线速度方向变化快慢的物理量，A错误，B正确；只有匀速圆周运动的向心加速度大小才恒定，C错误；公式a＝适用于平均加速度的计算，向心加速度是瞬时加速度，D错误。]
【典例2】 (对向心加速度的理解)下列关于向心加速度的说法正确的是( )
A．向心加速度的方向始终指向圆心
B．向心加速度的方向保持不变
C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化
A [向心加速度的方向时刻指向圆心，不断变化，A正确，B错误；在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不变，方向时刻指向圆心，C、D错误。]
匀速圆周运动的加速度大小
1．基本公式：an＝＝ω2r。
2．拓展公式：an＝·r＝ωv。
如图所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的半径不一样，RC＞RA＞RB。A、B、C是它们边缘上的三个点，请思考：
【问题】
(1)哪两个点的向心加速度与半径成正比？
(2)哪两个点的向心加速度与半径成反比？
(3)如何比较A点和C点的向心加速度大小？
提示：(1)B、C两个点同轴转动，它们的角速度相同，向心加速度与半径成正比。
(2)A、B两个点的线速度大小相等，向心加速度与半径成反比。
(3)根据A、B两点线速度大小相等，可知aB＞aA，再根据B、C两点角速度相等，可知aC＞aB，故aC＞aA。
1．向心加速度的几种表达式
2．向心加速度的大小与半径的关系
(1)当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比，随频率的增大或周期的减小而增大。
(2)当角速度一定时，向心加速度的大小与运动半径成正比。
(3)当线速度一定时，向心加速度的大小与运动半径成反比。
(4)an与r的关系图像：如图所示，由an-r图像可以看出，an与r成正比还是反比，要看ω恒定还是v恒定。
【典例3】 (向心加速度公式的应用)在东北严寒的冬天，有一项“泼水成冰”的游戏，具体操作是把一杯滚烫的开水按一定的弧线均匀快速地泼向空中，泼洒出的小水珠和热气被瞬间凝结成冰而形成壮观的场景。如图甲所示是某人玩泼水成冰游戏的精彩瞬间，图乙为其示意图。假设泼水过程中杯子做匀速圆周运动，在0.4 s 内杯子旋转了。下列说法正确的是( )
A．P位置的小水珠速度方向沿a方向
B．P、Q两位置，杯子的向心加速度相同
C．杯子在旋转时的线速度大小约为6π m/s
D．杯子在旋转时的向心加速度大小约为9π2 m/s2
D [根据题图乙水珠做离心运动的方向可知杯子旋转方向为逆时针，故可知P位置的小水珠速度方向沿b方向，A错误；向心加速度方向指向圆心，P、Q两位置，杯子的向心加速度方向不同，B错误；杯子在旋转时的角速度大小为ω＝ rad/s＝3π rad/s，杯子在旋转时的运动半径大约为1 m，故线速度大小约为v＝ωr＝3π m/s，C错误；杯子在旋转时的向心加速度大小约为a＝ω2r＝9π2 m/s2，D正确。]
【典例4】 (选自教科版教材·加速度a的大小随半径r变化)(多选)如图所示为A、B两物体做匀速圆周运动的向心加速度a的大小随半径r变化的图像，其中A为反比例函数图像的一个分支，由图可知( )
A．A物体运动的线速度大小不变
B．A物体运动的角速度不变
C．B物体运动的角速度不变
D．B物体运动的线速度大小不变
AC [由a＝知，做匀速圆周运动的物体线速度大小不变时，加速度与半径成反比，故A正确，B错误；由a＝ω2r知，角速度不变时，加速度与半径成正比，故C正确，D错误。]
【典例5】 (向心加速度的计算)甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，转动半径之比为9∶4，转动周期之比为3∶4，则它们的向心加速度大小之比为( )
A．1∶4 B．4∶1
C．4∶9 D．9∶4
B [设甲、乙两个物体的转动半径分别为r1、r2，周期分别为T1、T2，根据题意，由an＝r得×()2＝，故选B。]
【典例6】 (同轴和皮带传动下加速度的计算)如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无相对滑动，大轮的半径是小轮半径的2倍，大轮上的一点S离转动轴的距离是大轮半径的。当大轮边缘上的P点的向心加速度是12 m/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度大小各为多少？
[解析] P和S在同一轮上，角速度相同，由向心加速度公式an＝ω2r，得
故aS＝aP＝×12 m/s2＝4 m/s2
P和Q为皮带传动的两个轮边缘上的点，线速度大小相等，由向心加速度公式an＝，得
故aQ＝aP＝2×12 m/s2＝24 m/s2。
[答案] 4 m/s2 24 m/s2
向心加速度表达式的应用技巧
(1)角速度相等时，研究an与v的关系用an＝ωv分析比较。
(2)周期相等时，研究an与r的关系用an＝r分析比较。
(3)线速度相等时，研究an与r的关系用an＝分析比较。
(4)线速度相等时，研究an与ω的关系用an＝ωv分析比较。
【教用·备选例题】
如图所示为教室里悬挂的走时准确的时钟，时针、分针和秒针可视为做匀速转动，已知分针的长度是时针长度的1.5倍，关于时钟的时针、分针和秒针转动情况的分析，下列说法正确的是( )
A．时针、分针、秒针三者转动的角速度相等
B．分针端点的线速度是时针端点的线速度的12倍
C．分针端点的向心加速度是时针端点的向心加速度的1.5倍
D．分针与时针相邻两次重合间隔的时间为 小时
D [秒针的周期为T秒＝1 min，分针的周期为T分＝1 h，时针的周期为T时＝12 h，由ω＝可知，周期不同，角速度不同，故A错误；时针的周期为分针的12倍，由ω＝知分针角速度为时针角速度的12倍，根据v＝ωr，且已知分针的长度是时针长度的1.5倍，故分针与时针的端点的线速度之比为v分∶v时＝12×1.5∶1＝18∶1，故B错误；由a＝，可得a分∶a时＝＝216∶1，故C错误；设分针与时针相邻两次重合间隔的时间为t，则有t＝2π，解得t＝ h，故D正确。]
1．关于向心加速度，下列说法正确的是( )
A．向心加速度是描述物体速率变化快慢的物理量
B．匀速圆周运动的向心加速度恒定不变
C．向心加速度是描述物体运动方向变化快慢的物理量
D．向心加速度随着轨道半径的增大而减小
C [向心加速度与速度垂直，是描述物体运动方向变化快慢的物理量，故A错误，C正确；匀速圆周运动的向心加速度大小不变、方向时刻改变，故B错误；根据an＝ω2r可知，角速度一定时，轨道半径越大，向心加速度越大，故D错误。]
2．关于质点做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A．由a＝知a与r成反比
B．由a＝ω2r知a与r成正比
C．由ω＝知ω与r成反比
D．由ω＝2πn知ω与转速n成正比
D [由a＝可知，v一定时，a与r成反比，A错误；由a＝ω2r可知，ω一定时，a与r成正比，B错误；由ω＝可知，v一定时，ω与r成反比，C错误；因为2π是恒量，由ω＝2πn可知，ω与转速n成正比，D正确。]
3．如图所示，半径为R的圆盘绕过圆心的竖直轴OO′匀速转动，在距轴为r处有一竖直杆，杆上用长为L的细线悬挂一小球。当圆盘以角速度ω匀速转动时，小球也以同样的角速度做匀速圆周运动，这时细线与竖直方向的夹角为θ，则小球的向心加速度大小为( )
A．ω2R B．ω2r
C．ω2L sin θ D．ω2(r＋L sin θ)
D [小球运动的轨迹是水平面内的圆，如题图中虚线所示，其圆心是水平面与转轴OO′的交点，所以圆周运动的半径为r＋L sin θ，由an＝ω2r，可知其向心加速度大小为 ω2(r＋L sin θ)，选项D正确。]
4．A、B两小球都在水平面上做匀速圆周运动，A球的轨道半径是B球轨道半径的2倍，A的转速为30 r/min，B的转速为15 r/min。则两球的向心加速度之比为( )
A．1∶1 B．2∶1
C．4∶1 D．8∶1
D [由题意知A、B两小球的角速度之比ωA∶ωB＝nA∶nB＝2∶1，所以两小球的向心加速度之比aA∶aB＝RA:RB＝8∶1，D正确。]
回归本节知识，完成以下问题：
1．圆周运动的加速度一定指向圆心吗？
提示：不一定，只有匀速圆周运动的加速度才指向圆心。
2．向心加速度的物理意义是什么？
提示：反映线速度方向变化快慢。
3．向心加速度表达式有哪些？
提示：an＝＝ω2r＝r＝ωv。
旋转的足球——香蕉球
某足球运动员踢出的足球在行进中绕过“人墙”转弯进入球门，其轨迹如图甲所示，这就是所谓的“香蕉球”。运动员踢出足球时，一方面使它向前运动，另一方面又使它绕轴旋转。设旋转方向和前进方向如图乙(a)所示，若自上向下看，如图乙(b)，由于足球的自转，足球表面附近有一层空气被足球带动做同一旋向的转动，造成足球A、B两侧附近空气相对于足球的速度不相等，A侧附近空气的流速大于B侧附近空气的流速。根据流体的速度与压强的关系可知，空气对足球 B 侧的压强大于对A侧的压强，从而使足球的 A、B 两侧形成一个压力差，其合力F的方向由 B 指向 A，正是这个压力差，使足球偏离了原来的运动方向，在空中划出一条形如香蕉的轨迹。
(1)图乙(a)中的a、b两点相同的物理量是什么？
(2)a、b两点的向心加速度哪个大？
提示：(1)相同的角速度。(2)b点向心加速度大。
课时分层作业(六)
?题组一 对向心加速度的理解
1．(多选)在圆周运动中，下列说法正确的是( )
A．做匀速圆周运动的物体，任意相同的时间内路程相同
B．做匀速圆周运动的物体，任意相同的时间内位移相同
C．做圆周运动的物体，所受的合力一定时刻指向圆心
D．做圆周运动的物体，其向心力一定指向圆心
AD [做匀速圆周运动的物体瞬时速度大小不变，所以任意相同的时间内路程相同，故A正确；匀速圆周运动是任意相同的时间内位移大小相等，但是方向不同的曲线运动，故B错误；做匀速圆周运动的物体，所受合力一定时刻指向圆心，但是非匀速圆周运动的合力不指向圆心，故C错误；向心力是指向圆心的那部分改变速度方向的合力，无论是不是匀速圆周运动，其向心力总指向圆心，非匀速圆周运动还会有一部分合力沿切线方向，改变速度的大小，故D正确。]
2．如图所示，物体以恒定的速率沿圆弧做曲线运动，下列对其运动分析正确的是( )
A．因为物体的速率恒定不变，做匀变速曲线运动
B．该物体受的合力一定不等于零
C．该物体受的合力可能等于零
D．物体的加速度方向与速度方向有可能在同一直线上
B [虽然物体的速率恒定不变，但加速度方向不断变化，即加速度不是恒定的，则物体不是做匀变速曲线运动，选项A错误；该物体做匀速圆周运动，则受的合力一定不等于零，选项B正确，C错误；物体做曲线运动，则它的加速度方向与速度方向不可能在同一直线上，选项D错误。]
3．(多选)如图所示，细绳的一端固定，另一端系一小球，让小球在水平面内做圆周运动，关于小球运动到P点时的加速度方向，下列图中可能的是( )
A B C D
BD [若小球做匀速圆周运动，则合力提供向心力，加速度指向圆心，故B项正确；若小球做变速圆周运动，运动到P点时，所受的合力可分解为向心力和沿切线方向的分力，即P点的加速度可分解为沿PO方向的向心加速度和垂直于PO的切向加速度，故D项正确。]
?题组二 向心加速度的表达式及应用
4．“旋转纽扣”是一种传统游戏。如图所示，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50 r/s，此时纽扣上距离中心1 cm 处的点向心加速度大小约为( )
A．10 m/s2 B．100 m/s2
C．1 000 m/s2 D．10 000 m/s2
C [向心加速度的公式an＝ω2r，结合角速度与转速的关系ω＝2πn，代入数据可得an约为1 000m/s2，C正确。]
5．(多选)冰上芭蕾舞表演中，演员展开双臂单脚点地做着优美的旋转动作，在他将双臂逐渐放下的过程中，他转动的速度会逐渐变快，则他肩上某点随之转动的( )
A．周期变大 B．线速度变大
C．角速度变大 D．向心加速度变大
BCD [演员转动的速度逐渐变快，说明角速度变大，而v＝ωr，an＝ω2r，T＝，随ω的增大，v、an在变大，T将变小，选项A错误，B、C、D正确。]
6．如图所示为自行车皮带传动装置，主动轮O1上两轮的半径分别为3r和r，从动轮O2的半径为2r，A、B、C分别为轮缘上的三点，设皮带不打滑，A、B、C三点( )
A．线速度之比vA∶vB∶vC＝3∶2∶2
B．加速度之比aA∶aB∶aC＝6∶2∶1
C．角速度之比ωA∶ωB∶ωC＝1∶1∶2
D．周期之比TA∶TB∶TC＝2∶1∶1
B [B、C通过皮带传动，则有vB＝vC，A、B同轴转动，则有ωA＝ωB，由于vA＝ωA·3r，vB＝ωBr，vC＝ωC·2r，解得vA∶vB∶vC＝3∶1∶1，ωA∶ωB∶ωC＝2∶2∶1，故A、C错误；由于ωA＝，ωB＝，ωC＝，结合上述有TA∶TB∶TC＝1∶1∶2，故D错误；由于aA＝·3r，aB＝r，aC＝·2r，结合上述解得aA∶aB∶aC＝6∶2∶1，故B正确。]
7．(多选)如图所示，一小物块在外力作用下，以大小为a＝4 m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径R＝1 m，则下列说法正确的是( )
A．小物块运动的角速度为2 rad/s
B．小物块做圆周运动的周期为π s
C．小物块在t＝ s内通过的位移大小为 m
D．小物块在π s内通过的路程为零
AB [因为a＝ω2R，所以小物块运动的角速度为ω＝＝2 rad/s，故A正确；周期T＝＝π s，故B正确；小物块在 s内转过弧度，通过的位移大小为 m，小物块在π s内转过一周，通过的路程为2π m，故C、D错误。]
8．(多选)一小球质量为m，用长为L的悬绳(不可伸长，质量不计)固定于O点，在O点正下方处钉有一颗钉子。如图所示，将悬线沿水平方向拉直无初速度释放后，当悬线碰到钉子后的瞬间，则( )
A．小球的角速度突然增大
B．小球的线速度突然减小到零
C．小球的向心加速度突然增大
D．小球的向心加速度不变
AC [由于悬线与钉子接触时小球在水平方向上不受力，故小球的线速度不会发生突变，由于做圆周运动的半径变为原来的一半，由v＝ωr知，角速度变为原来的2倍，A正确，B错误；由a＝知，小球的向心加速度变为原来的2倍，C正确，D错误。]
9．如图甲所示，修正带是通过两个齿轮的相互啮合进行工作的，其原理可简化为图乙中所示的模型。A、B是转动的大、小齿轮边缘的两点，C是大轮上的一点。若大轮半径是小轮的两倍，C为大轮半径的中点，则A、B、C三点( )
A．线速度之比是1∶1∶2
B．角速度之比是1∶2∶2
C．向心加速度之比是4∶2∶1
D．转动周期之比是2∶1∶1
C [由于是齿轮传动，可知vA＝vB，由于B、C在同一个轮上，因此ωB＝ωC，根据v＝ωr可得vB∶vC＝rB∶rC＝2∶1，因此vA∶vB∶vC＝2∶2∶1，A错误；根据ω＝，可得ωA∶ωB＝rB∶rA＝2∶1，因此ωA∶ωB∶ωC＝2∶1∶1，B错误；根据a＝ω2r＝ωv，因此aA∶aB∶aC＝ωAvA∶ωBvB∶ωCvC＝4∶2∶1，C正确；根据T＝，可得TA∶TB∶TC＝∶∶＝1∶2∶2，D错误。故选C。]
10．在如图所示的装置中，质量分别为m、2m的A、B两个小球(视为质点)穿在光滑杆上并可沿杆滑动，两球之间用一根长为L的细线连接，现让两小球以相同的角速度绕共同的圆心O做匀速圆周运动，下列说法正确的是( )
A．A、B的周期之比为2∶1
B．A、B的向心加速度之比为1∶2
C．A、B的轨道半径之比为1∶2
D．当A、B的角速度为ω，则细线的拉力为
D [两个小球做同轴转动，角速度相等，根据T＝可知周期相等，其比值为1∶1，故A错误；两个小球的向心力均由绳子拉力提供，根据牛顿第二定律a＝，可知A、B的向心加速度之比为2∶1，故
B错误；设A的轨道半径为r1，B的轨道半径为r2，根据分析可得m·ω2r1＝2m·ω2r2＝F，又r1＋r2＝L，联立解得r1∶r2＝2∶1，F＝，故D正确，C错误。]
11．(多选)由于高度限制，车库出入口采用图所示的曲杆道闸，道闸由转动杆OP与横杆PQ链接而成，P、Q为横杆的两个端点。在道闸抬起过程中，杆PQ始终保持水平。杆OP绕O点从与水平方向夹角为30°匀速转动到60°的过程中，下列说法正确的是( )
A．P点的线速度大小不变
B．P点的加速度方向不变
C．Q点的运动轨迹是圆
D．Q点在水平方向做匀速运动
AC [P点绕O点匀速转动，可知 P点的线速度大小不变，选项A正确；P点绕O点做匀速圆周运动，则加速度方向指向O点，不断变化，选项B错误；因P点做圆周运动，Q点相对P点静止，可知Q点的运动轨迹是圆，选项C正确；因P点做匀速圆周运动，杆OP绕O点从与水平方向夹角为30°匀速转动到60°的过程中，P点的水平速度增加，则Q点的水平速度也增加，则Q点在水平方向不是匀速运动，选项D错误。]
