(
) (
学校
__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍
密
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍
封
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍
线
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍
) (
)
2024-2025学年下学期期中模拟考试
九年级数学·答题卡
姓名：
(
注
意
事
项
1
．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。
2
．
选择题必须用
2B
铅笔填涂；非选择题必须用
0.5mm
黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。
3
．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4
．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。
5
．正确填涂
缺考标记
) (
贴条形码区
)
(
准考证号
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
)
(
一、选择题（每小题
3
分，共
3
0
分）
1 [A] [B] [C] [D]
2 [A] [B] [C] [D]
3 [A] [B] [C] [D]
4 [A] [B] [C] [D]
5
[A] [B] [C] [D]
6
[A] [B] [C] [D]
7
[A] [B] [C] [D]
8
[A] [B] [C] [D]
9
[A] [B] [C] [D]
10
[A] [B] [C] [D]
二、填空题
（
本题共
5
小题，每小题
3
分，共
15
分
）
11
．
____________________
12
．
____________________
13
．
____________________
14
．
____________________
____________________
三、解答题
（
共
55
分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
）
1
6
．（
3
分）
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
1
7
．（
4
分）
1
8
．（
4
分）
19
．（
5
分）
) (
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
) (
20.
（
5
分）
2
1
.（
6
分）
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
2
2
．（
6
分）
（
6
分）
) (
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
24．（
8
分）
运动时间
x/s
0
1
2
3
4
5
．．．
运动速度
/
12
11
10
9
8
7
．．．
滑行距离
s
/
0
11.5
22
31.5
40
47.5
．．．
) (
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
) (
25．（
8
分）
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
第4页（共6页） 第5页（共6页） 第6页（共6页）
第1页（共6页） 第2页（共6页） 第3页（共6页）/ 让教学更有效
初三数学下册期中考试模拟卷
（考试时间：90分钟，分值：100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在中，若，，，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
2．点是抛物线上的点，且，则与大小关系为（ ）
A． B．
C． D．无法确定
3．二次函数与一次函数的图象交点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（新情境试题·生活应用型）河堤横断面如图所示，堤高，迎水坡的坡比为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，是的高．若，，，则的长为（ ）
A． B． C．5 D．
6．已知二次函数（a为常数，且），当时，函数的最大值与最小值之差为8，则a的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．如图，四边形为的内接四边形，点在的延长线上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，是的直径，是上两点，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．已知正方形的边长为4，为边的中点，以为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，以长为直径在正方形内部作半圆，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④m为任何实数时，都有：．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．已知某二次函数图象上有四点，且满足，则将从小到大排列是 ．
12．如图，在中，，于点，作，AE交线段于点，恰有，则 ．
13．（新情境试题·生活应用型）凌霄塔亦名文笔塔，为榆林市重点文物保护单位，位于榆林城南榆阳桥东侧山峰上，某校数学社团开展“探索生活中的数学”实践活动，小华与队友计划测量凌霄塔的高．如图，首先，在阳光下某一时刻，小树的影子顶端恰好与塔的影子顶端重合，测得；然后利用测角仪在点测得塔顶的仰角为，测角仪的高，；已知，，，点、、、在一条直线上，则凌霄塔的高 ．（参考数据：，，）
14．将直尺和量角器按如图方式摆放，其中为量角器所在半圆的直径，直尺的边缘与量角器所在半圆相切于点C，并与的延长线交于点D．已知点C，D在直尺上对应的刻度分别为0和3，点C在量角器上对应的外圈刻度为，则图中阴影部分的面积为 ．
15．如图，二次函数的图象与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的个数为 ．
三、解答题（本题共10小题，共55分。其中：16题3分，17-18每题4分，19-20每题5分，21-23每题6分，24-25题每题8分）。
16．计算：．
17．先化简代数式，再求值：．其中的值为式子的值．
18．已知二次函数．
(1)该二次函数的图象与x轴的交点坐标是_____________、_____________，顶点坐标是_____________；
(2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的大致图象；
(3)当时，结合函数图象，直接写出y的取值范围_____________．
19．（新情境试题·生活应用型）“和平广场”是我市的重要地标之一，而和平广场的“观沧海石雕”是该广场的标志性景观，具有深厚的文化内涵和艺术价值．这座石雕以“观沧海”为主题，通过艺术手法展现了沧海壮阔的景象，同时也体现了葫芦岛市作为海滨城市的地域特色．在综合与实践活动中，某学习小组想测量石碑的高度，具体操作如下：小茜站在处观测时（为小茜眼睛到地面的高度，米），测得石碑顶端点E的仰角，站在相距米的处观测时，测得点的仰角，点，，在同一条直线上．（结果精确到米，参考数据：，，，）
(1)求的长；
(2)求石碑高度．
20．（新情境试题·生活应用型）掷实心球是高中阶段学校招生体育考试的选考项目，实心球行进路线是一条抛物线．在体育课上，刘欣同学在练习投实心球时，某次实心球行进高度与水平距离之间的函数关系图象如图所示，掷出时起点处的高度，当水平距离为2m时，实心球行进至最高点2m处．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)若刘欣投实心球时正前方5m的点B处是一个沙坑距离刘欣最近的边缘，请你判断她此次投出的实心球能否进入沙坑，并说明理由．
21．二次函数的图象与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，为抛物线的顶点坐标，．
(1)求A，两点的坐标；
(2)设点M坐标为，，二次函数的图象经过点，，三点，且与轴的交点（不与点，重合）落在线段上，求点横坐标的取值范围；
(3)在（2）的条件下，当时，为图象段上任一点，过点作轴的垂线交的图象于点，求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标．
22．如图，内接于，是的直径，平分交于点D，交于点E，延长到F，连接，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
23．如图，内接于，为的直径，点为劣弧的中点，连接、，交于点，过点作的切线交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
24．（新情境试题·综合与实践） 【项目式学习】
项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”
项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用．
实验过程：如图所示，一个小球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从小球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间x（单位：s）、运动速度v（单位：）、滑行距离y（单位：）的数据．
任务一：数据收集
记录的数据如下：
运动时间x/s 0 1 2 3 4 5 ．．．
运动速度/ 12 11 10 9 8 7 ．．．
滑行距离s/ 0 11.5 22 31.5 40 47.5 ．．．
任务二：观察分析
（1）根据v，s随的变化规律，从所学的三种函数模型（一次函数、反比例函数、二次函数）中，选择适当的函数模型，分别求出关于的函数关系式和关于的函数关系式．
任务三：问题解决
（2）当小球在水平木板上停下来时，求此时小球的滑行距离；
（3）当小球到达木板点的同时，在点的前方处有一辆小车，以的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，请直接写出的取值范围．
25．（新情境试题·综合与实践） 【问题背景】
如图，是的外接圆，为直径， 的度数为， 点是的内心，连接并延长交于点，过点作的切线交的延长线于点，连接．
(1)【初步感知】
图中， 当时，_______；
(2)【问题探究】
如图，连接，，当等于多少度时，四边形是菱形？请说明理由；
如图，若的半径为， ，求阴影部分的面积（结果用含和根号的式子表示）．
答案解析部分
1．C
【分析】本题考查锐角三角函数的定义，记住锐角三角函数的定义是解题的关键，属于基础题，中考常考题型．根据锐角三角函数定义可得，代入数据即可解决问题．
【详解】解：如图，
∵，，，
∴，
∴，
故选：C
2．B
【分析】本题主要考查了抛物线的对称性，解题关键是正确应用对称性．由，得到轴的距离大于到轴的距离，由抛物线的对称轴为轴，开口向上，即可得．
【详解】解：由，
得到轴的距离大于到轴的距离，
由抛物线的对称轴为轴，开口向下，
得．
故选：B．
3．B
【分析】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，根据题意分两种情况讨论：和，然后分别判断出一次函数和二次函数的图象所在的象限，进而求解即可．
【详解】当时，二次函数图象在第一象限和第二象限，一次函数的图象在第一，三，四象限，
∴二次函数与一次函数的图象交点不可能在第二，四象限；
当时，二次函数图象在第三象限和第四象限，一次函数的图象在第二，三，四象限，
∴二次函数与一次函数的图象交点不可能在第一，二象限；
综上所述，二次函数与一次函数的图象交点不可能在第二象限．
故选：B．
4．D
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角，熟练掌握坡度的定义是解题的关键．
根据坡度的定义列式计算即可．
【详解】解：堤高，迎水坡的坡比为，
，
，
故选：D．
5．A
【分析】本题考查了解直角三角形和勾股定理，正确作辅助线构造直角三角形是解题的关键．解直角三角形得，由勾股定理得：，求得的长，在中，由勾股定理即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
在中，由勾股定理得：，
故选：A．
6．C
【分析】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．当时，抛物线开口向上，则抛物线在顶点处取得最小值，在时取得最大值，当时，，当时，，则，即可求解．
【详解】由抛物线的表达式知，函数的对称轴为直线，
则比距离对称轴远，
当时，抛物线开口向上，则抛物线在顶点处取得最小值，在时取得最大值，
当时，，
当时，，
则，解得，，
故选：C．
7．D
【分析】本题考查的知识点是圆周角定理，圆内接四边形的性质，解题关键是熟练掌握圆周角定理，圆内接四边形的性质．
先根据圆周角定理得，再根据圆内接四边形的性质得，由此即可得出答案．
【详解】解：连接，
，
，
四边形为的内接四边形，
，
又，
．
故选：．
8．C
【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理得，再根据三角形内角和定理进行计算，求得．然后利用平角定义得，最后由圆周角定理可得：，即可解答．
【详解】解：是的直径，
，
．
平分，
，
，
故选：C．
9．B
【分析】本题考查了扇形的面积、正方形的性质等知识，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．先根据正方形的性质可得，，，再根据图中阴影部分的面积等于求解即可得．
【详解】解：∵正方形的边长为4，
∴，，
∵为边的中点，
∴，
∴图中阴影部分的面积是
，
故选：B．
10．C
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握图象开口的性质，对称轴直线是解题的关键．根据图示可得，由对称轴直线可得，可判断①；由抛物线与x轴有交点可判断②；由可判断③；由函数有最大值，对自变量取任意实数m，其函数值不小于最大值，可判定④，即可作答．
【详解】解：根据图示，二次函数图象开口向下，与轴交于正半轴，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，故①说法是正确的；
∵，
∴，故③说法是错误的；
由图象知，抛物线与x轴有两个交点，
∴，故②说法是正确的；
∵二次函数图象开口向下，对称轴为直线，
∴当时，二次函数有最大值，最大值为，
∴对于任意实数，都有，
∴，
∴，故④说法是正确的；
综上所述，正确的有①②④，共3个，
故选：C．
11．
【分析】根据二次函数的性质，结合点A、B、C、D的横坐标，即可得出对称轴和开口方向，根据二次函数的对称性和增减性，即可得到的大小关系．
【详解】解：二次函数图象上有四点，且满足，
∵A的横坐标B的横坐标C的横坐标2，且A的纵坐标C的纵坐标B的纵坐标，
∴抛物线开口向下（），
若开口向上，离对称轴越远，纵坐标越大，无法满足，
∵且，
∴对称轴在0和2之间，
∵且，
∴对称轴在0和1之间，
∴对称轴到0的距离最近，其次是到2的距离，然后是到﹣2的距离，到4的距离最远，
∴最小，其次，第三，最大，
∴．
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，求角的正切值，根据“”证明，得，即，证明出，设，，则，代入得，求出，即可求出．
【详解】解：∵
∴,
∵
∴
∴
∴，
∴，即，
∵
∴
∴
设，，则
∴，
∴，
∴，
解得，（负值舍去）
∴，
∴．
13．
【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，同一时刻物高与影长成比例，先过作于，证明四边形为矩形，由，可设，再进一步利用三角函数的含义建立方程求解即可．
【详解】解：如图，过作于，而，，，
则四边形为矩形，
∴，，
∵在阳光下某一时刻，小树的影子顶端恰好与塔的影子顶端重合，测得；
∴，
∴设，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得：，经检验符合题意；
∴凌霄塔的高为；
故答案为：
14．
【分析】本题主要考查了含30度直角三角形的性质，勾股定理，切线的性质，扇形面积等知识，连接，由题意可得出，设为量角器所在半圆的半径为r，则，由含30度直角三角形的性质得出，由勾股定理解出，，最后根据求解即可．
【详解】解：连接，如下图：
由题意知：，，，
∴，
设为量角器所在半圆的半径为r，则，
∴，
在中，
，
即，
解得：，，
∴
故答案为：．
15．
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，得以解决．
【详解】解：二次函数的图象开口向下，
，
∵，
∴，
二次函数的图象与轴交于正半轴，
，
，故①正确，
∵，
∴，故②正确，
∵二次函数的图象与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线，
∴二次函数的图像与轴的另一个交点在和之间，
∴当时，，即，故③正确，
∵，
∴，故④正确，
综上所述，其中正确的个数有4个，
故答案为：．
16．3
【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
利用绝对值的性质，零指数幂，特殊锐角三角函数值计算即可．
【详解】解：原式
17．，
【分析】此题考查了分式的化简求值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再计算a的值，并把a的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
，
原式．
18．(1)；；
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，画二次函数图象．
（1）把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标，分别令求得与坐标轴的交点坐标即可；
（2）先确定抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用描点法画出二次函数图象；
（3）结合二次函数图象，写出当时对应的y的取值范围．
【详解】（1）解：令，则，
解得：，
∴二次函数图象与轴的交点坐标是，，
∵，
∴该二次函数图象顶点坐标为；
（2）解：列表：
描点，连线，如图：
（3）解：由图象可知，当时，．
19．(1)长约为米
(2)石碑高度约为米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解一元一次方程，熟练掌握三角函数是解题关键．
（1）设米，根据题意得米，推得在，，解一元一次方程即可；
（2）结合（1）求得，根据即可求解．
【详解】（1）解：延长交于点，
根据题意得：，米，米，
，
设米，则米，
在中，，，
，
米，
在中，，，
，
，
解得：，
（米），
答：长约为米．
（2）解：由（1）得：，
（米）
答：石碑高度约为米．
20．(1)；
(2)她此次投出的实心球能进入沙坑，理由见解析．
【分析】本题考查二次函数的应用．用顶点式求得二次函数的解析式是解决本题的关键．
（1）易得抛物线的顶点坐标和点A的坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，把点A的坐标代入可得a的值，即可求得抛物线的解析式；
（2）取，求得合适的的值，与5比较即可得到实心球能否进入沙坑．
【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，点A坐标为，
设抛物线的解析式为：，
经过点，
，
解得：，
关于x的函数表达式为：；
（2）解：她此次投出的实心球能进入沙坑．
理由：当时，，
，
解得：，不合题意，舍去，
，
她此次投出的实心球能进入沙坑．
21．(1)A点坐标为，点坐标为
(2)且
(3)
【分析】本题考查了二次函数的解析式求解、坐标点的计算以及四边形面积最值问题，解题关键是熟练运用二次函数的性质，结合已知条件建立方程或函数表达式来求解相关量．
（1）由确定点坐标，代入二次函数求出c，得到抛物线解析式．令，得出，，从而得到A，两点的坐标．
（2） 将化为顶点式，得 ．二次函数对称轴为，得出点坐标．根据点落在线段上且不与、重合点位置确定m初步范围，然后根据、位置排除特殊值；
（3）根据求值及解析式，并表示、坐标并求的解析式，然后当通过配方得时，取最大值，根据四边形面积计算方法得出四边形面积，即可得出点坐标．
【详解】（1）解：
∴C点坐标为，
拋物线的解析式为．
令，解得，．
点坐标为，点坐标为．
（2）由题意可知，，
点坐标为．
点坐标为，
∴二次函数的图象的对称轴为直线，
故点坐标为．
点在上，且不与点，重合，
．
．
，都在二次函数的图象上，
．
综上所述，且．
（3）解：当时，如图，，
，解得，此时的解析式为：，
设点坐标为，点Q坐标为，
当时，．
当时，有最大值3，此时四边形的面积为，
此时点坐标为．
22．(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）由是的直径，得，由，得，而，则，所以，即可证明是的切线；
（2）由，，于点D，得，求得，由，得，则，所以的半径长为
【详解】（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
（2）解：是的直径，
，
，，于点D，
，
，
，
，
，
，
的半径长为
【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、切线的判定、勾股定理、解直角三角形等知识，推导出，，进而证明是解题的关键．
23．(1)见解析；
(2)．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可得：，根据切线的定义，可得：，根据直角三角形的两个锐角互余可得：，，根据圆周角定理可得：，根据等角的余角相等可得：，根据对顶角相等可得：，根据等角对等边可证结论成立；
连接，因为，所以，由可知，因为是的直径，可得，又因为，可证，根据相似三角形对应边成比例，可得：，从而可求的长度．
【详解】（1）证明：为的直径，
，
，
为的切线，
，
，
点为劣弧的中点，
，
，
，
，
；
（2）解：如下图所示，连接，
，
，
，
为的直径，
，
，，
，
，
即，
．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，本题的综合性较强，解决本题的关键是根据圆的一些性质找边和角之间的关系．
24．（1），；（2）此时小球的滑行距离为；（3）
【分析】（1）根据待定系数法求出一次函数和二次函数的解析式即可；
（2）根据题意可知，要想求小球停止，其实就是求二次函数的最大值，只要能读懂题意即可解决问题；
（3）此题是把求范围转化成求二次函数最值问题，运用到转化思想，即可解决问题；
【详解】解：（1）由题意和表格可设：关于的函数关系式是，
把代入函数式得：
，
解得：，
∴关于的函数关系式为；
可设关于的函数关系式为，
把代入函数式得：
，
解得：，
∴关于的函数关系式为：；
（2）由（1）可知：，由二次函数图象性质可知，当小球停止时即s取的最大值时，变形，
∵，
∴s的最大值是；
∴此时小球的滑行距离是；
（3）由题意可知：，
整理得：，
令，由二次函数的最大值可知，y的最大值是32，
∴．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，二次函数图形的性质，最值问题等知识点，解决此题的关键是正确的计算出二次函数的解析式。
25．(1)
(2)当时，四边形是菱形，理由见解析；
．
【分析】连接，根据圆周角定理可知，根据切线的定义可知，从而可得，根据可得，根据点是的内心，可得，从而可得；
连接，当时，可证是等边三角形，所以可得，所以可得根据圆周角定理可知，根据同位角相等两直线平行可证，所以可证四边形是平行四边形，再根据可证四边形是菱形；
连接，，根据为直径，，可得：，根据扇形的面积公式可得，根据可得，根据三角形的面积公式可得，用的面积减去扇形的面积，即可得阴影面积．
【详解】（1）解：如下图所示，连接，
是的直径，
，
又是的切线，
，
，
，
，
又，
，
又 点是的内心，
平分，
，
，
故答案为：；
（2）解：当时，四边形是菱形，
理由如下：
点是的内心，，
，
，
，
连接，则是等边三角形，
，，
四边形是菱形；
如下图所示，连接，，
为直径，，
，，，，
，
是的切线，
，
在中，，，
，
，
，
阴影部分的面积．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、菱形的判定与性质、扇形的面积公式、锐角三角函数，本题的综合性较强，需要根据圆的基本性质找边和角之间的关系，再根据边和角之间的关系求解．
