第七章复数达标测试卷-2024-2025学年高一数学下学期人教A版2019必修第二册

中小学教育资源及组卷应用平台
第七章复数达标测试卷-2024-2025学年高一数学下学期人教A版2019必修第二册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若复数满足， 则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．复数（ ）
A． B． C． D．
3．若复数满足，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
4．已知复数，为的共轭复数，则（ ）
A． B． C． D．
5．若，其中为虚数单位，则等于（ ）
A． B． C．1 D．
6．若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．
7．已知复数z在复平面内满足，则复数对应的点Z的集合所形成图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．若（，，），且，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．在复数范围内，方程的两个根分别为，，则（ ）
A． B．
C． D．
10．若复数z满足，则（ ）
A． B．z的虚部为 C． D．
11．已知复数，，，在复平面内对应的点分别为，，则（ ）
A．
B．
C．满足的复数对应的点形成的图形的周长是
D．满足的复数对应的点形成的图形的面积是
三、填空题
12．已知复数，则实数m的值是 ．
13．18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离．设复数，且，则的取值范围是 .
14．已知是虚数单位，则 .
四、解答题
15．已知复数（其中为虚数单位）.
(1)求；
(2)求.
16．已知复数，其中是虚数单位，
(1)若z为纯虚数，求实数m的值；
(2)若z在复平面内所对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．
17．已知复数，其中．
(1)设，若是纯虚数，求实数m的值；
(2)设，分别记复数在复平面上对应的点为A、B，求与的夹角余弦值以及在上的投影向量．
18．已知复数满足.
(1)求复数和；
(2)若复数是关于的方程的一个根，求实数a，b的值.
19．现定义“维形态复数”：，其中为虚数单位，，.
(1)当时，证明：“2维形态复数”是“1维形态复数”的平方；
(2)若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求的值.
《第七章复数达标测试卷-2024-2025学年高一数学下学期人教A版2019必修第二册》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A C A C B A BCD AD
题号 11
答案 BC
1．C
【分析】根据条件，利用复数的运算，得到，可得其对应的点，即可求解.
【详解】由，得到，其对应点为，
故选：C.
2．A
【分析】根据复数的除法的运算得到答案.
【详解】，
故选：A.
3．A
【分析】根据复数的运算先求复数，进而得，即可运算.
【详解】由有.
故选：A.
4．C
【分析】由复数的乘法运算和复数除法的模的运算即可得到答案.
【详解】，，
故选：C.
5．A
【分析】先由复数的除法运算，求出，进而可求出其共轭复数，再由复数的除法运算计算.
【详解】由，得，
则，
所以．
故选：A．
6．C
【分析】根据复数的几何意义，结合题意，列出不等式，求解即可.
【详解】复数在复平面内对应的点为，若其在第二象限，
则，解得.
故选：C.
7．B
【分析】结合复数的几何意义求解即可.
【详解】因为所以复数对应的点表示的是以为半径的圆，
所以面积为.
故选：B.
8．A
【分析】由复数运算结合复数相等概念可得，然后结合可得答案.
【详解】因为，
所以，
所以，解得，.因为，所以，
解得或.
故选：A.
9．BCD
【分析】根据韦达定理和复数范围内一元二次方程两根的特点一一分析即可.
【详解】对A，根据韦达定理知，故A错误；
对B，根据韦达定理知，故B正确；
对C，解出两根分别为，显然两根互为共轭复数，则，故C正确；
对D，因为，则，故D正确.
故选：BCD.
10．AD
【分析】利用已知条件进行化简求出复数即可.
【详解】得，
则z的虚部为，，，
故AD正确，BC错误.
故选：AD.
11．BC
【分析】由复数的几何意义以及模长公式即可判断AB，先确定复数对应的点的轨迹，即可得到其周长以及面积，即可判断CD.
【详解】对于A，，则，
且，，而，故A错误；
对于B，因为，则，即，
故B正确；
对于C，设，且，由可得，即，
以复数对应的点形成的图形是以原点为圆心，为半径的圆，
其周长为，故C正确；
对于D，因为，，由可得，
复数对应的点形成的图形是以原点为圆心，
半径与的两个圆所夹圆环内点的集合，
其面积为，故D错误；
故选：BC
12．或
【分析】先由复数的除法运算求出复数，求复数的模即可求解.
【详解】由，
所以，解得或.
故答案为：或.
13．
【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义，结合圆的性质求解.
【详解】为，
表示复平面内复数z对应的点与点的距离为，
因此点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，表示点与点的距离，
而，则，
所以的取值范围是.
故答案为：
14．
【分析】利用复数的四则运算化简原复数，再求模即可.
【详解】由题意得，
.
故答案为：
15．(1)；
(2)
【分析】（1）根据复数代数形式的乘法运算化简复数，再根据共轭复数的定义计算可得；
（2）根据复数模的定义计算可得.
【详解】（1）.
（2）因为，所以.
16．(1)空集
(2)
【分析】（1）利用纯虚数的定义列式求解；
（2）求出复数对应的点，再由点的位置列出不等式组求解.
【详解】（1）复数为纯虚数，则，无解，
所以实数m的值的集合为空集；
（2）由z在复平面内所对应的点在第二象限，得，解得，
所以实数m的取值范围是.
17．(1)
(2)，
【分析】（1）计算出，根据纯虚数得到方程和不等式，求出；
（2）求出和，利用向量夹角余弦公式求出余弦值，进而得到投影向量
【详解】（1），因为是纯虚数，
所以且，解得；
（2）当时，，故，
，故．
设，则；
所以在上的数量投影向量为．
18．(1)，
(2)，
【分析】（1）利用复数除法运算及复数模长运算可得结果；
（2）将代入方程化简，再利用复数相等的条件列方程组可求得实数a，b的值.
【详解】（1）因为复数满足，
所以，
所以.
所以.
（2）因为复数是关于的方程的一个根，
由（1）知，所以
，
所以，
解得，.
19．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据“维形态复数”的概念，分别把时的“2维形态复数”和“1维形态复数”表示出来，再根据复数的计算法则进行计算，即可证明；
（2）由“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，根据复数相等的条件可求得，结合三角函数的诱导公式，可求解.
【详解】（1）当时，，
设“1维形态复数”为，则，
“2维形态复数”为，则，
因为，
故“2维形态复数”是“1维形态复数”的平方.
（2）因为“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，
所以，
因此，
解，得或，
解，得或，
由于两个方程同时成立，故只能有，即.
所以.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)