(共78张PPT)
1．圆周运动
第六章 圆周运动
整体感知·自我新知初探
[学习任务] 1．掌握线速度的定义式，知道圆周运动线速度大小、方向的特点，知道什么是匀速圆周运动。
2．掌握角速度的定义式和单位，知道角速度与线速度的关系。
3．知道周期、转速的概念，掌握描述圆周运动的各物理量之间的关系。
[问题初探] 问题1．线速度的定义式？
问题2．角速度的定义式？
问题3．周期与转速怎么定义的？
[自我感知] 经过你认真的预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系。
探究重构·关键能力达成
知识点一 描述圆周运动的物理量及其关系
圆周
切线方向
运动的快慢
(4)匀速圆周运动
①定义：物体沿着圆周运动，并且线速度的大小__________的运动。
②性质：线速度的方向是时刻______的，因此它是一种______运动。
3．角速度
(1)定义：半径转过的______与所用______的比值。
(2)定义式：ω＝__________。
(3)单位：弧度每秒，符号是 ________或 ___________。
(4)物理意义：描述做圆周运动的物体绕圆心____________。
(5)匀速圆周运动的角速度：匀速圆周运动是角速度______的圆周运动。
处处相等
变化
变速
角度
时间
rad/s
rad·s-1
转动的快慢
不变
4．周期
(1)周期：做匀速圆周运动的物体，运动______所用的时间，符号用 ___表示，单位是秒(s)。
(2)转速：物体转动的______与所用时间之比，常用符号n表示，单位为转每秒(r/s)或转每分(r/min)。
5．线速度与角速度的关系
(1)两者关系：在圆周运动中，线速度的大小等于角速度大小与半径的______。
(2)关系式：v＝____。
一周
T
圈数
乘积
ωr
下列几幅图是我们生活中常见的运动。
【问题】
(1)这几幅图中，物体的运动是什么运动？
(2)第4幅图是小闹钟，闹钟有秒针和分针还有时针，哪个走得快？为什么？
(3)如何计算秒针、分针和时针的角速度、线速度？
提示：(1)圆周运动。
(2)秒钟走得快，因为相同时间内转过的角度大。
(3)用转动一圈的角度与时间的比值得角速度，转动一圈的弧长与时间的比值得线速度。
1．描述圆周运动的各物理量之间的关系
【微提醒】 线速度和角速度都是矢量，线速度的方向为轨迹的切线方向，角速度方向高中不作要求。匀速圆周运动线速度大小不变，方向改变，角速度不变。
【典例1】 (选自人教版教材·线速度与角速度之间关系)如图所示，某个走时准确的时钟，分针与时针由转动轴到针尖的长度之比是1.4∶1。分针与时针的角速度大小分别为ω1、ω2，分针针尖与时针针尖的线速度大小分别为v1、v2。下列关系正确的是( )
A．v1>v2 B．v1＝v2
C．ω1＝ω2 D．ω1<ω2
√
√
【教用·备选例题】
1．盾构隧道掘进机，简称盾构机，是一种隧道掘进的专用工程机械，又被称作“工程机械之王”，是城市地铁建设、开山修路、打通隧道的利器。图为我国最新研制的“聚力一号”盾构机的刀盘，其直径达16 m，转速为5 r/min，下列说法正确的是( )
A．刀盘工作时的角速度为10π rad/s
B．刀盘边缘的线速度大小约为4 m/s
C．刀盘旋转的周期为0.2 s
D．刀盘工作时各刀片的线速度均相同
√
√
如图所示为两种传动装置的模型图。
知识点二 常见三种传动方式
【问题聚焦】
(1)甲图为皮带传动装置，A、B两点线速度大小有什么关系？
(2)能否根据A、B两点的线速度分析角速度关系？
(3)乙图为同轴传动装置，试分析C、D两点的角速度及线速度关系。
提示：(1)皮带传动时，在相同的时间内，A、B两点通过的弧长相等，所以两点的线速度大小相等。
(2)能，根据v＝ωr，当v一定时，角速度与半径成反比，半径大的角速度小，故B点角速度大。
(3)同轴传动时，在相同的时间内，C、D两点转过的角度相等，所以这两点的角速度相同，又因为v＝ωr，当ω一定时，线速度与半径成正比，半径大的线速度大，故D点线速度大。
1．三种传动装置
同轴传动 皮带传动 齿轮传动
装
置 A、B两点在同轴的一个圆盘上
两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘的点
两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点(两齿轮的齿数分别为n1、n2)
同轴传动 皮带传动 齿轮传动
特
点 角速度、周期相等 线速度大小相等 线速度大小相等
转动方向 相同 相同 相反
规
律
【微提醒】 齿轮边缘各点线速度大小相等，相同时间内，两轮转过的齿数相等。
【典例3】 (皮带传动)常见的转动传递方式有皮带传动、链条传动、摩擦传动和齿轮传动。如图所示是一种皮带传动装置示意图，A、B两点分别是两轮轮缘上的点，C是O2B连线的中点，大轮与小轮的半径之比为2∶1。若皮带不打滑，试分别求出A、B、C这三个点的线速度、角速度和周期的比例关系。
[思路点拨] 皮带不打滑，所以两轮轮缘上和皮带接触的A、B两点具有大小相等的线速度。又因为B、C在同一个转轮上绕同一轴转动，所以B、C两点具有相同的角速度。
[解析] A、B具有大小相等的线速度，即
vA∶vB＝1∶1
又因为B与C在同一个转轮上，所以B、C具有相同的角速度，即ωB∶ωC＝1∶1
[答案] 见解析
【典例4】 (同轴传动)(多选)如图所示是中国古代玩具饮水鸟的示意图，它的神奇之处是，在鸟的面前放上一杯水，鸟就会俯下身去，把嘴浸到水里，“喝”了一口水后，鸟将绕着O点不停摆动，一会儿它又会俯下身去，再“喝”一口水。P、Q是饮水鸟上两点，且rOP>rOQ，则在摆动过程中( )
A．P点的线速度小于Q点的线速度
B．P点的角速度等于Q点的角速度
C．P点转动的周期大于Q点转动的周期
D．P、Q两点的线速度方向相反
√
√
BD [鸟绕着O点不停摆动，P、Q是饮水鸟上两点，属于同轴转动，根据同轴转动角速度相等知P、Q两点的角速度相等，P、Q两点转动的周期也相同，故B正确，C错误；P、Q两点的角速度相等，P点绕O点转动的半径大，根据v＝ωr知，P点的线速度较大，故A错误；P、Q在O点两端，两点的线速度均与杆垂直，方向相反，故D正确。]
【典例5】 (选自人教版教材·同轴传动和皮带传动)如图所示，A、B两点分别位于大、小轮的边缘上，C点位于大轮半径的中点，大轮的半径是小轮的2倍，它们之间靠摩擦传动，接触面上没有滑动。A、B、C三点的线速度和角速度分别为vA、vB、vC和ωA、ωB、ωC，则下列关系正确的是( )
A．vA＝2vB＝2vC B．vA＝2vB＝vC
C．2ωA＝ωB＝2ωC D．ωA＝2ωB＝ωC
√
规律方法 解决传动问题的两个关键点
(1)绕同一轴转动的各点角速度ω、转速n和周期T相等，而各点的线速度v与半径r成正比。
(2)在皮带不打滑的情况下，和皮带连接的轮子边缘各点线速度的大小相等，不打滑的摩擦传动两轮边缘上各点线速度大小也相等，而角速度ω与半径r成反比。
【教用·备选例题】
无级变速是在变速范围内任意连续地变换速度，性能优于传统的档位变速，很多高档汽车都应用了无级变速。如图所示是截锥式无级变速器的模型示意图，两个锥轮中间有一个滚轮，主动轮、滚轮、从动轮靠着彼此之间的摩擦力带动。当位于主动轮与从动轮之间的滚轮从左向右移动时从动轮转速降低，滚轮从右向左移动时从动轮转速增加。当滚轮位于主动轮直径D1，从动轮直径D2的位置上时，则主动轮的转速n1、从动轮转速n2之间的关系是( )
√
1．问题特点
(1)研究对象：匀速圆周运动的多解问题含有两个做不同运动的物体。
(2)运动特点：一个物体做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动(如平抛运动，匀速直线运动等)。
(3)运动的关系：由于两物体运动的时间相等，根据等时性建立等式求解。
知识点三 圆周运动的周期性和多解问题
2．分析技巧
(1)抓住联系点：明确题中两个物体的运动性质，抓住两运动的联系点。
(2)先特殊后一般：先考虑第一个周期的情况，再根据运动的周期性，考虑多个周期时的规律。
√
√
规律方法 解决圆周运动多解问题的方法
(1)明确两个物体参与运动的性质和求解的问题，两个物体参与的两个运动虽然独立进行，但一定有联系点，其联系点一般是时间或位移等，抓住两运动的联系点是解题关键。
(2)注意圆周运动的周期性造成的多解。分析问题时可暂时不考虑周期性，表示出一个周期的情况，再根据运动的周期性，在转过的角度θ上再加上2nπ，具体n的取值应视情况而定。
应用迁移·随堂评估自测
1．(多选)以下关于匀速圆周运动的说法正确的是( )
A．匀速圆周运动是匀速运动
B．匀速圆周运动是变速运动
C．匀速圆周运动的线速度不变
D．匀速圆周运动的角速度不变
√
2
4
3
题号
1
√
BD [匀速圆周运动的速度方向时刻改变，是一种变速运动，A、C错误，B正确；匀速圆周运动中角速度不变，D正确。]
2
3
题号
1
4
√
3．如图所示为某型号汽车无极变速器工作原理简化图。主动带轮和被动带轮均有若干同轴轮组成，金属带不打滑，车轮与被动带轮一侧的输出轴同轴，甲、乙、丙三图所示为变速器的三个工作挡位，若主动带轮转速恒定不变，车轮与路面之间不打滑，则下列说法正确的是( )
2
3
题号
4
1
√
A．甲图所示挡位，车速最快
B．乙图所示挡位，车速最快
C．丙图所示挡位，车速最快
D．甲、乙、丙三图所示挡位车
速从大到小顺序为甲、丙、乙
2
3
题号
4
1
4．(选自鲁科版教材)如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球，要使小球与圆盘只碰一次，且落点为B，已知重力加速为g。求：
(1)小球的初速度v0大小；
(2)圆盘转动的角速度ω可能的表达式。
2
4
3
题号
1
2
4
3
题号
1
回归本节知识，完成以下问题：
1．描述匀速圆周运动的物理量有哪些？
提示：线速度、角速度、周期、转速。
2．线速度、角速度、周期和半径满足什么关系？
提示：不对，应用控制变量法进行讨论。
课时分层作业（四）
?题组一 圆周运动及其物理量
1．(多选)质点做匀速圆周运动，则( )
A．在任何相等的时间里，质点的位移都相同
B．在任何相等的时间里，质点通过的路程都相等
C．在任何相等的时间里，质点运动的平均速度都相同
D．在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等
1
题号
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√
√
BD [质点做匀速圆周运动，在任意相等的时间内，通过的弧长、连接质点和圆心的半径转过的角度都相等，但位移只是大小相等，方向并不相同，平均速度也只是大小相等，方向并不相同，故B、D正确。]
1
题号
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2．(多选)对于做匀速圆周运动的物体来说，不变的物理量是( )
A．周期 B．速率
C．角速度 D．线速度
√
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ABC [匀速圆周运动中，线速度的大小不变，但方向变化，所以速率不变，线速度是变化的，周期、频率、角速度都是不变的，选项A、B、C正确，D错误。]
√
√
3．一棵大树将要被伐倒的时候，有经验的伐木工人就会双眼紧盯树梢，根据树梢的运动情形判断大树正在朝哪个方向倒下，从而避免被倒下的大树砸伤。从物理知识的角度来解释，以下说法正确的是( )
A．树木开始倒下时，树梢的角速度较大，易于判断
B．树木开始倒下时，树梢的线速度较大，易于判断
C．树木开始倒下时，树梢的周期较大，易于判断
D．伐木工人的经验缺乏科学依据
√
题号
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1
B [树木开始倒下时，以树根部为圆心做圆周运动，角速度较小，由角速度大小不能判断树木倒下的方向，由v＝ωr知，r越大，线速度越大，且线速度有方向性，易判断树木倒下的方向，A、D错误，B正确；树木开始倒下时，树梢的周期较大，周期没有方向，故不能判断树木倒下的方向，C错误。]
题号
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1
4．A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同的时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，则它们( )
A．线速度大小之比为3∶4
B．角速度大小之比为3∶4
C．圆周运动的半径之比为8∶9
D．角速度大小之比为1∶2
√
题号
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6．如图所示，A、B、C三点为奶茶塑封机手压杆上的点，A在杆的顶端，O为杆转动的轴，且AB＝BC＝CO。在杆向下转动的过程中，下列说法正确的是( )
A．A、B两点线速度大小之比为1∶3
B．B、C两点周期之比为1∶1
C．A、B两点角速度之比为3∶2
D．B、C两点的线速度大小之比为1∶2
√
题号
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1
B [因为A、B两点同轴转动，所以A、B两点的角速度是相等的，由v＝rω可知，角速度一定时，线速度大小之比等于运动半径之比，故A、B两点线速度大小之比为3∶2，A、C错误；因为B、C两点同轴转动，所以B、C两点的角速度是相等的，故周期相等，由v＝ωr可知，B、C两点的线速度大小之比为2∶1，B正确，D错误。]
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1
7．如图所示，有一款自行车大齿轮齿数为48，小齿轮齿数为16。将自行车的后轮抬起，转动脚踏板，若链条始终不打滑，小齿轮与后轮同轴转动，当大齿轮转3圈时，后轮转动( )
A．1圈 B．3圈
C．9圈 D．27圈
√
题号
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1
C [大齿轮齿数为48，小齿轮齿数为16，可知大齿轮与小齿轮的半径比为r大∶r小＝48∶16＝3∶1，用同一根链条连接，齿轮边缘的线速度相等，由v＝ωr可知大齿轮与小齿轮的转动角速度比为ω大∶
ω小＝r小∶r大＝1∶3，故当大齿轮转3圈时，小齿轮转动9圈，由于小齿轮与后轮同轴转动，角速度相等，故后轮转动9圈。故选C。]
题号
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?题组三 圆周运动的周期性和多解问题
8．为了测定子弹的飞行速度，在一根水平放置的轴杆上固定两个薄圆盘A、B，盘A、B平行且相距2 m，轴杆的转速为3 600 r/min，子弹穿过两盘留下两弹孔a、b，测得两弹孔所在半径的夹角θ＝30°，如图所示。则该子弹的速度可能是( )
A．360 m/s B．720 m/s
C．1 440 m/s D．108 m/s
√
题号
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9．如图所示，质量为m的B物体放在光滑的水平地面上，在水平力F的作用下由静止开始运动，同时A物体在竖直面内由M点开始做半径为r、角速度为ω的匀速圆周运动。求满足使A、B速度相同的力F的取值。
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10．晚上一同学回家的路上途经一平直的墙面，墙面与他的距离d＝6 m，如图所示，该同学将手电筒在竖直面内以0.3 rad/s的角速度匀速转动，当手电筒的光线与墙面的夹角为37°时，墙面上光斑的移动速度大小为(取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)( )
A．3.75 m/s B．4 m/s
C．5 m/s D．8 m/s
√
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11．如图所示，A、B两个齿轮的齿数分别是z1、z2，各自固定在过O1、O2的轴上。其中过O1的轴与电动机相连接，此轴转速为n1，求：
(1)A、B两齿轮的半径r1、r2之比；
(2)B齿轮的转速n2。
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12．如图所示，将小球以大小v0＝2 m/s的速度，从A点对准竖直放置的圆盘的上边缘B点水平抛出，圆盘绕圆心O以ω＝10 rad/s的角速度匀速转动，一段时间后，小球落到圆盘边缘D点，∠COD＝60°，取重力加速度大小g＝10 m/s2，不计空气阻力。求：
(1)小球从A点运动到D点所用的时间；
(2)小球从A点运动到D点的过程中，圆盘转过
的角度(用弧度表示)；
(3)A、D两点间的距离。
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(1)小球从抛出到离开圆筒所用的时间；
(2)小球离开圆筒时的M点与O点正下方O′的距离是多少。
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11．圆周运动
[学习任务] 1．掌握线速度的定义式，知道圆周运动线速度大小、方向的特点，知道什么是匀速圆周运动。
2．掌握角速度的定义式和单位，知道角速度与线速度的关系。
3．知道周期、转速的概念，掌握描述圆周运动的各物理量之间的关系。
[问题初探] 问题1．线速度的定义式？
问题2．角速度的定义式？
问题3．周期与转速怎么定义的？
[自我感知] 经过你认真的预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系。
描述圆周运动的物理量及其关系
1．圆周运动：我们把轨迹为圆周或一段圆弧的机械运动称为圆周运动。
2．线速度
(1)表达式：v＝。
(2)方向：线速度的方向为物体做圆周运动时该点的切线方向。
(3)物理意义：描述物体做圆周运动时运动的快慢。
(4)匀速圆周运动
①定义：物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等的运动。
②性质：线速度的方向是时刻变化的，因此它是一种变速运动。
3．角速度
(1)定义：半径转过的角度与所用时间的比值。
(2)定义式：ω＝。
(3)单位：弧度每秒，符号是 rad/s或 rad·s-1。
(4)物理意义：描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢。
(5)匀速圆周运动的角速度：匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。
4．周期
(1)周期：做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间，符号用 T表示，单位是秒(s)。
(2)转速：物体转动的圈数与所用时间之比，常用符号n表示，单位为转每秒(r/s)或转每分(r/min)。
5．线速度与角速度的关系
(1)两者关系：在圆周运动中，线速度的大小等于角速度大小与半径的乘积。
(2)关系式：v＝ωr。
下列几幅图是我们生活中常见的运动。
【问题】
(1)这几幅图中，物体的运动是什么运动？
(2)第4幅图是小闹钟，闹钟有秒针和分针还有时针，哪个走得快？为什么？
(3)如何计算秒针、分针和时针的角速度、线速度？
提示：(1)圆周运动。
(2)秒钟走得快，因为相同时间内转过的角度大。
(3)用转动一圈的角度与时间的比值得角速度，转动一圈的弧长与时间的比值得线速度。
1．描述圆周运动的各物理量之间的关系
2．描述圆周运动的各物理量之间关系的分析技巧
(1)角速度、周期、转速之间关系的分析：物体做匀速圆周运动时，由ω＝＝2πn知，角速度、周期、转速三个物理量，只要其中一个物理量确定了，其余两个物理量也唯一确定了。
(2)线速度与角速度之间关系的分析：由v＝ωr知，r一定时，v∝ω；v一定时，ω∝；ω一定时，v∝r。
【微提醒】 线速度和角速度都是矢量，线速度的方向为轨迹的切线方向，角速度方向高中不作要求。匀速圆周运动线速度大小不变，方向改变，角速度不变。
【典例1】 (选自人教版教材·线速度与角速度之间关系)如图所示，某个走时准确的时钟，分针与时针由转动轴到针尖的长度之比是1.4∶1。分针与时针的角速度大小分别为ω1、ω2，分针针尖与时针针尖的线速度大小分别为v1、v2。下列关系正确的是( )
A．v1>v2 B．v1＝v2 C．ω1＝ω2 D．ω1<ω2
A [分针与时针的转动周期之比为，由ω＝可得ω1∶ω2＝12∶1，故ω1>ω2，故C、D错误；由v＝rω可得v1∶v2＝(1.4×12)∶(1×1)＝16.8∶1，故v1>v2，故A正确，B错误。]
【典例2】 (圆周运动的各物理量之间关系)某高中开设了糕点制作的选修课，小明同学在体验糕点制作的“裱花”环节时，如图所示，他在绕中心匀速转动的圆盘上放了一块直径8英寸(20 cm)的蛋糕，在蛋糕边缘上每隔4 s“点”一次奶油，蛋糕随圆盘转一周后均匀“点”上了15次奶油，则下列说法正确的是( )
A．圆盘转动的转速约为2π r/min
B．圆盘转动的角速度大小约为 rad/s
C．蛋糕边缘的奶油的线速度大小约为 m/s
D．圆盘转动的频率约为 Hz
B [由题意可知，圆盘转一周所需的时间为15×4 s＝60 s，因此周期为60 s，转速为1 r/min，A错误；由角速度与周期的关系可得ω＝ rad/s＝ rad/s，B正确；蛋糕边缘的奶油的线速度大小为v＝ωr＝ m/s，C错误；根据周期和频率的关系可得圆盘转动的频率为f＝ Hz，D错误。]
【教用·备选例题】
1．盾构隧道掘进机，简称盾构机，是一种隧道掘进的专用工程机械，又被称作“工程机械之王”，是城市地铁建设、开山修路、打通隧道的利器。图为我国最新研制的“聚力一号”盾构机的刀盘，其直径达16 m，转速为5 r/min，下列说法正确的是( )
A．刀盘工作时的角速度为10π rad/s
B．刀盘边缘的线速度大小约为4 m/s
C．刀盘旋转的周期为0.2 s
D．刀盘工作时各刀片的线速度均相同
B [盾构机的转速为n＝5 r/min＝ r/s，根据角速度与转速的关系有ω＝2πn＝π rad/s，周期为T＝＝12 s，故A、C错误；盾构机的半径为8 m，根据v＝rω可知刀盘边缘的线速度大小约为4 m/s，故B正确；因为各刀片转动是同轴转动，所以各刀片的角速度相等，根据v＝rω可知刀盘工作时各刀片的线速度不相同，故D错误。]
2．水车是我国劳动人民利用水能的一项重要发明。如图为某水车模型，从槽口水平流出的水初速度大小为v0，垂直落在与水平面成30°角的水轮叶面上，落点到轮轴间的距离为R。在水流不断冲击下，轮叶受冲击点的线速度大小接近冲击前瞬间水流速度大小，忽略空气阻力，有关水车及从槽口流出的水，以下说法正确的是( )
A．水流在空中运动时间为t＝
B．水流在空中运动时间为t＝
C．水车最大角速度接近ω＝
D．水车最大角速度接近ω＝
C [水流垂直落在与水平面成30°角的水轮叶面上，根据平抛运动的规律有tan 30°＝，计算得t＝，故A、B错误；水流落在水轮叶面上的速度为v＝＝2v0，而叶轮的速度接近该速度，根据圆周运动公式有ω＝，故C正确，D错误。]
常见三种传动方式
如图所示为两种传动装置的模型图。
【问题聚焦】
(1)甲图为皮带传动装置，A、B两点线速度大小有什么关系？
(2)能否根据A、B两点的线速度分析角速度关系？
(3)乙图为同轴传动装置，试分析C、D两点的角速度及线速度关系。
提示：(1)皮带传动时，在相同的时间内，A、B两点通过的弧长相等，所以两点的线速度大小相等。
(2)能，根据v＝ωr，当v一定时，角速度与半径成反比，半径大的角速度小，故B点角速度大。
(3)同轴传动时，在相同的时间内，C、D两点转过的角度相等，所以这两点的角速度相同，又因为v＝ωr，当ω一定时，线速度与半径成正比，半径大的线速度大，故D点线速度大。
1．三种传动装置
同轴传动 皮带传动 齿轮传动
装 置 A、B两点在同轴的一个圆盘上 两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘的点 两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点(两齿轮的齿数分别为n1、n2)
特 点 角速度、周期相等 线速度大小相等 线速度大小相等
转动方向 相同 相同 相反
规 律 线速度与半径成正比： 角速度与半径成反比： 周期与半径成正比： 角速度与半径成反比： 周期与半径成正比：
2．求解传动问题的思路
(1)分清传动特点：若属于皮带传动或齿轮传动，则轮子边缘各点线速度大小相等；若属于同轴传动，则轮上各点的角速度相等。
(2)确定半径关系：根据装置中各点位置确定半径关系，或根据题意确定半径关系。
(3)择式分析：若线速度大小相等，则根据ω∝分析，若角速度大小相等，则根据v∝r分析。
【微提醒】 齿轮边缘各点线速度大小相等，相同时间内，两轮转过的齿数相等。
【典例3】 (皮带传动)常见的转动传递方式有皮带传动、链条传动、摩擦传动和齿轮传动。如图所示是一种皮带传动装置示意图，A、B两点分别是两轮轮缘上的点，C是O2B连线的中点，大轮与小轮的半径之比为2∶1。若皮带不打滑，试分别求出A、B、C这三个点的线速度、角速度和周期的比例关系。
[思路点拨] 皮带不打滑，所以两轮轮缘上和皮带接触的A、B两点具有大小相等的线速度。又因为B、C在同一个转轮上绕同一轴转动，所以B、C两点具有相同的角速度。
[解析] A、B具有大小相等的线速度，即
vA∶vB＝1∶1
又因为B与C在同一个转轮上，所以B、C具有相同的角速度，即ωB∶ωC＝1∶1
再由v＝rω及rB＝2rC可得vB∶vC＝2∶1
因此vA∶vB∶vC＝2∶2∶1
由rB＝2rA及ω＝可得ωA∶ωB＝2∶1
因此ωA∶ωB∶ωC＝2∶1∶1
由T＝可得TA∶TB∶TC＝1∶2∶2。
[答案] 见解析
【典例4】 (同轴传动)(多选)如图所示是中国古代玩具饮水鸟的示意图，它的神奇之处是，在鸟的面前放上一杯水，鸟就会俯下身去，把嘴浸到水里，“喝”了一口水后，鸟将绕着O点不停摆动，一会儿它又会俯下身去，再“喝”一口水。P、Q是饮水鸟上两点，且rOP>rOQ，则在摆动过程中( )
A．P点的线速度小于Q点的线速度
B．P点的角速度等于Q点的角速度
C．P点转动的周期大于Q点转动的周期
D．P、Q两点的线速度方向相反
BD [鸟绕着O点不停摆动，P、Q是饮水鸟上两点，属于同轴转动，根据同轴转动角速度相等知P、Q两点的角速度相等，P、Q两点转动的周期也相同，故B正确，C错误；P、Q两点的角速度相等，P点绕O点转动的半径大，根据v＝ωr知，P点的线速度较大，故A错误；P、Q在O点两端，两点的线速度均与杆垂直，方向相反，故D正确。]
【典例5】 (选自人教版教材·同轴传动和皮带传动)如图所示，A、B两点分别位于大、小轮的边缘上，C点位于大轮半径的中点，大轮的半径是小轮的2倍，它们之间靠摩擦传动，接触面上没有滑动。A、B、C三点的线速度和角速度分别为vA、vB、vC和ωA、ωB、ωC，则下列关系正确的是( )
A．vA＝2vB＝2vC B．vA＝2vB＝vC
C．2ωA＝ωB＝2ωC D．ωA＝2ωB＝ωC
C [由题意可知A、B两点线速度大小相同，A、C两点角速度相同，由于A点的半径是C点半径的2倍，根据v＝ωr可知vA＝2vC，综上得vA＝vB＝2vC，故A、B错误；由于A点的半径是B点半径的2倍，根据ω＝可知ωB＝2ωA，A、C两点角速度相同，综上可得2ωA＝ωB＝2ωC，故C正确，D错误。]
解决传动问题的两个关键点
(1)绕同一轴转动的各点角速度ω、转速n和周期T相等，而各点的线速度v与半径r成正比。
(2)在皮带不打滑的情况下，和皮带连接的轮子边缘各点线速度的大小相等，不打滑的摩擦传动两轮边缘上各点线速度大小也相等，而角速度ω与半径r成反比。
【教用·备选例题】
无级变速是在变速范围内任意连续地变换速度，性能优于传统的档位变速，很多高档汽车都应用了无级变速。如图所示是截锥式无级变速器的模型示意图，两个锥轮中间有一个滚轮，主动轮、滚轮、从动轮靠着彼此之间的摩擦力带动。当位于主动轮与从动轮之间的滚轮从左向右移动时从动轮转速降低，滚轮从右向左移动时从动轮转速增加。当滚轮位于主动轮直径D1，从动轮直径D2的位置上时，则主动轮的转速n1、从动轮转速n2之间的关系是( )
A．n2＝ B．n2＝
C．n2＝n1 D．n2＝n1
B [由两轮线速度相等知2πn1＝2πn2，得n2＝，故选项B正确，A、C、D错误。]
圆周运动的周期性和多解问题
1．问题特点
(1)研究对象：匀速圆周运动的多解问题含有两个做不同运动的物体。
(2)运动特点：一个物体做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动(如平抛运动，匀速直线运动等)。
(3)运动的关系：由于两物体运动的时间相等，根据等时性建立等式求解。
2．分析技巧
(1)抓住联系点：明确题中两个物体的运动性质，抓住两运动的联系点。
(2)先特殊后一般：先考虑第一个周期的情况，再根据运动的周期性，考虑多个周期时的规律。
【典例6】 (平抛与圆周运动结合)如图所示，一位同学做飞镖游戏，已知圆盘的直径为d，飞镖距圆盘L，且对准圆盘上边缘的A点水平抛出，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘绕垂直圆盘过盘心O的水平轴匀速转动，角速度为ω。若飞镖恰好击中A点，则下列关系式正确的是( )
＝L2g
B．ωL＝π(2n＋1)v0(n＝0，1，2，…)
C．v0＝ω
D．dω2＝gπ2(2n＋1)2(n＝0，1，2，…)
B [飞镖做平抛运动的同时，圆盘上A点做匀速圆周运动，恰好击中A点，说明A正好在最低点时被击中。圆周运动是一种周期性运动，飞镖恰好击中A点说明在飞镖做平抛运动的这段时间内圆盘应转过的弧度为(2n＋1)π(n＝0，1，2，…)，则A点转动的时间t＝(n＝0，1，2，…)，又平抛的时间t＝，则有ωL＝π(2n＋1)v0(n＝0，1，2，…)，B正确，C错误；平抛的竖直位移为d，则d＝gt2，由上述分析知dω2＝gπ2(2n＋1)2(n＝0，1，2，…)，L2g，A、D错误。]
【典例7】 (直线运动与圆周运动结合)子弹以初速度v0水平向右射出，沿水平直线穿过一个正在沿逆时针方向转动的薄壁圆筒，在圆筒上只留下一个弹孔(从A位置射入，B位置射出，如图所示)。OA、OB之间的夹角θ＝，已知圆筒半径R＝0.5 m，子弹始终以v0＝60 m/s 的速度沿水平方向运动(不考虑重力的作用)，则圆筒的转速可能是( )
A．20 r/s B．60 r/s
C．100 r/s D．140 r/s
C [根据几何关系可得A与B之间的距离为R，在子弹飞行距离为R的时间内，圆筒转动的角度为θ′＝π(n＝1，2，3，…)，由θ′＝ωt得t＝(n＝1，2，3，…)，设圆筒的转速为N，由ω＝2πN得时间t＝(n＝1，2，3，…)，由题意知R＝v0t，解得N＝20(6n－1) r/s(n＝1，2，3，…)，当n＝1时，N＝100 r/s，当n＝2时，N＝220 r/s，故选C。]
解决圆周运动多解问题的方法
(1)明确两个物体参与运动的性质和求解的问题，两个物体参与的两个运动虽然独立进行，但一定有联系点，其联系点一般是时间或位移等，抓住两运动的联系点是解题关键。
(2)注意圆周运动的周期性造成的多解。分析问题时可暂时不考虑周期性，表示出一个周期的情况，再根据运动的周期性，在转过的角度θ上再加上2nπ，具体n的取值应视情况而定。
1．(多选)以下关于匀速圆周运动的说法正确的是( )
A．匀速圆周运动是匀速运动
B．匀速圆周运动是变速运动
C．匀速圆周运动的线速度不变
D．匀速圆周运动的角速度不变
BD [匀速圆周运动的速度方向时刻改变，是一种变速运动，A、C错误，B正确；匀速圆周运动中角速度不变，D正确。]
2．某品牌的机械鼠标内部构造如图所示，机械鼠标中的定位球的直径是2 cm，某次操作中将鼠标沿直线匀速移动 12 cm 需要1 s，则定位球的角速度为( )
A． rad/s B． rad/s
C．6 rad/s D．12 rad/s
D [根据线速度定义式v＝，那么定位球的线速度为v＝＝12 cm/s，而线速度与角速度的关系为v＝ωr，则定位球的角速度为ω＝＝12 rad/s，故A、B、C错误，D正确。]
3．如图所示为某型号汽车无极变速器工作原理简化图。主动带轮和被动带轮均有若干同轴轮组成，金属带不打滑，车轮与被动带轮一侧的输出轴同轴，甲、乙、丙三图所示为变速器的三个工作挡位，若主动带轮转速恒定不变，车轮与路面之间不打滑，则下列说法正确的是( )
A．甲图所示挡位，车速最快
B．乙图所示挡位，车速最快
C．丙图所示挡位，车速最快
D．甲、乙、丙三图所示挡位车速从大到小顺序为甲、丙、乙
B [由题意知主动带轮转速恒定，则角速度恒定，根据v＝ωr可知，金属带所在主动带轮半径越大，线速度越大，所以题图乙所示挡位金属带线速度最大，题图丙所示挡位金属带线速度最小；由题图可知金属带与所接触被动带轮边缘的线速度相等，根据ω＝可知，被动带轮半径越小，角速度越大，所以题图乙所示挡位被动带轮即输出轴的角速度最大，车轮与输出轴同轴，即题图乙所示挡位车轮角速度最大，车轮半径一定，车轮不打滑，车速等于车轮边缘的线速度，根据v＝ωr可知，角速度越大，车速越快，所以车速从大到小顺序为乙、甲、丙，故B正确，A、C、D错误。]
4．(选自鲁科版教材)如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球，要使小球与圆盘只碰一次，且落点为B，已知重力加速为g。求：
(1)小球的初速度v0大小；
(2)圆盘转动的角速度ω可能的表达式。
[解析] (1)设小球在空中运动时间为t，此时间内圆盘转过θ角，由平抛运动知识得
R＝v0t，h＝gt2
故小球的初速度大小v0＝R。
(2)根据几何关系可知圆盘转过的角度为
θ＝2πn(n＝1，2，3，…)
其中θ＝ωt
则圆盘角速度
ω＝＝2πn(n＝1，2，3，…)。
[答案] (1)R (2)ω＝2πn(n＝1，2，3，…)
回归本节知识，完成以下问题：
1．描述匀速圆周运动的物理量有哪些？
提示：线速度、角速度、周期、转速。
2．线速度、角速度、周期和半径满足什么关系？
提示：v＝ωr，T＝。
3．“由v＝ωr可得v∝r，由ω＝可得ω∝。”这样理解对吗？
提示：不对，应用控制变量法进行讨论。
课时分层作业(四)
?题组一 圆周运动及其物理量
1．(多选)质点做匀速圆周运动，则( )
A．在任何相等的时间里，质点的位移都相同
B．在任何相等的时间里，质点通过的路程都相等
C．在任何相等的时间里，质点运动的平均速度都相同
D．在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等
BD [质点做匀速圆周运动，在任意相等的时间内，通过的弧长、连接质点和圆心的半径转过的角度都相等，但位移只是大小相等，方向并不相同，平均速度也只是大小相等，方向并不相同，故B、D正确。]
2．(多选)对于做匀速圆周运动的物体来说，不变的物理量是( )
A．周期 B．速率
C．角速度 D．线速度
ABC [匀速圆周运动中，线速度的大小不变，但方向变化，所以速率不变，线速度是变化的，周期、频率、角速度都是不变的，选项A、B、C正确，D错误。]
3．一棵大树将要被伐倒的时候，有经验的伐木工人就会双眼紧盯树梢，根据树梢的运动情形判断大树正在朝哪个方向倒下，从而避免被倒下的大树砸伤。从物理知识的角度来解释，以下说法正确的是( )
A．树木开始倒下时，树梢的角速度较大，易于判断
B．树木开始倒下时，树梢的线速度较大，易于判断
C．树木开始倒下时，树梢的周期较大，易于判断
D．伐木工人的经验缺乏科学依据
B [树木开始倒下时，以树根部为圆心做圆周运动，角速度较小，由角速度大小不能判断树木倒下的方向，由v＝ωr知，r越大，线速度越大，且线速度有方向性，易判断树木倒下的方向，A、D错误，B正确；树木开始倒下时，树梢的周期较大，周期没有方向，故不能判断树木倒下的方向，C错误。]
4．A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同的时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，则它们( )
A．线速度大小之比为3∶4
B．角速度大小之比为3∶4
C．圆周运动的半径之比为8∶9
D．角速度大小之比为1∶2
C [A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，根据v＝，可得线速度大小之比为vA∶vB＝sA∶sB＝4∶3，故A错误；根据ω＝，可得角速度大小之比为ωA∶ωB＝θA∶θB＝3∶2，故B、D错误；根据v＝ωr，可得圆周运动的半径之比为rA∶rB＝∶∶＝8∶9，故C正确。]
?题组二 常见三种传动方式
5．(多选)如图所示为某一皮带传动装置，主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2，已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑。下列说法正确的是( )
A．从动轮做顺时针转动
B．从动轮做逆时针转动
C．从动轮的转速为n
D．从动轮的转速为n
BC [主动轮做顺时针转动，由皮带缠绕的方式可知从动轮做逆时针转动，A错误，B正确；两轮通过皮带传动，边缘的线速度大小相等，由v＝rω，ω＝2πn，可得2πn·r1＝2πn′·r2，解得从动轮的转速为n′＝n，C正确，D错误。故选BC。]
6．如图所示，A、B、C三点为奶茶塑封机手压杆上的点，A在杆的顶端，O为杆转动的轴，且AB＝BC＝CO。在杆向下转动的过程中，下列说法正确的是( )
A．A、B两点线速度大小之比为1∶3
B．B、C两点周期之比为1∶1
C．A、B两点角速度之比为3∶2
D．B、C两点的线速度大小之比为1∶2
B [因为A、B两点同轴转动，所以A、B两点的角速度是相等的，由v＝rω可知，角速度一定时，线速度大小之比等于运动半径之比，故A、B两点线速度大小之比为3∶2，A、C错误；因为B、C两点同轴转动，所以B、C两点的角速度是相等的，故周期相等，由v＝ωr可知，B、C两点的线速度大小之比为2∶1，B正确，D错误。]
7．如图所示，有一款自行车大齿轮齿数为48，小齿轮齿数为16。将自行车的后轮抬起，转动脚踏板，若链条始终不打滑，小齿轮与后轮同轴转动，当大齿轮转3圈时，后轮转动( )
A．1圈 B．3圈
C．9圈 D．27圈
C [大齿轮齿数为48，小齿轮齿数为16，可知大齿轮与小齿轮的半径比为r大∶r小＝48∶16＝3∶1，用同一根链条连接，齿轮边缘的线速度相等，由v＝ωr可知大齿轮与小齿轮的转动角速度比为ω大∶ω小＝r小∶r大＝1∶3，故当大齿轮转3圈时，小齿轮转动9圈，由于小齿轮与后轮同轴转动，角速度相等，故后轮转动9圈。故选C。]
?题组三 圆周运动的周期性和多解问题
8．为了测定子弹的飞行速度，在一根水平放置的轴杆上固定两个薄圆盘A、B，盘A、B平行且相距2 m，轴杆的转速为3 600 r/min，子弹穿过两盘留下两弹孔a、b，测得两弹孔所在半径的夹角θ＝30°，如图所示。则该子弹的速度可能是( )
A．360 m/s B．720 m/s
C．1 440 m/s D．108 m/s
C [子弹从A盘到B盘，B盘转过的角度θ＝2πn＋(n＝0，1，2，…)，B盘转动的角速度ω＝＝2πN＝2π× rad/s＝120π rad/s，子弹在A、B盘间运动的时间等于B盘转动的时间，即，所以v＝ m/s(n＝0，1，2，…)，n＝0时，v＝1 440 m/s，n＝1时，v≈110.77 m/s，n＝2时，v＝57.6 m/s，C正确。]
9．如图所示，质量为m的B物体放在光滑的水平地面上，在水平力F的作用下由静止开始运动，同时A物体在竖直面内由M点开始做半径为r、角速度为ω的匀速圆周运动。求满足使A、B速度相同的力F的取值。
[解析] 速度相同即大小、方向相同，B速度为水平向右，A一定要在最低点时才能保证速度水平向右。由题意可知，当A从M点运动到最低点时
t＝nT＋T(n＝0，1，2，…)，线速度v＝ωr
对于B(初速度为0)有
v＝at＝
解得F＝(n＝0，1，2，…)。
[答案] (n＝0，1，2，…)
10．晚上一同学回家的路上途经一平直的墙面，墙面与他的距离d＝6 m，如图所示，该同学将手电筒在竖直面内以0.3 rad/s的角速度匀速转动，当手电筒的光线与墙面的夹角为37°时，墙面上光斑的移动速度大小为(取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)( )
A．3.75 m/s B．4 m/s
C．5 m/s D．8 m/s
C [设此时墙面上光斑的移动速度大小为v，将光斑的移动速度v分解为沿光斑与手电筒连线分速度和垂直光斑与手电筒连线分速度，则有v⊥＝v sin 37°，又v⊥＝ωr＝ω，联立解得v＝ω＝0.3× m/s＝5 m/s，故选C。]
11．如图所示，A、B两个齿轮的齿数分别是z1、z2，各自固定在过O1、O2的轴上。其中过O1的轴与电动机相连接，此轴转速为n1，求：
(1)A、B两齿轮的半径r1、r2之比；
(2)B齿轮的转速n2。
[解析] (1)在齿轮传动装置中，各齿轮在相同时间内转过的“齿”是相同的，因此齿轮的齿数与周长即半径成正比，故r1∶r2＝z1∶z2。
(2)在齿轮传动进行时，每个啮合的齿轮边缘处线速度大小相等，因此齿轮传动满足齿轮转速与齿数成反比，即，所以n2＝。
[答案] (1)z1∶z2 (2)
12．如图所示，将小球以大小v0＝2 m/s的速度，从A点对准竖直放置的圆盘的上边缘B点水平抛出，圆盘绕圆心O以ω＝10 rad/s的角速度匀速转动，一段时间后，小球落到圆盘边缘D点，∠COD＝60°，取重力加速度大小g＝10 m/s2，不计空气阻力。求：
(1)小球从A点运动到D点所用的时间；
(2)小球从A点运动到D点的过程中，圆盘转过的角度(用弧度表示)；
(3)A、D两点间的距离。
[解析] (1)设小球从A点运动到D点所用时间为t，小球在竖直方向做自由落体运动，有
＝tan 60°，vy＝gt
解得t＝ s。
(2)小球从A点运动到D点的过程中，圆盘转过的角度θ＝ωt
解得θ＝2 rad。
(3)小球从A点运动到D点，小球做平抛运动的水平位移大小x＝v0t
A、D两点的距离d＝
解得d＝ m。
[答案] (1) s (2)2 rad (3) m
13．如图所示，一内半径R＝0.5 m、高h＝0.45 m内壁光滑的圆筒竖直固定在水平面上。可视为质点的小球以水平初速度v0＝ m/s从圆筒上端O点沿圆筒内壁切线方向抛出。小球将沿筒壁运动一段时间后恰好从圆筒底部M点(图中未标出)离开圆筒。忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)小球从抛出到离开圆筒所用的时间；
(2)小球离开圆筒时的M点与O点正下方O′的距离是多少。
[解析] (1)小球在竖直方向做自由落体运动，则有h＝gt2
解得小球从抛出到离开圆筒所用的时间为
t＝ s＝0.3 s。
(2)小球在水平方向做匀速圆周运动，则有
sx＝v0t＝ m
圆的周长为s＝2πR＝π m
则有sx＝s
可知小球离开圆筒时的M点与O点正下方O′的距离为L＝R＝ m。
[答案] (1)0.3 s (2) m
