重庆七校联考2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题(pdf版,含答案)

2024-2025 学年下期高 2024 级
第一次月考数学试题
（总分：150 分 考试时间：120 分钟）
命题人
第 I卷（选择题共 58分）
一 单项选择题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
（原创）1. a = ( 2,3)，b = (1, t )若a / /b，则实数 t 为（ ）
3 3 2 2
A． B． C． D.
2 2 3 3
（原创）2.复数 z = i (1+ i)，则 z 为（ ）
A． 0 B．1 C． 2 D．2
π
（改编）3.下列函数中，最小正周期为 ，且在 0, 上单调递减的是（ ）
2 12
1
A． y = sin (4x) B． y = cos x C． y = cos (4x) D． y = tan ( 2x)
2
（原创）4. 在 ABC 中，sin A : (sin A+ sin B) : sin（A+ B）= 4 : 6 : 3，则最大角余弦值
为（ ）
1 1 11 11
A． B． C． D．
4 4 24 24
（改编）5.向量 p 、 q 满足： p = (1, 1)， q = 2， ( p q ) q = 2，则q 在 p 上的投影向
量的模为（ ）
2
A． B．1 C． 2 D．2 2
2
6. 如图，为了测量河对岸的塔高 AB ，某测量队选取与塔底 B 在同一水平面内的
两个测量基点C 与D．现测量得 CDB =1200 ,CD = 30 米，在点C, D 处测得塔顶
A 的仰角分别为30 0 , 4 5 0 ，则塔高 AB =（ ）
A．15 2 米 B．30米 C．30 2 米 D．30 3 米
试卷共 4 页 第 1 页
π
（改编）7. 如图，在三角形 ABC 中，已知 AB = 2, AC = 2 3, BAC = , BC、AC边
6
上的两条中线分别为 AM、BN ，且相交于点 P ，则cos MPN =（ ）
7 7 21 21
A． B． C． D．
14 14 14 14
（改编）8．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项
古老发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半
径为 R 的水车，一个水斗从点 A(1, 3)出发，沿圆周按逆时针
方向匀速旋转，且旋转一周用时 6秒.经过 t 秒后，水斗旋转到
π
P 点，设点 P 的坐标为 (x, y)，其纵坐标满足 y = f (t ) = R sin ( t + ) t 0, 0, ，
2
则当 t 0 ,m ) 时 ， 恰 有 3 个 t 使 函 数 f ( t ) 最 得 大 值 ， 则 m 的取值范围是（ ）
11 29 11 29 29 41 29 41
A． , B． , C． ,2 2 2 2 2 2
D． ,
2 2
二 多项选择题：本题共 3个小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项
中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的
得 0分.
2
9．复数 z = a 4+ (a + 2)i ， a R ， z 的共轭复数为 z ，则下列结论正确的是（ ）
A．若 z 为纯虚数，则a = 2
B．若 z 在复平面内对应的点位于第四象限，则a ( , 2)
z 3 4
C．若a = 0，则 = - i
z 5 5
D．若a = 1，则 z z =10
（原创）10．已知函数 f (x) = sinx， g (x) = cosx，则（ ）
A．函数 y = f (x) g (x)的最小正周期为 π
f (x) π
B．函数 y = 关于 ,0 对称 g (x) 2
C．函数 y = f g ( x ) 的值域为 1,1
3π π
D．函数 y = f (x)+ g (x) 在 , 上是减函数
4 4
试卷共 4 页 第 2 页
（原创）11. 在 ABC 中， AB = 6， AC = 4 ，O为 ABC 边上及内部的一动点，设
AO = AB + AC，则下列说法正确的是（ ）
A．若O为 ABC 的重心，则 + 2 =1
B．若O为 ABC 的外心，则 AO BC =10
5 5
C．若O为 ABC 的内心，BC = 2 5 ,则 + =
4
AB AC
D．若 O 为 ABC 的垂心， A B C 为锐角三角形，则 AO 与2 + 3 共线
cos B cosC
第 II卷（非选择题共 92分）
三 填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.

（原创）12. 将函数 y = sin 2x 的图像向左或者向右平移 ( 0) 个单位，图像关
6
于原点对称，求 的最小值 .
（原创）13. 在 ABC 中，内角 A，B，C所对的边分别为a,b,c，已知a = 2,，且
c cos B + bcosC 2a cos A = 0，则 ABC 外接圆面积为 .
（原创）14. 正方形 ABCD的边长为 3，E 是线段DC 上靠近D 的三等分点，M 是线段
BE （含端点）上的动点， N 为线段 AM 的中点，则 AM DN 的最小值为 .
四、解答题：共 5 个小题，满分 77分.其中 15题 13分，16，17题分别 15
分，18，19题分别 17分，解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤.
π
（原创）15.已知函数 f (x) = 2 3sin 2x +
6
(1)求 f (x)的最小正周期和对称轴；
π 5π
(2)判断函数 y = f (x)在 , 的单调性.
6 12
（改编）16. 已知向量a、b 满足 b =1，且 (a + 2b ) (a 2b ) = 2,a (a b ) = 4.
(1) 求 a ，cos a,a b ；
(2)若向量a 3tb 与 ta 3b 的夹角为锐角，求实数 t 的取值范围.
试卷共 4 页 第 3 页
（改编）17. 在锐角 ABC 中，角 A，B，C的对边分别是a,b,c且
bsin B + bsin C cos A+ a sin C cos B = a sin A+ c sin B ．
(1)求角 A的大小；
(2)求2cos B + cosC 的取值范围．
π
（改编）18. 已知函数 f (x) = sin( x + ) 0, 的部分图象如图所示．
2
(1)求 f (x)的解析式；
π
(2)将函数 y = f (x) 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 y = g(x)
6
3
的图象，再将函数 y = g(x) 的图象上各点横坐标伸长为原来的 倍，纵
2
π
坐标不变，得到函数 y = h(x)的图象，求函数 y = h(x)在 0, 上的值
2
域；
π π
(3)若函数 y = f (x) k 在区间 , 上恰好有二个零点，求实数 k的取值范围．
6 4
（改编）19. 古希腊的数学家海伦在其著作《测地术》中给出了由三角形的三边长a,b,c
计算三角形面积的公式： S = p( p a)( p b)( p c) ，这个公式常称为海伦公式，其中，
1
p = (a +b+ c)．我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中给出了由三角形的三边长
2
2 2 2
a,b,c 1 c + a b计算三角形面积的公式： S = [c2a2 ( )2 ] ，这个公式常称为“三斜求积”
4 2
公式．
请你结合阅读材料解答下面的问题：
(1) 已知 ABC 的三条边分别为a = 5,b = 6,c = 7，分别利用海伦公式和“三斜求积”公
式求 ABC 的面积；
(2) △ 中， ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知△ 的面积为6，其内切圆半径为
1， = 4， < ，求 ， ；
1 1 1
(3) 在 ABC 中，b = 2, = + ，求 ABC 面积的最大值.
3 sinB tan B tan C
试卷共 4 页 第 4 页
2024-2025 学年下期高 2024 级高一下
第一次月考试题参考答案
1-5： B C D A C 6-8： B A D
9：B D 10：A B D 11：A C D
π 4π
12： 13： 14： 4
12 3
四、解答题：共 5 个小题，满分 77分.其中 15题 13分，16，17题分别 15
分，18，19题分别 17分，解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤.
π
15.已知函数 f (x) = 2 3sin 2x +
6
(1)求 f (x)的对称轴；
π 5π
(2)判断函数 y = f (x)在 ,6 12
的单调性

2π
解：（1）最小正周期T = = π；
2
π π π kπ
令 2x + = + kπ,k Z ，得 x = + ,k Z
6 2 6 2
π kπ
所以 f (x)的对称轴： x = + ,k Z
6 2
π π π π π
（2）由正弦函数的性质知2kπ 2x + 2kπ + ,k Z，则 kπ x kπ + ,k Z，
2 6 2 3 6
π π
所以 f (x)的单调递增区间为[kπ ,kπ + ],k Z；
3 6
π 5π π π π π
又 x , ，令 k = 0, x , ， f (x)在 , 单调递增
6 12 6 6 6 6
π 5π
同理： f (x)在 , 单调递减
6 12


π π π 5π
综上： f (x)在 ,6 6
单调递增，在 , 单调递减。
6 12


16. 已知向量a,b 满足 b =1，且 (a + 2b ) (a 2b ) = 2,a (a b ) = 4 .
(1) 求 a ， cos a,a b ；
(2)若向量a 3tb 与 ta 3b 的夹角为锐角，求实数 t 的取值范围.
解：（1）因为 (a + 2b ) (a 2b ) = 2，所以a2 4b 2 = 2，即 | a |2 4 | b |2= 2 ，
又 b =1，所以 a = 6 ，
因为a (a b ) = 4，所以a2 a b = 4，所以a b = 2，
a b = a2 2a b +b 2 = 6 4+1 = 3 ，
a (a b ) 4 2 2
所以cos a,a b = = = .
a a b 6 3 3
（2） (a 3tb ) (ta 3b ) = ta2 (3t 2 +3)a b + 9tb 2 = 6t 2 +15t 6，
由题意知 (a 3tb ) (ta 3b ) 0且向量a 3tb 与 ta 3b 不共线，
所以 6t 2 +15t 6 0 ，且 3t 2 3，
1 1
解得 t 2，且 t 1，即实数 t 的取值范围为 ,1 (1,2) .
2 2
17. 在锐角 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是a,b,c且
bsin B + bsin C cos A+ a sin C cos B = a sin A+ c sin B ．
(1)求角 A的大小；
(2)求2cos B + cosC 的取值范围．
解：(1)因为bsin B + bsin C cos A+ a sin C cos B = a sin A+ c sin B ，
所以由正弦定理可得b2 + bc cos A+ ac cos B = a2 +bc，
b2 + c2 a2 a2 + c2 b2
由余弦定理可得b2 + + = a2 +bc，即b2 + c2 = a2 + bc，
2 2
b2 + c2 a2 bc 1
所以cos A = = = .
2bc 2bc 2
π
因为0 A π，所以 A = ；
3
π 2π 2π
（2）因为 A = ，所以B +C = ，所以C = B，
3 3 3
2π 3 3 π则 2cos B + cosC = 2cos B + cos B = cos B + sin B = 3 sin B + ．
3 2 2 3
π
0 B ,
2 π π
因为 ABC 是锐角三角形，所以 解得 B ，
2π π 6 20 B ,
3 2
π π 5π 1 π 3 π
所以 B + ，所以 sin B + 1，则 3 sin B + 3，
2 3 6 2 3 2 3
3
即 2cos B + cosC 的取值范围是 , 3 2
．

π
18. 已知函数 f (x) = sin( x + ) 0, 的部分图象如图所示．
2
(1)求 f (x) 的解析式；
π
(2)将函数 y = f (x) 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 y = g(x) 的图
6
3
象，再将函数 y = g(x) 的图象上各点横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标
2
π
不变，得到函数 y = h(x)的图象，求函数 y = h(x)在 0, 上的值域；
2
π π
(3)若函数 y = f (x) k 在区间 , 上恰好有二个零点，求实数 k 的取值
6 4
范围．
T 2π 5π π π
解：（1）由题设 = = = ，则 = 3，故 f (x) = sin(3x + )，
2 2 12 12 3
π π π π π
由 f ( ) = sin( + ) =1，则 + = + 2kπ,k Z，即 = + 2kπ,k Z，
12 4 4 2 4
π π π
又 | | ，则 = ，故 f (x) = sin(3x + ) ；
2 4 4
π π π π
（2）由题意 g(x) = f (x ) = sin[3(x )+ ] = sin(3x )，将函数 y = g(x) 的图象上各
6 6 4 4
3
点横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 y = h(x)
2
π π π π 3
所以h(x) = sin(2x )； x 0, ，则 t = 2x [ , π]，由 y = sin t 在4 2 4 4 4
π π
t [ , )上单调递增，对应值域为 2[ ,1) ；
4 2 2
π 3 2 2
在 t ( , π]上单调递减，对应值域为[ ,1) ；sin t ,1
2 4 2 2
π 2
所以函数 y = h(x)在 0, 上的值域： ,1
2 2
π π π π
（3） x , ，则 t = 3x + [ ,π]，
6 4 4 4
π π
由 y = sin t 在 t [ , )上单调递增，对应值域为 2[ ,1) ；
4 2 2
π
在 t ( ,π]上单调递减，对应值域为[0,1) ；
2
π π
函数 y = f (x) k 在区间 , 上有且仅有两个零点，
6 4
π π
即 k = f (x)在 , 上只有两个解，故 k [0,1) .
6 4
19. 古希腊的数学家海伦在其著作《测地术》中给出了由三角形的三边长a,b,c 计算三角
形面积的公式： S = p( p a)( p b)( p c) ，这个公式常称为海伦公式，其中，
1
p = (a +b+ c)．我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中给出了由三角形的三边长
2
2 2 2
a,b,c 计算三角形面积的公式： 1 2 c + a bS = [c a2 ( )2 ] ，这个公式常称为“三斜求积”公
4 2
式．
请你结合阅读材料解答下面的问题：
已知 ABC 的三条边分别为a = 5,b = 6,c = 7，分别利用海伦公式和“三斜求积”公式求
ABC 的面积；
△ 中， ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知△ 的面积为6，其内切圆半径为1，
= 4， < ，求 ， ；
1 1 1
在 ABC 中，b = 2, = + ，求 ABC 面积的最大值.
3 sinB tan B tan C
1 1
解：（1）依题意， p = (a +b+ c) = (5+ 6+ 7) = 9，
2 2
所以 ABC 的面积 S = p( p a)( p b)( p c) = 9(9 5)(9 6)(9 7) = 6 6
1 c2 + a2 b2 1 49 + 25 36
S = [c2a2 ( )2 ] = [49 25 ( )2 ] = 6 6
4 2 4 2
是相等的。
1
(2)设内切圆半径为 ，因为 △ = ( + + ) ， 2
代入 △ = 6， = 4， = 1，可得 + = 8，①，
1
又 = ( + + ) = △ = 6，由海伦公式 △ = √ ( )( )( )， 2
可得6 = √ 6(6 4)(6 )(6 )，整理可得 6( + ) + 36 = 3，
代入①可得 = 15， ，联立
+ = 8
② ①②，{ ，又因为 < ，
= 15
可得 = 3， = 5．
1 1 1 1 cos B cosC
（3） = + , = + ，
3 sinB tan B tan C 3 sinB sin B sin C
sin C = 3(sin B cosC + cos Bsin C) = 3 sin(B +C) = 3 sin A
a b c
由正弦定理 = = ，可得c = 3a
sinA sin B sin C
由b = 2 ，
1
由“三斜求积”公式得， S = [3a4
1 1
(2a2 2)2 ] = ( a4 + 8a2 4) = [ (a2 4)2 +12] ，
4 4 4
当且仅当a2 4 = 0 ，即a = 2时， ABC 面积取最大值 3 .