(时间:60分钟 满分:100分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tan A=,则BC的长是( )
第1题图
(A)2 (B)8 (C)2 (D)4
2.下列式子中不成立的是( )
(A)cos 45°=2sin 30° (B)sin 30°·cos 60°=sin245°
(C)cos 45°-sin 45°=0 (D)sin (30°+30°)=sin 30°+sin 30°
3.在正方形网格中,△ABC的位置如图所示,则cos B的值为( )
第3题图
(A) (B) (C) (D)
4.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,则下列结论中不正确的是( )
(A)sin B= (B)sin B=
(C)sin B= (D)sin B=
第4题图
5.计算:cos245°+sin245°等于( )
(A) (B)1 (C) (D)
6.在△ABC中,A,B为锐角,且有sin A=cos B,则这个三角形是( )
(A)等边三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)锐角三角形
7.在△ABC中,∠C=90°,tan A=,则sin B等于( )
(A) (B) (C) (D)
8.如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向,距离灯塔60 n mile的A处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处,这时,B处与灯塔P的距离为( )
第8题图
(A)60 n mile (B)60 n mile
(C)30 n mile (D)30 n mile
9.公元三世纪,我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是125,小正方形面积是25,则(sin θ-cos θ)2的值为( )
第9题图
(A) (B) (C) (D)
10.如图,为了测量被池塘隔开的A,B两点之间的距离,根据实际情况,作出图形,其中AB⊥BE,EF⊥BE,AF交BE于D,C在BD上.有四位同学分别测量出以下四组数据:①BC,∠ACB;②CD,∠ACB,∠ADB;③EF,DE,BD;④DE,DC,BC.能根据所测数据,求出A,B间距离的有( )
(A)1组 (B)2组 (C)3组 (D)4组
第10题图
二、填空题(每小题3分,共15分)
11.若cos A=0.841 5,则∠A≈ (精确到分).
12.已知在Rt△ACB中,∠C=90°,AB=13,AC=12,则 cos B 的值为
.
13.在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,CD=4,AC=6,则sin B=
.
14.(2020莱西期中)关于x的方程2x2-5xsin A+2=0有两个相等的实数根,其中∠A是锐角△ABC的一个内角,则sin A= .
15.(2020东营胜利第一中学期末)如图,在正方形ABCD外作等腰直角△CDE,DE=CE,连接BE,则tan∠EBC= .
三、解答题(共55分)
16.(8分)计算:sin 60°-cos 60°·tan 45°+.
17.(12分)如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是BC边上的中线,∠C=45°,sin B=,AD=1.
(1)求BC的长;
(2)求tan∠DAE的值.
18.(10分)(2019台州)如图是一辆在平地上滑行的滑板车的示意图.已知车杆AB长 92 cm,车杆与脚踏板所成的角∠ABC=70°,前后轮子的半径均为6 cm,求把手A离地面的高度.(结果保留小数点后一位;参考数据:sin 70°≈0.94,cos 70°≈0.34,tan 70°≈2.75)
19.(12分)(2019邵阳)某品牌太阳能热水器的横断面示意图如图.已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O,且OB=OE;支架BC与水平线AD垂直.AC=40 cm,∠ADE=30°,DE=190 cm,另一支架AB与水平线夹角∠BAD=65°,求OB的长度(结果精确到1 cm;参考数据:
sin 65°≈0.91,cos 65°≈0.42,tan 65°≈2.14)
20.(13分)(2019遂宁)汛期即将来临,为保证市民的生命和财产安全,市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固.如图,加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯,平均每级阶梯高 30厘米,斜坡AB的坡度为1∶1;加固后,坝顶宽度增加2米,斜坡EF的坡度为1∶,问工程完工后,共需土石多少立方米 (计算土石方时忽略阶梯,结果保留根号)
附加题(共30分)
21.(15分)如图,已知斜坡AB长60米,坡角(即∠BAC)为30°,BC⊥AC,现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体(用阴影表示)修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE.(结果保留根号).
(1)若修建的斜坡BE的坡角(即∠BEF)不大于45°,则平台DE的长最多为多少米;
(2)一座建筑物GH距离坡脚A点27米远(即AG=27米),小明在D点测得建筑物顶部H的仰角为30°.点B,C,A,G,H在同一个平面上,点C,A,G在同一条直线上,且HG⊥CG,问建筑物GH高为多少米
22.(15分)(2019广元)如图,某海监船以60海里/时的速度从A处出发沿正西方向巡逻,一可疑船只在点A的西北方向的点C处,海监船航行1.5小时到达B处时接到报警,需巡査此可疑船只,此时可疑船只仍在点B的北偏西30°方向的点C处,然后,可疑船只以一定速度向正西方向逃离,海监船立刻加速以90海里/时的速度追击,在点D处海监船追到可疑船只,点D在点B的北偏西60°方向.(以下结果保留根号)
(1)求B,C两处之间的距离;
(2)求海监船追到可疑船只所用的时间.(时间:60分钟 满分:100分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tan A=,则BC的长是( A )
第1题图
(A)2 (B)8 (C)2 (D)4
2.下列式子中不成立的是( D )
(A)cos 45°=2sin 30° (B)sin 30°·cos 60°=sin245°
(C)cos 45°-sin 45°=0 (D)sin (30°+30°)=sin 30°+sin 30°
3.在正方形网格中,△ABC的位置如图所示,则cos B的值为( B )
第3题图
(A) (B) (C) (D)
4.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,则下列结论中不正确的是( C )
(A)sin B= (B)sin B=
(C)sin B= (D)sin B=
第4题图
5.计算:cos245°+sin245°等于( B )
(A) (B)1 (C) (D)
6.在△ABC中,A,B为锐角,且有sin A=cos B,则这个三角形是( B )
(A)等边三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)锐角三角形
7.在△ABC中,∠C=90°,tan A=,则sin B等于( D )
(A) (B) (C) (D)
8.如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向,距离灯塔60 n mile的A处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处,这时,B处与灯塔P的距离为( B )
第8题图
(A)60 n mile (B)60 n mile
(C)30 n mile (D)30 n mile
9.(2019绵阳)公元三世纪,我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是125,小正方形面积是25,则(sin θ-cos θ)2的值为( A )
第9题图
(A) (B) (C) (D)
10.如图,为了测量被池塘隔开的A,B两点之间的距离,根据实际情况,作出图形,其中AB⊥BE,EF⊥BE,AF交BE于D,C在BD上.有四位同学分别测量出以下四组数据:①BC,∠ACB;②CD,∠ACB,∠ADB;③EF,DE,BD;④DE,DC,BC.能根据所测数据,求出A,B间距离的有( C )
(A)1组 (B)2组 (C)3组 (D)4组
第10题图
二、填空题(每小题3分,共15分)
11.若cos A=0.841 5,则∠A≈ 32°42′ (精确到分).
12.已知在Rt△ACB中,∠C=90°,AB=13,AC=12,则 cos B 的值为
.
13.在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,CD=4,AC=6,则sin B=
.
14.(2020莱西期中)关于x的方程2x2-5xsin A+2=0有两个相等的实数根,其中∠A是锐角△ABC的一个内角,则sin A= .
15.(2020东营胜利第一中学期末)如图,在正方形ABCD外作等腰直角△CDE,DE=CE,连接BE,则tan∠EBC= .
三、解答题(共55分)
16.(8分)计算:sin 60°-cos 60°·tan 45°+.
解:原式=-×1+
=-+×
=.
17.(12分)如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE是BC边上的中线,∠C=45°,sin B=,AD=1.
(1)求BC的长;
(2)求tan∠DAE的值.
解:(1)因为AD是BC边上的高,
所以AD⊥BC.
在Rt△ABD中,因为sin B==,AD=1,所以AB=3,
所以BD==2.
在Rt△ADC中,因为∠C=45°,所以CD=AD=1.
所以BC=BD+CD=2+1.
(2)因为AE是BC边上的中线,所以CE=BC=,
所以DE=CE-CD=-1=-,
所以tan∠DAE===-.
18.(10分)(2019台州)如图是一辆在平地上滑行的滑板车的示意图.已知车杆AB长 92 cm,车杆与脚踏板所成的角∠ABC=70°,前后轮子的半径均为6 cm,求把手A离地面的高度.(结果保留小数点后一位;参考数据:sin 70°≈0.94,cos 70°≈0.34,tan 70°≈2.75)
解:如图,过点A作AD⊥BC于点D,延长AD交地面于点E.
因为sin∠ABD=,
即=sin 70°≈0.94,
所以AD≈92×0.94=86.48 cm.
因为DE=6 cm,所以AE=AD+DE≈86.48+6≈92.5(cm),
所以把手A离地面的高度为92.5 cm.
19.(12分)(2019邵阳)某品牌太阳能热水器的横断面示意图如图.已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O,且OB=OE;支架BC与水平线AD垂直.AC=40 cm,∠ADE=30°,DE=190 cm,另一支架AB与水平线夹角∠BAD=65°,求OB的长度(结果精确到1 cm;参考数据:
sin 65°≈0.91,cos 65°≈0.42,tan 65°≈2.14)
解:设OE=OB=2x,
所以OD=DE+OE=190+2x.
因为∠ADE=30°,
所以OC=OD=95+x,
所以BC=OC-OB=95+x-2x=95-x.
因为tan∠BAD=,
所以tan 65°=,解得x≈9.4.
所以OB=2x≈19(cm).
所以OB的长度为19 cm.
20.(13分)(2019遂宁)汛期即将来临,为保证市民的生命和财产安全,市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固.如图,加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯,平均每级阶梯高 30厘米,斜坡AB的坡度为1∶1;加固后,坝顶宽度增加2米,斜坡EF的坡度为1∶,问工程完工后,共需土石多少立方米 (计算土石方时忽略阶梯,结果保留根号)
解:如图,过点A作AH⊥BC于点H,过点E作EG⊥BC于点G,
则四边形EGHA是矩形,
所以EG=AH,GH=AE=2.
因为斜坡AB的坡度为1∶1,
所以AH=BH=30×30=900厘米=9米,
所以BG=BH-HG=7.
因为斜坡EF的坡度为1∶,
所以FG=9,
所以BF=FG-BG=9-7,
所以S梯形ABFE=(2+9-7)×9=,
则×200=900(9-5)立方米.
所以共需土石900(9-5)立方米.
附加题(共30分)
21.(15分)如图,已知斜坡AB长60米,坡角(即∠BAC)为30°,BC⊥AC,现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体(用阴影表示)修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE.(结果保留根号).
(1)若修建的斜坡BE的坡角(即∠BEF)不大于45°,则平台DE的长最多为多少米;
(2)一座建筑物GH距离坡脚A点27米远(即AG=27米),小明在D点测得建筑物顶部H的仰角为30°.点B,C,A,G,H在同一个平面上,点C,A,G在同一条直线上,且HG⊥CG,问建筑物GH高为多少米
解:(1)当∠BEF=45°时,因为点D是AB的中点,AB=60米,
所以BD=AD=AB=×60=30(米),
因为DE∥AC,所以∠BDF=∠BAC=30°.
所以BF=BD=×30=15(米),所以EF=BF=15米,
由勾股定理,得DF===15(米),
所以DE=DF-EF=(15-15)米.
所以平台DE的长最多为(15-15)米.
(2)如图,过点D作DP⊥CG交CG于点P,过点D作DM⊥HG,交HG于点M.在Rt△DPA中,DP=AD=×30=15(米),
PA=ADcos 30°=30×=15(米),
在矩形DPGM中,MG=DP=15米,DM=PG=PA+AG=(15+27)米,
在Rt△DMH中,HM=DMtan 30°=×(15+27)=(15+9)(米).
所以GH=MG+HM=15+15+9=(30+9)(米).
答:建筑物GH高为(30+9)米.
22.(15分)(2019广元)如图,某海监船以60海里/时的速度从A处出发沿正西方向巡逻,一可疑船只在点A的西北方向的点C处,海监船航行1.5小时到达B处时接到报警,需巡査此可疑船只,此时可疑船只仍在点B的北偏西30°方向的点C处,然后,可疑船只以一定速度向正西方向逃离,海监船立刻加速以90海里/时的速度追击,在点D处海监船追到可疑船只,点D在点B的北偏西60°方向.(以下结果保留根号)
(1)求B,C两处之间的距离;
(2)求海监船追到可疑船只所用的时间.
解:(1)如图,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,则∠CEA=90°,
由题意,得AB=60×1.5=90(海里),
∠CAB=45°,∠CBN=30°,∠DBN=60°,
所以△ACE是等腰直角三角形,∠CBE=60°,
所以CE=AE,∠BCE=30°,
所以CE=BE,BC=2BE.
设BE=x海里,则CE=x海里,AE=BE+AB=(x+90)海里,
所以x=x+90,解得x=45+45,
所以BC=2x=(90+90)海里.
所以B,C两处之间的距离为(90+90)海里.
(2)如图,过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F,
则DF=CE=x=(135+45)海里,∠DBF=90°-60°=30°,
所以BD=2DF=(270+90)海里,则=(3+)(小时).
所以海监船追到可疑船只所用的时间为(3+)小时.
