最短路径问题常见题型 模型练 2025年中考数学二轮复习备考

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最短路径问题常见题型 模型练
2025年中考数学二轮复习备考
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，已知点，将线段平移得到线段，若点的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，将向右平移得到，如果的周长是， 那么四边形的周长是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，边在x轴上，边在y轴上，且点，．将先沿x轴向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到，延长交x轴于点C，则点C的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，将沿的方向平移到的位置，，平移距离为8，则阴影部分的面积为（ ）
A．35 B．40 C．56 D．64
5．如图，点，点向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点；点向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点；点向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点；…按这个规律平移得到点，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在中，，，，，将向右上方平移，使得点C与原点重合，则点A平移后的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
7．如图，在中，．将沿着点A到点C的方向平移到的位置，若图中阴影部分面积为2，则平移的距离AD为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．如图，在中，点，．将向左平移3个单位得到，再向下平移1个单位得到，则点B的对应点的坐标为 ．
10．如图是一段楼梯，高是8米，斜边是10米，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯 米．
11．如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点处，得到扇形．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为 ．
12．如图，有一块长为a米宽为3米的长方形地，中间阴影部分是一条小路，空白部分为草地，小路的左边线向右平移1米能得到它的右边线，若草场的面积为m2，则 ．
三、解答题
13．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点，，均在正方形网格的格点上．
(1)画出将沿轴方向向右平移个单位长度后得到的；
(2)画出关于轴的对称图形，并直接写出点的坐标；
(3)在轴上找一点，使得的值最小．（保留作图痕迹）
14．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别是、、

(1)以点为旋转中心，将逆时针旋转，得到，请画出（点、、的对应点分别为、、）；
(2)将平移，使平移后点B、对应点、分别在轴和轴上，画出平移后的；
(3)借助网格，请用无刻度的直尺画出的中线（保留作图辅助线）
15．如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点E，反比例函数的图象经过点A．
(1)求这个反比例函数的表达式．
(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象．
(3)将矩形向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________．
16．在网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点（格点是网格线的交点）．
(1)以点为位似中心，在第一象限画出的位似图形，使与的相似比为；
(2)将先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到，画出．
17．（1）正方形中，为对角线，把沿向右平移至图1的位置，得到，直线、交于点，连、，则与有怎样的关系？直接写出你的结论；
（2）当平移到线段的延长线上时（如图2），（1）中的结论是否还成立？说明你的理由；
（3）当正方形改为矩形，且时，连对角线，将绕点顺时针旋转得到，再将它沿直线向左平移（如图3），和交于点，连、，问此时和有怎样的关系？证明出你的结论．
18．如图1，在矩形中，，．在中，，，，点在的延长线上，点与点重合．现将绕点以/秒的速度按顺时针方向旋转，与边交于点（如图2所示），当点到达点时，停止旋转，立即改为沿边以每秒个单位长度的速度向点平移，当点到达点时，停止运动．

(1)当点到达点时，求的运动时间；
(2)从旋转开始，到平移结束，求点经过的路径长度；
(3)如图2，是的中点，在运动的过程中，求点在区域（含边界）内的时长；
(4)如图3，在平移的过程中，当位于矩形外的左右两边图形（阴影部分）的面积相等时，直接写出的平移距离．
19．（1）如图1，在矩形中，，，点E为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点C落在边上的点处．求的长；
（2）如图2，展开后，将沿线段向右平移，使点的对应点与点B重合，得到，与交于点F，求线段的长；
（3）在图1中，将绕点旋转至A，，E三点共线时，请直接写出的长．
参考答案
1．A
根据点A、C的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可．
解：∵点的对应点的坐标为，
∴平移规律为向左平移4个单位，
∴的对应点的坐标为．
故选：A．
本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
2．B
本题考查了平移的性质，解题关键是掌握平移前后的对应边相等，对应顶点所连线段的长度等于平移的距离，此题求出和后即可求解．
解：∵将向右平移得到，
∴，
∵的周长是，
∴，
∴四边形的周长，
故选： B．
3．A
本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，平移的性质，勾股定理等知识．
由勾股定理求出，，延长与x轴交于点D，证明，由相似三角形的性质可得出，由平移的性质可得出，，，即可得出，进一步即可求出，即可得出点C的坐标．
解：∵，，
∴
∴．
如图，延长与x轴交于点D，
由题意可得：
∴，
∴，
由平移的性质可得出，，，
∴，
解得：，
∴，
∴点C的横坐标为．
故选：A．
4．D
本题主要考查了平移的性质，由平移的性质可得，，则，再根据进行求解即可．
解：由平移的性质可得，，
∴，
∴
，
故选：D．
5．C
本题考查坐标与图形变化-平移、规律型问题等知识，先求出点的坐标，再从特殊到一般探究出规律，得出的横坐标为为，，纵坐标为，然后利用规律即可解决问题．
解：点的横坐标为，纵坐标为,
点的横坐为标，，纵坐标为,
点的横坐标为，，纵坐标为,
点的横坐标为，，纵坐标为,
…
按这个规律平移得到点的横坐标为为，，纵坐标为
∴点的横坐标为，纵坐标为
故选：C．
6．C
本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定和性质，平移的性质，解题的关键是先求出点A的坐标，根据将向右上方平移，使得点C与原点重合，得出应该使向右平移4个单位，再向上平移1个单位，然后求出点A平移后的坐标即可．
解：如图，过点C作轴，过点A作于点M，过点B作于点N，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵将平移，使点C与原点O重合，
∴应该使向右平移4个单位，再向上平移1个单位，
∴点A平移后的对应点为：，即．
故选：C．
7．A
由勾股定理逆定理推出直角三角形，然后可求面积，平移可得相似三角形，相似三角形面积比为相似比的平方，直接求解即可．
解：设与交点为H，
，
，
是直角三角形，即，
，
沿着点A到点C的方向平移到的，
∴，且即为平移的距离，
，
，解得，
，
平移的距离为．
故选：A．
此题考查勾股定理逆定理，平移规律以及相似三角形的性质和判定，解题关键是相似三角形的面积比为相似比的平方，此题技巧为先利用勾股定理逆定理推出直角，而后根据平移规律找出平移的距离．
8．A
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．
设小路宽为，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了，进而即可列出方程，求出答案．
解：利用平移，原图可转化为如图，
设小路宽为，
根据题意得：．
故选：A．
9．
根据平移与图形的变化规律进行计算即可．
解：根据平移与图形变化的规律可知，
将向左平移3个单位，再向下平移1个单位，其图形上的对应点的横坐标减少3，纵坐标减少1，
由于点，
所以平移后的对应点的坐标为，
故答案为：．
本题考查坐标与图形变化，掌握平移前后对应点坐标的变化规律是正确判断的关键．
10．
本题考查的是勾股定理，先根据直角三角形的性质求出的长，再根据楼梯高为的高，楼梯的宽即为的长，再把、的长相加即可．
解：米，
∴在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为米．
故答案为：．
11．
设与扇形交于点，连接，解，求得，根据阴影部分的面积为，即可求解．
如图，设与扇形交于点，连接，如图
是OB的中点
, OA＝2，
＝90°，将扇形AOB沿OB方向平移，
阴影部分的面积为
故答案为：
本题考查了解直角三角形，求扇形面积，平移的性质，求得是解题的关键．
12．
本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据小路的左边线向右平移1米能得到它的右边线，可得路的宽度是1米，根据平移，可把路移到左边，再根据长方形的面积公式，可得答案．
解：依题意有，
解得．
故答案为：．
13．(1)见解析
(2)图见解析，点的坐标为
(3)见解析
（1）分别作出点A，B，C的对应点，再顺次连接，即可；
（2）分别作出点A，B，C的对应点，再顺次连接，即可；
（3）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点M，即可．
（1）解：如图所示，即为所求作三角形；
（2）解：如图所示，即为所求作三角形；
点的坐标为；
（3）解：如图所示，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点M，则点即为所求．
本题主要考查了坐标与图形变换——平移和轴对称，熟练掌握平移变换和轴对称变换的性质是解题的关键．
14．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
（1）根据旋转的性质，将逆时针旋转，画出；
（2）根据平移的性质，将向左平移4个单位，向下平移5个单位，得到，即为所求；
（3）根据矩形的性质找到的中点，连接，即可求解．
（1）解：如图所示．

（2）如图所示．

（3）的中线如图所示．

本题考查了画旋转图形，平移作图，画三角形的中线，矩形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
15．(1)
(2)见解析
(3)
本题考查了待定系数法求反比例函数解析，画反比例函数图象，平移的性质等知识，解题的关键是：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）分别求出，，对应的函数值，然后描点、连线画出函数图象即可；
（3）求出平移后点E对应点的坐标，利用平移前后对应点的横坐标相减即可求解．
（1）解：反比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴这个反比例函数的表达式为；
（2）解：当时，，
当时，，
当时，，
∴反比例函数的图象经过，，，
画图如下：
（3）解：∵向左平移后，E在反比例函数的图象上，
∴平移后点E对应点的纵坐标为4，
当时，，
解得，
∴平移距离为．
故答案为：．
16．(1)见解析
(2)见解析
此题考查了坐标系中位似的作图、平移的作图．
（1）根据位似图形的作图方法找到的对应点，顺次连接即可；
（2）根据平移规律找到的对应点，顺次连接即可．
（1）解：如图，即为所求，
；
（2）解：如图，即为所求．
17．（1）；（2）成立，理由见解析；（3）
（1）先证明，根据全等三角形的性质证明结论即可；
（2）先证明，根据全等三角形的性质证明结论即可；
（3）先证明，再证明，根据相似三角形性质得出结论；
解：（1）．
在正方形中，
，
又，
，
．
．
．
如图①，延长交于点N．
，
，
，即；
（2）成立．理由如下：
如图②延长交于点Q，
由题意得，
，
又，
，
．
在和中，
，
．
，
，
∴在中，，
，
∴即；
（3）．
如图③，延长交于K，由旋转的性质和正方形的性质可知，
在和中，
，
，
，
由旋转的性质可知：，
，
在和中，
，
，
，
．
延长交于点K．
，
，
，
，即．
本题考查的是正方形性质、平移及旋转的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质．
18．(1)（秒）
(2)
(3)（秒）
(4)
（1）根据题意可知，如图所示，连接，运用三角函数算出，再根据旋转的速度即可求解；
（2）根据旋转，平移的性质，即可求解；
（3）设在旋转过程中，如图所示，与交于点，可求出的值，当平移到点在上时，可求出的值，由此即可求解；
（4）如图所示，由（3）的平移可知，是等边三角形，设，根据位于矩形外的左右两边图形（阴影部分）的面积相等即可求解．
（1）解：∵在矩形中，，，
∴矩形的对角线，
在中，，，，
∴，
∴，
∴如图所示，连接，

∵，，四边形为矩形，
∴，
∴，
∴当点到达点时，旋转的角度为，
∴的运动时间为（秒）．
（2）解：∵，，，
∴，
∴点F经过的路径长度为．
（3）解：∵，，
∴，
∴，即旋转结束时，点与点重合，
设在旋转过程中，如图所示，与交于点，

当点F与点D重合时，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点H在线段BQ上，
当平移到点在上时，如图所示，

∴，
∴，
∴平移的时间为（秒），
∴点在区域（含边界）内的时长为（秒）．
（4）解：的平移距离为，
如图所示，由（3）的平移可知，是等边三角形，

设，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，解得．
本题主要考查矩形，直角三角形与旋转，平移的综合，掌握矩形的性质，旋转的性质，平移的性质，三角形函数的计算，勾股定理等知识是解题的关键．
19．（1）3；（2）1；（3）或
（1）本题利用折叠和矩形的性质得出，，再利用勾股定理即可解题；
（2）本题利用平移的性质证得，设长为，利用勾股定理算出，推出，再利用相似三角形的性质得到，算出，从而求得的长；
（3）本题根据A，，E三点共线，分以下两种情况讨论，①当旋转到左侧时，②当旋转到右侧时，根据以上两种情况作辅助线构造直角三角形，利用旋转的性质、矩形的性质和判定、以及勾股定理进行分析求解，即可解题．
（1）解：为矩形，，，
，，
；
（2）解：为平移后的图形，，，
，，
，
设长为，
，，
解得：，
，
，，
，
，
；
（3）解：将绕点旋转至A，，E三点共线，
分以下两种情况：
①当旋转到左侧时，如图所示：
作，交的延长线于点，
由（2）可知，
由旋转性质可知，，
，
，
，
四边形为矩形，
，，
，
②当旋转到右侧时，如图所示：
作，交的延长线于点，
由（2）可知，
由旋转性质可知，，
，
，
四边形为矩形，
，，
，
．
本题考查了折叠的性质、矩形的性质和判定、勾股定理、平移的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定、旋转的性质，熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题．
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