(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(每小题4分,共48分)
1.下面四幅图中,灯光与影子最合理的是( )
2.如图是由5个完全相同的小正方形搭成的几何体,如果将小正方体A放到小正方体B的正上方,则它的( )
第2题图
(A)主视图会发生改变 (B)俯视图会发生改变
(C)左视图会发生改变 (D)三种视图都会发生改变
3.抛物线y=-2x2+的对称轴是( )
(A)直线x= (B)直线x=- (C)直线x=0 (D)直线y=0
4.如图,一把梯子靠在垂直水平地面的墙上,梯子AB的长是3米.若梯子与地面的夹角为α,则梯子顶端到地面的距离BC为( )
第4题图
(A)3sin α米 (B)3cos α米 (C)米 (D)米
5.(满足下列条件时,△ABC不是直角三角形的为( )
(A)AB=,BC=4,AC=5 (B)AB∶BC∶AC=3∶4∶5
(C)∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5 (D)|cos A-|+(tan B-02=0
6.已知抛物线y=x2+2x-m-1与x轴没有交点,则函数y=的大致图象是( )
7.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线,已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点( )
(A)(-3,-6) (B)(-3,-1) (C)(-3,-5) (D)(-3,0)
8.(2020丹阳一模)如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sin A的值为( )
(A) (B) (C) (D)
第8题图
9.反比例函数y=图象上两点为(a,m),(b,n),若a
(A)无实根 (B)有两个实根
(C)有两个不相等实根 (D)有两个相等实根
10.某工厂加工一批密封罐,设计者给出了密封罐的三视图(如图所示).按照所给的三视图计算制作一密封罐所需钢板的面积最接近的数值为(≈1.732)( )
(A)2 900 (B)30 000 (C)20 000 (D)14 500
11.(2020岱岳区二模)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),顶点坐标(1,n)与y轴的交点在(0,2),(0,3)之间(包含端点),则下列结论:①3a+b<0;②-1≤a≤-;③对于任意实数m,a+b≥am2+bm总成立;④关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根.其中结论正确的个数为( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
12.如图,正方形ABCD的边长为2 cm,动点P,Q同时从点A出发,在正方形的边上,分别按A→D→C,A→B→C的方向,都以
1 cm/s的速度运动,到达点C处运动终止.连接PQ,设运动时间为x s,△APQ的面积为y cm2,则下列图象中能大致表示y与x的函数关系是( )
二、填空题(每小题4分,共24分)
13.下面四幅图是两个物体不同时刻在太阳光下的影子,按照时间的先后顺序是 .
14.如图,一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子,当木杆绕A按逆时针方向旋转直至到达地面时,影子的长度发生变化.设AB垂直于地面时的影长为AC(假定AC>AB),影长的最大值为m,最小值为n,那么下列结论:①m>AC;②m=AC;③n=AB;④影子的长度先增大后减小.其中,正确结论的序号是 .
第14题图
15.(2019泰安)若二次函数y=x2+bx-5的对称轴为直线x=2,则关于x的方程x2+bx-5=2x-13的解为 .
16.某水果店销售一批水果,平均每天可售出40 kg,每千克盈利4元,经调查发现,每千克降价0.5元,商店平均每天可多售出10 kg水果,则商店平均每天的最高利润为 元.
17. 某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速,他们将观测点设在一段笔直的公路旁且距公路100米的点A处,如图所示,直线l表示公路,一辆小汽车由公路上的B处向C处匀速行驶,用时5秒,经测量,点B在点A北偏东45°方向上,点C在点A北偏东60°方向上,这段公路最高限速 60千米/小时,此车 .
(填“超速”或“没有超速”)(参考数据:≈1.732)
第17题图
如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O落在坐标原点,点A、点C分别位于x轴、y轴的正半轴,G为线段OA上一点,将△OCG沿CG翻折,O点恰好落在对角线AC上的点P处,反比例函数y=经过点B,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过C(0,3),G,A三点,则该二次函数的表达式为 .(填一般式)
第18题图
三、解答题(共78分)
19.(9分)画出如图所示几何体的三种视图.
20.(10分)已知二次函数y=2x2-4x-6.
(1)用配方法求其图象的顶点C的坐标,并描述该函数的函数值随其自变量的增减而变化的情况;
(2)求函数图象与x轴的交点A,B两点的坐标(点A在点B的左侧)及△ABC的面积.
21.(10分)如图所示,已知一纸板的形状为正方形ABCD,AD,BC与投影面平行,AB,CD与投影面不平行.
(1)画出它的正投影A1B1C1D1;
(2)若其边长为10 cm,∠ABB1=45°(点B1与点B是对应点),求投影面A1B1C1D1的面积.
22.(10分)(2019武威)放置在水平面上的台灯,如图是其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计),其中灯臂AC=40 cm,灯罩CD=30 cm,灯臂与底座构成的∠CAB=60°.CD可以绕点C上下调节一定的角度.使用发现:当CD与水平线所成的角为30°时,台灯光线最佳.现测得点D到桌面的距离为49.6 cm.请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳 (参考数据:取1.73).
23.(12分) (2019泰安岱岳区二模)如图,一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=(x>0)的图象交于点A(3,m),与x轴交于点B(2,0).
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)若直线y=3与直线AB交于点C,与双曲线交于点D,求CD的长.
24.(12分)实验数据显示,一般成年人喝半斤低度白酒后,1.5小时内其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x(小时)的关系可以近似的用二次函数y=-200x2+400x刻画,1.5小时后(包括1.5小时)y与x的关系可近似的用反比例函数y=(k>0)刻画(如图所示).
(1)根据上述数学模型计算:
①喝酒后几小时血液中的酒精含量达到最大值 最大值为多少
②当x=5时,y=45,求k的值;
(2)按照国家规定,车辆驾驶人员血液中酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”,不能驾车上路.参照上述数学模型,假设某驾驶员晚上20:00在家喝完半斤低度白酒,第二天早晨7:00能否驾车去上班 请说明理由.
25.(15分) (2019贵阳)如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且关于直线x=1对称,点A的坐标为(-1,0).
(1)求二次函数的表达式;
(2)连接BC,若点P在y轴上时,BP和BC的夹角为15°,求线段CP的长度;
(3)当a≤x≤a+1时,二次函数y=x2+bx+c的最小值为2a,求a的值.(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(每小题4分,共48分)
1.下面四幅图中,灯光与影子最合理的是( B )
2.(2019咸宁)如图是由5个完全相同的小正方形搭成的几何体,如果将小正方体A放到小正方体B的正上方,则它的( A )
第2题图
(A)主视图会发生改变 (B)俯视图会发生改变
(C)左视图会发生改变 (D)三种视图都会发生改变
3.(2020宜城期中)抛物线y=-2x2+的对称轴是( C )
(A)直线x= (B)直线x=- (C)直线x=0 (D)直线y=0
4.(2019长春)如图,一把梯子靠在垂直水平地面的墙上,梯子AB的长是3米.若梯子与地面的夹角为α,则梯子顶端到地面的距离BC为( A )
第4题图
(A)3sin α米 (B)3cos α米 (C)米 (D)米
5.(2019滨州)满足下列条件时,△ABC不是直角三角形的为( C )
(A)AB=,BC=4,AC=5 (B)AB∶BC∶AC=3∶4∶5
(C)∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5 (D)|cos A-|+(tan B-02=0
6.已知抛物线y=x2+2x-m-1与x轴没有交点,则函数y=的大致图象是( B )
7.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线,已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点( D )
(A)(-3,-6) (B)(-3,-1) (C)(-3,-5) (D)(-3,0)
8.(2020丹阳一模)如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sin A的值为( B )
(A) (B) (C) (D)
第8题图
9.(2020岱岳区二模)反比例函数y=图象上两点为(a,m),(b,n),若a(A)无实根 (B)有两个实根
(C)有两个不相等实根 (D)有两个相等实根
10.某工厂加工一批密封罐,设计者给出了密封罐的三视图(如图所示).按照所给的三视图计算制作一密封罐所需钢板的面积最接近的数值为(≈1.732)( C )
(A)2 900 (B)30 000 (C)20 000 (D)14 500
11.(2020岱岳区二模)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),顶点坐标(1,n)与y轴的交点在(0,2),(0,3)之间(包含端点),则下列结论:①3a+b<0;②-1≤a≤-;③对于任意实数m,a+b≥am2+bm总成立;④关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根.其中结论正确的个数为( D )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
12.(2019菏泽)如图,正方形ABCD的边长为2 cm,动点P,Q同时从点A出发,在正方形的边上,分别按A→D→C,A→B→C的方向,都以
1 cm/s的速度运动,到达点C处运动终止.连接PQ,设运动时间为x s,△APQ的面积为y cm2,则下列图象中能大致表示y与x的函数关系是( A )
二、填空题(每小题4分,共24分)
13.下面四幅图是两个物体不同时刻在太阳光下的影子,按照时间的先后顺序是 C→D→A→B .
14.如图,一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子,当木杆绕A按逆时针方向旋转直至到达地面时,影子的长度发生变化.设AB垂直于地面时的影长为AC(假定AC>AB),影长的最大值为m,最小值为n,那么下列结论:①m>AC;②m=AC;③n=AB;④影子的长度先增大后减小.其中,正确结论的序号是 ①③④ .
第14题图
15.(2019泰安)若二次函数y=x2+bx-5的对称轴为直线x=2,则关于x的方程x2+bx-5=2x-13的解为 x1=2,x2=4 .
16.某水果店销售一批水果,平均每天可售出40 kg,每千克盈利4元,经调查发现,每千克降价0.5元,商店平均每天可多售出10 kg水果,则商店平均每天的最高利润为 180 元.
17.(2019辽阳)某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速,他们将观测点设在一段笔直的公路旁且距公路100米的点A处,如图所示,直线l表示公路,一辆小汽车由公路上的B处向C处匀速行驶,用时5秒,经测量,点B在点A北偏东45°方向上,点C在点A北偏东60°方向上,这段公路最高限速 60千米/小时,此车 没有超速 .
(填“超速”或“没有超速”)(参考数据:≈1.732)
第17题图
18.(2019遂宁)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O落在坐标原点,点A、点C分别位于x轴、y轴的正半轴,G为线段OA上一点,将△OCG沿CG翻折,O点恰好落在对角线AC上的点P处,反比例函数y=经过点B,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过C(0,3),G,A三点,则该二次函数的表达式为 y=x2-x+3 .(填一般式)
第18题图
三、解答题(共78分)
19.(9分)画出如图所示几何体的三种视图.
解:如图所示.
20.(10分)已知二次函数y=2x2-4x-6.
(1)用配方法求其图象的顶点C的坐标,并描述该函数的函数值随其自变量的增减而变化的情况;
(2)求函数图象与x轴的交点A,B两点的坐标(点A在点B的左侧)及△ABC的面积.
解:(1)y=2x2-4x-6=2(x2-2x)-6=2(x2-2x+1)-2-6=2(x-1)2-8.
所以顶点C的坐标为(1,-8),
当x<1时,y随x的增大而减小;当x>1时,y随x的增大而增大.
(2)令2(x-1)2-8=0,解得x1=-1,x2=3.
所以A(-1,0),B(3,0),所以AB=3-(-1)=4.
因为C(1,-8),所以S△ABC=×4×8=16.
21.(10分)如图所示,已知一纸板的形状为正方形ABCD,AD,BC与投影面平行,AB,CD与投影面不平行.
(1)画出它的正投影A1B1C1D1;
(2)若其边长为10 cm,∠ABB1=45°(点B1与点B是对应点),求投影面A1B1C1D1的面积.
解:(1)如图所示.
(2)如图,过点A作AH⊥BB1于点H,
因为∠ABB1=45°,
所以△ABH是等腰直角三角形,
所以AH=AB=5,所以A1B1=AH=5.
因为A1D1=AD=10,
所以矩形A1B1C1D1的面积S=A1B1·A1D1=5×10=50(cm2).
所以投影面A1B1C1D1的面积是50 cm2.
22.(10分)(2019武威)放置在水平面上的台灯,如图是其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计),其中灯臂AC=40 cm,灯罩CD=30 cm,灯臂与底座构成的∠CAB=60°.CD可以绕点C上下调节一定的角度.使用发现:当CD与水平线所成的角为30°时,台灯光线最佳.现测得点D到桌面的距离为49.6 cm.请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳 (参考数据:取1.73).
解:如图,作CE⊥AB于点E,DH⊥AB于点H,CF⊥DH于点F,
所以∠CEH=∠CFH=∠FHE=90°,
所以四边形CEHF是矩形,
所以CE=FH,在Rt△ACE中,因为AC=40 cm,∠A=60°,
所以CE=AC·sin 60°=34.6(cm),所以FH=CE=34.6(cm)
因为DH=49.6 cm,
所以DF=DH-FH=49.6-34.6=15(cm),
在Rt△CDF中,sin ∠DCF===,
所以∠DCF=30°,所以此时台灯光线为最佳.
23.(12分) (2019泰安岱岳区二模)如图,一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=(x>0)的图象交于点A(3,m),与x轴交于点B(2,0).
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)若直线y=3与直线AB交于点C,与双曲线交于点D,求CD的长.
解:(1)由点B(2,0)在一次函数y=x+b上,得b=-2.
所以一次函数的表达式为y=x-2;
由点A(3,m)在直线y=x-2上,得m=1.所以A(3,1).
把A(3,1)代入y=得k=3.所以反比例函数的表达式为y=.
(2)y=3,即yC=yD=3,当yC=3时,3=x-2,解得x=5;当yD=3时,3=,
解得x=1.
所以CD=xC-xD=5-1=4.
24.(12分)实验数据显示,一般成年人喝半斤低度白酒后,1.5小时内其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x(小时)的关系可以近似的用二次函数y=-200x2+400x刻画,1.5小时后(包括1.5小时)y与x的关系可近似的用反比例函数y=(k>0)刻画(如图所示).
(1)根据上述数学模型计算:
①喝酒后几小时血液中的酒精含量达到最大值 最大值为多少
②当x=5时,y=45,求k的值;
(2)按照国家规定,车辆驾驶人员血液中酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”,不能驾车上路.参照上述数学模型,假设某驾驶员晚上20:00在家喝完半斤低度白酒,第二天早晨7:00能否驾车去上班 请说明理由.
解:(1)①y=-200x2+400x=-200(x-1)2+200,
所以顶点坐标为(1,200).
因为-200<0,所以当x=1时,y有最大值.
即喝酒后1小时血液中的酒精含量达到最大值,最大值为200毫克/百毫升.
②将x=5,y=45代入y=,得45=.
所以k=45×5=225.
(2)不能驾车上班.理由:
晚上20:00到第二天早上7:00,一共有11小时.
将x=11代入y=,得y=>20,
所以第二天早上7:00不能驾车去上班.
25.(15分) (2019贵阳)如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且关于直线x=1对称,点A的坐标为(-1,0).
(1)求二次函数的表达式;
(2)连接BC,若点P在y轴上时,BP和BC的夹角为15°,求线段CP的长度;
(3)当a≤x≤a+1时,二次函数y=x2+bx+c的最小值为2a,求a的值.
解:(1)因为点A(-1,0)与点B关于直线x=1对称,所以点B的坐标为(3,0),
代入y=x2+bx+c,得解得
所以二次函数的表达式为y=x2-2x-3.
(2)如图所示.由抛物线的表达式得点C的坐标为(0,-3),则OB=OC=3,
所以∠OBC=45°,
若点P在点C上方,则∠OBP=∠OBC-∠PBC=30°,
所以OP=OBtan ∠OBP=3×=,所以CP=3-;
若点P在点C下方,则∠OBP′=∠OBC+∠P′BC=60°,
所以OP′=OBtan ∠OBP′=3×=3,
所以CP=3-3.
综上,CP的长为3-或3-3.
(3)若a+1<1,即a<0,
则函数的最小值为(a+1)2-2(a+1)-3=2a,
解得a=1-(正值已舍去);
若a<1解得a=-2(舍去);
若a>1,则函数的最小值为a2-2a-3=2a,
解得a=2+(负值已舍去).
综上知,a的值为1-或2+.