期中练习卷-2024-2025学年数学九年级下册北师大版（含解析）

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期中练习卷-2024-2025学年数学九年级下册北师大版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点D对应的刻度值为，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是的切线，点为切点，连接并延长交于点，连接，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，二次函数(为常数) 的图象经过点，且，则的值是（ ）
A．1 或 3 B．或 3 C．3 D．
5．如图，在 中， ， ， ，则 的长为（ ）
A． B．3 C．2 D．
6．如图，是的弦，于点，，，点为所在平面内一点，且，则点与的位置关系是( )
A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．无法确定
7．已知在中，，，，若以为圆心，长为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是（ ）
A．或 B．
C． D．
8．若将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，则所得抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．把抛物线向左平移2个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为 ．
10．如图，一个滑雪爱好者乘滑雪板沿斜坡上的滑雪道笔直滑下208米，若斜坡滑雪道的坡度（指斜坡的铅直高度与水平宽度的比）为，则他在这次滑雪时下降的高度是 米．
11．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点和点，与轴交于点，则的长为 ．
12．如图，圆O中，，，则的度数为 ．
13．若点都在将抛物线向左平移2个单位长度后得到的抛物线上，则 （填“”或“”号）．
14．如图，正方形的边长为7，以C为圆心，3为半径作．点P为上的动点，将绕点逆时针旋转得到，连接．在点P运动的过程中，长度的最大值是 ．

15．如图，一个底部呈球形的烧瓶，瓶内液体的最大深度，截面圆中弦长为，那么球的半径长为 ．
16．如图所示，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线，直线与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：①；②；③；④；⑤的根为．其中正确的是 (填序号)．
三、解答题
17．计算：．
18．我校数学兴趣小组的同学要测量建筑物的高度，如图，建筑物前有一段坡度为的斜坡，小明同学站在斜坡上的B点处，用测角仪测得建筑物屋顶C的仰角为，接着小明又向下走了米，刚好到达坡底E处，这时测到建筑物屋顶C的仰角为，A、B、C、D、E、F在同一平面内．若测角仪的高度米，求建筑物的高度（精确到米，参考数据：，，）．
19．在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点C，抛物线 经过点 A、C，且与轴交于另一个点B．
(1)求抛物线的表达式；
(2)动点在直线上， 且与相似，求点的坐标．
20．如图，是的外接圆， D是直径上一点，的平分线交于点 E，交于另一点F，．

(1)求证：；
(2)设， 垂足为M， 若，求的长．
21．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别三个是，，．

(1)把绕原点O旋转后得到对应的，请画出旋转后的；
(2)若点P为的外心，请直接写出点P的坐标 ．
22．如图，已知抛物线与x轴分别交于点，与y轴交于点C，点Q是抛物线上一点．
(1)求抛物线的解析式：
(2)若点Q在直线下方的抛物线上，过点Q作轴于点D，交直线于点E，作于点F，当时，求点Q的坐标．
23．某校计划在学校礼堂为毕业班学生举办毕业典礼，想在礼堂入口处设计一个如图1所示的抛物线型拱门入口．要在拱门上顺次粘贴“毕”“业”“典”“礼”（分别记作点A，B，C，D）四个大字，要求B、C所在直线与A、D所在直线均与地面平行，抛物线最高点的五角星（记为点）到的距离为，，，建立如图2所示平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求五角星（点）到的垂直距离．
24．定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂点．
(1)如图1，、是的等垂弦，，垂足分别为D，E．求证：四边形是正方形；
(2)如图2，是的弦，作，分别交于D，C两点，连接．分别交、与点、点．求证：，是的等垂弦；
(3)已知的直径为10，、是的等垂弦，P为等垂点．若．求的长．
25．为构建“五育并举”教育体系，某学校综合实践课程要在一块靠墙（墙长）的空地上建一个矩形的劳动田园，田园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．
(1)如图1，当长为多少时，矩形的劳动田园的面积为？
(2)如图2，用栅栏围矩形的劳动田园时，在边上预留2米宽的小门（小门用其它材料），当长为多少时？劳动田园的面积最大？最大面积是多少？
《期中练习卷-2024-2025学年数学九年级下册北师大版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B C D B D B
1．C
【分析】本题考查了圆周角定理，先根据圆周角定理得到，然后利用互余求解，理解题意熟练利用相关定理是解题的关键．
【详解】解：如图，设中点为O，连接，
一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，
点、、、都在以为直径的圆上，
点对应，即，
，
．
故选：C．
2．D
【分析】此题考查了二次函数的性质，顶点坐标是．据此即可求解．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是．
故选D．
3．B
【分析】本题考查圆周角定理、切线的性质、三角形内角和定理等知识，由圆周角定理解得，再根据切线的性质得到，最后根据三角形内角和定理解题．
【详解】解：由圆周角定理得：
是的切线，
故选：B．
4．C
【分析】本题主要考查了利用二次函数图像上的点来确定函数中参数值的方法．通过代入已知点的坐标，解方程求得参数值，再根据题目条件进一步筛选符合条件的参数值，是解决此类问题的关键步骤．根据题目条件，首先将给定的点代入二次函数的方程中求解m的可能值，然后根据题目给定的条件进一步筛选出符合条件的m值．
【详解】解：由题意将点代入二次函数方程，
得到，即，
解得或，
当时，代入，计算得到，满足条件，
当时，代入，计算得到，不满足条件，
综上所述，只有当时，满足题目条件．
故选：C．
5．D
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，过点C作于点D，设，则，根据 ， ，得到，求出，进而得到，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点C作于点D，
设，则，
∵ ， ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
6．B
【分析】根据垂径定理可得，由含角的直角三角形的性质，可得，设，则，在中，根据勾股定理列方程求出，进而求出圆的半径，即可求解．
【详解】解：于点，，
，
又，
，
设，则，
在中，根据勾股定理得：，即，
解得：（负值已舍去），
半径为，
，且，
点在外，
故选：B．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理，含角的直角三角形的性质，垂径定理，解题的关键是掌握相关知识．
7．D
【分析】本题考查了勾股定理、圆的基本性质．首先根据勾股定理可求，利用三角形的面积公式可求，当圆的半径为时，开始与边有交点，当时，圆与边有交点，当时，圆与边没有交点，从而确定的取值范围．
【详解】解：如下图所示，过点作，
中，，，，
，
，
，
解得：，
当以点为圆心的圆的半径时，圆经过点，
当时，圆与边没有交点，
．

故选：D ．
8．B
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，则所得抛物线的表达式为，
故选：B．
9．
【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键；因此此题可根据“左加右减，上加下减”进行求解即可．
【详解】解：把抛物线向左平移2个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为；
故答案为．
10．80
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用——坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
根据坡度的概念、勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：如图，
设他下降的高度米，
∵斜坡的坡度为，
∴米，米，
由勾股定理得：，
即，
解得：（负值舍去），
∴他下降的高度为米，
故答案为：80．
11．
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与轴的交点问题；待定系数法求得解析式为，令，得出，即可求解．
【详解】解：∵与x轴交于点和点，
∴
解得：
∴
当时，
∴
∴
故答案为：．
12．/20度
【分析】本题考查圆周角定理及垂径定理，连接，根据垂径定理可求得的度数，，然后利用圆周角定理即可求得答案．结合已知条件求得的度数是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
，，，
，，
，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查二次函数图象的平移，比较二次函数的函数值大小，根据平移规则求出新的函数解析式，再根据增减性，比较函数值大小即可．
【详解】解：，
∴抛物线向左平移2个单位长度后得到的抛物线为，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随着的增大而增大，
∵点都在抛物线上，且，
∴；
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了圆外一点到圆上一点的最大距离．连接，，通过证明可推出的轨迹是以为圆心，2为半径的圆上，从而求出取到最大值时的位置，结合勾股定理从而可求出的最大值．本题的做题关键是通过全等来推出动点的轨迹．
【详解】解：如图，连接，，
，
，
，，
．
，
在以为圆心，3为半径的圆上，
连接，则当在的延长线上时，最长，
根据勾股定理可得，
此时，

故答案为：．
15．5
【分析】本题考查了垂径定理，解题关键根据垂径定理得出，再设，根据勾股定理列出方程即可求解．
【详解】解：设，
∵瓶内液体的最大深度，
∴，垂足为C，
∴，
设，则，
解得，，
故答案为：5．
16．①③④
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，注意数形结合；利用抛物线与y轴的交点位置得到，抛物线开口向下得，利用对称轴在y轴的右侧得，于是可对①进行判断；根据抛物线与轴的交点个数可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点右侧，则当时，，于是可对③进行判断；根据抛物线的对称轴为直线可判断④；将方程变形为，根据交点坐标可判断⑤．
【详解】解：∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴，
∵抛物线开口向下，
∴，
又抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴，
∴，所以①正确；
∵抛物线与轴有两个交点，
∴，所以②错误；
∵抛物线与x轴的一个交点在点左侧，
而抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点右侧，
∴当时，，
∴，所以③正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，所以④正确；
由可得，
∵直线与抛物线交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标不一定为3，
只有当时，则，此时点D的横坐标为3，否则不为3，
∴方程的一个根为0，另一个根不一定为3，所以⑤错误．
综上，正确的结论是①③④．
故答案为：①③④．
17．
【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，先计算零次幂，化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，再计算即可．
【详解】解：原式．
18．建筑物的高度约为米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键．
如图：作，垂足分别为G、K，延长交于H，则．运用勾股定理以及坡度为可得、．
设，则．在和中解直角三角形分别得到、，最后根据列方程求解即可．
【详解】解：如图：作，垂足分别为G、K，延长交于H，则．
∵斜坡的坡度为，，
∴设，
∵，
∴，解得：（舍弃负值），
，．
设，则．
在中，，
．
在中，，
．
又，
，解得，
答：建筑物的高度约为米．
19．(1)
(2)和
【分析】本题考查二次函数图象和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键；
（1）根据题意，求得点和点坐标，代入，即可求解；
（2）根据题意，求得点的坐标，进而求得的长度，然后根据与相似，分情况讨论即可求解；
【详解】（1）解：，
当时，，
当时，，
故，；
将，代入，
可得：
解得：
故该函数解析式为：
（2）解：，对称轴为所在的直线，
当，
解得：，，
即；
由勾股定理，可得；
∵，
∴，
当，如图，
当，即，
，
过作轴于，
，
当时，，
；
当时，如图，
，即，
，
过作轴于，
，
当时，；
；
综上所述，点的坐标为和；
20．(1)讲解析
(2)
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理等知识，掌握这些性质以及定理是解题的关键．
（1）由得到，由直径所对的圆周角等于可得出，即，由角平分线的定义可得出，即可得到，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而可推出，即可得证；
（2）由（1）知，，根据等边对等角得出，根据等腰三角形三线合一的性质可得出，的值，进一步求出，，再利用勾股定理即可求出．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，即，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
（2）解：由（1）知，，
∴，
又，，
∴，，
∴圆的半径，
∴，
在中．
，，
∴，
即的长为．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了旋转的作图，三角形的外心，掌握旋转的作图方法，以及三角形的外心是三边垂直平分线是交点，是解题的关键．
（1）连接并延长，使，再依次连接点即可；
（2）找出，垂直平分线的交点，即可解答．
【详解】（1）解：如图1所示：即为所求；
（2）解：如图2，点P为的外心，
∵四边形为正方形，
∴为的垂直平分线，
∵，，
∴的垂直平分线为直线，
由图可知，的垂直平分线与的垂直平分线相交于点，
∴点为外心，
∴点坐标为．
故答案为：．
22．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式，线段问题等知识．
（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可．
（2）先求出，再得出，结合已知条件分别得出为等腰直角三角形，利用待定系数法求出直线的解析式，设点，则点，进而由等腰直角三角形的性质可得出，，根据得出关于x的一元二次方程，求解即可得出答案，并选择点Q在直线下方的抛物线上的点即可．
【详解】（1）解：由已知可设：，
则，得：
进而有
所以抛物线的解析式为：
（2）解：由（1）知：，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为：，
则，
解得：
∴的解析式为：，
设点，则点，
则，
而，
∵，
即，
解得：（舍去）或，
即点；
23．(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出抛物线解析式是解此题的关键．
（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）由题意得出点的横坐标为2，代入抛物线计算即可得，进而求解即可．
【详解】（1）由题意可得点的坐标为，点的坐标为，则顶点的坐标为，
∴设抛物线的解析式为，
将点B的坐标代入上式，得，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）由题意得，点的横坐标为2，
∴代入得，
∴
五角星（点）到的垂直距离为．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）根据，，，得证四边形是矩形，结合，根据垂径定理，得证明四边形是正方形．
（2）证明，得出；连接，设，交点为G，证明，得出，是的等垂弦．
（3）分两种情况：当等垂点P位于圆内，当等垂点P位于圆外时，分别画出图形进行求解即可．
【详解】（1）证明：根据题意，得，，，
∴四边形是矩形，
∵，
根据垂径定理，得
∴四边形是正方形．
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
连接，设，交点为G，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴，是的等垂弦．
（3）解：当等垂点P位于圆内，如答图所示，
过点O作，垂足分别为E，F，
根据题意，得，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴四边形是正方形，
∴．
∵，
设，，
∵，
∴，
∴，
连接，
∵的直径为10，
∴，
根据勾股定理，得，
∴，
解得（舍去），
∴；
当等垂点P位于圆外时，如答图所示，
过点O作，垂足分别为H，G，
根据题意，得，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴四边形是正方形，
∴．
∵，
设，，
∵，
∴，
∴，
连接，
∵的直径为10，
∴，
根据勾股定理，得，
∴，
解得（舍去），
∴．
综上所述，或．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，分类思想，正方形的判定和性质，熟练掌握圆的性质，正方形的性质，勾股定理是解题的关键．
25．(1)长为时，矩形的劳动田园的面积为
(2)长为时，劳动田园的面积最大，最大面积是
【分析】本题考查一元二次方程的应用、二次函数的应用，理解题意，正确列出函数关系式是解答的关键．
（1）设长为，根据题意，利用长方形的面积公式列一元二次方程求解即可；
（2）设长为，根据题意，利用长方形的面积公式列函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设长为时，矩形的劳动田园的面积为，
根据题意，得，
解得，
答：长为时，矩形的劳动田园的面积为；
（2）解：设长为，劳动田园的面积为，
根据题意，得，
∵，，
∴当时，y有最大值，最大值为，
答：当长为时，劳动田园的面积最大，最大面积是．
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