三角函数与解三角形高频考点 归纳练 2025年高考数学复习备考模拟预测

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三角函数与解三角形高频考点 归纳练
2025年高考数学复习备考模拟预测
1．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)证明；
(2)求的范围．
2．在中，内角、、的对边分别为、、，且.
(1)求角；
(2)若是锐角三角形，且，求的取值范围.
3．记的内角所对的边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的取值范围．
4．在中，角，，的对边分别为，，，.
(1)求角的大小；
(2)为边上一点，且，若，求的最大值.
5．已知锐角，角、、所对的边分别为、、，且，．
(1)求；
(2)求的取值范围．
6．已知函数.
(1)求的最小值及相应x的值；
(2)等腰三角形ABC中，当时，取得最小值，D在边AC上，且，，求的面积.
7．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求B；
(2)若，求的值．
8．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．
(1)求证：；
(2)若是锐角三角形，且角A的平分线交BC边于D，且，求边b的取值范围．
9．在中，角的对边分别为，已知．
(1)若，求的值；
(2)若，，的中点为，求的长．
10．已知为锐角三角形，角所对的边分别为，．
(1)求证：；
(2)若，求周长的取值范围．
11．已知锐角三角形的内角所对的边分别为，且满足．
(1)求；
(2)若，求的取值范围．
12．在中，内角所对的边分别为，且.
(1)求A.
(2)已知.
（i）若的面积为，求c；
（ii）若边上一点P满足，点Q是的中点，求的最小值.
参考答案
1．(1)证明见解析
(2)
（1）因为，
所以由正弦定理有，则．
因为，，
所以，
所以，即．
（2）因为为锐角三角形，
所以，，，
解得，
则，
又，则，因为在上单调减，所以，即．
2．(1)
(2)
（1）因为，由正弦定理可得，
因为、，则，所以，，
则有，故.
（2）因为为锐角三角形，则，所以，，
所以，，则，
由正弦定理可得，
所以，，
即的取值范围是.
3．(1)证明见详解
(2)
（1），，
两边同时乘以得，，
由正弦定理得，；
在中，，，
，，
又，，，
或，
若，且，则，，不合题意，舍去.
.
（2）由(1)可知，又，，
，，
又由已知可得，，，
，
，
，，
，，
的取值范围是.
4．(1)
(2)
（1）由正弦定理及，
得，
，
所以，即，
因为，所以，所以，
又，所以.
（2）因为在边上，且，所以，，
在中，由余弦定理，得，
在中，由余弦定理，得，
二者联立，消去，得，
在中，由余弦定理，得，
所以，即，
所以，即，
所以，当且仅当，即，时等号成立，
所以的最大值为.
5．(1)
(2)
（1）因为，，则，
由正弦定理得，
，所以，，
因为、，则，
所以，，即．
（2）在锐角中，由，可得，
则，
又，则，
所以，的取值范围为，
又，设，设，其中，
，
由可得，由可得，
所以，在上递减，在上递增，
所以，，
又因为，，故的取值范围为，
即的取值范围为.
6．(1)最小值为，；
(2).
（1）依题意，，
当，即时，，
所以函数的最小值为，此时.
（2）由（1）知，，而是等腰的内角，则，，
由D在边AC上，且，，得，，
所以的面积为.
7．(1)
(2)
（1）由余弦定理得，
所以，即，
由正弦定理得，
因为，所以，
因为，所以.
（2）由，得，
因为，所以，
所以，解得，
所以，
因为，
所以，
，
所以.
8．(1)证明见解析
(2)
（1）因为，由正弦定理有：，
所以，
，
，
，
因为、，所以，
又因为，所以，所以，
因为，
所以有：，，或，（舍），
所以得证.
（2）因为是锐角三角形，，所以，
所以，解得，
因为为的平分线，且，
所以，所以，
在中，，，
由正弦定理有：，即，
所以
，
因为，所以，
令，则，，
令，，
根据函数解析式，在上单调递减，
因为，，所以，
所以.
9．(1)
(2)．
（1）因为，由正弦定理，得，
所以．
所以．
又因为为的内角，所以，
所以，从而．
又因为，则，
所以．
（2）由题意，，所以．
又，所以．
所以．
因为，所以，从而．
在中，由余弦定理得，
所以．
10．(1)证明见解析
(2)
（1）由，得，
由余弦定理得，即，
由正弦定理得，所以．
所以，即．
所以或，
即或．
因为，，所以．
（2）因为为锐角三角形，所以即解得．
因为，由正弦定理得，所以，
由正弦定理得
，
故的周长．
令，由（1）知，所以．
因为函数在上单调递增，
所以周长的取值范围为．
11．(1)
(2)
（1）由，
根据正弦定理，得，
由，，则，
即，而，故,
又，所以.
（2）由正弦定理，且，则，，
由，
则
，
由，则，即，
可得，
令，则，
易知函数在上单调递增，在上单调递减，
，，，所以.
12．(1)
(2)（i）；（ii）
（1）由，可得：，所以.
因为，所以，则，解得.
（2）（i）根据三角形面积公式，可得，即，得.
再根据余弦定理，可得，即.
由可得，代入得，即，
解得，则.
（ii），且，点Q是的中点，
在中，由余弦定理，可得，
即，
如图，在中，设，则，，，
令，则代入得，
解得，代入，
设，，
则，令解得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
故当时，，又，
故的最小值为.
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