第1-3章阶段测试卷（含解析）

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第1-3章阶段测试卷-2024-2025学年数学九年级下册北师大版
一、单选题
1．中，，若， ，则的长为（ ）
A． B． C． D．8
2．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值是（ ）
A． B． C． D．1
3．习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂，乐陵市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（ ）．
A． B． C． D．
4．如图，内接四边形中，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．若点都在二次函数图象上，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿向点C运动，同时点Q从点A出发，以的速度沿向点C运动，直到它们都到达点C为止．若的面积为，点P的运动时间为，则S与t的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知二次函数，的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若点，都在该抛物线上，则
C．
D．方程，有两个不相等的实数根
8．如图，是的直径，，，点B为弧的中点，点P是直径上的一个动点，则的最小值为（ ）
A．4 B．8 C． D．
二、填空题
9．将二次函数的图象沿x轴向右平移2个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为 ．
10．如图，在中，，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ．
11．如图，在中，，，，是内部的一个动点，且，连接，则线段长的最小值为 ．
12．二次函数的图象如图所示，若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数的最小值为 ．
13．如图，经过的中点，点为上动点，过点作的垂线，垂足为．当点旋转一周时，点运动的路程为 ．
14．如图，已知点与某建筑物底端相距米（点与点在同一水平面上），某同学从点出发，沿同一剖面的斜坡行走米至坡顶处，斜坡的坡比，在处测得该建筑物顶端的俯视角为，则建筑物的高度约为 ．（精确到1米，参考数据：，，）
15．如图，在中，点是的中点，以为圆心，长为半径作弧，交，于点，，连接，，设，，则与满足的数量关系是 ．
16．如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使得，连接，则长的最大值为 ．
三、解答题
17．计算：
18．如图，是半圆的直径，点是弦延长线上一点，连接，，．
(1)求证：是半圆的切线；
(2)若，，则的长．
19．某班的同学想测量教学楼的高度，如图，点、、、在同一平面内，大楼前有一段斜坡，已知的长为8米，它的坡度（坡度=垂直高度：水平宽度），在离点30米的处，测得教学楼顶端的仰角为．
(1)求点到的水平距离．
(2)教学楼的高度约为多少米．（结果精确到米）（参考数据：，，，）
20．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，与轴其中一个交点坐标为．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)当时，请结合图象直接写出的取值范围．
21．如图，正方形内接于，为弧中点，连接．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，求点到的距离．
22．图1是喷水管从点向四周喷出水花的喷泉，喷出的水花是形状相同的抛物线．如图2，以点为原点，建立平面直角坐标系，水平方向为轴，所在直线为轴，点为水花的落水点在轴上，抛物线的解析式为．
(1)求喷水管的高度；
(2)现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离5米，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点2米处达到最高，求喷水管要升高多少？
23．海安滨海新区是驰名中外的“紫菜之乡”，拥有万亩海上养殖基地，所产干紫菜销往世界各地．某超市月份以元/袋的价格购进一批紫菜，经市场调查后发现，这种紫菜的月销售量（袋）与售价（元/袋）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
(1)求与之间的函数表达式；
(2)设该紫菜的总销售利润为元，若要使销售利润最大，售价应定为多少元？该月进货数量多少袋？
(3)若该超市想要获利不高于进价的，则售价定为多少元时，销售利润达到最大？
24．已知中，为的弦，直线与相切于点．
(1)如图①，若，直径交于点，求和的度数；
(2)如图②，若，垂足为与相交于点的半径为6，求线段的值．
25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，点，与轴交于点，点的坐标为，点是抛物线上一个动点．
(1)求二次函数解析式；
(2)若点在第一象限运动，过点作轴于点，与线段交于点，当点运动到什么位置时，线段的值最大？请求出点的坐标和的最大值；
(3)连接，，并把沿翻折，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解析
1．D
【分析】本题考查利用余弦求线段长度，解题的关键是判断斜边及邻边．根据直角三角形余弦定义即可求值．
【详解】解：由题意得，
，
∴ ，
故选D．
2．C
【分析】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理．连接格点，由网格的特点可知：，，则，则是直角三角形，．根据三角函数的定义即可求出答案．
【详解】解：如图所示，连接格点，
由网格的特点可知：，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
故选：C．
3．C
【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键．
将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可解决问题．
【详解】解：由题意得：，，
∴山水画所在纸面的面积为，
故选：．
4．D
【分析】由圆周角定理得到，由圆内接四边形的性质推出，即可求出的度数．
本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，关键是掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴．
故选：D．
5．A
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
由，可知对称轴为轴，当时，随着的增大而增大，由，可得．
【详解】解：∵，，
∴对称轴为轴，当时，随着的增大而增大，
∵，
∴．
故选：A．
6．A
【分析】本题考查了二次函数的应用，相似三角形的判定与性质，勾股定理．分当时和当时两种情况求出函数解析式即可求解．
【详解】解：①当时，点Q在上，
∴，，
过点Q作交于点D，则，
∵在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当时，点Q在上，，
综上所述，正确的图象是A．
故选A．
7．D
【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据函数解析式，再结合抛物线的性质进行判断即可．
【详解】解：，
，
抛物线开口向下，
；
抛物线与轴的交点在轴的正半轴，
；
，故选项A错误；
抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下，
，
，故选项B错误；
由图象知，当时，，
即，故选项C错误；
与直线有两个交点，
故方程，有两个不相等的实数根，选项D正确；
故选D．
8．A
【分析】本题主要考查了圆心角与弧之间的关系，圆周角定理，轴对称最短路径问题，等边三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线推出能取得最小值的情形是解题的关键．作A关于的对称点Q，连接交于P，则根据两点之间线段最短，的最小值为的长度，先求出，再求出，进而由圆周角定理得到，则．证明是等边三角形，即可得到，据此可得答案．
【详解】解：作A关于的对称点Q，连接交于P，此时，
根据两点之间线段最短，的最小值为的长度，
连接，
∵点B为弧的中点，
∴，
∵A、Q关于对称，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴，即的最小值为4．
故选：A．
9．
【分析】本题考查了二次函数图象的平移；根据左移加，右移减，上移加，下移减，即可确定平移后的函数表达式．
【详解】解：由题意，平移后的解析式为，即；
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点．也考查了等腰三角形的性质和勾股定理．求出的外接圆半径即可．
【详解】解：作于D，如图，
∵，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴的外心O在上，
连接，设的外接圆的半径为r，则
在中，，解得，
∵能够完全覆盖这个三角形的最小圆为的外接圆，
∴能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径为．
故答案为：．
11．
【分析】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理，根据，可知点在以为直径的上，连接交于点，此时最小，利用勾股定理得到，此时的最小值为．
【详解】解：如下图所示，
，
点在以为直径的上，
连接交于点，此时最小，
在中，，，，
，
，
线段长的最小值为．
故答案为：．
12．2
【分析】本题考查抛物线与一次函数的交点问题．令，（表示与轴平行的直线）结合二次函数的图象即可求解．
【详解】解：有两个不相等的实数根，
有两个不相等的实数根，
令，（表示与轴平行的直线），
与有两个交点，
，
，
是整数，
整数的最小值为2
故答案为：2．
13．
【分析】此题重点考查切线的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、弧长公式等知识，当与相切时，连接、，则，因为，是的中点，所以，则，所以，延长交于点，取的中点，连接，可证明，则，所以，可知当点从点运动到与相切时，点的运动路径为以为圆心、半径为且圆心角等于的圆弧，当点旋转一周时，点的运动路径为四段这样的圆弧，即可由弧长公式求得点运动的路程为，于是得到问题的答案．正确地作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，当与相切时，连接、，则，
，
，
是的中点，
，
，
是等边三角形，
，
延长交于点，取的中点，连接，
于点，
，
，
，，
，
、分别为、的中点，
，
，
当点从点运动到与相切时，点的运动路径为以为圆心、半径为且圆心角等于的圆弧，
当点旋转一周时，点的运动路径为四段半径为且圆心角等于的圆弧，
点运动的路程为，
故答案为：．
14．米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，利用坡度及勾股定理得出，的长是解题关键．根据坡度，勾股定理，可得的长，再根据平行线的性质，可得，根据同角三角函数关系，可得的坡度，根据坡度，可得的长，根据线段的和差，可得答案．
【详解】解：作于点，作于点，则，四边形是矩形，如图，
∴，
∵斜坡的坡比，
设，，
由勾股定理，得，
解得：，
米，米，
米，
，
，
，米，，
米，
米，
故答案为：米．
15．
【分析】本题主要考查了圆周角定理，能根据题意用和分别表示出是解题的关键．根据题意，得出，进而可以用表示出，再用表示出即可解决问题．
【详解】解：，
．
，，
，，
，，
，
．
又，，
，
．
即．
故答案为：．
16．/
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，如图，作，使得，，则，，，由，推出，即（定长），由点是定点，是定长，推出点在半径为的上，由此即可解决问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
【详解】解：如图，作，使得，，则，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即（定长），
∵点是定点，是定长，
∴点在半径为的上，
∵，
∴的最大值为，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了算术平方根、零指数幂、负整数指数幂及特殊角三角函数，掌握这些基础知识是关键；依次计算算术平方根、零指数幂、特殊角三角函数及负整数指数幂，即可求解．
【详解】
．
18．(1)见解析
(2)．
【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，直角三角形的性质，勾股定理．
（1）根据直径所对的圆周角为直角结合已知条件，可得，进而可证得结论；
（2）利用直角三角形的性质，勾股定理即可解答．
【详解】（1）证明：是半圆O的直径，
，
，
，
是半圆O的切线；
（2）解：∵，，，
∴，
∴．
19．(1)米
(2)约米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握坡度、仰角的含义，构造直角三角形是解题的关键；
（1）过B作于E，由坡度设米，则米，由勾股定理得米，由的长度即可求得，从而求解；
（2）由（1）所求得，再由正切函数关系求得，则即可求解．
【详解】（1）解：如图，过B作于E，
∵坡度，
∴设米，则米，
由勾股定理得米，
∵米，
∴，
∴，
∴米；
答：点到的水平距离为米．
（2）解：由（1）知，米，
在中，，
∴米，
∴（米）．
答：教学楼的高度约为米．
20．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了求二次函数解析、二次函数的性质、确定x的取值范围等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键．
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）先根据二次函数图像得求得抛物线与x轴的交点坐标，然后结合函数图象即可确定的取值范围．
【详解】（1）解：该抛物线的顶点坐标为，
设该二次函数表达式为
将，代入得：；即
将代入得：．
（2）解：∵二次函数的解析式，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵与轴其中一个交点坐标为．
∴与轴其中一个交点坐标为．
由函数图象可得当时，的取值范围为．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先由正方形的性质得，再结合为弧的中点，得出，则，故，即可作答．
（2）先证明是线段的垂直平分线，再结合勾股定理得，算出，，则，即可作答．
【详解】（1）解： 四边形是正方形，
，
为弧的中点，
，
∴，
，
是等腰三角形．
（2）解：如图，连接，连接并延长交于点，
，，
是线段的垂直平分线，
四边形是正方形，
，
∵，
，
∴，
则，
∴，
，
，
即点到的距离为．
【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
22．(1)m
(2)m
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握并灵活应用二次函数的性质是解题的关键．
（1）将代入二次函数解析式，求得值即为水管的高度；
（2）假设上升的高度为，将坐标代入解析式中，求出未知数即可．
【详解】（1）解：抛物线为，
令，则，，
喷水管的高度为m；
（2）解：设喷水管的高度要升高m，
则抛物线的表达式为．
把代入得：．
解得：．
喷水管的高度要升高m．
23．(1)；
(2)当售价为元时销售利润最大，此时月进货量为袋；
(3)当售价定为时，销售利润最大，最大利润为元．
【分析】本题主要考查了一次函数解析式的求法、二次函数的图象与性质，解决本题的关键是根据二次函数的图象和性质求最值．
把、代入，得到二元一次方程组，解方程组求出、的值即可得到函数表达式；
根据销售利润销量单价利润，得到二次函数，整理成顶点坐标式可得：，从而可知当售价定为元时销售利润最大，此时月进货量为袋；
根据二次函数的图象与性质可知抛物线开口向下，对称轴为，在对称轴的左侧随的增大而增大，所以当售价定为时，销售利润最大，最大利润为元．
【详解】（1）解：设与之间的函数表达式是，
把、代入，
可得：，
解得：，
与之间的函数表达式是；
（2）解：根据题意可得：，
整理可得：，
当售价定为元时，销售利润最大，
此时月进货量应为，
该月进货数量为袋；
（3）解：该超市想要获利不高于进价的，
此时的售价最多应为(元)，
的图象开口向下，对称轴为，
在对称轴的左侧随的增大而增大，
当售价定为时，销售利润最大，
最大利润为(元)，
答：当售价定为时，销售利润最大，最大利润为元．
24．(1)，
(2)
【分析】本题考查等腰三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键．
（1）根据等边对等角得到，然后利用三角形的内角和得到，然后利用平行线的性质结合圆周角定理解题即可；
（2）连接，求出，运用三角函数解题即可．
【详解】（1）解：为的弦，
，
∴，
，，
；
直线与相切于点为的直径，
．即．
又，
．
在中，．
，
；
（2）解：如图，连接．
∵，
∴，
∵ 直线 与 相切于点 ，
∴，
∵，
∴，
，得，
在中，，
∴，
，
在中，，，
，
∴，
在中，，
，
∴．
25．(1)
(2)点的坐标为，的最大值为
(3)存在，或
【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、二次函数图象与面积问题、二次函数与特殊四边形等知识，数形结合是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出直线的解析式为，设，则，表示，可知当时，取得最大值，最大值为，此时，，即可求解坐标以及面积最大值；
（3）根据菱形的对角线垂直且互相平分即可求解．
【详解】（1）解：将，代入，
得，
解得，
二次函数的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
则，解得，
直线的解析式为，
设，则，
∴
，
当时，取得最大值，最大值为，
此时，
点的坐标为，的最大值为；
（3）解：存在．如图，
设点，交于点，若四边形是菱形，连接，则，，
，
解得，
或．
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