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初三数学下册期中考试模拟卷
（考试时间：90分钟，分值：100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知二次函数，当时，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，，若，则AC的长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
3．一次函数的图象如图所示，则函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在相同的小正方形组成的网格图中，点在格点（网格线的交点）上，点在上，且都在格点上，则的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
5．（新情境试题·生活应用型）如图，一轰炸机自东向西飞行，在高空A处测得地面指挥台C的俯角，飞行到达B处，测得指挥台C的俯角，则该轰炸机的飞行高度为（ ）
A． B． C． D．
6．（新情境试题·生活应用型）如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了（ ）（结果保留）．
A． B． C． D．
7．如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴相交于点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．y的值随x值的增大而增大
8．如图，为的直径，弦与直径平行，弦与弦分别交于点E，F．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，直径是圆上一点，将弧BC沿BC折叠，折叠后的弧恰好经过点，则图中阴
影部分的周长为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知抛物线（，，是常数且）过和两点，且，下列四个结论：
①；
②；
③若关于的方程有实数根，则；
④若抛物线过点，则．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．若将抛物线先向右平移3个单位长度，在向下平移3个单位长度后得到抛物线的解析式为，则的值为 ．
12．（新情境试题·生活应用型）如图，河坝横断面迎水坡的坡比为，坝高米，则的长度为 米．
13．（新情境试题·生活应用型）如图，某数学实践小组测量一棵垂直于地面的树的高度．在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A、D、B三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是 ．
14．如图，是的直径，、是上的两点，若，则的度数为 ．
15．如图，抛物线交轴于，交轴的负半轴于，顶点为．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤当是等腰直角三角形时，则；⑥当是等腰三角形时，的值有3个．其中正确的序号是 ．
三、解答题（本题共10小题，共55分。其中：16题3分，17-18每题4分，19-20每题5分，21-23每题6分，24-25题每题8分）。
16．计算：．
17．先化简，再求值：，其中
18．在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）的顶点坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)请在网格中画出抛物线的图案；
(3)若一次函数，当时，直接写出的取值范围．
19．（新情境试题·生活应用型）山西是我国的古建筑之乡，有地上文物看山西的美誉．图是位于山西大同的应县木塔．如图，小方站在点处操纵无人机到与水平距离为米的处，无人机在处测得小方所在位置的俯角为，木塔顶部点的仰角为，已知无人机与木塔的水平距离为米，点，，，在同一平面上，求应县木塔的高度．参考数据，，，
20．如图，抛物线与交轴于点，点，与轴交于点，请解答下列问题：
(1)求抛物线的解析式；
(2)点在抛物线上，且，请直接写出点的坐标．
21．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线．
(1)当时，求抛物线的顶点坐标；
(2)已知和是抛物线上的两点，若对于，，都有，求a的取值范围．
22．如图，是的直径，是上的一点，平分，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长（结果保留）．
23．如图，是的外接圆，为直径，为的中点，．
(1)求证：为的切线；
(2)已知，为的中点，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）．
24．（新情境试题·综合与实践） 我们常借助图象来探究二次函数的性质及其变化规律．
【初步探究】如图1，我们将二次函数的图象向上平移得到的图象．过上点作轴交于点．
（1）点在上运动的过程中，线段的长度是否会发生变化？若不变，请求出定值；若变化，请说明理由．
【拓展探究】如图2，线段分别交轴、轴于点，．平移得到，且使其顶点始终在线段上．过点作轴交于点．
（2）若的顶点横坐标为4，，求点的横坐标．
（3）若点的坐标为，的顶点横坐标为，的长为．
①求关于的函数解析式；
②求的最大值．
25．（新情境试题·综合与实践） 【问题提出】
（1）如图1，已知的半径为1，，点是上的一个动点，连接，则的最小值为________；
【问题探究】
（2）如图2，在中，点、分别是、上的点，连接，若，，判断与之间的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图3，是某公园的一片竹林，处有一座凉亭（大小忽略不计），现要在平面内找一点再修建一座凉亭供游客休息，沿、铺设两条地下水管方便竹林灌溉和游客饮水，并在上的点处修建一口水井，再沿铺设一条青石板小路，为节约开支，要求青石板小路的长度尽可能的小．已知，，，求青石板小路的最小值．
答案解析部分
1．B
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
先将化为标准形式，确定开口方向和对称轴，再根据二次函数的性质确定取值范围．
【详解】解：
，
抛物线开口向上，对称轴为，
当时，函数在对称轴左侧单调递减，右侧单调递增．
当时，；当时，，
，
当时，取得最小值，最小值为，
当时，．
故答案选：B．
2．B
【分析】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键；过点A作于E，由求得，再由正弦函数关系即可求得．
【详解】解：如图，过点A作于E，
则；
在中，，
∴；
在中，，
∴；
故选：B．
3．A
【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数图象性质，解题的关键是根据一次函数图象确定k的取值范围，再据此分析反比例函数与二次函数图象特征．
先由一次函数图象得出的取值范围，再分别根据反比例函数和二次函数性质，判断其图象所在象限和开口方向等特征，从而确定符合条件的选项．
【详解】解：对于一次函数，其图象经过一，二，四象限．根据一次函数（为斜率，为截距）性质，斜率，即；截距，
当时，根据反比例函数为常数且性质，反比例函数的图象在一，三象限，
，二次函数图象开口向下；又因为截距，所以二次函数图象与轴正半轴相交．
综上，反比例函数图象在一，三象限，二次函数图象开口向下且与轴正半轴相交，对比选项，A正确，
故选：A．
4．C
【分析】本题考查了正弦的定义，网格线与勾股定理及二次根式的除法，利用网格线的特点取格点D，连接，利用勾股定理求出，易证是直角三角形，且，最后利用正弦的定义即可解答．
【详解】解：如图，取格点D，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
故选：C．
5．B
【分析】过点C作交的延长线于点D，得到，利用三角函数计算即可．
【详解】解：过点C作交的延长线于点D，
∵，，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了俯角的应用，三角形外角性质，等腰三角形的判定，解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
6．D
【分析】本题考查了求弧长，掌握弧长公式（是弧长，是扇形圆心角，是扇形半径）是解题的关键．
根据题意，扇形半径为，圆心角的度数为，代入弧长公式即可求解．
【详解】解：半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，
∴对应的弧长为，
∴重物上升了，
故选：D ．
7．C
【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象与坐标轴的交点问题，根据图象，结合二次函数性质逐项判断即可求解．
【详解】解：A、根据图象，该抛物线的开口向上，则，故该选项说法错误，不符合题意；
B、根据图象，该抛物线与x轴有两个交点，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，故该选项说法错误，不符合题意；
C、∵该抛物线的对称轴为直线，与x轴相交于点，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
∴当时，，故该选项说法正确，符合题意；
D、∵该抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴当时，y的值随x值的增大而增大，当时，y的值随x值的增大而减小，
故该选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
8．C
【分析】本题主要考查了解直角三角形，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，直径所对的圆周角是直角等等，根据平行线的性质和同弧所对的圆周角相等可证明，则，再解直角三角形得到，设，则，据此根据正弦的定义可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
设，则，
∴，
故选：C．
9．A
【分析】本题考查了弧长的计算，折叠问题，关键是求出，证明．
作半径于N，由折叠的性质得到，得到，由，求出，得到，由弧长公式求出的长，即可求出阴影的周长．
【详解】解：作半径于N，
由折叠的性质得到，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴阴影的周长==．
故选A．
10．C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，判别式及方程根的存在性条件，解题时要熟练掌握二次函数的性质与代数变形技巧是关键，结合条件解参数范围时要注意分母符号．
①根据题意得出开口向下，对称轴在轴的右侧，即可判断出；②根据抛物线（，，是常数）过和两点，且，由对称轴与根的关系即可求得；③抛物线（，，是常数且）与直线有交点，可知抛物线的顶点纵坐标大于等于，列出不等式化简即可；④根据题意代入已知点构建方程，可得出，则，根据，即可得出关于的不等式，解不等式即可。
【详解】解：抛物线（，，是常数）过和两点，且，
，即，
故②正确；
对称轴在轴右侧，
，
，
故①正确；
若关于的方程有实数根，
抛物线（，，是常数且）与直线有交点，
，
抛物线开口向下，
抛物线的顶点纵坐标大于等于，
，
，
故③错误；
抛物线（，，是常数且））过和，
，解得，
抛物线（，，是常数且）过和两点，
，
，
，
，
，
，
，
故④正确，
故正确的结论有：①②④，
故答案选：C．
11．
【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键；因此此题可根据“左加右减，上加下减”得到h、k的值，然后问题可求解．
【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，在向下平移3个单位长度后得到抛物线的解析式为，对照可得：，
∴，
∴；
故答案为．
12．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解坡比的含义是解题关键．由坡比可得，从而求得米，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：河坝横断面迎水坡的坡比为，
，
米，
米，
米，
故答案为：米．
13．/
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用．设米，，根据三角形函数得出，，根据，得出，求出，据此计算即可得出答案．
【详解】解：由题意得：，
设米，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
，
∴，
解得：，
∴，
这棵树的高度约为米．
故答案为：．
14．/50度
【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，由是的直径，可得，进而可求出，然后由等弧所对的圆周角相等即可求解．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∴，
∵
∴，
故答案为：．
15．①②④⑤
【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
先利用交点式表示抛物线解析式得到，则，，于是可对①②③进行判断；利用配方法得到，则当时，有最小值，所以，于是可对④进行判断；过点作于点，如图，利用等腰直角三角形得到，即，则可对⑤进行判断；利用勾股定理得到，，，根据等腰三角形的性质，当时，，当时，，然后分别解方程求出的值，从而可对⑥进行判断．
【详解】解：设抛物线解析式为，
即，
∵，
∴，所以②正确；
∵抛物线开口向上，
，
，即，
，
，所以①正确；
∵，
∴，故，所以③错误；
，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴当时，有最小值，
，
即，所以④正确；
过点作于点，如图，
∵，
∴，
∵是等腰直角三角形，
，即，
解得，所以⑤正确；
∵，，，
，，，
当时，，
解得，（舍去），
当时，，
解得，（舍去），
综上所述，的值为或，所以⑥错误．
故答案为：①②④⑤．
16．1
【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．先化简各数，再算乘法，后算加减即可解答．
【详解】解：
．
17．，
【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据特殊角的三角函数值把m的值化简，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，特殊角三角函数，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
，
当时，原式
18．(1)
(2)画图见解析
(3)
【分析】（）利用对称轴方程求出，再把顶点坐标代入解析式求出即可求解；
（）根据二次函数解析式画出函数图象即可；
（）画出一次函数图象，根据图象解答即可；
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，画二次函数图象，二次函数与一次函数的交点问题，运用数形结合思想解答是解题的关键．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴，
∴，
∴，
把代入得，，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，
∴抛物线与轴的交点坐标为，
∵对称轴为直线，
∴点关于对称轴的对称点为，
当时，，
解得，，
∴抛物线与轴的交点坐标为和，
∴画图如下：
（3）解：画一次函数图象如下：
由函数图象可知，当时，的取值范围为．
19．应县木塔的高度均为米．
【分析】过点作于点，的延长线于点，根据题意得，，，利用，即可求出、，则．
【详解】解：如图，过点作于点，的延长线于点，
根据题意得，，，，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
米，
，，
，，
米，
米．
答：应县木塔的高度均为米．
【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，解题关键是根据题意正确作出辅助线求解．
20．(1)；
(2)点的坐标为或．
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，二次函数的性质；
（1）把点A和B的坐标代入解析式求出b，c的值即可解题；
（2）先求出点C的坐标，即可得到，然后分为点P在直线的上方和点P在直线的下方两种，设直线交x轴于点D，求出点D的坐标，进而求出直线的解析式，
再联立直线和抛物线解析式求出交点P的坐标即可．
【详解】（1）解：把点A和B的坐标代入得：
，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）当时，，
∴，
∴，
当点P在直线的上方时，设直线交x轴于点D，
则，
∴，
∴点D的坐标为，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
解方程组得或，
∴点P的坐标为；
当点P在直线的下方时，设直线交x轴于点D，
则，
∴，
∴点D的坐标为，
同理直线的解析式为，
解方程组得或，
∴点P的坐标为；
综上所述，点的坐标为或．
21．(1)
(2)或
【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点坐标公式，以及根据函数单调性结合点的位置来确定参数的取值范围．
（1）将代入抛物线表达式，通过配方法或顶点坐标公式求出顶点坐标；
（2）先求出对应的函数值，再根据的正负性，结合二次函数单调性以及的条件确定的取值范围．
【详解】（1）解：（1）当时，抛物线为
∴抛物线的顶点坐标为直线．
（2）解：∵抛物线的对称轴为，对于，，分两种情况
①若，∵抛物线的对称轴为，
∴点在对称轴的右侧
∵抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而增大
∴当时，y随x的增大而减小
，
∴点N在对称轴右侧，
，
．
②若
抛物线开口向下，
当时，y随x的增大而减小
当时，y随x的增大而增大
抛物线的对称轴为，
点关于对称轴的对称点为
，
，
即．
解不等式组得
综上所述，a的取值范围是或．
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据角平分线定义得，而，则，所以可判断，由于，则，然后根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）求出，由弧长公式可得出答案．
【详解】（1）证明：连接，如图，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解，
，
，
，
，
的长为．
【点睛】本题考查了切线的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质，求弧长等知识；正确的作出辅助线是解题的关键．
23．(1)详见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据垂径定理可得，根据平行线性质得到，从而得到结论；
（2）根据圆周角定理得到，结合题意，得到，根据求出结果即可．
【详解】（1）证明：如图，连接．
为的中点，
．
，
，
为的切线；
（2）解：为的直径，
，
．
为的中点，为的中点，
，
，
．
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，扇形面积的求解，圆周角定理，垂径定理等知识，熟练掌握相关性质定理为解题关键．
24．（1）的长度不变，；（2）点的横坐标为或；（3）①当时，；当时，；②
【分析】本题主要考查二次函数的性质，涉及二次函数的平移、根据顶点坐标求函数解析式和二次函数的性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和分类讨论思想的应用．
（1）理由一：因为是由向上平移3个单位长度得到，相同的对应的函数值相差3．
理由二：作差求得，则．
（2）根据点的横坐标和直线，求得的顶点坐标，则的函数解析式为，设，，分点在点上方和点在点上方两种情况求解即可；
（3）①根据题意得顶点为，则的函数解析式为，进一步求得，当点和点重合时求得m，分当和时，分别求得；
②结合①利用二次函数的性质分别求得最大值即可；
【详解】解：（1）的长度不变，．
理由一：因为是由向上平移3个单位长度得到，相同的对应的函数值相差3．
理由二：∵，
∴．
（2）∵，的顶点横坐标为4，
∴的顶点坐标为，
∴的函数解析式为．
设，．
当点在点上方时，，则；
当点在点上方时，，则．
∴点的横坐标为或．
（3）①∵的顶点横坐标为，
∴顶点为．
∴的函数解析式为．
∵，
∴．
当点，重合时，，解得，．
当时，；
当时，．
②当时，．
∵，对称轴为直线，
∴当时，的最大值．
当时，．
∵，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，的最大值．
∵．
∴的最大值为．
25．（1）2；（2），理由见解析；（3）青石板小路的最小值为．
【分析】（1）根据点与圆的位置关系即可求解；
（2）由，，得到，，再根据相似三角形的判定与性质即可求解；
（3）以点为圆心，为半径作，作直径，连接，过点作，交于点，得到，求出，连接交于点，连接交于点，连接，则m，当点与点重合时，的长取得最小值，此时点与点重合，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）依题意可知，当点在上时，有最小值，
最小值为：，
故答案为：；
（2），理由如下：
，，
，，
．
，
，
，
．
（3）m，
点、、在以点为圆心，为半径的圆上
如图，以点为圆心，为半径作，作直径，连接，过点作，交于点，
，，
，
，
，
，
为的直径，，
，
∴点在以为直径的圆上，记圆心为．
连接交于点，连接交于点，连接，则m，
当点与点重合时，的长取得最小值，此时点与点重合，
，，
，
在中，，
，
故青石板小路的最小值为．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．(
) (
学校
__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍
密
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍
封
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍
线
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍
) (
)
2024-2025学年下学期期中模拟考试
九年级数学·答题卡
姓名：
(
注
意
事
项
1
．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。
2
．
选择题必须用
2B
铅笔填涂；非选择题必须用
0.5mm
黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。
3
．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4
．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。
5
．正确填涂
缺考标记
) (
贴条形码区
)
(
准考证号
0
1
2
3
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5
6
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8
9
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7
8
9
)
(
一、选择题（每小题
3
分，共
3
0
分）
1 [A] [B] [C] [D]
2 [A] [B] [C] [D]
3 [A] [B] [C] [D]
4 [A] [B] [C] [D]
5
[A] [B] [C] [D]
6
[A] [B] [C] [D]
7
[A] [B] [C] [D]
8
[A] [B] [C] [D]
9
[A] [B] [C] [D]
10
[A] [B] [C] [D]
二、填空题
（
本题共
5
小题，每小题
3
分，共
15
分
）
11
．
____________________
12
．
____________________
13
．
____________________
14
．
____________________
____________________
三、解答题
（
共
55
分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
）
1
6
．（
3
分）
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
1
7
．（
4
分）
1
8
．（
4
分）
19
．（
5
分）
) (
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
) (
20.
（
5
分）
2
1
.（
6
分）
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
2
2
．（
6
分）
（
6
分）
) (
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
24．（
8
分）
) (
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
) (
25．（
8
分）
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
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