第二章二次函数练习卷（含解析）
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第二章二次函数练习卷-2024-2025学年数学九年级下册北师大版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．从，，，1，2，4这6个数中任取一个数作为a的值，则抛物线的对称轴在y轴右侧的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．将函数的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得图象的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴相交于点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．y的值随x值的增大而增大
4．若点，，在二次函数（）的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．已知二次函数的图象交轴于，两点．若其图象上有且只有，，三点满足，则的值是（ ）
A．2 B． C．3 D．4
6．二次函数的部分图像如图所示，有以下说法：
①；②；③；④当时，随的增大而减小．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题
7．已知关于的方程有两个不同的实数根，则的取值范围
8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点与点O之间的距离为
9．已知二次函数，当时，函数值的最大值为，则的值为 ．
10．对于一个函数，我们把当时对应的自变量的值，称之为函数的零点．例如：函数的零点为1；函数的零点为、3．已知函数（其中）的零点为3、0，则关于的不等式（其中）的解集为 ．
11．如图，在中，是斜边边上一点，且，分别过点、作、平行于，若，则与之间的最大距离为 ．
12．如图，抛物线经过矩形的两顶点A，B，与x轴交于点D，E，抛物线对称轴与x轴交于点F.点P，Q分别为边上一点，当四边形周长最短时，与的数量关系为 ．
13．如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，抛物线与轴交于一点，则该点坐标是 ．
14．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，则的最小值为 ．
三、解答题
15．在平面直角坐标系中，，是抛物线上两点．设该抛物线的对称轴为．
(1)若对于，有，求t的值；
(2)若对于，都有，求t的取值范围．
16．某商场购进一批成本为每件20元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
(1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式；
(2)若商场按单价不低于成本价，且不高于成本价的2倍销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润（元）最大？最大利润是多少？
17．在平面直角坐标系中，已知二次函数的表达式为．
(1)若，且点在函数的图像上，求此时函数的最大值；
(2)若，且函数的图像经过点，当自变量x的值满足时，y随x的增大而增大，则a的取值范围______；
(3)在（1）的条件下，若二次函数与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，点D在直线上方的二次函数图像上，过点D作于点M，是否存在点D，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，求点D的横坐标：若不存在，请说明理由．
18．如图，已知抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，抛物线的顶点为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若是直线下方抛物线上任意一点，过点作轴于点，与交于点，求线段长度的最大值．
(3)若点在轴上，且，直接写出点的坐标．
19．如图1，抛物线经过点、，对称轴为直线，直线与x轴所夹锐角为，与y轴交于点E．
(1)求抛物线和直线的表达式；
(2)将抛物线沿二、四象限的角平分线平移，使得平移后的抛物线与直线恰好只有一个交点，求抛物线平移的距离；
(3)如图2，将抛物线沿直线翻折，得到新曲线，与y轴交于M、N两点，请直接写出点坐标．
20．从以动画技术革新领跑电影票房的《哪吒2》，到“神农”“天问”等楚才系列人形机器人集中亮相，现象级的科技飞跃成为今年春节的热门符号．某科技公司乘“巳”而上，在科技创新的驱动下，测试一款新研发的植护无人机喷洒农药，如图①，其喷洒轨迹可近似地看作抛物线型．如图②，已知无人机喷头A到水平地面（）的高度为，喷洒的农药覆盖农作物的宽度（）为，以线段所在直线为x轴，垂直于，且过线段的中点O与喷头A的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
(1)求喷洒农药的轨迹所在抛物线的函数表达式；
(2)为提升效率，保证喷洒农药的均匀程度，要求植护无人机喷洒农药覆盖农作物的宽度要达到，那么测试人员应该如何操作植护无人机（上下移动）才能达到要求？
《第二章二次函数练习卷-2024-2025学年数学九年级下册北师大版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C C C D C C
1．C
【分析】本题主要考查概率公式及二次函数的性质，二次函数的对称轴在y轴的右侧得出，从所列6个数中找到的个数，再根据概率公式求解可得．
【详解】解：抛物线的对称轴为，
若抛物线的对称轴在y轴右侧，
则，即，
∴从，，，1，2，4这6个数中任取一个数，共有6种等可能结果，其中使该二次函数的对称轴在y轴的右侧的有，这2种结果，
∴该二次函数的对称轴在y轴的右侧的概率为．
故答案为：C．
2．C
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，平移法则：左加右减，上加下减，掌握此法则是解题的关键；按照平移法则进行求解即可．
【详解】解：函数的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得图象的函数表达式为；
故选：C．
3．C
【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象与坐标轴的交点问题，根据图象，结合二次函数性质逐项判断即可求解．
【详解】解：A、根据图象，该抛物线的开口向上，则，故该选项说法错误，不符合题意；
B、根据图象，该抛物线与x轴有两个交点，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，故该选项说法错误，不符合题意；
C、∵该抛物线的对称轴为直线，与x轴相交于点，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
∴当时，，故该选项说法正确，符合题意；
D、∵该抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴当时，y的值随x值的增大而增大，当时，y的值随x值的增大而减小，
故故该选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
4．D
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据，，三点到对称轴的距离大小关系求解．解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
【详解】解：（），
抛物线开口向下，对称轴为直线，
，
，
故选：D．
5．C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点等知识；先求出二次函数与x轴的两个交点坐标，求出顶点坐标；由题意知，，三点中必有一点是抛物线的顶点，由三角形面积即可求得m的值．
【详解】解：令，解得，
∴，
∴；
∵，
∴抛物线顶点坐标为；
∵抛物线上有且只有，，三点满足，
∴，，三点中必有一点是抛物线的顶点，
∴；
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由开口方向可判断①；由图象知当时，，可判断②；根据对称轴可判断③；根据二次函数的性质可判断④，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，故①正确；
由图象可知，当时，，
即，故②错误；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，故③正确；
∵抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∴当时，随的增大而减小，故④正确；
综上，正确的说法有①③④，
故选：.
7．或
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，把方程的解的问题转化为图象的交点问题是解题的关键．
作出和的图象，再根据图象判断的范围即可．
【详解】解：∵关于的方程有两个不同的实数根，
∴和的图象有两个交点，
如图，当经过点左面和之间时，和的图象有两个交点，
当经过点时，于相切于点，
令，整理得：，
∵和有一个交点，
∴，解得，
∴当时，和的图象有两个交点；
令，
∴与轴交于1，5两点，即，，
当经过时，，解得，
当经过时，，解得，
∴当时，和的图象有两个交点；
综上所述，当或时，的方程有两个不同的实数根，
故答案为：或．
8．
【分析】根据抛物线得到顶点坐标为，再由两点间距离公式即可解答．
本题考查了二次函数的性质，两点间距离公式，熟练掌握顶点坐标是解题的关键．
【详解】∵抛物线，
∴顶点坐标为，
∵O为坐标原点，
∴两点间的距离公式为，
将顶点与原点坐标代入，得．
故答案为：．
9．/
【分析】本题考查二次函数的性质，将二次函数解析式化为顶点式，从而可得抛物线开口方向及顶点坐标，将代入函数解析式求出的值，进而求解．正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：，
抛物线开口向上，顶点坐标为，
将代入得，
解得，，
，
当时，，
故答案为：．
10．且
【分析】根据零点定义，转化为方程的根，确定字母系数之间的关系，后化简绝对值，分类计算即可．
【详解】解：∵函数（其中）的零点为3、0，
∴的两个根为3、0，
∴，
∴，
∴，
当时，变形为，
∴，
∵，
∴，
∴；
当时，变形为，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴关于的不等式（其中）的解集为且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了抛物线与一元二次方程的关系，根与系数关系定理，绝对值的化简，不等式的解法，熟练掌握关系，定理，解不等式是解题的关键．
11．9
【分析】本题分为A点在P点左侧与P点在A点右侧两种情况考虑，当点A在P点右侧时，过点A作于点G，延长交于点F，证明，过点C作于点D交与点E，证明，可得，由，，， ，整理得，当对称轴时，AF取最大值，因为，所以时不符合题意舍去，所以时，取得最大值为8，所以，；当点A在点P左侧时，利用相似三角形的性质同样可以求出其最大值为9，综合以上情况即可解决问题．
【详解】解：当点A在点P右侧时，如图，过点A作于点G，延长交于点F，
∴，
∴，
∴，
∵，
设，，，（），
∴，，
过点C作于点D，交于点E，
由题意得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
同理，四边形也为矩形，
∴，，，
∴，
在中，根据勾股定理，得
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
∴，
因为二次函数开口向下，当对称轴时，取最大值，
∵，
∴时不符合题意舍去，
∴时，取得最大值为8，
∴，
∴，
∴与之间的最大距离为；
当点A在点P左侧时，延长交于点D，过C点作，垂足为G，取中点E，连接，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设A点到的距离为h，
∴，
∴，
∴与之间的距离为，
∵，
∴与之间的距离最大值为9，
综上可得：与之间的距离为9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，平行线之间的距离，勾股定理，矩形的判定与性质，熟练掌握相关知识之间的转化与运用是解答的关键．
12．
【分析】本题考查了二次函数和一次函数的性质，两点之间线段最短最短，轴对称的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．作点关于直线的对称点，先求出，，对称轴为直线，连接，交于点，交与，，，此时四边形周长为，周长最短，即点共线时，周长最短，然后求出直线解析式为，从而可求出，，然后用两点间的距离即可求解．
【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，
由得：当时，，解得：，，
∴，
当时，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴A、B关于抛物线对称轴对称；
∴抛物线对称轴为直线，
∴，，
∴，
∴关于直线对称；
连接，交于点，交与，
∴，，
∴此时四边形周长为，周长最短，
即点共线时，周长最短，
∵点关于直线的对称点为，
∴，
设直线解析式为，
∴，解得，
∴直线解析式为，
当时，，解得：，
∴，
当时，，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，二次函数与坐标轴交点的计算是解题的关键．
根据顶点坐标设二次函数解析式为，运用待定系数法得到解析式，令解得函数值即可．
【详解】解：抛物线与轴交于点，顶点坐标为，
∴设二次函数解析式为，
把点代入得，，
解得，，
∴二次函数解析式为，
当时，，
∴抛物线与轴交于一点，则该点坐标是，
故答案为： ．
14．
【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，锐角三角函数，胡不归问题等，把代入得，故抛物线的解析式为，连接，过作于，交抛物线对称轴直线于，设直线交轴于，求出，，，，可得，，即得，从而，由垂线段最短可知，当与重合时，最小，最小值为的长度，根据面积法求出，故的最小值为，解题的关键掌握胡不归问题的解决方法．
【详解】解：把代入得：，
解得，
抛物线的解析式为，、
，
抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线；
如图，连接，过作于，交抛物线对称轴直线于，设直线交轴于，
在中，令得，
解得或，
，
，
将抛物线的顶点向下平移个单位长度得到点，
，，
，
，
，
，
，
由垂线段最短可知，当与重合时，最小，最小值为的长度，
，
，
的最小值为．
故答案为：
15．(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次函数的性质，二次函数的对称性等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据抛物线的对称性解决问题即可．
（2）由题意点，连线的中垂线与x轴的交点的坐标大于t，利用二次函数的性质判断即可．
【详解】（1）解：∵对于，有，
∴点，关于直线对称，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小．
①当时，
∵，
∴，
∴，
∴，符合题意；
②当时，
（i）当时，
∵，
∴，
∴，符合题意；
（ii）当时，
设点关于的对称点为，则点的坐标为，
∵，
∴.
∵，
∴，
∴，符合题意；
③当时，令，则，
∴，不符合题意；
④当时，令，则，
∴，不符合题意；
综上所述，t的取值范围是．
16．(1)
(2)销售单价定为40元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是1200元
【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求函数解析式，理解题意正确列出函数关系式是解题的关键．
（1）设函数关系式为，代入和，利用待定系数法即可求解；
（2）根据题意表示出利润关于销售单价的函数关系式，结合的范围，利用二次函数的性质求出的最大值和对应的的值即可解答．
【详解】（1）解：设函数关系式为，
代入和得，，
解得：，
该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式为．
（2）解：由题意得，，
由（1）得，，
，
当时，随增大而增大，
当时，有最大值，最大值为，
销售单价定为40元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是1200元．
17．(1)2
(2)
(3)点D的坐标为或
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
（2）因为时，y随x的增大而增大，，则，即可求解；
（3）在上截取，则，由，求出，从而得到，当时，，过点D作轴交直线于点N，由是等腰直角三角形，可得，设，则，，，可得，设，则，由此得到方程，求出n的值，即可求D点坐标；当时，过点D作轴交直线于点K，，，设，则得到，再由，则，得到方程，求出n的值，即可求D点坐标．
【详解】（1）解：若，则抛物线的表达式为，
将代入得：
，
解得，，
则抛物线的表达式为：，
即函数的最小值为2；
（2）解：将代入，得：，
则，
∵时，随的增大而增大，，
∴，
∴，
即；
（3）解：存在点D，使得中的某个角恰好等于的2倍，理由如下：
在上截取，则，如图，
∵，，
∴，即，
解得：，
∴，
过点D作轴交直线于点N，
∵
∴,
∴
∵,
∴是等腰直角三角形，
∴
设，则，，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
解得，或（舍去）
∴；
当时，过点D作轴，交直线于点K，
∵，
∴，
设，则
∵，
∴，
∴
∴，
设，则，
∴，，
∴，
解得，（舍去），
∴，
综上，点D的坐标为或．
18．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）将，代入求解即可；
（2）根据的解析式和抛物线的解析式，设，则，表示的长，根据二次函数的最值可得的最大值即可；
（3）如图1，连接，，交于点．然后分点在点的左侧和右侧两种情况解答即可．
【详解】（1）解：把，代入抛物线中
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：，
当时，，
解得：或，
∴；
设的解析式为：，
∵，，
，
解得：，
∴的解析式为：，
设，
则，
，
当时，有最大值为．
（3）解：如图1，连接，交于点．
，
∴顶点，
设所在直线的解析式为：，
将代入函数解析式得，
解得，
故所在直线的解析式为：，
∵，
∴，
设所在直线的解析式为：，
将点坐标代入函数解析式，得，
故所在直线的解析式为：，
当时，，
即点的坐标为，
当点在点的右侧时，
∵，，，
，，，
，
∴是直角三角形，
是斜边，
∵，
∴，
∴，
∴为的中点，
∴经过的中点，
∴直线的解析式为，
∴点的坐标是．
∴综上所述，点的坐标是或．
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论和数形结合的思想是解题的关键．
19．(1)和
(2)若抛物线向右下方平移单位
(3)
【分析】本题考查二次函数图象和性质，一次函数图象和性质，一元二次方程，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键；
（1）根据题意，可得抛物线对称轴为直线，再将，，代入表达式，根据题意，再求解一次函数解析式，即可求解；
（2）根据题意，分情况若抛物线向左上方平移，若抛物线向右下方平移分别讨论，即可求解；
（3）根据题意，设，进而求解的坐标，将代入，求解即可
【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为直线，经过点，
∴抛物线 经过点，
设抛物线表达式为，
将，，代入表达式，
，
∴抛物线为，
∵直线 与轴所夹锐角为，
，
，
设直线表达式为，把，代入，
得，
解得
直线：，
∴抛物线和直线的表达式分别为：和；
（2）解：①若抛物线向左上方平移，则抛物线与直线始终有两个交点，不合题意；
②若抛物线向右下方平移，
∵二四象限角平分线表达式：，
∴抛物线向右平移单位的同时向下平移单位，
∵原抛物线 为，
∴其顶点为，
∴平移后顶点为，
∴平移后抛物线表达式为，
令，
若平移后抛物线与直线只有一个交点，
则,
，
平移的距离为；
（3）解：设，
则点关于的对称点为，
，
则的横坐标为：，
则的解析式为：，
因为该点在直线上，
则；
将代入，
可得：，
解得：或（舍去）；
点坐标为：
20．(1)
(2)测试人员应该如何操作植护无人机向上移动才能达到要求
【分析】本题主要查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）根据题意得：点，，可设抛物线的函数表达式为，
利用待定系数法解答，即可求解；
（2）设喷洒农药的轨迹所在抛物线的函数表达式为，把点代入，可求出抛物线的函数表达式，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：点，，
可设抛物线的函数表达式为，
把点代入得：，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：设喷洒农药的轨迹所在抛物线的函数表达式为，
根据题意得：点在喷洒农药的轨迹所在抛物线上，
∴，
解得：，
∴喷洒农药的轨迹所在抛物线的函数表达式为，
当时，，
即无人机喷头到水平地面的高度为，
∵，
∴测试人员应该如何操作植护无人机向上移动才能达到要求．
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第二章二次函数练习卷-2024-2025学年数学九年级下册北师大版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．从，，，1，2，4这6个数中任取一个数作为a的值，则抛物线的对称轴在y轴右侧的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．将函数的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得图象的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴相交于点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．y的值随x值的增大而增大
4．若点，，在二次函数（）的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．已知二次函数的图象交轴于，两点．若其图象上有且只有，，三点满足，则的值是（ ）
A．2 B． C．3 D．4
6．二次函数的部分图像如图所示，有以下说法：
①；②；③；④当时，随的增大而减小．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题
7．已知关于的方程有两个不同的实数根，则的取值范围
8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点与点O之间的距离为
9．已知二次函数，当时，函数值的最大值为，则的值为 ．
10．对于一个函数，我们把当时对应的自变量的值，称之为函数的零点．例如：函数的零点为1；函数的零点为、3．已知函数（其中）的零点为3、0，则关于的不等式（其中）的解集为 ．
11．如图，在中，是斜边边上一点，且，分别过点、作、平行于，若，则与之间的最大距离为 ．
12．如图，抛物线经过矩形的两顶点A，B，与x轴交于点D，E，抛物线对称轴与x轴交于点F.点P，Q分别为边上一点，当四边形周长最短时，与的数量关系为 ．
13．如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，抛物线与轴交于一点，则该点坐标是 ．
14．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，则的最小值为 ．
三、解答题
15．在平面直角坐标系中，，是抛物线上两点．设该抛物线的对称轴为．
(1)若对于，有，求t的值；
(2)若对于，都有，求t的取值范围．
16．某商场购进一批成本为每件20元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
(1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式；
(2)若商场按单价不低于成本价，且不高于成本价的2倍销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润（元）最大？最大利润是多少？
17．在平面直角坐标系中，已知二次函数的表达式为．
(1)若，且点在函数的图像上，求此时函数的最大值；
(2)若，且函数的图像经过点，当自变量x的值满足时，y随x的增大而增大，则a的取值范围______；
(3)在（1）的条件下，若二次函数与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，点D在直线上方的二次函数图像上，过点D作于点M，是否存在点D，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，求点D的横坐标：若不存在，请说明理由．
18．如图，已知抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，抛物线的顶点为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若是直线下方抛物线上任意一点，过点作轴于点，与交于点，求线段长度的最大值．
(3)若点在轴上，且，直接写出点的坐标．
19．如图1，抛物线经过点、，对称轴为直线，直线与x轴所夹锐角为，与y轴交于点E．
(1)求抛物线和直线的表达式；
(2)将抛物线沿二、四象限的角平分线平移，使得平移后的抛物线与直线恰好只有一个交点，求抛物线平移的距离；
(3)如图2，将抛物线沿直线翻折，得到新曲线，与y轴交于M、N两点，请直接写出点坐标．
20．从以动画技术革新领跑电影票房的《哪吒2》，到“神农”“天问”等楚才系列人形机器人集中亮相，现象级的科技飞跃成为今年春节的热门符号．某科技公司乘“巳”而上，在科技创新的驱动下，测试一款新研发的植护无人机喷洒农药，如图①，其喷洒轨迹可近似地看作抛物线型．如图②，已知无人机喷头A到水平地面（）的高度为，喷洒的农药覆盖农作物的宽度（）为，以线段所在直线为x轴，垂直于，且过线段的中点O与喷头A的直线为y轴，建立平面直角坐标系．
(1)求喷洒农药的轨迹所在抛物线的函数表达式；
(2)为提升效率，保证喷洒农药的均匀程度，要求植护无人机喷洒农药覆盖农作物的宽度要达到，那么测试人员应该如何操作植护无人机（上下移动）才能达到要求？
《第二章二次函数练习卷-2024-2025学年数学九年级下册北师大版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C C C D C C
1．C
【分析】本题主要考查概率公式及二次函数的性质，二次函数的对称轴在y轴的右侧得出，从所列6个数中找到的个数，再根据概率公式求解可得．
【详解】解：抛物线的对称轴为，
若抛物线的对称轴在y轴右侧，
则，即，
∴从，，，1，2，4这6个数中任取一个数，共有6种等可能结果，其中使该二次函数的对称轴在y轴的右侧的有，这2种结果，
∴该二次函数的对称轴在y轴的右侧的概率为．
故答案为：C．
2．C
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，平移法则：左加右减，上加下减，掌握此法则是解题的关键；按照平移法则进行求解即可．
【详解】解：函数的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得图象的函数表达式为；
故选：C．
3．C
【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象与坐标轴的交点问题，根据图象，结合二次函数性质逐项判断即可求解．
【详解】解：A、根据图象，该抛物线的开口向上，则，故该选项说法错误，不符合题意；
B、根据图象，该抛物线与x轴有两个交点，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，故该选项说法错误，不符合题意；
C、∵该抛物线的对称轴为直线，与x轴相交于点，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
∴当时，，故该选项说法正确，符合题意；
D、∵该抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴当时，y的值随x值的增大而增大，当时，y的值随x值的增大而减小，
故故该选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
4．D
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据，，三点到对称轴的距离大小关系求解．解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
【详解】解：（），
抛物线开口向下，对称轴为直线，
，
，
故选：D．
5．C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点等知识；先求出二次函数与x轴的两个交点坐标，求出顶点坐标；由题意知，，三点中必有一点是抛物线的顶点，由三角形面积即可求得m的值．
【详解】解：令，解得，
∴，
∴；
∵，
∴抛物线顶点坐标为；
∵抛物线上有且只有，，三点满足，
∴，，三点中必有一点是抛物线的顶点，
∴；
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由开口方向可判断①；由图象知当时，，可判断②；根据对称轴可判断③；根据二次函数的性质可判断④，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，故①正确；
由图象可知，当时，，
即，故②错误；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，故③正确；
∵抛物线的对称轴为直线，开口向上，
∴当时，随的增大而减小，故④正确；
综上，正确的说法有①③④，
故选：.
7．或
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，把方程的解的问题转化为图象的交点问题是解题的关键．
作出和的图象，再根据图象判断的范围即可．
【详解】解：∵关于的方程有两个不同的实数根，
∴和的图象有两个交点，
如图，当经过点左面和之间时，和的图象有两个交点，
当经过点时，于相切于点，
令，整理得：，
∵和有一个交点，
∴，解得，
∴当时，和的图象有两个交点；
令，
∴与轴交于1，5两点，即，，
当经过时，，解得，
当经过时，，解得，
∴当时，和的图象有两个交点；
综上所述，当或时，的方程有两个不同的实数根，
故答案为：或．
8．
【分析】根据抛物线得到顶点坐标为，再由两点间距离公式即可解答．
本题考查了二次函数的性质，两点间距离公式，熟练掌握顶点坐标是解题的关键．
【详解】∵抛物线，
∴顶点坐标为，
∵O为坐标原点，
∴两点间的距离公式为，
将顶点与原点坐标代入，得．
故答案为：．
9．/
【分析】本题考查二次函数的性质，将二次函数解析式化为顶点式，从而可得抛物线开口方向及顶点坐标，将代入函数解析式求出的值，进而求解．正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：，
抛物线开口向上，顶点坐标为，
将代入得，
解得，，
，
当时，，
故答案为：．
10．且
【分析】根据零点定义，转化为方程的根，确定字母系数之间的关系，后化简绝对值，分类计算即可．
【详解】解：∵函数（其中）的零点为3、0，
∴的两个根为3、0，
∴，
∴，
∴，
当时，变形为，
∴，
∵，
∴，
∴；
当时，变形为，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴关于的不等式（其中）的解集为且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了抛物线与一元二次方程的关系，根与系数关系定理，绝对值的化简，不等式的解法，熟练掌握关系，定理，解不等式是解题的关键．
11．9
【分析】本题分为A点在P点左侧与P点在A点右侧两种情况考虑，当点A在P点右侧时，过点A作于点G，延长交于点F，证明，过点C作于点D交与点E，证明，可得，由，，， ，整理得，当对称轴时，AF取最大值，因为，所以时不符合题意舍去，所以时，取得最大值为8，所以，；当点A在点P左侧时，利用相似三角形的性质同样可以求出其最大值为9，综合以上情况即可解决问题．
【详解】解：当点A在点P右侧时，如图，过点A作于点G，延长交于点F，
∴，
∴，
∴，
∵，
设，，，（），
∴，，
过点C作于点D，交于点E，
由题意得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
同理，四边形也为矩形，
∴，，，
∴，
在中，根据勾股定理，得
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
∴，
因为二次函数开口向下，当对称轴时，取最大值，
∵，
∴时不符合题意舍去，
∴时，取得最大值为8，
∴，
∴，
∴与之间的最大距离为；
当点A在点P左侧时，延长交于点D，过C点作，垂足为G，取中点E，连接，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设A点到的距离为h，
∴，
∴，
∴与之间的距离为，
∵，
∴与之间的距离最大值为9，
综上可得：与之间的距离为9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，平行线之间的距离，勾股定理，矩形的判定与性质，熟练掌握相关知识之间的转化与运用是解答的关键．
12．
【分析】本题考查了二次函数和一次函数的性质，两点之间线段最短最短，轴对称的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．作点关于直线的对称点，先求出，，对称轴为直线，连接，交于点，交与，，，此时四边形周长为，周长最短，即点共线时，周长最短，然后求出直线解析式为，从而可求出，，然后用两点间的距离即可求解．
【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，
由得：当时，，解得：，，
∴，
当时，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴A、B关于抛物线对称轴对称；
∴抛物线对称轴为直线，
∴，，
∴，
∴关于直线对称；
连接，交于点，交与，
∴，，
∴此时四边形周长为，周长最短，
即点共线时，周长最短，
∵点关于直线的对称点为，
∴，
设直线解析式为，
∴，解得，
∴直线解析式为，
当时，，解得：，
∴，
当时，，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，二次函数与坐标轴交点的计算是解题的关键．
根据顶点坐标设二次函数解析式为，运用待定系数法得到解析式，令解得函数值即可．
【详解】解：抛物线与轴交于点，顶点坐标为，
∴设二次函数解析式为，
把点代入得，，
解得，，
∴二次函数解析式为，
当时，，
∴抛物线与轴交于一点，则该点坐标是，
故答案为： ．
14．
【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，锐角三角函数，胡不归问题等，把代入得，故抛物线的解析式为，连接，过作于，交抛物线对称轴直线于，设直线交轴于，求出，，，，可得，，即得，从而，由垂线段最短可知，当与重合时，最小，最小值为的长度，根据面积法求出，故的最小值为，解题的关键掌握胡不归问题的解决方法．
【详解】解：把代入得：，
解得，
抛物线的解析式为，、
，
抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线；
如图，连接，过作于，交抛物线对称轴直线于，设直线交轴于，
在中，令得，
解得或，
，
，
将抛物线的顶点向下平移个单位长度得到点，
，，
，
，
，
，
，
由垂线段最短可知，当与重合时，最小，最小值为的长度，
，
，
的最小值为．
故答案为：
15．(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次函数的性质，二次函数的对称性等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据抛物线的对称性解决问题即可．
（2）由题意点，连线的中垂线与x轴的交点的坐标大于t，利用二次函数的性质判断即可．
【详解】（1）解：∵对于，有，
∴点，关于直线对称，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小．
①当时，
∵，
∴，
∴，
∴，符合题意；
②当时，
（i）当时，
∵，
∴，
∴，符合题意；
（ii）当时，
设点关于的对称点为，则点的坐标为，
∵，
∴.
∵，
∴，
∴，符合题意；
③当时，令，则，
∴，不符合题意；
④当时，令，则，
∴，不符合题意；
综上所述，t的取值范围是．
16．(1)
(2)销售单价定为40元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是1200元
【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求函数解析式，理解题意正确列出函数关系式是解题的关键．
（1）设函数关系式为，代入和，利用待定系数法即可求解；
（2）根据题意表示出利润关于销售单价的函数关系式，结合的范围，利用二次函数的性质求出的最大值和对应的的值即可解答．
【详解】（1）解：设函数关系式为，
代入和得，，
解得：，
该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式为．
（2）解：由题意得，，
由（1）得，，
，
当时，随增大而增大，
当时，有最大值，最大值为，
销售单价定为40元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是1200元．
17．(1)2
(2)
(3)点D的坐标为或
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
（2）因为时，y随x的增大而增大，，则，即可求解；
（3）在上截取，则，由，求出，从而得到，当时，，过点D作轴交直线于点N，由是等腰直角三角形，可得，设，则，，，可得，设，则，由此得到方程，求出n的值，即可求D点坐标；当时，过点D作轴交直线于点K，，，设，则得到，再由，则，得到方程，求出n的值，即可求D点坐标．
【详解】（1）解：若，则抛物线的表达式为，
将代入得：
，
解得，，
则抛物线的表达式为：，
即函数的最小值为2；
（2）解：将代入，得：，
则，
∵时，随的增大而增大，，
∴，
∴，
即；
（3）解：存在点D，使得中的某个角恰好等于的2倍，理由如下：
在上截取，则，如图，
∵，，
∴，即，
解得：，
∴，
过点D作轴交直线于点N，
∵
∴,
∴
∵,
∴是等腰直角三角形，
∴
设，则，，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
解得，或（舍去）
∴；
当时，过点D作轴，交直线于点K，
∵，
∴，
设，则
∵，
∴，
∴
∴，
设，则，
∴，，
∴，
解得，（舍去），
∴，
综上，点D的坐标为或．
18．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）将，代入求解即可；
（2）根据的解析式和抛物线的解析式，设，则，表示的长，根据二次函数的最值可得的最大值即可；
（3）如图1，连接，，交于点．然后分点在点的左侧和右侧两种情况解答即可．
【详解】（1）解：把，代入抛物线中
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：，
当时，，
解得：或，
∴；
设的解析式为：，
∵，，
，
解得：，
∴的解析式为：，
设，
则，
，
当时，有最大值为．
（3）解：如图1，连接，交于点．
，
∴顶点，
设所在直线的解析式为：，
将代入函数解析式得，
解得，
故所在直线的解析式为：，
∵，
∴，
设所在直线的解析式为：，
将点坐标代入函数解析式，得，
故所在直线的解析式为：，
当时，，
即点的坐标为，
当点在点的右侧时，
∵，，，
，，，
，
∴是直角三角形，
是斜边，
∵，
∴，
∴，
∴为的中点，
∴经过的中点，
∴直线的解析式为，
∴点的坐标是．
∴综上所述，点的坐标是或．
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论和数形结合的思想是解题的关键．
19．(1)和
(2)若抛物线向右下方平移单位
(3)
【分析】本题考查二次函数图象和性质，一次函数图象和性质，一元二次方程，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键；
（1）根据题意，可得抛物线对称轴为直线，再将，，代入表达式，根据题意，再求解一次函数解析式，即可求解；
（2）根据题意，分情况若抛物线向左上方平移，若抛物线向右下方平移分别讨论，即可求解；
（3）根据题意，设，进而求解的坐标，将代入，求解即可
【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为直线，经过点，
∴抛物线 经过点，
设抛物线表达式为，
将，，代入表达式，
，
∴抛物线为，
∵直线 与轴所夹锐角为，
，
，
设直线表达式为，把，代入，
得，
解得
直线：，
∴抛物线和直线的表达式分别为：和；
（2）解：①若抛物线向左上方平移，则抛物线与直线始终有两个交点，不合题意；
②若抛物线向右下方平移，
∵二四象限角平分线表达式：，
∴抛物线向右平移单位的同时向下平移单位，
∵原抛物线 为，
∴其顶点为，
∴平移后顶点为，
∴平移后抛物线表达式为，
令，
若平移后抛物线与直线只有一个交点，
则,
，
平移的距离为；
（3）解：设，
则点关于的对称点为，
，
则的横坐标为：，
则的解析式为：，
因为该点在直线上，
则；
将代入，
可得：，
解得：或（舍去）；
点坐标为：
20．(1)
(2)测试人员应该如何操作植护无人机向上移动才能达到要求
【分析】本题主要查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）根据题意得：点，，可设抛物线的函数表达式为，
利用待定系数法解答，即可求解；
（2）设喷洒农药的轨迹所在抛物线的函数表达式为，把点代入，可求出抛物线的函数表达式，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：点，，
可设抛物线的函数表达式为，
把点代入得：，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：设喷洒农药的轨迹所在抛物线的函数表达式为，
根据题意得：点在喷洒农药的轨迹所在抛物线上，
∴，
解得：，
∴喷洒农药的轨迹所在抛物线的函数表达式为，
当时，，
即无人机喷头到水平地面的高度为，
∵，
∴测试人员应该如何操作植护无人机向上移动才能达到要求．
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