(共97张PPT)
2．万有引力定律
第七章
万有引力与宇宙航行
整体感知·自我新知初探
[学习任务] 1．能利用开普勒第三定律、牛顿运动定律推导出太阳与行星之间引力的表达式。
2．通过月—地检验等将太阳与行星间的引力推广为万有引力定律，理解万有引力定律的内容、含义及适用条件。
3．认识引力常量测量的重要意义，能应用万有引力定律解决实际问题。
[问题初探] 问题1．万有引力定律内容是什么？
问题2．引力常量是谁测出的？
问题3．引力常量的单位是什么？
[自我感知] 经过你认真的预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系。
探究重构·关键能力达成
1．行星与太阳间的引力
(1)模型简化：行星绕太阳的运动可以看作__________运动，受到一个指向圆心(太阳)的引力，太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运动的________。
知识点一 行星与太阳间的引力 月—地检验
匀速圆周
向心力
连线
相同
牛顿坐在苹果树下，苹果砸到了他头上。
【问题】
(1)为什么苹果从树上落向地面而不飞向天空？
(2)月球受到地球的吸引力吗？
(3)为什么月球不会落到地球的表面，而是环绕地球运动？
提示：(1) 在地面附近，物体都受到重力作用，即受到地球的吸引力。
(2)月球受到地球的吸引力。
(3)月球受到的引力提供月球绕地球运转的向心力。
1．两个理想化模型
(1)匀速圆周运动模型：由于太阳系中行星绕太阳做椭圆运动的轨迹的两个焦点靠得很近，行星的运动轨迹非常接近圆，所以将行星的运动看成匀速圆周运动。
(2)质点模型：由于天体间的距离很远，研究天体间的引力时将天体看成质点，即天体的质量集中在球心上。
2．推导过程
(1)太阳对行星的引力
(2)太阳与行星间的引力
√
√
√
√
易错警示 太阳与行星间的引力的两点注意
(1)太阳与行星间的引力大小与三个因素有关：太阳质量、行星质量、太阳与行星间的距离。太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线。
(2)太阳与行星间的引力是相互的，遵守牛顿第三定律。
知识点二 万有引力定律 引力常量
它们的连线
正比
二次方
2．引力常量
(1)测量者：__________。
(2)数值：G＝6.67×10-11 N·m2/kg2。
卡文迪什
“月—地检验”结果表明，地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律。
3．万有引力的四个特性
普遍性 万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力
相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上
宏观性 地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用
特殊性 两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们之间的距离有关，而与它们所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关
【微提醒】 任何物体间的万有引力都是同种性质的力。
√
√
AD [万有引力定律适用于两质点间的相互作用，当两球体质量分布均匀时，可认为球体质量分布在球心，然后计算它们间的万有引力，故A、D正确；当r→0时，两物体不能视为质点，万有引力公式不再适用，B错误；若大、小球质量分布均匀，则大球M对处于球心的小球m引力的合力为零，故C错误。]
√
【典例5】 (万有引力与半径的关系)在卫星从发射到进入预定轨道的过程中，卫星所受地球引力大小F随它距地面的高度h变化的关系图像可能正确的是( )
A B C D
√
【典例6】 (“割补法”计算万有引力)在半径为R、质量为M、质量分布均匀的铜球中挖去一个半径为0.5R 的球形部分，留下的空穴与铜球表面相切。在铜球外有一个质量为m、可视为质点的小球，它位于铜球、空穴球心连线的延长线上，到铜球球心的距离为2R。挖去后铜球剩余部分对小球吸引力的大小是( )
√
√
规律方法 “割补法”计算万有引力的方法
找到原来物体所受的万有引力减去割去部分所受的万有引力，得到剩余部分所受的万有引力之间的关系。
知识点三 万有引力与重力的关系
√
【典例9】 (选自人教版教材·万有引力与重力的关系)已知月球的质量是7.3×1022 kg，半径是1.7×103 km，G＝6.67×10-11 N·m2/kg2。
(1)月球表面的自由落体加速度有多大？(结果保留三位有效数字)
(2)这对航天员在月球表面行走会产生什么影响？
(3)若航天员在地面上最多举起质量为m的物体，他在月球表面最多能举起质量是多少的物体？(结果保留整数)
[答案] (1)1.68 m/s2 (2)在月球上人感觉很轻，习惯在地球表面行走的人，在月球表面行走时是跳跃前进的 (3)6m
【典例10】 (重力与高度的关系)一火箭从地面由静止开始以5 m/s2的加速度竖直向上匀加速运动，火箭中有一质量为2 kg的科考仪器，在上升到距地面某一高度时科考仪器的视重为15 N，已知地球半径为R，则此时火箭离地球表面的距离为(地球表面处的重力加速度g取10 m/s2)( )
A．0.5R B．R
C．2R D．3R
√
√
【教用·备选例题】
1．理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示。一个质量一定的小物体(假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的引力大小用F表示，则选项所示的四个F随x变化的关系图中，正确的是( )
A B
C D
√
应用迁移·随堂评估自测
1．(多选)物理学中的一些常量，对物理学的发展有很大作用，引力常量就是其中之一。1798年，卡文迪什首次利用如图所示的装置，比较精确地测量出了引力常量。关于这段历史，下列说法正确的是( )
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1
A．卡文迪什被称为“首个测量地球质量的人”
B．万有引力定律是牛顿和卡文迪什共同发现的
C．这个实验装置巧妙地利用放大原理，提高了测量精度
D．引力常量不易测量的一个重要原因就是地面上普通物体间的引力太微小
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√
√
√
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1
2．(选自粤教版教材)地球质量约为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的4倍。O为地月连线上一点，飞行器在该点受到地球和月球的引力的合力为零，O点距地心与月心的距离分别为r1、r2，则( )
A．r1∶r2＝1∶18 B．r1∶r2＝1∶9
C．r1∶r2＝18∶1 D．r1∶r2＝9∶1
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√
3．用传感器测量一物体的重力时，发现在赤道测得的读数与其在北极的读数相差大约3‰。如图所示，如果认为地球是一个质量分布均匀的标准球体，下列说法正确的是( )
A．在北极处物体的向心力为万有引力的3‰
B．在北极处物体的重力为万有引力的3‰
C．在赤道处物体的向心力为万有引力的3‰
D．在赤道处物体的重力为万有引力的3‰
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√
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1
回归本节知识，完成以下问题：
1．万有引力定律的内容是什么？
提示：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。
2．万有引力的公式是什么？其适用条件是什么？
3．引力常量是牛顿测出来的吗？
提示：不是，是卡文迪什测出的。
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课时分层作业（九）
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AB [开普勒的三大定律是总结行星运动的观察结果而总结归纳出来的规律，每一条都是经验定律，都是从观察行星运动所取得的资料中总结出来的，故开普勒的三大定律都是在实验室中无法验证的定律，故A、B正确，C、D错误。]
√
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√
BCD [G是引力常量，其值是卡文迪什通过扭秤实验测得的，故A错误；由万有引力定律可知，地面附近自由下落的苹果和天空中运行的月亮，受到的都是地球引力，故B正确；地球吸引苹果的力与苹果吸引地球的力是相互作用力，因此地球对苹果有引力，苹果对地球也有引力，故C正确；万有引力定律是牛顿在总结前人研究的基础上发现的，故D正确。]
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?题组三 万有引力和重力的关系
7．地球可近似看成球形，由于地球表面上物体都随地球自转，所以有( )
A．物体在赤道处受到的地球引力等于两极处，而重力小于两极处
B．赤道处的角速度比南纬30°的角速度大
C．地球上物体的向心加速度都指向地心，且赤道上物体的向心加速度比两极处大
D．地面上的物体随地球自转时提供向心力的是重力
√
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A [地球两极处，物体随地球自转的半径为0，万有引力等于重力，赤道处重力作为万有引力的一个分力，小于万有引力，A正确；地球各处的(除两极外)角速度均等于地球自转的角速度，B错误；地球上只有赤道上的物体的向心加速度指向地心，其他位置的向心加速度均不指向地心，C错误；地面上的物体随地球自转时提供向心力的是万有引力的一个分力，不是重力，D错误。]
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[答案] (1)222 N (2)3.375 m
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132．万有引力定律
[学习任务] 1．能利用开普勒第三定律、牛顿运动定律推导出太阳与行星之间引力的表达式。
2．通过月—地检验等将太阳与行星间的引力推广为万有引力定律，理解万有引力定律的内容、含义及适用条件。
3．认识引力常量测量的重要意义，能应用万有引力定律解决实际问题。
[问题初探] 问题1．万有引力定律内容是什么？
问题2．引力常量是谁测出的？
问题3．引力常量的单位是什么？
[自我感知] 经过你认真的预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系。
行星与太阳间的引力 月—地检验
1．行星与太阳间的引力
(1)模型简化：行星绕太阳的运动可以看作匀速圆周运动，受到一个指向圆心(太阳)的引力，太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力。
(2)太阳对行星的引力：F＝＝m，结合开普勒第三定律得F＝4π2k∝。
(3)行星对太阳的引力：根据牛顿第三定律，力的作用是相互的，行星对太阳的引力F′的大小也存在与上述关系类似的结果，即F′∝。
(4)太阳与行星间的引力：由于F∝、F′∝，且F＝F′，则有F∝，写成等式F＝G，式中G为比例系数，与太阳、行星都没有关系。
(5)太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线。
2．月—地检验
(1)假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，表达式应该满足F＝G。月球绕地球做圆周运动的向心加速度a月＝＝G(式中m地为地球质量，r为地球中心与月球中心的距离)。
(2)假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，苹果的自由落体加速度a苹＝＝G(式中m地为地球质量，R是地球中心与苹果间的距离)。
(3)分析：由以上两式可得。由于月球与地球中心的距离r约为地球半径R的60倍，所以＝。
(4)结论：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律。
牛顿坐在苹果树下，苹果砸到了他头上。
【问题】
(1)为什么苹果从树上落向地面而不飞向天空？
(2)月球受到地球的吸引力吗？
(3)为什么月球不会落到地球的表面，而是环绕地球运动？
提示：(1) 在地面附近，物体都受到重力作用，即受到地球的吸引力。
(2)月球受到地球的吸引力。
(3)月球受到的引力提供月球绕地球运转的向心力。
1．两个理想化模型
(1)匀速圆周运动模型：由于太阳系中行星绕太阳做椭圆运动的轨迹的两个焦点靠得很近，行星的运动轨迹非常接近圆，所以将行星的运动看成匀速圆周运动。
(2)质点模型：由于天体间的距离很远，研究天体间的引力时将天体看成质点，即天体的质量集中在球心上。
2．推导过程
(1)太阳对行星的引力
(2)太阳与行星间的引力
【典例1】 (行星与太阳之间的引力推导)若把质量为m的行星围绕太阳的运动近似看作匀速圆周运动，运用开普勒第三定律T2＝，则可推得( )
A．行星受太阳的引力为F＝k
B．行星受太阳的引力都相同
C．行星受太阳的引力F＝
D．质量越大的行星受太阳的引力一定越大
C [行星绕太阳做匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供向心力，可得F＝mr，结合开普勒第三定律T2＝，可得F＝，故A错误，C正确；由F＝可知引力F与距离r、行星的质量m都有关，行星受太阳的引力不都相同，则质量越大的行星受太阳的引力不一定越大，故B、D错误。]
【典例2】 (万有引力的发现过程)(多选)在书中我们了解了牛顿发现万有引力定律的伟大过程。过程1：牛顿首先证明了行星受到的引力F∝、太阳受到的引力F∝，然后得到了F＝G ，其中M为太阳质量，m为行星质量，r为行星与太阳的距离；过程2：牛顿通过苹果和月球的加速度比例关系，证明了地球对苹果、地球对月球的引力具有相同性质，从而得到了F＝G 的普适性。那么( )
A．过程1中证明F∝，需要用到圆周运动规律F＝m或F＝mr
B．过程1中证明F∝，需要用到开普勒第三定律＝k
C．过程2中牛顿的推证过程需要用到“月球自转周期”这个物理量
D．过程2中牛顿的推证过程需要用到“地球半径”这个物理量
ABD [行星绕太阳做圆周运动，可知太阳对行星的引力提供了向心力，即F＝m，又有v＝，可得F＝，由开普勒第三定律＝k，变形可得T2＝，代入可得F＝4π2k，从而证明F∝，故A、B正确；假设地球与月球间的作用力和太阳与行星
间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该满足F＝G ，根据牛顿第二定律，月球绕地球做圆周运动的向心加速度a月＝(式中m地是地球的质量，r是地球中心与月球中心的距离)，假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度a苹＝(式中m地是地球质量，R是地球中心与苹果间距离)，由以上两式可得，由于月球中心与地球中心的距离r约为地球半径R的60倍，所以，从而得到F＝G 的普适性，在推理中不需要用到“月球自转周期”这个物理量，故C错误，D正确。]
太阳与行星间的引力的两点注意
(1)太阳与行星间的引力大小与三个因素有关：太阳质量、行星质量、太阳与行星间的距离。太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线。
(2)太阳与行星间的引力是相互的，遵守牛顿第三定律。
万有引力定律 引力常量
1．万有引力定律
(1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。
(2)表达式：F＝G 。
2．引力常量
(1)测量者：卡文迪什。
(2)数值：G＝6.67×10-11 N·m2/kg2。
“月—地检验”结果表明，地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律。
【问题】
(1)任何两个物体之间的万有引力都能利用公式F＝G 计算出来吗？为什么？
(2)万有引力定律指出，任何物体间都存在引力，为什么我们身边的人或物没有吸引在一起呢？
提示： (1)不能。万有引力定律的表达式F＝G 只适用于质点之间、质量分布均匀的球体之间或者质点和质量分布均匀的球体之间万有引力的计算，对于形状不规则、质量分布不均匀的物体，r不易确定。
(2)任何物体间都存在引力，只是我们身边的人或物的质量比起天体的质量小得多，所以我们身边的人或物之间的万有引力相较于自身受到的摩擦力小得多，故不可能吸在一起。
1．对万有引力定律表达式F＝G 的说明
(1)引力常量G：G＝6.67×10-11 N·m2/kg2；其物理意义为：引力常量在数值上等于两个质量都是1 kg 的质点相距1 m时的相互吸引力。
(2)距离r：公式中的r是两个质点间的距离，对于质量均匀分布的球体，就是两球心间的距离。
2．F＝G 的适用条件
(1)万有引力定律公式适用于计算质点间的相互作用力，当两个物体间的距离比物体本身的尺度大得多时，可用此公式近似计算两物体间的万有引力。
(2)质量分布均匀的球体间的相互作用，可用此公式计算，式中r是两个球体球心间的距离。
(3)一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也可用此公式计算，式中的r是球体球心到质点的距离。
3．万有引力的四个特性
普遍性 万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力
相互性 两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上
宏观性 地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用
特殊性 两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们之间的距离有关，而与它们所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关
【微提醒】 任何物体间的万有引力都是同种性质的力。
【典例3】 (对万有引力定律的理解)(多选)下列说法正确的是( )
A．万有引力定律F＝G 适用于两质点间的作用力计算
B．根据F＝G ，当r→0时，物体m1、m2间引力F趋于无穷大
C．把质量为m的小球放在质量为M、半径为R的大球球心处，则大球与小球间万有引力F＝G
D．两个质量分布均匀的分离的球体之间的相互作用力也可以用F＝G 计算，r是两球体球心间的距离
AD [万有引力定律适用于两质点间的相互作用，当两球体质量分布均匀时，可认为球体质量分布在球心，然后计算它们间的万有引力，故A、D正确；当r→0时，两物体不能视为质点，万有引力公式不再适用，B错误；若大、小球质量分布均匀，则大球M对处于球心的小球m引力的合力为零，故C错误。]
【典例4】 (万有引力的计算)如图所示，两质量均匀分布的小球半径分别为R1、R2，相距R，质量为m1、m2，则两球间的万有引力大小为(引力常量为G)( )
A． B．G
C． D．
B [对于质量分布均匀的两小球来说，计算二者间的万有引力时，r取两球心间的距离，则两球间的万有引力大小为F＝G ，故B正确。]
【典例5】 (万有引力与半径的关系)在卫星从发射到进入预定轨道的过程中，卫星所受地球引力大小F随它距地面的高度h变化的关系图像可能正确的是( )
A B C D
B [设地球的质量为M、半径为R，卫星的质量为m，则卫星所受万有引力大小F＝G ，h增大，F减小，但不是线性减小，故B正确。]
【典例6】 (“割补法”计算万有引力)在半径为R、质量为M、质量分布均匀的铜球中挖去一个半径为0.5R 的球形部分，留下的空穴与铜球表面相切。在铜球外有一个质量为m、可视为质点的小球，它位于铜球、空穴球心连线的延长线上，到铜球球心的距离为2R。挖去后铜球剩余部分对小球吸引力的大小是( )
A． B．
C． D．
D [根据m＝ρV＝ρr3，内部挖去一个半径为0.5R 的球形部分，则挖去质量为M′，M＝8M′，在没有挖去前，大球对小球m的万有引力为F1＝G ，挖去部分对小球m的万有引力F2＝G ，则剩余部分对小球的引力大小F＝F1－F2＝，故选D。]
【典例7】 (“割补法”计算万有引力) 如图所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F。如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且r＝，则原球体剩余部分对质点P的万有引力大小变为( )
A．F B．F
C．F D．F
C [设原球体的质量为M，质点P的质量为m0，球心与质点P的距离为L。根据m＝ρπr3知，挖去部分的小球的质量m＝M，没挖去前，原球体对质点P的引力F＝G ，挖去的部分对质点P的引力F′＝F，则剩余部分对质点P的引力F″＝F－F′＝F，故选C。]
“割补法”计算万有引力的方法
找到原来物体所受的万有引力减去割去部分所受的万有引力，得到剩余部分所受的万有引力之间的关系。
万有引力与重力的关系
1．万有引力是合力：如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，则由万有引力公式得F＝G 。
2．万有引力产生两个分力：除南、北极外，万有引力产生两个分力，一个分力F1提供物体随地球自转的向心力，方向垂直于地轴；另一个分力F2是重力，产生使物体挤压地面的效果。
3．重力与纬度的关系：地面上物体的重力随纬度的升高而变大。
(1)赤道上：重力和向心力在一条直线上F＝Fn＋mg，即G ＝mRω2＋mg，所以mg＝G －mRω2。
(2)地球两极处：向心力为零，所以mg＝F＝G 。
(3)其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg＜G，重力的方向偏离地心。
4．重力、重力加速度与高度的关系
(1)地球表面物体的重力约等于物体所受到的万有引力，即mg＝G ，所以地球表面的重力加速度g＝。
(2)地球上空h高度处，万有引力等于重力，即mg′＝G ，所以h高度处的重力加速度g′＝。
5．球体对质点的引力
(1)质点位于球体内部：均匀球壳内部的质点受到的球壳各部分引力的合力为零。F引＝G ，M′为质点所在处以内的球体部分的质量。
(2)质点位于球体外部：F引＝G 。
【典例8】 (重力与纬度的关系)假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球的半径为R，则地球的自转周期为( )
A．2π B．2π
C．2π D．2π
B [质量为m的物体在两极所受地球的引力等于其所受的重力，有mg0＝G ，在赤道，引力为重力和向心力的合力，有mg＋mR＝G ，联立解得T＝2π，B正确。]
【典例9】 (选自人教版教材·万有引力与重力的关系)已知月球的质量是7.3×1022 kg，半径是1.7×103 km，G＝6.67×10-11 N·m2/kg2。
(1)月球表面的自由落体加速度有多大？(结果保留三位有效数字)
(2)这对航天员在月球表面行走会产生什么影响？
(3)若航天员在地面上最多举起质量为m的物体，他在月球表面最多能举起质量是多少的物体？(结果保留整数)
[解析] (1)根据物体在月球表面受到的万有引力等于重力，可得
G ＝mg月
可得月球表面的重力加速度大小为
g月＝G 1.68 m/s2。
(2)在月球上人感觉很轻，习惯在地球表面行走的人，在月球表面行走时是跳跃前进的。
(3)根据
≈
可知航天员在地面上最多举起质量为m的物体，他在月球表面最多能举起质量是6m的物体。
[答案] (1)1.68 m/s2 (2)在月球上人感觉很轻，习惯在地球表面行走的人，在月球表面行走时是跳跃前进的 (3)6m
处理万有引力与重力关系的思路
(1)若题目中不考虑地球自转的影响，不考虑重力随纬度的变化，可认为重力等于万有引力，即mg＝G 。
(2)若题目中需要考虑地球自转的影响，需要考虑重力随纬度的变化，就要注意重力与万有引力的差别：两极处，mg0＝G ；赤道处，mg＋Fn＝G 。
【典例10】 (重力与高度的关系)一火箭从地面由静止开始以5 m/s2的加速度竖直向上匀加速运动，火箭中有一质量为2 kg的科考仪器，在上升到距地面某一高度时科考仪器的视重为15 N，已知地球半径为R，则此时火箭离地球表面的距离为(地球表面处的重力加速度g取10 m/s2)( )
A．0.5R B．R
C．2R D．3R
B [在上升到距地面某一高度时，根据牛顿第二定律可得FN－mg′＝ma，解得g′＝2.5 m/s2，在地球表面上有G＝mg，在地球表面一定高度有G＝mg′，联立解得r＝2R，则此时火箭离地球表面的距离为R，故选B。]
【典例11】 (地壳内某深度的重力加速度)如图所示，地球可看作质量分布均匀、半径为R的球体，地球内部的a点距地心的距离为r，地球外部的b点距地心的距离为3r，3r>R。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，忽略地球的自转，则a、b两点的重力加速度大小之比为( )
A． B．
C． D．
B [设地球密度为ρ，根据题意可知a点距地心距离为r，且小于R，则只有半径为r的球体对其产生万有引力，则有G＝mga，M1＝ρ·πr3，解得ga＝；b点距地心的距离为3r，则有G＝mgb，M2＝ρ·πR3，解得gb＝；将两个位置的重力加速度进行比较，，故选B。]
【教用·备选例题】
1．理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示。一个质量一定的小物体(假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的引力大小用F表示，则选项所示的四个F随x变化的关系图中，正确的是( )
A B
C D
A [因为质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，则在距离球心x处(x≤R)物体所受的引力为F＝Gπρmx∝x，当x>R时，F＝∝，故选A。]
2．火箭加速是通过喷气发动机向后喷气实现的。设运载火箭和“嫦娥三号”的总质量为M，地面附近的重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G。
(1)用题给物理量表示地球的质量。
(2)假设在“嫦娥三号”舱内有一平台，平台上放有测试仪器，仪器对平台的压力可通过监控装置传送到地面。火箭从地面发射后以加速度竖直向上做匀加速直线运动，升到某一高度时，地面监控器显示“嫦娥三号”舱内测试仪器对平台的压力为发射前压力的，求此时火箭离地面的高度。
[解析] (1)在地面附近，有
mg＝G
解得M地＝。
(2)设此时火箭离地面的高度为h，选仪器为研究对象，设仪器质量为m0，火箭发射前，仪器对平台的压力为F0＝G ＝m0g
在距地面的高度为h时，仪器所受的万有引力为
F＝G
设在距离地面的高度为h时，平台对仪器的支持力为F1，根据题述和牛顿第三定律得
F1＝F0
由牛顿第二定律得
F1－F＝m0a
a＝
联立解得h＝。
[答案] (1) (2)
1．(多选)物理学中的一些常量，对物理学的发展有很大作用，引力常量就是其中之一。1798年，卡文迪什首次利用如图所示的装置，比较精确地测量出了引力常量。关于这段历史，下列说法正确的是( )
A．卡文迪什被称为“首个测量地球质量的人”
B．万有引力定律是牛顿和卡文迪什共同发现的
C．这个实验装置巧妙地利用放大原理，提高了测量精度
D．引力常量不易测量的一个重要原因就是地面上普通物体间的引力太微小
ACD [已知地球半径R，地球表面重力加速度g，利用＝mg得M＝，从而能称出地球的质量，卡文迪什测出了关键的引力常量G，故被称为“首个测量地球质量的人”，故A正确；万有引力定律是牛顿发现的，故B错误；地面上普通物体间的引力太微小，引力常量不易测量，该实验装置通过光的反射，利用放大原理，提高了测量精度，故C、D正确。]
2．(选自粤教版教材)地球质量约为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的4倍。O为地月连线上一点，飞行器在该点受到地球和月球的引力的合力为零，O点距地心与月心的距离分别为r1、r2，则( )
A．r1∶r2＝1∶18 B．r1∶r2＝1∶9
C．r1∶r2＝18∶1 D．r1∶r2＝9∶1
D [飞行器在O点，引力的合力为零，可得G，半径之比为，D正确。]
3．用传感器测量一物体的重力时，发现在赤道测得的读数与其在北极的读数相差大约3‰。如图所示，如果认为地球是一个质量分布均匀的标准球体，下列说法正确的是( )
A．在北极处物体的向心力为万有引力的3‰
B．在北极处物体的重力为万有引力的3‰
C．在赤道处物体的向心力为万有引力的3‰
D．在赤道处物体的重力为万有引力的3‰
C [在北极处，没有向心力，重力等于万有引力，即F引＝G ，A、B错误；在赤道处，F引－G′＝Fn，再结合题意知＝3‰，在赤道处＝3‰，C正确；赤道处＝1－＝997‰，D错误。]
4．某行星为质量分布均匀的球体，半径为R，质量为M。科研人员研究同一物体在该行星上的重力时，
发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的1.1倍。已知引力常量为G，则该行星自转的角速度为( )
A． B．
C． D．
B [由万有引力定律得，物体在“赤道”处有G－mg＝mω2R，在“两极”处有G＝1.1mg，联立以上两式解得，该行星自转的角速度为ω＝，B正确，A、C、D错误。]
回归本节知识，完成以下问题：
1．万有引力定律的内容是什么？
提示：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。
2．万有引力的公式是什么？其适用条件是什么？
提示：F＝。适用于质点间或均质球体间的计算。
3．引力常量是牛顿测出来的吗？
提示：不是，是卡文迪什测出的。
课时分层作业(九)
?题组一 太阳与行星间引力
1．(多选)下列说法正确的是( )
A．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式F＝，这个关系式实际上是牛顿第二定律，是可以在实验室中得到验证的
B．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式v＝，这个关系式实际上是匀速圆周运动的一个公式，它是由速度的定义式得来的
C．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式＝k，这个关系式是开普勒第三定律，是可以在实验室中得到证明的
D．在探究太阳对行星的引力规律时，使用的三个公式，都是可以在实验室中得到证明的
AB [开普勒的三大定律是总结行星运动的观察结果而总结归纳出来的规律，每一条都是经验定律，都是从观察行星运动所取得的资料中总结出来的，故开普勒的三大定律都是在实验室中无法验证的定律，故A、B正确，C、D错误。]
2．(多选)下面有关万有引力的说法正确的是( )
A．F＝G 中的G是引力常量，其值是牛顿通过扭秤实验测得的
B．地面附近自由下落的苹果和天空中运行的月亮，受到的都是地球引力
C．苹果落到地面上，说明地球对苹果有引力，苹果对地球也有引力
D．万有引力定律是牛顿在总结前人研究的基础上发现的
BCD [G是引力常量，其值是卡文迪什通过扭秤实验测得的，故A错误；由万有引力定律可知，地面附近自由下落的苹果和天空中运行的月亮，受到的都是地球引力，故B正确；地球吸引苹果的力与苹果吸引地球的力是相互作用力，因此地球对苹果有引力，苹果对地球也有引力，故C正确；万有引力定律是牛顿在总结前人研究的基础上发现的，故D正确。]
3．(多选)关于太阳与行星间的引力，下列说法正确的是( )
A．由于地球比木星离太阳近，所以太阳对地球的引力一定比对木星的引力大
B．行星绕太阳沿椭圆轨道运动时，在从近日点向远日点运动时所受引力变小
C．由F＝可知G＝，由此可见G与F和r2的乘积成正比，与M和m的乘积成反比
D．行星绕太阳椭圆轨道的运动可近似看成圆形轨道的运动，其向心力来源于太阳对行星的引力
BD [由F＝，太阳对行星的引力大小与m、r有关，对同一行星，r越大，F越小，B正确；对不同行星，r越小，F不一定越大，还要由行星的质量决定，A错误；公式中G为比例系数，是一常量，与F、r、M、m均无关，C错误；通常的研究中，行星绕太阳椭圆轨道的运动可近似看成圆形轨道的运动，向心力由太阳对行星的引力提供，D正确。]
?题组二 万有引力定律
4．根据万有引力定律，两个质量分别是m1和m2的物体，它们之间的距离为r时，它们之间的吸引力大小为F＝，式中G是引力常量，若用国际单位制的基本单位表示，G的单位应为( )
A．kg·m·s-2 B．N·kg2·m-2
C．m3·s-2·kg-1 D．m2·s-2·kg-2
C [国际单位制中质量m、距离r、力F的基本单位分别是：kg、m、kg·m·s-2，根据万有引力定律F＝，得到用国际单位制的基本单位表示G的单位为m3·s-2·kg-1，C正确。]
5．(多选)关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是( )
A．不能看作质点的两物体间不存在相互作用的引力
B．只有能看作质点的两物体间的引力才能用F＝计算
C．由F＝知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大
D．引力常量G的测出，证明了万有引力定律的正确性
CD [任何有质量的物体间都存在相互作用的引力，A错误；两个质量分布均匀的球体间的万有引力也能用F＝来计算，B错误；物体间的万有引力与它们之间的距离r的二次方成反比，故r减小，它们间的引力增大，C正确；引力常量的测出，证明了万有引力定律的正确性，D正确。]
6．要使两物体间的万有引力减小到原来的，下列办法不正确的是( )
A．使两物体的质量各减小一半，距离不变
B．使其中一个物体的质量减小到原来的，距离不变
C．使两物体间的距离增大到原来的2倍，质量不变
D．使两物体的质量和两物体间的距离都减小到原来的
D [根据万有引力定律F＝G 可知，使两物体的质量各减小一半，距离不变，则万有引力变为原来的，A正确，不符合题意；使其中一个物体的质量减小到原来的，距离不变，则万有引力变为原来的，B正确，不符合题意；使两物体间的距离增大到原来的2倍，质量不变，则万有引力变为原来的，C正确，不符合题意；使两物体的质量和两物体间的距离都减小到原来的，则万有引力大小不变，D错误，符合题意。]
?题组三 万有引力和重力的关系
7．地球可近似看成球形，由于地球表面上物体都随地球自转，所以有( )
A．物体在赤道处受到的地球引力等于两极处，而重力小于两极处
B．赤道处的角速度比南纬30°的角速度大
C．地球上物体的向心加速度都指向地心，且赤道上物体的向心加速度比两极处大
D．地面上的物体随地球自转时提供向心力的是重力
A [地球两极处，物体随地球自转的半径为0，万有引力等于重力，赤道处重力作为万有引力的一个分力，小于万有引力，A正确；地球各处的(除两极外)角速度均等于地球自转的角速度，B错误；地球上只有赤道上的物体的向心加速度指向地心，其他位置的向心加速度均不指向地心，C错误；地面上的物体随地球自转时提供向心力的是万有引力的一个分力，不是重力，D错误。]
8．已知火星的质量和半径分别约为地球的和，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为( )
A．5g B．2.5g
C．0.4g D．0.2g
C [在地球表面重力等于万有引力mg＝，在火星表面重力等于万有引力m′g火＝，结合题意联立可得g火＝0.4g，故C正确，A、B、D错误。]
9．某球形行星质量分布均匀。若航天员到达该星球后，测得该行星赤道上的重力加速度为g1、两极的重力加速度为g2、自转周期为T，则该行星的半径为( )
A． B．
C． D．
C [在赤道，根据万有引力与重力的关系有G＝mg1＋mR，在两极有G＝mg2，联立解得R＝，故选C。]
10．如图所示，质量分布均匀的实心球体，其质量为M，半径为R。现在将它的左侧挖去一个半径为r＝的球体，则挖去后它对离球体表面距离R处的质量为m的质点的引力与挖去前对质点的引力之比为( )
A． B． C． D．
B [根据M＝ρV＝ρ·πR3知，挖去部分的半径是球体半径的一半，则质量是球体质量的，所以挖去部分的质量M′＝M，没挖之前，球体对质点m的万有引力F1＝G ，挖去的部分对质点m的万有引力F2＝G ，则剩余部分对质点的引力大小F＝F1－F2＝，则，故B正确。]
11．火星半径约为地球半径的一半，火星质量约为地球质量的。一位航天员连同航天服在地球上的质量为50 kg。(地球表面的重力加速度g取10 m/s2)
(1)在火星上航天员所受的重力为多少？(结果保留三位有效数字)
(2)航天员在地球上可跳1.5 m高，他以相同初速度在火星上可跳多高？
[解析] (1)由mg＝G ，得g＝
在地球上有g＝
在火星上有g′＝
所以g′＝g＝ m/s2
那么航天员在火星上所受的重力
mg′＝50× N≈222 N。
(2)在地球上，航天员跳起的高度为h＝
在火星上，航天员跳起的高度为h′＝
联立以上两式得h′＝3.375 m。
[答案] (1)222 N (2)3.375 m
12．用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的物体的重力，测量结果随称量位置的变化可能会有所不同。已知地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G。将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体，不考虑空气阻力的影响。设在地球北极称量时，弹簧测力计的读数是F0。
(1)若在北极上空高出地面h处称量，弹簧测力计读数为F1，求比值的表达式，并就h＝0.5%R的情形算出具体数值(结果保留两位有效数字)；
(2)若在赤道表面称量，弹簧测力计读数为F2，求比值的表达式。
[解析] (1)在地球北极所称量物体的重力等于万有引力，有F0＝G ，在北极上空高出地面h处称量，有F1＝G ，联立解得，当h＝0.5%R时，≈0.99。
(2)在赤道表面称量，有F2＝G －mR，联立解得＝1－。
[答案] (1) 0.99 (2)＝1－
13．(多选)设宇宙中某一小行星自转较快，但仍可近似看作质量分布均匀的球体，半径为R。航天员用弹簧测力计称量一个相对自己静止的小物体的重量，第一次在站极点处，弹簧测力计的读数为F1＝F0；第二次站在赤道处，弹簧测力计的读数为F2＝；假设第三次站在赤道平面内深度为的隧道底部，示数为F3；第四次在距星表高度为R处绕小行星做匀速圆周运动的人造卫星中，示数为F4。已知均匀球壳对壳内物体的引力为零，则以下判断正确的是( )
A．F3＝ B．F3＝
C．F4＝ 0 D．F4＝
AC [设该小行星的质量为M，则质量为m的物体在极点处受到的万有引力F1＝＝F0，由于在赤道处，弹簧测力计的读数为F2＝，则F1－F2＝mω2·R，由于球体的体积公式为V＝，所以半径以内的部分的质量为M′＝M＝M，物体在处受到的万有引力F′3＝F1＝F0，物体需要的向心力Fn3＝mω2·mω2R＝F0，所以在赤道平面内深度为的隧道底部，示数为F3＝F′3－Fn3＝F0－F0＝F0，故A正确，B错误；第四次在距星表高度为R处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中时，物体受到的万有引力恰好提供向心力，所以弹簧测力计的示数为0，故C正确，D错误。]
