第三章圆练习卷（含解析）
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第三章圆练习卷-2024-2025学年数学九年级下册北师大版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列命题中真命题的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．三角形的外心到三角形各边的距离相等
C．平分弧的直径垂直于弧所对的弦
D．在同圆中相等两条弦所对的弧相等
2．在直角坐标平面内，，圆M的半径为4，那么点与圆M的位置关系是（ ）
A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定
3．如图，把剪成三部分，边，，放在同一直线上，点都落在直线上，直线．在中，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点，，在上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图，点表示筒车的一个盛水桶．如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦的长为，圆心到的距离为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，这是某罐装柠檬茶饮料的实物图，瓶身是圆柱体，其横截面是直径为的圆，瓶身侧面贴有“柠檬茶”字样的广告．如图，广告贴的横截面是该圆的圆周角为所对应的弧，则带有“柠檬茶”字样的广告贴的横截面的弧长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，内接于，是的直径．若，，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．5 D．4
8．如图，矩形中，，，以为圆心，2为半径作．动点在线段上（可以与和重合），连接，与的交点为点．连接．下列结论错误的是（ ）
A．的最小值是8
B．若是的切线，则
C．面积的最大值为
D．的最小值是32
二、填空题
9．已知是的内接正十边形的一条边，是的内接正十五边形的一条边，则以为边的内接正多边形的中心角度数为 ．
10．已知的直径是10，是的内接等腰三角形且底边，则的面积为 ．
11．已知如图，、是的弦，，垂足为点E，被分成3厘米、14厘米两段（），则点O到的距离为 ．
12．如图，以的直角边为直径的交边于点E，点M是的中点，交于点D，，，则 ．
13．如图，在矩形中，平分交于点E，．以点B为圆心，长为半径画弧，交于点F，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）．
14．定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，和组成圆的折弦，于F，则．如图2，是上一点，，连接，则 °．
三、解答题
15．已知：如图，⊙与⊙相交于、，点是线段的中点，过点且与垂直，点、分别是与⊙、⊙的交点．求证：．
16．如图，，是的切线，切点分别为A，B，是的直径，交于点E，连接交于点F，连接交于点D，．
(1)求的长．
(2)连接，求证：．
17．如图，在中，，平分，交于点．以为圆心，为半径作，分别交于点，的延长线交于点，连接．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的长．
18．如图，在中，弦为，弦为，为的直径，为的中点．连接和，与相交于点．
(1)求证：；
(2)求的值．
19．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的位置均在小方格格点上．
(1)画出关于y轴对称的并写出点的坐标．
(2)将绕点O逆时针旋转，画出旋转后的并写出点的坐标．
(3)求在（2）旋转的过程中边扫过的面积．
20．已知是半圆O的直径，点C是半圆O上的一个动点（不与点A、P重合），连接，以直线为对称轴翻折，将点O的对称点记为，射线交半圆O于点B，连接．
(1)如图，当点B与点重合时，求证：
(2)过点作射线的垂线，垂足为，连接交于．当，时，求的值．
21．四边形内接于，且满足，连接对角线，交于点E．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，点Q在线段上，连接交于点F，若，求证：；
(3)如图3，的半径为R，，为的直径，I为的内心，若，试计算的值．
22．在平面直角坐标系中，对于点P和，给出如下定义：若上存在一点T不与O重合，使点P关于直线的对称点在⊙C上，则称P为的反射点．下图为的反射点P的示意图．
(1)已知点A的坐标为，的半径为2，
①在点中，的反射点是 ；
②点P在直线上，若P为的反射点，求点P的横坐标的取值范围；
(2)的圆心在x轴上，半径为2，y轴上存在点P是的反射点，直接写出圆心C的横坐标x的取值范围
《第三章圆练习卷-2024-2025学年数学九年级下册北师大版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C C B C A D D
1．C
【分析】本题综合考查了垂径定理推论、三角形的外心和内心的性质等．根据相关性质或定理即可判断．
【详解】解：A、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，原说法错误，本选项不符合题意；
B、三角形的外心到三个顶点的距离相等，原说法错误，本选项不符合题意；
C、平分弧的直径垂直于弧所对的弦，原说法正确，本选项符合题意；
D、同圆或等圆中相等的圆周角所对的优弧相等，所对的劣弧也相等，原说法错误，本选项不符合题意；
故选：C．
2．C
【分析】本题考查了点与圆的位置关系．求得线段的长后与圆的半径比较即可确定正确的选项．
【详解】解：∵，，
∴，
∵圆M的半径为4，
∴点在圆外，
故选：C．
3．C
【分析】本题考查三角形内心，三角形内角和定理，读懂题意，熟练掌握三角形内心的判定及性质是解决问题的关键．
过点分别作于，于，于，如图所示，得到点是的内心，即点为三个内角平分线的交点，然后根据三角形内角和定理即可得到答案．
【详解】解：过点分别作于，于，于，如图所示：
∵直线，
∴，
∴点是的内心，即点为三个内角平分线的交点，
∵
∴
∴，
∴．
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握这两个定理的内容是关键；在优弧上任取点F，连接，则由圆内接四边形的性质得的度数，再由圆周角定理即可求得的度数．
【详解】解：如图，在优弧上任取点F，连接，
∵，
∴，
∴；
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，正弦的定义，连接交于点，由题意得：，，，由垂径定理可得，由勾股定理可得，最后由正弦的定义即可求解．熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接交于点，
，
由题意得：，，，
，
∵圆心到的距离为，
即
，
，
故选：C．
6．A
【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，连接，可得，再根据弧长公式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：如图，设圆心为O，连接，
则，
∵圆的直径为，
∴，
∴横截面的弧长，
故选：．
7．D
【分析】本题主要考查圆周角定理，勾股定理和角所对的直角边等于斜边的一半，连接，则，由得，由是的直径得，得，求出，得，由勾股定理求出的长．
【详解】解：连接，如图，则，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，
故选：D．
8．D
【分析】本题考查圆的综合应用．作点关于直线的对称点，连接交于点，如图所示，此时，最小，最小值为，根据轴对称的性质和勾股定理求出，即可求出的最小值；若是的切线，则，在 中，勾股定理求出，根据，即可求出；根据，得出当的面积最小时，的面积最大，过点E作，得出，根据相似三角形的性质求出，根据当底边上的高最小时，的面积最小，求出面积的最小值为，即可求出的面积最大值为；设，则，根据，即可得出当时，的值最小，最小值为 34．
【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交于点，如图所示，
此时，最小，最小值为，
∵矩形中，，，
，
，
∴的最小值是：，故A正确；
若是的切线，则，
在 中，，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，故B项正确；
∵，
∴当的面积最小时，的面积最大，
在中，，
过点E作，
则，
∴，
即，
解得：，
∵底边为，故当底边上的高最小时，的面积最小，
∴当与重合时，的面积最小，
此时，，
即面积的最小值为，
则的面积最大值为，故C项正确；
设，则，
则
，
∴当时，的值最小，最小值为 34，故D项错误．
故选：D．
【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，解直角三角形，二次函数的最值求解，勾股定理，矩形的性质，切线的性质，轴对称的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
9．或
【分析】本题考查了正多边形和圆，先求出，，再分两种情况：当点在弧外时，当点在弧上时，分别求解即可得解，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
【详解】解：如图：
，
∵是的内接正十边形的一条边，是的内接正十五边形的一条边，
∴，，
∴当点在弧外时，，
当点在弧上时，，
综上所述，以为边的内接正多边形的中心角度数为或，
故答案为：或．
10．或
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理、等腰三角形的性质，分两种情况：当圆心在内部时，当圆心在外部时，分别求解即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
【详解】解：当圆心在内部时，
，
由题意可得：，，，
∴，
∴，
∴；
当圆心在外部时，
，
由题意可得：，，，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的面积为或，
故答案为：或．
11．厘米
【分析】本题考查了垂径定理、矩形的判定与性质，作于，于，由题意可得，厘米，厘米，则四边形为矩形，厘米，由垂径定理可得厘米，求出的长，即可得解．
【详解】解：如图：作于，于，
，
由题意可得：，厘米，厘米，
∴四边形为矩形，厘米，
∴，
∵，
∴厘米，
∴厘米，
∴厘米，
即点O到的距离为厘米，
故答案为：厘米．
12．
【分析】利用三角形函数求出，从而求出的半径；根据垂径定理得及，进而求出，最后求出即可．本题考查垂径定理、含角的直角三角形，解直角三角形，掌握垂径定理、含角的直角三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：，，
，
，
，
，
是的中点，
，，
，
，
故答案为：
13．/
【分析】本题主要考查了扇形面积求法以及矩形的性质等知识，利用矩形的性质以及结合角平分线的性质分别求出的长以及的度数，进而利用图中阴影部分的面积，求出答案．
【详解】解：∵矩形的边，平分，
∴，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积
．
故答案为：．
14．60
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，如图2，连接，先计算得到，则根据阿基米德折弦定理得到点E为弧的中点，即，根据圆心角、弧、弦的关系得到，接着利用圆周角得到，则可得到，然后再利用圆周角定理得到的度数．
【详解】解：如图，连接
∵
∴，
∴，
而，
∴点E为弧的中点，即，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：60．
15．证明见解析
【分析】本题考查了相交两圆的性质，垂径定理的应用，灵活运用以上知识点是解题的关键．过点作于点，过点作于点，分别运用垂径定理得到、，求出即可．
【详解】证明：如图所示，过点作于点，过点作于点，
则、，
，，过点且与垂直，
，
，
点是线段的中点，即，
，
．
16．(1)2
(2)见解析
【分析】（1）由切线长的定理得出，得出是的垂直平分线，再由直径所对的圆周角等于90度得出，再证明为的中位线，进而可得出的长．
（2）由切线的定义得出，由直径所对的圆周角等于90度进一步得出 ，等量代换可得出，由线段垂直平分线的性质以及等弧所对的圆周角相等可得出，等量代换可得出．
【详解】（1）解：连接，
，是的切线，
．
，，
是的垂直平分线，
，
是的直径，
，
．
（2）证明：是的切线，
．
是的直径，
∴，
，
．
是的垂直平分线，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的定义和性质，切线长的定义和性质，线段垂直平分线的判定以及性质，三角形中位线的判定以及性质等知识，掌握这些性质是解题的关键．
17．(1)证明见详解；
(2)5；
【分析】（1）过作交于点，根据角平分线性质得到即可得到证明；
（2）连接，证明，得到即可得到答案．
【详解】（1）证明：过作交于点，
∵，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴为的切线；
（2）解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形，圆切线的证明，角平分线性质，解题的关键是作出辅助线得到．
18．(1)见解析
(2)．
【分析】（1）利用两角对应相等，即可证明；
（2）作于点，连接，，利用勾股定理求得，利用等积法求得，再利用勾股定理求得和的长，再证明，利用相似三角形的性质求得，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：作于点，连接，，
∵为的直径，弦为，弦为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，圆周角定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
19．(1)作图见解析；点的坐标为
(2)作图见解析；点的坐标为
(3)
【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
（3）利用勾股定理求出，的长，再利用扇形的面积公式计算即可．
本题考查作图-旋转变换、扇形面积的计算、作图-轴对称变换，熟练掌握旋转的性质、轴对称的性质、扇形的面积公式是解答本题的关键．
【详解】（1）如图，即为所求．
由图可得，点的坐标为
（2）如图，即为所求．
由图可得，点的坐标为
（3）由勾股定理得，，，
旋转的过程中边扫过的面积为
20．(1)见解析
(2)的值为或．
【分析】（1）利用对称性得出，再利用等边对等角得出，即可得出，求出；由点与点关于直线对称，，由点与点B重合，可得，再利用垂径定理推论得出；
（2）连接交于点，先证明四边形是矩形，分点在⊙O内时，点在外时，分别讨论，证明，根据相似三角形的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：∵点与点关于直线对称，
∴．
在半圆O中，
∵，
∴．
∴，
∴，
即；
如图，连接．
∵点与点关于直线对称，，
由点与点B重合，可得．
∵点O是圆心，，
∴；
（2）解：连接交于点，
当点在⊙O内时，如图，
是的直径，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
则，
，
，
，
，
，
；
当点在外时，如图，
则，
，
，
，
∴，
综上所述，的值为或．
【点睛】本题考查了圆的基本性质，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，掌握以上知识是解题的关键．
21．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）首先由圆内接四边形的性质得到，然后根据求解即可；
（2）如图，过点E作，交于点G，证明出，得到，然后证明出，得到，进而求解即可；
（3）过点I分别作，，的垂线，垂足分别为M，N，H点，证明出四边形为正方形，设，，表示出，，然后利用勾股定理求出，，，，然后证明出，，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）∵四边形内接于，，
∴，
又∵，
∴；
（2）如图，过点E作，交于点G，
∴，
又∵且，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）过点I分别作，，的垂线，垂足分别为M，N，H点，
∵为直径，
∴，
∴四边形为矩形，
∵I为内心，
∴，
∴四边形为正方形，
设，，
∴，，
在和中，
由勾股定理可得
解得，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等，三角形内心的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
22．(1)①M、N；②，或
(2)
【分析】（1）①根据的反射点的定义，画出图形即可判断；
②设直线与以原点为圆心，半径为1和3的两个圆的交点从左至右依次为D，E，F，G，过点D作轴于点H，如图．求出点 D、E、F、G的横坐标，结合反射点的定义即可解决问题；
（3）如图3中，当C坐标为时，的反射点P是以为圆心的，此时与y轴相切，由此即可判断．
【详解】（1）解：①如图中，
观察图象可知：⊙A的反射点是M，N．
故答案为M、N．
②设直线与以原点为圆心，半径为1和3的两个圆的交点从左至右依次为，过点作轴于点H，如图．
可求得点D的横坐标为．
同理可求得点E，F，G，的横坐标分别为，，．
点P是的反射点，则上存在一点T，使点P关于直线的对称点在上，则.
∵，
∴．
反之，若，上存在点Q，使得，故线段的垂直平分线经过原点，且与相交．因此点P是的反射点．
∴点P的横坐标x的取值范围是，或；
（2）如图中，当C坐标为时，的反射点P是以为圆心的，此时与y轴相切，所以满足条件的圆心C的横坐标x的取值范围是．
【点睛】本题考查圆的有关知识、反射点的定义、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
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第三章圆练习卷-2024-2025学年数学九年级下册北师大版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列命题中真命题的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．三角形的外心到三角形各边的距离相等
C．平分弧的直径垂直于弧所对的弦
D．在同圆中相等两条弦所对的弧相等
2．在直角坐标平面内，，圆M的半径为4，那么点与圆M的位置关系是（ ）
A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定
3．如图，把剪成三部分，边，，放在同一直线上，点都落在直线上，直线．在中，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点，，在上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图，点表示筒车的一个盛水桶．如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦的长为，圆心到的距离为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，这是某罐装柠檬茶饮料的实物图，瓶身是圆柱体，其横截面是直径为的圆，瓶身侧面贴有“柠檬茶”字样的广告．如图，广告贴的横截面是该圆的圆周角为所对应的弧，则带有“柠檬茶”字样的广告贴的横截面的弧长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，内接于，是的直径．若，，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．5 D．4
8．如图，矩形中，，，以为圆心，2为半径作．动点在线段上（可以与和重合），连接，与的交点为点．连接．下列结论错误的是（ ）
A．的最小值是8
B．若是的切线，则
C．面积的最大值为
D．的最小值是32
二、填空题
9．已知是的内接正十边形的一条边，是的内接正十五边形的一条边，则以为边的内接正多边形的中心角度数为 ．
10．已知的直径是10，是的内接等腰三角形且底边，则的面积为 ．
11．已知如图，、是的弦，，垂足为点E，被分成3厘米、14厘米两段（），则点O到的距离为 ．
12．如图，以的直角边为直径的交边于点E，点M是的中点，交于点D，，，则 ．
13．如图，在矩形中，平分交于点E，．以点B为圆心，长为半径画弧，交于点F，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）．
14．定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，和组成圆的折弦，于F，则．如图2，是上一点，，连接，则 °．
三、解答题
15．已知：如图，⊙与⊙相交于、，点是线段的中点，过点且与垂直，点、分别是与⊙、⊙的交点．求证：．
16．如图，，是的切线，切点分别为A，B，是的直径，交于点E，连接交于点F，连接交于点D，．
(1)求的长．
(2)连接，求证：．
17．如图，在中，，平分，交于点．以为圆心，为半径作，分别交于点，的延长线交于点，连接．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的长．
18．如图，在中，弦为，弦为，为的直径，为的中点．连接和，与相交于点．
(1)求证：；
(2)求的值．
19．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的位置均在小方格格点上．
(1)画出关于y轴对称的并写出点的坐标．
(2)将绕点O逆时针旋转，画出旋转后的并写出点的坐标．
(3)求在（2）旋转的过程中边扫过的面积．
20．已知是半圆O的直径，点C是半圆O上的一个动点（不与点A、P重合），连接，以直线为对称轴翻折，将点O的对称点记为，射线交半圆O于点B，连接．
(1)如图，当点B与点重合时，求证：
(2)过点作射线的垂线，垂足为，连接交于．当，时，求的值．
21．四边形内接于，且满足，连接对角线，交于点E．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，点Q在线段上，连接交于点F，若，求证：；
(3)如图3，的半径为R，，为的直径，I为的内心，若，试计算的值．
22．在平面直角坐标系中，对于点P和，给出如下定义：若上存在一点T不与O重合，使点P关于直线的对称点在⊙C上，则称P为的反射点．下图为的反射点P的示意图．
(1)已知点A的坐标为，的半径为2，
①在点中，的反射点是 ；
②点P在直线上，若P为的反射点，求点P的横坐标的取值范围；
(2)的圆心在x轴上，半径为2，y轴上存在点P是的反射点，直接写出圆心C的横坐标x的取值范围
《第三章圆练习卷-2024-2025学年数学九年级下册北师大版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C C B C A D D
1．C
【分析】本题综合考查了垂径定理推论、三角形的外心和内心的性质等．根据相关性质或定理即可判断．
【详解】解：A、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，原说法错误，本选项不符合题意；
B、三角形的外心到三个顶点的距离相等，原说法错误，本选项不符合题意；
C、平分弧的直径垂直于弧所对的弦，原说法正确，本选项符合题意；
D、同圆或等圆中相等的圆周角所对的优弧相等，所对的劣弧也相等，原说法错误，本选项不符合题意；
故选：C．
2．C
【分析】本题考查了点与圆的位置关系．求得线段的长后与圆的半径比较即可确定正确的选项．
【详解】解：∵，，
∴，
∵圆M的半径为4，
∴点在圆外，
故选：C．
3．C
【分析】本题考查三角形内心，三角形内角和定理，读懂题意，熟练掌握三角形内心的判定及性质是解决问题的关键．
过点分别作于，于，于，如图所示，得到点是的内心，即点为三个内角平分线的交点，然后根据三角形内角和定理即可得到答案．
【详解】解：过点分别作于，于，于，如图所示：
∵直线，
∴，
∴点是的内心，即点为三个内角平分线的交点，
∵
∴
∴，
∴．
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握这两个定理的内容是关键；在优弧上任取点F，连接，则由圆内接四边形的性质得的度数，再由圆周角定理即可求得的度数．
【详解】解：如图，在优弧上任取点F，连接，
∵，
∴，
∴；
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，正弦的定义，连接交于点，由题意得：，，，由垂径定理可得，由勾股定理可得，最后由正弦的定义即可求解．熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接交于点，
，
由题意得：，，，
，
∵圆心到的距离为，
即
，
，
故选：C．
6．A
【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，连接，可得，再根据弧长公式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：如图，设圆心为O，连接，
则，
∵圆的直径为，
∴，
∴横截面的弧长，
故选：．
7．D
【分析】本题主要考查圆周角定理，勾股定理和角所对的直角边等于斜边的一半，连接，则，由得，由是的直径得，得，求出，得，由勾股定理求出的长．
【详解】解：连接，如图，则，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，
故选：D．
8．D
【分析】本题考查圆的综合应用．作点关于直线的对称点，连接交于点，如图所示，此时，最小，最小值为，根据轴对称的性质和勾股定理求出，即可求出的最小值；若是的切线，则，在 中，勾股定理求出，根据，即可求出；根据，得出当的面积最小时，的面积最大，过点E作，得出，根据相似三角形的性质求出，根据当底边上的高最小时，的面积最小，求出面积的最小值为，即可求出的面积最大值为；设，则，根据，即可得出当时，的值最小，最小值为 34．
【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交于点，如图所示，
此时，最小，最小值为，
∵矩形中，，，
，
，
∴的最小值是：，故A正确；
若是的切线，则，
在 中，，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，故B项正确；
∵，
∴当的面积最小时，的面积最大，
在中，，
过点E作，
则，
∴，
即，
解得：，
∵底边为，故当底边上的高最小时，的面积最小，
∴当与重合时，的面积最小，
此时，，
即面积的最小值为，
则的面积最大值为，故C项正确；
设，则，
则
，
∴当时，的值最小，最小值为 34，故D项错误．
故选：D．
【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，解直角三角形，二次函数的最值求解，勾股定理，矩形的性质，切线的性质，轴对称的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
9．或
【分析】本题考查了正多边形和圆，先求出，，再分两种情况：当点在弧外时，当点在弧上时，分别求解即可得解，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
【详解】解：如图：
，
∵是的内接正十边形的一条边，是的内接正十五边形的一条边，
∴，，
∴当点在弧外时，，
当点在弧上时，，
综上所述，以为边的内接正多边形的中心角度数为或，
故答案为：或．
10．或
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理、等腰三角形的性质，分两种情况：当圆心在内部时，当圆心在外部时，分别求解即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
【详解】解：当圆心在内部时，
，
由题意可得：，，，
∴，
∴，
∴；
当圆心在外部时，
，
由题意可得：，，，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的面积为或，
故答案为：或．
11．厘米
【分析】本题考查了垂径定理、矩形的判定与性质，作于，于，由题意可得，厘米，厘米，则四边形为矩形，厘米，由垂径定理可得厘米，求出的长，即可得解．
【详解】解：如图：作于，于，
，
由题意可得：，厘米，厘米，
∴四边形为矩形，厘米，
∴，
∵，
∴厘米，
∴厘米，
∴厘米，
即点O到的距离为厘米，
故答案为：厘米．
12．
【分析】利用三角形函数求出，从而求出的半径；根据垂径定理得及，进而求出，最后求出即可．本题考查垂径定理、含角的直角三角形，解直角三角形，掌握垂径定理、含角的直角三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：，，
，
，
，
，
是的中点，
，，
，
，
故答案为：
13．/
【分析】本题主要考查了扇形面积求法以及矩形的性质等知识，利用矩形的性质以及结合角平分线的性质分别求出的长以及的度数，进而利用图中阴影部分的面积，求出答案．
【详解】解：∵矩形的边，平分，
∴，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积
．
故答案为：．
14．60
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，如图2，连接，先计算得到，则根据阿基米德折弦定理得到点E为弧的中点，即，根据圆心角、弧、弦的关系得到，接着利用圆周角得到，则可得到，然后再利用圆周角定理得到的度数．
【详解】解：如图，连接
∵
∴，
∴，
而，
∴点E为弧的中点，即，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：60．
15．证明见解析
【分析】本题考查了相交两圆的性质，垂径定理的应用，灵活运用以上知识点是解题的关键．过点作于点，过点作于点，分别运用垂径定理得到、，求出即可．
【详解】证明：如图所示，过点作于点，过点作于点，
则、，
，，过点且与垂直，
，
，
点是线段的中点，即，
，
．
16．(1)2
(2)见解析
【分析】（1）由切线长的定理得出，得出是的垂直平分线，再由直径所对的圆周角等于90度得出，再证明为的中位线，进而可得出的长．
（2）由切线的定义得出，由直径所对的圆周角等于90度进一步得出 ，等量代换可得出，由线段垂直平分线的性质以及等弧所对的圆周角相等可得出，等量代换可得出．
【详解】（1）解：连接，
，是的切线，
．
，，
是的垂直平分线，
，
是的直径，
，
．
（2）证明：是的切线，
．
是的直径，
∴，
，
．
是的垂直平分线，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的定义和性质，切线长的定义和性质，线段垂直平分线的判定以及性质，三角形中位线的判定以及性质等知识，掌握这些性质是解题的关键．
17．(1)证明见详解；
(2)5；
【分析】（1）过作交于点，根据角平分线性质得到即可得到证明；
（2）连接，证明，得到即可得到答案．
【详解】（1）证明：过作交于点，
∵，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴为的切线；
（2）解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形，圆切线的证明，角平分线性质，解题的关键是作出辅助线得到．
18．(1)见解析
(2)．
【分析】（1）利用两角对应相等，即可证明；
（2）作于点，连接，，利用勾股定理求得，利用等积法求得，再利用勾股定理求得和的长，再证明，利用相似三角形的性质求得，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：作于点，连接，，
∵为的直径，弦为，弦为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，圆周角定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
19．(1)作图见解析；点的坐标为
(2)作图见解析；点的坐标为
(3)
【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
（3）利用勾股定理求出，的长，再利用扇形的面积公式计算即可．
本题考查作图-旋转变换、扇形面积的计算、作图-轴对称变换，熟练掌握旋转的性质、轴对称的性质、扇形的面积公式是解答本题的关键．
【详解】（1）如图，即为所求．
由图可得，点的坐标为
（2）如图，即为所求．
由图可得，点的坐标为
（3）由勾股定理得，，，
旋转的过程中边扫过的面积为
20．(1)见解析
(2)的值为或．
【分析】（1）利用对称性得出，再利用等边对等角得出，即可得出，求出；由点与点关于直线对称，，由点与点B重合，可得，再利用垂径定理推论得出；
（2）连接交于点，先证明四边形是矩形，分点在⊙O内时，点在外时，分别讨论，证明，根据相似三角形的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：∵点与点关于直线对称，
∴．
在半圆O中，
∵，
∴．
∴，
∴，
即；
如图，连接．
∵点与点关于直线对称，，
由点与点B重合，可得．
∵点O是圆心，，
∴；
（2）解：连接交于点，
当点在⊙O内时，如图，
是的直径，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
则，
，
，
，
，
，
；
当点在外时，如图，
则，
，
，
，
∴，
综上所述，的值为或．
【点睛】本题考查了圆的基本性质，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，掌握以上知识是解题的关键．
21．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）首先由圆内接四边形的性质得到，然后根据求解即可；
（2）如图，过点E作，交于点G，证明出，得到，然后证明出，得到，进而求解即可；
（3）过点I分别作，，的垂线，垂足分别为M，N，H点，证明出四边形为正方形，设，，表示出，，然后利用勾股定理求出，，，，然后证明出，，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）∵四边形内接于，，
∴，
又∵，
∴；
（2）如图，过点E作，交于点G，
∴，
又∵且，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）过点I分别作，，的垂线，垂足分别为M，N，H点，
∵为直径，
∴，
∴四边形为矩形，
∵I为内心，
∴，
∴四边形为正方形，
设，，
∴，，
在和中，
由勾股定理可得
解得，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等，三角形内心的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
22．(1)①M、N；②，或
(2)
【分析】（1）①根据的反射点的定义，画出图形即可判断；
②设直线与以原点为圆心，半径为1和3的两个圆的交点从左至右依次为D，E，F，G，过点D作轴于点H，如图．求出点 D、E、F、G的横坐标，结合反射点的定义即可解决问题；
（3）如图3中，当C坐标为时，的反射点P是以为圆心的，此时与y轴相切，由此即可判断．
【详解】（1）解：①如图中，
观察图象可知：⊙A的反射点是M，N．
故答案为M、N．
②设直线与以原点为圆心，半径为1和3的两个圆的交点从左至右依次为，过点作轴于点H，如图．
可求得点D的横坐标为．
同理可求得点E，F，G，的横坐标分别为，，．
点P是的反射点，则上存在一点T，使点P关于直线的对称点在上，则.
∵，
∴．
反之，若，上存在点Q，使得，故线段的垂直平分线经过原点，且与相交．因此点P是的反射点．
∴点P的横坐标x的取值范围是，或；
（2）如图中，当C坐标为时，的反射点P是以为圆心的，此时与y轴相切，所以满足条件的圆心C的横坐标x的取值范围是．
【点睛】本题考查圆的有关知识、反射点的定义、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
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