(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(每小题4分,共48分)
1.已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)在反比例函数y=的图象上,当x1>x2>0时,下列结论正确的是( )
(A)y22.在△ACB中,∠C=90°,AB=10,sin A=,则BC的长为( )
(A)6 (B)7.5 (C)8 (D)12.5
3.在同一平面直角坐标系中,函数y=x-k与y=(k为常数,且k≠0)的图象大致为( )
4.(钟表表盘上的圆周被均匀划分为12等份,如果表盘的半径为a,那么表盘上每相邻的两个刻度之间的距离是( )
(A)a·sin 15° (B)2a·sin 15°
(C)a·cos 15° (D)2a·cos 15°
5.为了方便行人推车过某天桥,市政府在10 m高的天桥一侧修建了40米长的坡道(如图所示).我们可以借助科学计算器求这条坡道倾斜角的度数,具体按键顺序是( )
(A)2ndF sin 0 · 2 5 = (B)sin 2ndF 0 · 2 5 =
(C)sin 0 · 2 5 = (D)2ndF cos 0 · 2 5 =
6.定义新运算:p q=例如:3 5=,3 (-5)=,则y=2 x(x≠0)的图象是( )
7.某种气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压P(kPa)是气球体积V的反比例函数,其图象如图所示,当气球内的气压大于160 kPa时,气球将爆炸,为了安全,气球的体积应该( )
第7题图
(A)不小于 m3 (B)小于 m3 (C)不大于 m3 (D)小于 m3
8.已知(A)30°<α<80° (B)10°<α<80°
(C)60°<α<80° (D)10°<α<60°
9.在△ABC中,∠C=90°,tan A=,△ABC的周长为60,那么△ABC的面积为( )
(A)60 (B)30 (C)240 (D)120
10.如图,在直角△BAD中,延长斜边BD到点C,使DC=BD,连接AC,若tan B=,则tan∠CAD的值为( )
第10题图
(A) (B) (C) (D)
11.已知反比例函数y=的图象位于第二、四象限,A(x1,y1),B(x2,y2)两点在该图象上,下列命题:①过点A作AC⊥x轴,C为垂足,连接OA,若△ACO的面积为3,则k=-6;②若x1<0y2;③若x1+x2=0,则y1+y2=0,其中真命题的个数是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
12.如图,水库大坝截面的迎水坡AD的坡比为4∶3,背水坡BC的坡比为1∶2,大坝高DE=20 m,坝顶宽CD=10 m,则下底AB的长为( )
(A)55 m (B)60 m (C)65 m (D)70 m
第12题图
二、填空题(每小题4分,共24分)
13.若抛物线的顶点为(-2,3),且经过点(-1,5),则其表达式为
.
在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,BC=,则sin =
.
15.为了比较+1与的大小,可以构造如图所示的图形进行推算,其中∠C=90°,BC=3,D在BC上且BD=AC=1.通过计算可得+1
.(填“>”“<”或“=”)
第15题图
16.已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图所示.如果以此蓄电池为电源的用电器,其限制电流不能超过10 A,那么用电器可变电阻R应控制的范围是 .
第16题图
17.( 如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y=(k>0)的图象和△ABC都在第一象限内,AB=AC=,BC∥x轴,且BC=4,点A的坐标为(3,5).若将△ABC向下平移m个单位长度,A,C两点同时落在反比例函数图象上,则m的值为 .
第17题图
如图,Rt△AOB中,∠AOB=90°,顶点A,B分别在反比例函数y=(x>0)与y=(x<0)的图象上,则tan∠BAO的值为 .
第18题图
三、解答题(共78分)
19.(8分)(2020绥化模拟)计算:sin260°-tan 30°·cos 30°+
tan 45°.
20.(10分) 如图,点D是△ABC的边AC上一点,CD=
2AD,AE⊥BC,交BC于点E.若BD=8,sin∠CBD=,求AE的长.
21.(9分)如图,△ABC中,D为BC边上的一点,若∠B=36°,AB=AC=BD=2.求CD的长.
22.(11分)(2019贵港)如图,菱形ABCD的边AB在x轴上,点A的坐标为(1,0),点D(4,4)在反比例函数y=(x>0)的图象上,直线y=x+b经过点C,与y轴交于点E,连接AC,AE.
(1)求k,b的值;
(2)求△ACE的面积.
23.(12分)(2019兰州)某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究,过程如下:
[问题提出] 某住户窗户上方安装遮阳篷,要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光,又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内.
[方案设计] 如图,该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC的遮阳篷CD.
[数据收集] 通过查阅相关资料和实际测量:兰州市一年中,夏至日这一天的正午时刻太阳光线DA与遮阳篷CD的夹角∠ADC最大(∠ADC=77.44°);冬至日这一天的正午时刻,太阳光线DB与遮阳篷CD的夹角∠BDC最小(∠BDC=30.56°).窗户的高度AB=2 m.
[问题解决] 根据上述方案及数据,求遮阳篷CD的长.
(结果精确到0.1 m,参考数据:sin 30.56°≈0.51,cos 30.56°≈0.86,tan 30.56°≈0.59,sin 77.44°≈0.98,cos 77.44°≈0.22,tan 77.44°≈4.49)
24.(14分)(2019泰州)已知一次函数y1=kx+n(n<0)和反比例函数y2=(m>0,x>0).
(1)如图1,若n=-2,且函数y1,y2的图象都经过点A(3,4).
①求m,k的值;
②直接写出当y1>y2时,x的取值范围;
(2)如图2,过点P(1,0)作y轴的平行线l与函数y2的图象相交于点B,与反比例函数y3=(x>0)的图象相交于点C.若k=2,直线l与函数y1的图象相交于点D.当点B,C,D中的一点到另外两点的距离相等时,求m-n的值.
25.(14分)汛期到来,山洪暴发.下表记录了某水库20 h内水位的变化情况,其中x表示时间(单位:h),y表示水位高度(单位:m).当x=8(h)时达到警戒水位,开始开闸放水.
x/h 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
y/m 14 15 16 17 18 14.4 12 10.3 9 8 7.2
(1)在平面直角坐标系中,根据表格中的数据描出相应的点并画出其图象;
(2)请分别求出开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数表达式;
(3)据估计,开闸放水后,水位的这种变化规律还会持续一段时间,预测何时水位达到6 m (时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(每小题4分,共48分)
1.(2020任城期中)已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)在反比例函数y=的图象上,当x1>x2>0时,下列结论正确的是( D )
(A)y22.在△ACB中,∠C=90°,AB=10,sin A=,则BC的长为( A )
(A)6 (B)7.5 (C)8 (D)12.5
3.(2020泰安期中)在同一平面直角坐标系中,函数y=x-k与y=(k为常数,且k≠0)的图象大致为( A )
4.(2020乳山期末)钟表表盘上的圆周被均匀划分为12等份,如果表盘的半径为a,那么表盘上每相邻的两个刻度之间的距离是( B )
(A)a·sin 15° (B)2a·sin 15°
(C)a·cos 15° (D)2a·cos 15°
5.为了方便行人推车过某天桥,市政府在10 m高的天桥一侧修建了40米长的坡道(如图所示).我们可以借助科学计算器求这条坡道倾斜角的度数,具体按键顺序是( A )
(A)2ndF sin 0 · 2 5 = (B)sin 2ndF 0 · 2 5 =
(C)sin 0 · 2 5 = (D)2ndF cos 0 · 2 5 =
6.(2019玉林)定义新运算:p q=例如:3 5=,3 (-5)=,则y=2 x(x≠0)的图象是( D )
7.(2020诸城一模)某种气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压P(kPa)是气球体积V的反比例函数,其图象如图所示,当气球内的气压大于160 kPa时,气球将爆炸,为了安全,气球的体积应该( A )
第7题图
(A)不小于 m3 (B)小于 m3 (C)不大于 m3 (D)小于 m3
8.(2020西湖月考)已知(A)30°<α<80° (B)10°<α<80°
(C)60°<α<80° (D)10°<α<60°
9.(2020连山一模)在△ABC中,∠C=90°,tan A=,△ABC的周长为60,那么△ABC的面积为( D )
(A)60 (B)30 (C)240 (D)120
10.如图,在直角△BAD中,延长斜边BD到点C,使DC=BD,连接AC,若tan B=,则tan∠CAD的值为( D )
第10题图
(A) (B) (C) (D)
11.(2019武汉)已知反比例函数y=的图象位于第二、四象限,A(x1,y1),B(x2,y2)两点在该图象上,下列命题:①过点A作AC⊥x轴,C为垂足,连接OA,若△ACO的面积为3,则k=-6;②若x1<0y2;③若x1+x2=0,则y1+y2=0,其中真命题的个数是( D )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
12.(2020历下三模)如图,水库大坝截面的迎水坡AD的坡比为4∶3,背水坡BC的坡比为1∶2,大坝高DE=20 m,坝顶宽CD=10 m,则下底AB的长为( C )
(A)55 m (B)60 m (C)65 m (D)70 m
第12题图
二、填空题(每小题4分,共24分)
13.若抛物线的顶点为(-2,3),且经过点(-1,5),则其表达式为
y=2x2+8x+11 .
14.(2020东平一模)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,BC=,则sin =
.
15.为了比较+1与的大小,可以构造如图所示的图形进行推算,其中∠C=90°,BC=3,D在BC上且BD=AC=1.通过计算可得+1
> .(填“>”“<”或“=”)
第15题图
16.已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图所示.如果以此蓄电池为电源的用电器,其限制电流不能超过10 A,那么用电器可变电阻R应控制的范围是 R≥3.6 .
第16题图
17.(2019桂林)如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y=(k>0)的图象和△ABC都在第一象限内,AB=AC=,BC∥x轴,且BC=4,点A的坐标为(3,5).若将△ABC向下平移m个单位长度,A,C两点同时落在反比例函数图象上,则m的值为 .
第17题图
18.(2019潍坊)如图,Rt△AOB中,∠AOB=90°,顶点A,B分别在反比例函数y=(x>0)与y=(x<0)的图象上,则tan∠BAO的值为 .
第18题图
三、解答题(共78分)
19.(8分)(2020绥化模拟)计算:sin260°-tan 30°·cos 30°+
tan 45°.
解:原式=()2-×+1=.
20.(10分)(2020岱岳区期末)如图,点D是△ABC的边AC上一点,CD=
2AD,AE⊥BC,交BC于点E.若BD=8,sin∠CBD=,求AE的长.
解:如图,过点D作DF⊥BC,垂足为点F,
又因为AE⊥BC,所以AE∥DF,
所以∠DFB=90°,
所以sin∠CBD===,
所以DF=6,
因为=,所以=,所以AE=9.
所以AE的长为9.
21.(9分)如图,△ABC中,D为BC边上的一点,若∠B=36°,AB=AC=BD=2.求CD的长.
解:因为AB=AC,∠B=36°,
所以∠C=∠B=36°.
所以∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-36°-36°=108°.
因为AB=BD,∠B=36°,
所以∠BAD=∠BDA=(180°-∠B)=×(180°-36°)=72°.
所以∠CAD=∠BAC-∠BAD=108°-72°=36°.
所以∠DAC=∠B.
又因为∠C=∠C,所以△CAD∽△CBA,所以=.
因为AC=BD=2,所以=.
解得CD=-1+或CD=-1-(舍去).
所以CD的长为-1+.
22.(11分)(2019贵港)如图,菱形ABCD的边AB在x轴上,点A的坐标为(1,0),点D(4,4)在反比例函数y=(x>0)的图象上,直线y=x+b经过点C,与y轴交于点E,连接AC,AE.
(1)求k,b的值;
(2)求△ACE的面积.
解:(1)由已知,得AD=5,
因为四边形ABCD是菱形,所以点B的坐标为(6,0),点C的坐标为(9,4).
把D(4,4)代入y=(x>0),得k=16,
把C(9,4)代入y=x+b,得b=-2.
所以k,b的值分别为16,-2.
(2)由(1),知点E的坐标为(0,-2),直线y=x-2与x轴的交点为(3,0),
所以S△ACE=×2×(2+4)=6.
23.(12分)(2019兰州)某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究,过程如下:
[问题提出] 某住户窗户上方安装遮阳篷,要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光,又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内.
[方案设计] 如图,该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC的遮阳篷CD.
[数据收集] 通过查阅相关资料和实际测量:兰州市一年中,夏至日这一天的正午时刻太阳光线DA与遮阳篷CD的夹角∠ADC最大(∠ADC=77.44°);冬至日这一天的正午时刻,太阳光线DB与遮阳篷CD的夹角∠BDC最小(∠BDC=30.56°).窗户的高度AB=2 m.
[问题解决] 根据上述方案及数据,求遮阳篷CD的长.
(结果精确到0.1 m,参考数据:sin 30.56°≈0.51,cos 30.56°≈0.86,tan 30.56°≈0.59,sin 77.44°≈0.98,cos 77.44°≈0.22,tan 77.44°≈4.49)
解:在Rt△DCB中,tan∠BDC=,则BC=CD·tan∠BDC≈0.59CD.
在Rt△DCA中,tan∠ADC=,则AC=CD·tan∠ADC≈4.49CD.
由题意,得AC-BC=AB,即4.49CD-0.59CD=2,解得CD≈0.5(m).
所以遮阳篷CD的长约为0.5 m.
24.(14分)(2019泰州)已知一次函数y1=kx+n(n<0)和反比例函数y2=(m>0,x>0).
(1)如图1,若n=-2,且函数y1,y2的图象都经过点A(3,4).
①求m,k的值;
②直接写出当y1>y2时,x的取值范围;
(2)如图2,过点P(1,0)作y轴的平行线l与函数y2的图象相交于点B,与反比例函数y3=(x>0)的图象相交于点C.若k=2,直线l与函数y1的图象相交于点D.当点B,C,D中的一点到另外两点的距离相等时,求m-n的值.
解:(1)①把A(3,4),n=-2代入y1=kx+n,得4=3k-2,解得k=2;
把A(3,4)代入y2=,得m=3×4=12.所以m,k的值分别为12,2.
②由题图知,当y1>y2时,x的取值范围是x>3.
(2)k=2,则一次函数为y1=2x+n,
当x=1时,点D,B,C的坐标分别为(1,2+n),(1,m),(1,n),
因为m>0,n<0,所以当2+n>m>n时,则BD=2+n-m,BC=m-n,
由BD=BC,得2+n-m=m-n,则m-n=1.
当m>2+n>n时,则BD=m-2-n,DC=2+n-n=2,
由BD=DC,得m-2-n=2,则m-n=4.
综上可知,m-n的值为1或4.
25.(14分)汛期到来,山洪暴发.下表记录了某水库20 h内水位的变化情况,其中x表示时间(单位:h),y表示水位高度(单位:m).当x=8(h)时达到警戒水位,开始开闸放水.
x/h 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
y/m 14 15 16 17 18 14.4 12 10.3 9 8 7.2
(1)在平面直角坐标系中,根据表格中的数据描出相应的点并画出其图象;
(2)请分别求出开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数表达式;
(3)据估计,开闸放水后,水位的这种变化规律还会持续一段时间,预测何时水位达到6 m
解:(1)描点,连线,画出图象如图所示.
(2)由(1)图象,可以猜想开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数表达式分别为一次函数与反比例函数.
设开闸放水前函数的表达式为y=k1x+b(k1≠0),
把x=0时y=14,x=2时y=15代入,
得解得
所以一次函数的表达式为y=x+14.
当x=4时,y=×4+14=16;当x=6时,y=×6+14=17;当x=8时,y=×8+14=18.均符合题意.
所以开闸放水前的函数表达式为y=x+14(0≤x≤8).
设开闸放水后的函数表达式为y=(k2≠0),
把x=12时y=12代入,得k2=12×12=144,所以y=.
把x=10,14,16,18,20分别代入,得y=14.4,10.3,9,8,7.2,均符合题意.
所以开闸放水后的函数表达式为y=(x>8).
(3)当y=6时,=6.解得x=24.所以预测24时水位达到6 m.
