(
) (
学校
__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍
密
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍
封
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍
线
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍
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)
2024-2025学年下学期期中模拟考试
九年级数学·答题卡
姓名：
(
注
意
事
项
1
．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。
2
．
选择题必须用
2B
铅笔填涂；非选择题必须用
0.5mm
黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。
3
．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4
．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。
5
．正确填涂
缺考标记
) (
贴条形码区
)
(
准考证号
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
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1
2
3
4
5
6
7
8
9
)
(
一、选择题（每小题
3
分，共
3
0
分）
1 [A] [B] [C] [D]
2 [A] [B] [C] [D]
3 [A] [B] [C] [D]
4 [A] [B] [C] [D]
5
[A] [B] [C] [D]
6
[A] [B] [C] [D]
7
[A] [B] [C] [D]
8
[A] [B] [C] [D]
9
[A] [B] [C] [D]
10
[A] [B] [C] [D]
二、填空题
（
本题共
5
小题，每小题
3
分，共
15
分
）
11
．
____________________
12
．
____________________
13
．
____________________
14
．
____________________
____________________
三、解答题
（
共
55
分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
）
1
6
．（
3
分）
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
1
7
．（
4
分）
1
8
．（
4
分）
19
．（
5
分）
) (
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
) (
20.
（
5
分）
2
1
.（
6
分）
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
2
2
．（
6
分）
（
6
分）
) (
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
24．（
8
分）
) (
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
) (
25．（
8
分）
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
第4页（共6页） 第5页（共6页） 第6页（共6页）
第1页（共6页） 第2页（共6页） 第3页（共6页）/ 让教学更有效
初三数学下册期中考试模拟卷
（考试时间：90分钟，分值：100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列对二次函数的图象的描述，正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是轴
C．经过原点 D．在对称轴左侧部分是上升的
2．（新情境试题·生活应用型）如图是某幼儿园滑梯的示意图，已知滑梯斜面的坡度，滑梯的水平宽度等于，则高为（ ）
A． B． C． D．
3．已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如表，则下列结论正确的是（ ）．
x … 0 3
y … 3 3
A．当时，y随x的减小而减小 B．图象的开口向上
C．图象只经过第二，三，四象限 D．图象的顶点坐标是
4．如图，是的弦，连接，，点是优弧上一点，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．因为，，所以．由此猜想，推理可知：当为锐角时，有，由此可知（ ）
A． B． C． D．
7．（新情境试题·社会热点型）2025年1月7日凌晨，长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心点火起飞，将实践二十五号卫星成功送入预定轨道，为2025年中国航天宇航发射取得“开门红”．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（ ）
A．千米 B．千米 C．千米 D．千米
8．如图，在菱形中，对角线相交于点O，，，则菱形边上高的长度为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，正六边形的边长为4，以A为圆心，的长为半径画弧，得，连接，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点A、B两点．结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③连接，的面积是12.5；④对于抛物线，当时，的取值范围是．其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（新情境试题·生活应用型）如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，河堤的高米，则坡面的长度是 米．（坡比也叫坡度．坡比是指点B向水平面作垂线，垂足为C，．）
12．（新情境试题·生活应用型）图1是一个地铁站入口的双翼闸机，图2是它的简化图，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 ．（参考数据：，，）
13．（新情境试题·生活应用型）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即的长）为 米．
14．如图，四边形内接于圆，为圆直径，、交于点，点是的中点，切圆于，交延长线于．若，点到的距离为，则 ， ．
15．如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论：
①；②；③（为任意实数）；④若点，，均在二次函数图像上，且满足，则；
其中正确的结论有 ．
三、解答题（本题共10小题，共55分。其中：16题3分，17-18每题4分，19-20每题5分，21-23每题6分，24-25题每题8分）。
16．计算：．
先化简，再求值：，其中．
18．已知抛物线．
(1)用配方法将化成的形式：______________；
(2)抛物线与x轴交点（点A在左侧），与y轴交点C，在给定的坐标系中画出这个抛物线，并写出的面积：________________；
(3)当自变量x满足__________时，函数．
19．（新情境试题·生活应用型）如图，小明看见某大楼的顶部有一块电子显示屏，她想知道电子显示屏的高度．她先从大楼底部点处步行20米到达山坡的坡脚点处，测得电子显示屏底部点的仰角为60°．沿坡面向上12米走到点处测得电子显示屏顶部的仰角为45°，山坡的坡度．（是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）
(1)填空：________°，_______°；
(2)求点距水平面的高度；
(3)求电子显示屏的高度．（测角器的高度忽略不计，结果保留根号）
20．如图，在中，，D为中点，以，为一组邻边作，与交于点O，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
21．如图，抛物线与轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点是抛物线上一点，点是线段上一点，连接并延长交抛物线于点，若，求点的坐标；
(3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
22．（新情境试题·生活应用型）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，运动员通过助滑道后在点A 处起跳经空中飞行后落在着陆坡上某处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．如图是跳台滑雪训练场横截面示意图，这里表示起跳点A到地面的距离，，以O为坐标原点，以地面的水平线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．某运动员在A处起跳腾空后，在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离满足．在着陆坡上设置点K作为基准点，点K与相距30，高度（与距离）为5，着陆点在K点或超过K 点视为成绩达标．
(1)若某运动员在一次试跳中飞行的水平距离为10时，恰好达到最大高度，此时a的值为 ，他的这次试跳落地点能否达标？ （填“能”或“不能”）．
(2)研究发现，运动员的运动轨迹与滑出速度的大小有关，下表是某运动员7次试跳的a与的对应数据：
150 170 190 210 230 250 270
a
①猜想a关于的函数类型，并求出函数解析式；
②当滑出速度v为多少时，运动员的成绩刚好能达标？
23．如图，为的直径，过圆上一点D作的切线交的延长线于点C，过点B作的切线交的延长线于点E，连接．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的长．
24．（新情境试题·综合与实践）综合与实践
【活动背景】青岩古镇位于贵阳市南郊，距市区约公里，是贵州四大古镇之一，其历史可以追溯到年前．古镇内能看到设计精巧、工艺精湛的明清古建筑错落有致、交错密布．凭借独特的风貌和深厚的文化底蕴，青岩古镇被人们誉为中国最具魅力小镇之一．某学校数学兴趣小组成员带着测量工具来到青岩古镇测量一城门楼（如图）的高度，为此他们设计了如量下方案．
【测量工具】测角仪、皮尺、标杆．
【测量数据】图纸设计：如图，
测量数据：标杆的高度米，，，测量点之间的距离米，，．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题．
(1)求青岩古镇城门楼的高度．（参考数据：，，）
(2)该小组组长在小组讨论决定测量方案时，对某一成员提出的“利用物体在阳光下的影子测量城门楼的高度”的方案给予拒绝，没有采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）
25．（新情境试题·综合与实践）【问题发现】
如图①，，矩形的顶点A在射线上移动，顶点B在射线上移动，．容易发现，在矩形移动过程中，的外接圆半径为定值．
理由如下：如图②，取的中点E，连接，
在中，，点E是斜边的中点，
∴ ，，
∴．
∴ 点O、A、B在以点E为圆心，2为半径的上．
即为的外接圆，其半径为2．
【深入探究】
在【问题发现】的条件下，连接，线段的长为 ，在矩形移动过程中，线段长度的最大值为 ；
【类比运用】
如图③，，矩形的顶点A在射线上移动，顶点B在射线上移动，．
（1）设的外接圆圆心为点E，半径为R，请判断在矩形移动过程中R的值是否发生变化，若不变，请求出R的值，若变化，请说明理由；
（2）直接写出在矩形移动过程中线段长度的最大值．
答案解析部分
1．C
【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数的图象和性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：∵二次函数，其中，
∴该函数图象开口向上，
故选项A错误；
∵对称轴为直线，
故选项B错误；
∵当时，，
∴图象经过原点，
故选项C正确；
∵图象开口向上，
∴在对称轴左侧随的增大而减小，即在对称轴左侧部分是下降的，
故选项D错误；
故选：C．
2．C
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据题意可得：，然后根据已知易得：，从而进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：，
滑梯斜面的坡度，
，
，
，
故选：C．
3．A
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先根据对称性确定二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：由表格可知：和时的函数值相同，
∴对称轴为直线，
由表格可知：当时，随着的减小大而减小，时，随着的增大而减小，故A正确，符合题意；
∴抛物线的开口向下，
∵函数图象过点和，且函数图象的开口向下，选项B错误，不符合题意；
∴抛物线的开口方向向下，顶点在第二象限，且与轴交于正半轴，与轴的两个交点分别在的正半轴和负半轴上，
∴函数图象过一，二，三，四象限，选项C错误，不符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线；
∴抛物线的顶点的横坐标为，不是，选项D错误，不符合题意；
综上：只有选项A正确，符合题意；
故选A．
4．C
【分析】本题考查圆中求角度，涉及圆周角定理、三角形内角和、等腰三角形的判定与性质等知识，先由得到，结合等腰三角形性质及三角形内角和定理得到，最后由圆周角定理即可得到答案，熟练掌握圆中求角度的方法是解决问题的关键．
【详解】解：连接，如图所示：
，
，
，
，则，
，
，
，
，
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质，判断的大小即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向下，对称为直线，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
∵关于直线的对称点坐标为，
∵，，又，
∴．
故选：C．
6．B
【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，本题是信息题，按照“一般地当为锐角时有”去答题．同时熟记特殊角的三角函数值也是解题的关键．
当为锐角时有．把代入计算即可．
【详解】解：∵，
，
故选：B．
7．A
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
根据题意可得：，在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：，
在中，，，
∴．
故选：A ．
8．B
【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键．根据菱形的性质得出，求出，解直角三角形求出，根据勾股定理求出，再根据菱形的面积即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，即，
∴．
故选：B．
9．B
【分析】本题考查了正多边形的性质，解直角三角形，扇形面积计算等知识；由正六边形性质得，；过点B作于点G，解直角三角形求得，再由扇形面积公式即可结果计算．
【详解】解：在正六边形中，，且六边相等，
∴，
∴；
过点B作于点G，则；
∵，
∴，
∴阴影部分的面积为；
故选：B．
10．C
【分析】本题考查了二次函数的图象特征、二次函数与方程、不等式（组）之间的关系，掌握数形结合的思想是解题的关键．
①根据函数的图象特征即可判断；②根据二次函数与二次方程根的关系即可判断；③运用三角形面积公式计算即可判断；④由图象和③可得出二次函数的对称轴，再结合函数图像即可确定得取值范围，从而判定④．
【详解】解：①∵直线与抛物线相交于点A，B，
∴由图象可知：当时，直线在抛物线的上方，
∴，即①正确；
②由图象可知：抛物线与x轴有两个交点，
∴方程有两个不相等的实数根．
∴是方程的一个解，即②正确；
③ ，即③错误；
④由③可得抛物线的解析式为：，
∴当时，有最小值，
∵
∴由函数图象可知：当时，有最大值5，
∴当时，的取值范围是，即④错误．
综上，正确的有2个．
故选：C．
11．
【分析】本题考查了解直角三角形问题，勾股定理，根据迎水坡的坡比为得出，再根据米，得出的值，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意得，
∴（米），
∴（米）．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点作于点，过点作于点，利用含的直角三角形的性质，求解，，从而可得答案．正确进行计算是解题关键．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，
在中，，
，
同理可得，，
双翼边缘的端点与之间的距离为，
当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为．
故答案为：．
13．40
【分析】
本题考查了二次函数在实际问题中的应用．以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得内侧抛物线的解析式，则可知点、的横坐标，从而可得的长．
【详解】
解：以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系：
，，，
设抛物线的解析式为，将代入，得：
，
解得：，
抛物线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
，，
米，
故答案为：40．
14．
【分析】，过点O作于H，连接，证明，求出，则，求出，求出，证明，得到，设则，在中，由勾股定理即可求出．
【详解】解：如图，过点O作于H，连接，
则，，
∵点是的中点，
∴
，，
∵为圆直径，
∴
∴，
∴，
，
，
是的直径，
，
切于D，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设则，
在中，由勾股定理得，
解得（含）
，
故答案为：；
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质及等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是作出适当的辅助线解决问题．
15．①②③④
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
根据二次函数图象的性质，对选项逐一进行判断即可．
【详解】解：根据图象可知，开口向上，
，
∵抛物线的对称轴为直线，
，
∵抛物线交轴负半轴，
，故①正确，符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，根据抛物线的对称性可得，抛物线与轴的另一个交点坐标为，
将该点坐标代入解析式可得：，故②正确，符合题意；
∵抛物线顶点横坐标为，当时求得值最小，即，
∴无论取何值时，总是大于或等于
即，故③正确，符合题意；
根据绝对值的几何意义可知，分别表示到的距离，根据抛物线图象的性质，距离对称轴越远的点，其坐标就越大，故④正确，符合题意．
故答案为：①②③④．
16．
【分析】此题考查了实数的混合运算．代入特殊角是三角函数值、利用零指数幂法则、求算术平方根的法则、负整数指数幂法则进行计算即可．
【详解】解：
．
17．，．
【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的加减乘除运算法则是关键．
根据分式加减乘除法则，先化简分式，再化简后代入求值．
【详解】解：
，
当时，原式．
18．(1)
(2)作图见解析，的面积为
(3)或
【分析】本题考查将抛物线表达式的一般式化为顶点式，抛物线与坐标轴的交点坐标，画函数图像，结合图像求不等式的解集，结合图像理解函数的增减性，根据网格求三角形的面积等知识点．利用数形结合的思想求解是解题的关键．
（1）由于二次项系数是，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式，根据恒等，同时需要减去一次项系数的一半的平方即可；
（2）令得到关于的方程，求解后可得点和点的坐标，令可得到的值，可得点的坐标，然后画出该函数的图像，再根据三角形的面积公式即可求出的面积；
（3）观察图像，图像在轴上方的部分，即可得出的取值范围．
【详解】（1）解：，
∴；
（2）解：∵抛物线，
当时，得：，
解得：或，
∴，，
当时，得：，
∴，
如图：
∵，，，
∴，，
∴，
∴的面积为；
（3）解：由图像知：当或时，．
19．(1)；
(2)米
(3)广告牌的高度约为米
【分析】（1）根据题意可得：， ， 然后根据已知易得在中， ，从而可得， 进而可得，最后利用角的和差关系以及平角定义进行计算，即可解答；
（2）在中，利用含度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答；
（3）延长交于点，根据题意可得：米， ，，米， 然后在中， 利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再分别在和中， 利用锐角三角函数的定义求出和的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：由题意得：
∵山坡的坡度，
在中，，
则，
，
，
，，
故答案为：；；
（2）解：在米，米，，
(米)，
∴点距水平面的高度为米；
（3）解：延长交于点，
由题意得：米， 米，
在中，米，，
(米) ，
米，
在中，，
(米)，
在中，
米，
米，
∴广告牌的高度约为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的性质，结合直角三角形的性质，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可证明四边形是菱形；
（2）根据菱形的性质，三角形中位线定理，三角函数的应用，解答即可．
【详解】（1）证明：，
．
即，
中，，D为中点，
．
，．
∴四边形是平行四边形．
又，
∴四边形是菱形．
（2）∵菱形，
∴O为中点，．
∴是的中位线．
．
又，
．
∵在中，，
．
．
．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，正切函数的应用，平行四边形的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
21．(1)
(2)点坐标为
(3)存在，点坐标为或
【分析】本题主要考查了抛物线和平行线，圆的知识的综合，掌握待定系数法求解析，二次函数与几何图形的综合运用，圆的基础知识，数形结合分析思想是解题的关键．
（1）用待定系数法，把点代入中，求出，即可得到表达式．
（2）过作的垂线，得对应线段成比例，再找出各坐标之间的关系，列方程，求点坐标．
（3）添加过三点的圆，利用度圆周角，得到度圆心角，利用勾股定理，找到各线段的长，求出半径，设的坐标，既在抛物线上又在圆上，列方程，求出的坐标．
【详解】（1）解：把点代入中，
∴，
解得，，
∴．
（2）解：作于，于，
当时，，
∴点坐标为，
设解析式为：，
，
解得，
∴，
∵，
∴，
∵于，于，
∴，
∴，
∴，
设点坐标为，
∴点坐标为，点坐标为，点坐标为，
∵点在抛物线上，
∴，
∴，
解得，
∴点坐标为．
（3）解：作过三点的圆，连接，作于，
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴点坐标为，
∴，
∴，
设点坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，（不合题意舍去），，
∴，
∴，
∴，
∴点坐标为或．
22．(1)，能
(2)①成反比例函数关系，，验证见解析；②当滑出速度为时，运动员的成绩恰好能达标．
【分析】本题主要考查了二次函数、反比例函数的实际应用，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键．
（1）根据题意可得抛物线经过点，对称轴为，从而得到抛物线的解析式为，令，求出，比较即可求解；
（2）①设，将代入得，．将代入验证：当时，成立，即可求解；②将和分别代入，得，．由得，即可求解．
【详解】（1）解： 由题意得：抛物线经过点，对称轴为，
可得，
解析式为，
令，则，
，
此运动员落地达标，
故答案为：，能；
（2）解：①由表格数据可知，与的乘积相等，所以与成反比例函数关系．
设，
将代入得，
解得，
．
将代入验证：当时，成立，
能相当精确地反映与的关系，即为所求的函数表达式．
②由题意可知，当运动员刚好达标即是抛物线刚好经过基准点，
将和分别代入，
得，．
由得，
又
．
答：当滑出速度为时，运动员的成绩恰好能达标．
23．(1)，见解析
(2)3
【分析】（1）连接，设与的交点为F，利用切线的性质，三角形的全等判定和性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理解答即可．
（2）设的半径为，则，，结合，，利用勾股定理，平行线分线段成比例定理求的长即可．
【详解】（1）解：与的位置关系为．
证明：连接，设与的交点为F，
∵切线交的延长线于点C，过点B作的切线交的延长线于点E，
∴，
∵
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：连接，
∵切线交的延长线于点C，
∴，
设的半径为，则，，
根据勾股定理，得，
解得；
∵，，，
∴，
∴，
解得．
【点睛】本题考查了切线的性质，三角形的全等判定和性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质是解题的关键．
24．(1)米
(2)见解析
【分析】（）设米，分别解和，得，，再根据列出方程即可求解；
（）根据题意给出原因即可；
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确计算是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，米，米，，
设米，
在中，，
∴米，
在中，，
∴米，
∵，
∴，
解得，
∴米，
答：青岩古镇城门楼的高度为米；
（2）解：原因可能是：城门楼的底部不能到达，无法测量出影子顶端到城门楼的底部的距离．
25．【深入探究】，；【类比运用】（1）不变，；（2）
【分析】【深入探究】由勾股定理求出；当、、三点在同一直线时，有最大值，得出线段长度有最大值；
【类比运用】（1）连接、，则，由圆周角定理得，由勾股定理可得出答案；
（2）由（1）可知：点在以为弦，半径为圆上，当在线段上时，此时有最大值，由勾股定理求出的长，则可得出答案．
【详解】解：【深入探究】 由【问题发现】知，
，
，
当、、三点在同一直线上时，有最大值，
线段长度的最大值为；
故答案为：，．
【类比运用】：（1）不变．
连接、，则，
，
，
在中，，
，
；
（2）由（1）可知：点在以为弦，半径为的圆上，如图所示，
，
当在线段上时，此时有最大值，
过点作于点，交于点，
，
，
，，
的最大值为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握以上知识是解题的关键．
