第一章直角三角形的边角关系练习卷（含解析）

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第一章直角三角形的边角关系练习卷-2024-2025学年数学九年级下册北师大版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，格点的顶点放置在正方形网格的格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．因为，，所以．由此猜想，推理可知：当为锐角时，有，由此可知（ ）
A． B． C． D．
3．如图，和都是等腰直角三角形，，点C在边DE上，，，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
4．如图，把正六边形放置在平面直角坐标系上使点O与原点重合，点A在x轴负半轴．点P，Q分别是，上的点，满足．已知，，那么点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，菱形的对角线与相交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接并延长，交于点F，与相交于点G，若，则下列结论：① ； ②； ③；④．
其中结论正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．如图，在平面直角坐标系中，的斜边与轴交于点．若点的坐标为，，则与的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．如图，在菱形中，点E，F分别是，的中点，连接，．若，，则的长为 ；的长为 ．
8．如图，在矩形中，点在边上，沿折叠使点落在边上的点处，若，，则的值为 .
9．如图，等边的边长为2，点D在上，，连接，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接交于点G．则的值为 ．
10．如图．已知，，是半圆的直径，C是半圆弧的中点．若反比例函数的图像经过点，则 ．
11．如图，在四边形中，对角线，交于点，，，，，则的长为 ．
12．如图，中，，点是边上一点，，若，，则 ．
13．如图，在矩形中，，，是线段上一动点，以为直角顶点在的右侧作等腰直角三角形（点在矩形内部，不含边界），连接，则 ，的最小值为 ．
三、解答题
14．计算：．
15．先化简，再求值：，其中
16．今年春节，从除夕到正月十五，重庆作为春晚分会场天天都有无人机光影秀表演．露露和西西相约前往长嘉汇观看表演，两人从点O出发前往观看点D，由于西西要中途去拿照相机，所以他们分别沿不同的路线前往．露露从点O向正东方向走150米到点A，再从点A向北偏东方向走到点B，最后从点B向正东方向走300米到点D．西西的路程较远，所以他骑自行车从点O向东南方向行驶1200米到点C处取相机，取相机的时间约2分钟，然后从点C继续骑自行车向正北方向行驶到观看点D处．（参考数据：，，）
(1)求C，D之间的距离（结果保留一位小数）；
(2)若露露走路的速度为，西西骑自行车的速度为，请问他们谁先到达观看点D？请通过计算说明．
17．如图，在中，D为边的中点，过点B作交的延长线于点E，，，
(1)求的长；
(2)若，求的值
18．如图，在中，点从点出发沿方向运动，到达点时停止运动，连接，点关于直线的对称点为，连接，．
(1)点位于何处时，？请用直尺和圆规在图中作出此时的（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若，求点运动过程中，点到直线距离的最大值．
19．如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机从地面垂直上升，至距地面的点处测得教学楼底端点的俯角为，再将无人机向教学楼方向（、、在同一平面内）水平飞行了至点处，测得教学楼顶端点的俯角为，求教学楼的高度．（精确到，参考数据：，，）
20．如图①，是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔．小明和小丽为了测量两座铁塔的高度，从地面上的点处测得铁塔顶端的仰角为，铁塔顶端的仰角为，沿着向前走20米到达点处，测得铁塔顶端的仰角为．已知，点构成的中，．
(1)图②是图①中的一部分，求铁塔的高度；
(2)小明说，在点处只要再测量，通过计算即可求出铁塔的高度，若记为，则铁塔的高度是 ．（用含的式子表示）（参考数据：，，，）
21．综合与探究
如图，在矩形中，点是边上一点，连接，，，的平分线与的延长线相交于点，过点作于点．
(1)【问题发现】
判断的形状，并说明理由：
(2)【问题探究】
过点作交的延长线于点，根据题意在如图中补全图形，探究线段与线段的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】
在（）的条件下，连接，当是等腰直角三角形时，直接写出的值．
《第一章直角三角形的边角关系练习卷-2024-2025学年数学九年级下册北师大版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A B D C C C
1．A
【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理以及求一个角的正切值的知识，利用网格构造直角三角形是解题的关键．
根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求，，的长，再根据三角函数的意义可得的值．
【详解】解：如图，连接，
由网格可知，，，
∴，
∴，
∴，
故选：．
2．B
【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，本题是信息题，按照“一般地当为锐角时有”去答题．同时熟记特殊角的三角函数值也是解题的关键．
当为锐角时有．把代入计算即可．
【详解】解：∵，
，
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理；连接，由是等腰直角三角形，，得，，再证明，最后由解直角三角形即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∵和都是等腰直角三角形，，
∴，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
4．C
【分析】过点作轴于点，连接，过点作于点，则，，由，可得，，，由正六边形的性质可得，，，进而可得，，，设点的坐标为，则，，即，设点的坐标为，则，，由此即可求出点的坐标．
【详解】解：如图，过点作轴于点，连接，过点作于点，
，，
，，
，，
，
六边形是正六边形，
，，，
，
，
，
设点的坐标为，则：
，
，
，
设点的坐标为，则：
，
，
，
即：点的坐标为，
故选：．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形综合，正多边形的性质（正多边形的内角问题），解直角三角形的相关计算，写出直角坐标系中点的坐标等知识点，熟练掌握正多边形的性质及解直角三角形的相关计算是解题的关键．
5．C
【分析】① 由菱形的性质及等边三角形的判定方法得是等边三角形，由直角三角形的特征及勾股定理得设， ，由，，即可判断；②由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可判断；③由①得，即可判断；④由勾股定理得，由三角函数得，即可判断．
【详解】解：① 四边形是菱形，，
，，，，，
是等边三角形，
，
，
，
，
∴
，
，
，
，，
，
设，
，，
，
，
在和中
，
（），
，
，
，
，
，
；
故此项①错误；
②，，
，
，
，
，
；
；
故此项②正确；
③由①得，
故此项③错误；
④由①得，，，
，，
；
故此项④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，特殊角三角函数，相似三角的判定及性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形的特征等；掌握菱形的性质，等边三角形的判定及性质，相似三角的判定及性质，全等三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理，特殊角三角函数进行求解是解题的关键．
6．C
【分析】此题考查了解直角三角形的应用．过点A作轴于点，过点B作轴于点，则，利用解直角三角形求出，，根据同高三角形面积之比等于底之比即可求出答案．
【详解】解：过点A作轴于点，过点B作轴于点，则，
∵点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，
∴
∴，
∴
∴，
解得，即，
∴
∴与的面积之比为
故选：C
7． /
【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，运用三角函数解直角三角形，勾股定理等．延长，交于点M，根据菱形的性质和中点性质证明，，过E点作交N点，根据三角函数求出，，，，在中利用勾股定理求出，根据菱形的性质即可得出答案．
【详解】解：延长，交于点M，
在菱形中，点E，F分别是，的中点，
，，，，，
在和中，
，
，
，
在和中
，
，
，，
，
，
过E点作于N点，
，，
，，
，
，，
在中
，
即，
，
，
故答案为：，．
8．/0.75
【分析】此题考查了折叠的性质，矩形的性质以及三角函数的定义．解此题的关键是转化思想的应用．由四边形是矩形，可得：，，，由折叠的性质可得：，，由同角的余角相等，即可得，然后在中，即可求得答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
由题意得：，，
∴，，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴．
故答案为．
9．
【分析】过D作于M，得到，根据等边三角形的性质得到，求得，，根据勾股定理得到，根据旋转的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质和三角函数求出的长，再利用面积公式进行求解即可得到结论．
【详解】解：过D作于M，

∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵将绕点C按顺时针方向旋转得到，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
过G作于H，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握各知识点是解题的关键．
10．
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式、解直角三角形、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．设半圆圆心为D，连接，过C作于G，交于E，首先解得的值，进而可得，由三角函数的定义可得，，证明，利用三角形函数解得、的值，易得，然后利用待定系数法求解即可．
【详解】解：设半圆圆心为D，连接，过C作于G，交于E，如图，
∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∵C为半圆的中点，
∴，
又，
∴，
中，，
∴，解得，
∴，
∴，
中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
把代入，得．
故答案为：
11．
【分析】过点作于点，先证明得，，再在中利用正切的定义得到，设，，则，，，接着证明得到，然后在中利用正切的定义得到，解得，然后在中利用勾股定理可计算出．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵在中，，
设，，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴，，
在中，，
即的长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形，全等三角形的判定和性质，勾股定理定理，平行线的判定和性质，灵活运用锐角三角函数的定义和勾股定理，构建是解题的关键．
12．8
【分析】本题主要查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．证明是解题的关键．
过作交于点，过作，交于点，证明，可得，，从而得到，设，根据，可得，从而得到，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据，即可求解．
【详解】解：过作交于点，过作，交于点，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
∵，，
∴，
，
，
．
故答案为：8
13． 1
【分析】如图所示，过点F作交于点G，作交于点H，证明出，得到，，然后推出，得到是等腰直角三角形，即可求出；然后得到点F在直线上运动，当时，取得最小值，然后解直角三角形求解即可．
【详解】如图所示，过点F作交于点G，作交于点H
∵在矩形中，是线段上一动点，以为直角顶点在的右侧作等腰直角三角形
∴
∴
∴
又∵，
∴
∴，
∵
∴四边形是矩形
∴，
∴
∵
∴
∴是等腰直角三角形
∴；
∴
∴点F在直线上运动
∴当时，取得最小值
∴此时
∴的最小值为．
故答案为：1，．
【点睛】此题考查了矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确做出辅助线构造全等三角形．
14．．
【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，特殊三角函数值，绝对值等知识，熟练掌握相关知识的运算法则是解题的关键．
根据零指数幂，负整数指数幂，特殊三角函数值计算化简，然后合并即可．
【详解】解：
．
15．，
【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据特殊角的三角函数值把m的值化简，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，特殊角三角函数，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
，
当时，原式
16．(1)，之间的距离
(2)西西先到达观看点
【分析】本题考查了方位角视角下的解直角三角形，构造直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．
（1）延长点交于，过点作，在，中，解直角三角形求得，，，即可求解；
（2）在中，解直角三角形求得，再根据时间路程时间，再比较大小即可．
【详解】（1）解：延长点交于，过点作，
由题意可知，，，，，，，
∴，四边形是矩形，
∴，，
在中，，
，
∴，
在中，，
∴．
即：，之间的距离；
（2）在中，，
露露走路的路程为：，
∴露露到达的时间为，
西西骑自行车的路程为：，
∴西西到达的时间为，
∴西西先到达观看点．
17．(1)；
(2)．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）由D为边的中点，得到，由，得到，证明，即可求解；
（2）由，，即，得到，通过解直角三角形可得，通过勾股定理可得，即可求解．
【详解】（1）解：∵D为边的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴．
18．(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了轴对称的性质，点与圆的位置关系，解直角三角形，熟练掌握以上内容是解题关键．
（1）作的垂直平分线，可得，连接，，可得由对称可知可得，所以 ，,即可得出，即可得出
（2）作于点，从而由条件可知△为等腰直角三角形，利用三角函数可求，，，再推断点的运动轨迹为圆弧，从而可得当直线于点时，此时点到直线距离最大．根据，故，故．
【详解】（1）如图所示，即为所求
（2）作于点，如图1，
，则△为等腰直角三角形，
，，
，，
故，
由题意知，故点的运动轨迹为圆弧，如图2所示：
当直线于点时，此时点到直线距离最大．
，，
，
故，
故答案为：．
19．教学楼的高度为
【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，延长交直线于点H，先用三角函数解求出，进而求出，再证，最后根据即可求解．
【详解】解：如图，延长交直线于点H，则，

由题意知，
在中，，即，
解得，
，
，，
，
，
.
20．(1)铁塔的高度约为米
(2)米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
（1）设铁塔的高度为米，在中，解直角三角形可得的长，在中，解直角三角形可得的长，再根据建立方程，解方程即可得；
（2）先求出的长，再在中，解直角三角形可得的长，然后在中，解直角三角形即可得．
【详解】（1）解：设铁塔的高度为米，
由题意得：，，米，
∵，
∴在中，米，
在中，米，
∵，
∴，
解得（米），
答：铁塔的高度约为米．
（2）解：由题意得：，，
由（1）可知，米，
∵，
∴在中，米，
∵，
∴在中，（米），
故答案为：米．
21．(1)等腰直角三角形，见解析；
(2)补全图形见解析，，见解析；
(3)或．
【分析】（）根据矩形的性质得到，由，，再根据平分得到，根据，，即可得出结论；
（）过点作交延长线于点，证明，即可得证；
（）当，过点作于点，连接，证明，进而证明，得出，即可求解，当时，设，，，则，进而解直角三角形得出，即，即可求解．
【详解】（1）解：等腰直角三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
，
∴为等腰直角三角形；
（2）解：补全图形如图；
，理由如下:
过点作交延长线于点，
由（）知: 中，得，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当，过点作于点，
∵，，，
∴
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴；
当时，则，如图，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，，，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴ ，
由得: ，
解得：，
将代入得，，
整理得，即，
∴，
综上得：或．
【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键.
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