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【同步提升】北师大版七年级下册数学考点归纳与题型专训（单元+期中+期末）
第09讲 相交线与平行线常见几何模型
要点一、“猪蹄”模型（又名燕尾模型、M字模型）
如图，AB//CD，求证：∠B+∠D=∠E.
证明：如图，过点E作MN//AB.
∵MN//AB（作辅助线）.
∴∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）.
∵MN//AB（辅助线），AB//CD（已知）
∴MN//CD（平行于同一直线的两直线互相平行）
∴∠2=∠D（两直线平行，内错角相等）
∵∠1+∠2=∠BED（等式性质）
∴∠B+∠D=∠BED（等量代换）
要点二、“锯齿”模型
如图所示，AB//EF，则∠B+∠D=∠C+∠E.
重要结论：朝向左边的角的和=朝向右边的角的和
证明：如图，过点C作MN//AB，过点D作PQ//AB.
∵AB//EF, ∴AB//MN// PQ//EF.
∴∠B=∠BCN,∠CDP=∠DCN,∠PDE=∠E,
∴∠B＋∠CDP＋∠PDE=∠BCN+∠DCN+∠E，
∴B+∠CDE=∠BCD＋∠E，得证.
解题要点诠释：
锯齿模型的变换解题思路——
拆分成猪蹄模型和内错角 拆分成2个猪蹄模型
要点三、“铅笔”模型
1．模型介绍
如下图，像这样的模型，我们就称为铅笔头模型。
重要结论：∠B+∠E+∠D=360°
2．模型证明
如图，若AB//CD，求证：∠B+∠E+∠D=360°
证明一：过点E作EF//AB，则∠B+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵AB//CD（已知）
又∵EF//AB（已作）
∴EF//CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）
∴∠D+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠B+∠1+∠D+∠2=180°+180°（等式的性质）
又∵∠BED=∠1+∠2
∴∠B+∠D+∠BED=360°（等量代换）
证明二：如图，连接BD，
∵ AB//CD
∴ ∠ABD+∠BDC=180°
在△BDE中，∠DBE+∠E+∠EDB=180°
∴ ∠DBE+∠E+∠EDB+∠ABD+∠BDC=360°
∴ ∠ABD+∠DBE+∠E+∠EDB+∠BDC=360°
∴ ∠ABE+∠E+∠CDE=360°
反之，如图，若∠B+∠D+∠BED=360°，直线AB与CD有什么位置关系？请证明.
解析：如图，过点作EF//AB得证EF//CD则
解题要点诠释：
①辅助线：过拐点作平行线
②若，则
③若，则
要点四、“异形铅笔”模型
如图，两直线AB,CD平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=_______.
解析：如图，过作，过作，过作，过作得证
解题要点诠释：
①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线
②【个拐点】
拐点数：1 拐点数：2 拐点数：n
要点五、“骨折”模型
1．模型介绍
如图，已知AE//CF，求∠E、∠F、∠P之间的数量关系．
2．模型证明
已知：如图，AB//CD，求证：∠BED=∠D-∠B。
证明：过点E作EF//AB，则∠FEB=∠B（两直线平行，内错角相等）
∵AB//CD（已知）
又∵EF//AB（已作）
∴EF//CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）
∴∠FED=∠D（两直线平行，内错角相等）
∵∠BED=∠FED-∠FEB
∴∠BED=∠D-∠B（等量代换）
重要结论：∠B+∠E=∠D
要点六、“鸟嘴”模型
1．模型介绍
2．模型证明
证明一（添角）：过点P作PQ//AB，
则AB//CD//PQ
∴∠2+∠3+∠4=180°，∠1+∠4=180°∴∠1=∠2+∠3.
证明二：延长AB交PD于Q，
则∠2=∠4，∠1+∠5=180°，∠5+∠3+∠4=180°
∴∠1=∠3+∠4=∠2+∠3.
解题要点诠释：
①过拐点作平行线
②借助平行线的性质找相等或互补的角
③推导出角的数量关系
要点七、“潜望镜”模型
如下图：
本节内容包括三大部分：单选题、填空题、解答题，覆盖相交线与平行线章节常见的几何模型
【第一部分】单选题
1．（2021下·天津河西·七年级统考期中）直线，一块含角的直角三角板，如图放置，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2020下·江苏苏州·七年级校考期末）如图，直线AB∥CD，CE平分∠ACD，交AB于点E，∠ACE＝20°，点F在AC的延长线上，则∠BAF的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
3．（2023下·广东深圳·七年级深圳市宝安中学（集团）校考期中）如图，把长方形沿对折，若，则的度数等于（ ）
A．25 B．50 C．100 D．115
4．（2020上·吉林长春·九年级吉林省第二实验学校校考阶段练习）如图，已知，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2016·山东泰安·统考一模）如图，l∥m，矩形ABCD的顶点B在直线m上，则∠α=（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
6．（2024上·广东深圳·八年级统考期末）如图，小颖绘制一个潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线与出射光线平行．若入射光线与镜面的夹角，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023下·四川绵阳·七年级统考期末）如图，已知直线，平分，过点C作，平分分别交于点H，G，过点A作于点M．设，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022下·浙江宁波·七年级统考期末）如图，，，设，，则与之间的数量关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．与没有数量关系
9．（2022下·河北唐山·七年级统考期中）如图，已知，于点，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．（2018下·湖北黄冈·七年级阶段练习）如图，已知直线，被直线所截，且，，分别平分，；，分别平分和；，分别平分，…依次规律，得点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【第二部分】填空题
11．（2022下·山东青岛·七年级统考期末）如图，，，，则 ．
12．（2020上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，如图所示的光线经过镜子反射时，∠1=∠2，∠3=∠4，则可判断进入潜望镜和离开潜望镜的光线是平行的，依据是： ．
13．（2023下·江苏常州·七年级统考期末）如图，已知，，，则的度数 ．
14．（2021下·黑龙江鹤岗·七年级统考期末）如图，，，，则 ．
15．（2021下·浙江·七年级期中）如图，直线，、分别是、的平分线，那么与之间的关系是 .
16．（2023下·七年级课时练习）如图，，，，表示图中三个角的角度，则，，三者之间的数量关系是 ．
17．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则 ．
18．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图， ，点，在直线上（在的左侧），点在直线上，，垂足为，为线段上的一动点，连接，，与的角平分线交于点，且点在直线，之间的区域，下列结论：
①；
②；
③若，则；
④若，则，其中为正整数．
上述说法正确的是 （写出所有正确结论的序号）．
【第三部分】解答题
19．（2023下·河南驻马店·七年级统考期中）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
（1）如图①，，E为之间一点，连接，得到．试探究与之间的数量关系，并说明理由．
（2）请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：
【类比探究】如图②，，线段与线段相交于点E，，，平分交直线于点F，则 °．
20．（2023下·重庆铜梁·七年级统考期末）如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数．
（1）阅读并补充下面推理过程：
解：过点A作，
所以 ， ．
又因为，
所以．
（2）从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将 “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
如图2，已知，试说明
（3）如图3，已知，平分，平分，若 ，则的度数为 °；
（4）如图4，已知，平分，平分，平分，平分 ，平分，平分…，若，则的度数为 ；（用含a的代数式表示）
21．（山西省晋中市寿阳县2022-2023学年七年级下学期期中数学试题）综合与实践
【问题情境】
在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知两直线a，b且和，，，．
（1）在图1中，，求的度数；
【深入探究】
（2）如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把的位置改变，发现，请说明理由；
【拓展应用】
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请直接写出与的数量关系．
22．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）已知，点在上，点在上，点为射线上一点．
（1）【基础问题】如图1，试说明：．（完成下面的填空部分）
证明：过点作直线，
∵，
∴_______①_______．
∵，
∴_______②_______．
∵，
∴_______③_______（_______④_______）．
∴．
（2）【类比探究】如图2，当点在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系，并说明理由．
（3）【应用拓展】如图3，点与点重合，平分，且，，那么的度数为________．
23．（2023下·云南玉溪·七年级统考期末）世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前2世纪我国西汉初期的《淮南万毕术》，书中记载的现象：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣．”即潜望镜的雏形．如图，是一个潜望镜模型示意图，光线经过互相平行的镜子和镜子反射后，形成光线，人眼在点即可看到点的光线．已知，求证．请完成下面的证明，在括号内的横线上补充正确的结论或推理的依据．
证明：（已知），
（ ）
（已知），
（ ）
（等式的性质）．
，
（平角的定义），
，
（ ）．
24．（2018下·江苏南京·七年级校联考期中）模型与应用.
【模型】
（1）如图①，已知AB∥CD，求证∠1＋∠MEN＋∠2＝360°.
【应用】
（2）如图②，已知AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为 ．
如图③，已知AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋…＋∠n的度数为 ．
（3）如图④，已知AB∥CD，∠AM1M2的角平分线M1 O与∠CMnMn－1的角平分线MnO交于点O，若∠M1OMn＝m°．
在（2）的基础上，求∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋……＋∠n－1的度数．（用含m、n的代数式表示）
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【同步提升】北师大版七年级下册数学考点归纳与题型专训（单元+期中+期末）
第09讲 相交线与平行线常见几何模型
要点一、“猪蹄”模型（又名燕尾模型、M字模型）
如图，AB//CD，求证：∠B+∠D=∠E.
证明：如图，过点E作MN//AB.
∵MN//AB（作辅助线）.
∴∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）.
∵MN//AB（辅助线），AB//CD（已知）
∴MN//CD（平行于同一直线的两直线互相平行）
∴∠2=∠D（两直线平行，内错角相等）
∵∠1+∠2=∠BED（等式性质）
∴∠B+∠D=∠BED（等量代换）
要点二、“锯齿”模型
如图所示，AB//EF，则∠B+∠D=∠C+∠E.
重要结论：朝向左边的角的和=朝向右边的角的和
证明：如图，过点C作MN//AB，过点D作PQ//AB.
∵AB//EF, ∴AB//MN// PQ//EF.
∴∠B=∠BCN,∠CDP=∠DCN,∠PDE=∠E,
∴∠B＋∠CDP＋∠PDE=∠BCN+∠DCN+∠E，
∴B+∠CDE=∠BCD＋∠E，得证.
解题要点诠释：
锯齿模型的变换解题思路——
拆分成猪蹄模型和内错角 拆分成2个猪蹄模型
要点三、“铅笔”模型
1．模型介绍
如下图，像这样的模型，我们就称为铅笔头模型。
重要结论：∠B+∠E+∠D=360°
2．模型证明
如图，若AB//CD，求证：∠B+∠E+∠D=360°
证明一：过点E作EF//AB，则∠B+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵AB//CD（已知）
又∵EF//AB（已作）
∴EF//CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）
∴∠D+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠B+∠1+∠D+∠2=180°+180°（等式的性质）
又∵∠BED=∠1+∠2
∴∠B+∠D+∠BED=360°（等量代换）
证明二：如图，连接BD，
∵ AB//CD
∴ ∠ABD+∠BDC=180°
在△BDE中，∠DBE+∠E+∠EDB=180°
∴ ∠DBE+∠E+∠EDB+∠ABD+∠BDC=360°
∴ ∠ABD+∠DBE+∠E+∠EDB+∠BDC=360°
∴ ∠ABE+∠E+∠CDE=360°
反之，如图，若∠B+∠D+∠BED=360°，直线AB与CD有什么位置关系？请证明.
解析：如图，过点作EF//AB得证EF//CD则
解题要点诠释：
①辅助线：过拐点作平行线
②若，则
③若，则
要点四、“异形铅笔”模型
如图，两直线AB,CD平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=_______.
解析：如图，过作，过作，过作，过作得证
解题要点诠释：
①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线
②【个拐点】
拐点数：1 拐点数：2 拐点数：n
要点五、“骨折”模型
1．模型介绍
如图，已知AE//CF，求∠E、∠F、∠P之间的数量关系．
2．模型证明
已知：如图，AB//CD，求证：∠BED=∠D-∠B。
证明：过点E作EF//AB，则∠FEB=∠B（两直线平行，内错角相等）
∵AB//CD（已知）
又∵EF//AB（已作）
∴EF//CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）
∴∠FED=∠D（两直线平行，内错角相等）
∵∠BED=∠FED-∠FEB
∴∠BED=∠D-∠B（等量代换）
重要结论：∠B+∠E=∠D
要点六、“鸟嘴”模型
1．模型介绍
2．模型证明
证明一（添角）：过点P作PQ//AB，
则AB//CD//PQ
∴∠2+∠3+∠4=180°，∠1+∠4=180°∴∠1=∠2+∠3.
证明二：延长AB交PD于Q，
则∠2=∠4，∠1+∠5=180°，∠5+∠3+∠4=180°
∴∠1=∠3+∠4=∠2+∠3.
解题要点诠释：
①过拐点作平行线
②借助平行线的性质找相等或互补的角
③推导出角的数量关系
要点七、“潜望镜”模型
如下图：
本节内容包括三大部分：单选题、填空题、解答题，覆盖相交线与平行线章节常见的几何模型
【第一部分】单选题
1．（2021下·天津河西·七年级统考期中）直线，一块含角的直角三角板，如图放置，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如解题所示，根据三角形外角的性质可得∠ADE=∠A＋∠1=87°，然后根据平行线的性质即可求出结论．
解：如下图所示
∴∠A=45°
∴∠ADE=∠A＋∠1=87°
∵
∴∠2=∠ADE=87°
故选C．
【点拨】此题考查的是三角形外角的性质和平行线的性质，掌握三角形外角的性质和平行线的性质是解决此题的关键．
2．（2020下·江苏苏州·七年级校考期末）如图，直线AB∥CD，CE平分∠ACD，交AB于点E，∠ACE＝20°，点F在AC的延长线上，则∠BAF的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质，可以求得∠BAF的值，本题得以解决．
解：∵∠ACE＝20°，CE平分∠ACD，
∴∠ACD＝2∠ACE＝40°，
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠ACD，
∴∠BAF＝40°，
故选：C．
【点拨】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．
3．（2023下·广东深圳·七年级深圳市宝安中学（集团）校考期中）如图，把长方形沿对折，若，则的度数等于（ ）
A．25 B．50 C．100 D．115
【答案】D
【分析】根据折叠的性质及可求出的度数，再由平行线的性质即可得到的度数．
解：∵把长方形沿对折，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
【点拨】本题考查的是平行线的性质及图形翻折变换的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
4．（2020上·吉林长春·九年级吉林省第二实验学校校考阶段练习）如图，已知，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作DE的延长线DM，交BC于点F，根据平行线的性质得出，再由邻补角的性质与三角形外角定理即可得到答案．
解：作DE的延长线DM，交BC于点F，
，
，
，
，
，
故答案选：A．
【点拨】本题考查平行线的性质、邻补角互补的性质、三角形外角定理，解题关键是求出的度．
5．（2016·山东泰安·统考一模）如图，l∥m，矩形ABCD的顶点B在直线m上，则∠α=（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】B
解：试题解析：延长DC交直线m于E．如图所示：
∵l∥m，
∴∠CEB=65°．
在Rt△BCE中，∠BCE=90°，∠CEB=65°，
∴∠α=90°-∠CEB=90°-65°=25°；
故选B．
6．（2024上·广东深圳·八年级统考期末）如图，小颖绘制一个潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线与出射光线平行．若入射光线与镜面的夹角，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行性的性质．熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
由题意知，，，由，可得，进而可求．
解：由题意知，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，即，，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
7．（2023下·四川绵阳·七年级统考期末）如图，已知直线，平分，过点C作，平分分别交于点H，G，过点A作于点M．设，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由三角形内角和定理和垂直的定义得，，则，由得到，由平分得到，由，则，由平分得到，由得到，整理即可得到答案．
解：如图，
∵于点M．
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D
【点拨】此题考查了平行线的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的性质、三角形外角的性质是解题的关键．
8．（2022下·浙江宁波·七年级统考期末）如图，，，设，，则与之间的数量关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．与没有数量关系
【答案】A
【分析】过C作∥，得到∥，因此，，由垂直的定义得到，由邻补角的性质即可得到答案．
解：过C作∥，
∥，
，
，，
，
，
，
，
，
故选：A．
【点拨】本题考查平行线的性质，关键是过C作，得到，由平行线的性质来解决问题．
9．（2022下·河北唐山·七年级统考期中）如图，已知，于点，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，过点H作，过点F作，根据平行线的性质定理进行解答即可．
解：如图，过点H作，过点F作，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵， ， ，
∴， ，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质定理，正确作出辅助线是解题的关键．
10．（2018下·湖北黄冈·七年级阶段练习）如图，已知直线，被直线所截，且，，分别平分，；，分别平分和；，分别平分，…依次规律，得点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质，以及角平分线的定义，三角形内角和定理，求得,进而发现规律，即可求得的度数．
解：
，分别平分，；
同理可得
……
发现规律：
故选：B
【点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，发现规律是解题的关键．
【第二部分】填空题
11．（2022下·山东青岛·七年级统考期末）如图，，，，则 ．
【答案】20
【分析】由得到∠ABC+∠C=180°，再根据∠C=70°，BE⊥BC，即可求得∠ABE=180°-90°-70°=20°．
解：∵，
∴∠ABC+∠C=180°，
又∵∠C=70°，BE⊥BC，
∴∠ABE=180°-90°-70°=20°．
故答案为：20．
【点拨】考查了平行线的性质和垂线的定义，解题关键是根据图形和利用“两直线平行，同旁内角互补”进行求解．
12．（2020上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，如图所示的光线经过镜子反射时，∠1=∠2，∠3=∠4，则可判断进入潜望镜和离开潜望镜的光线是平行的，依据是： ．
【答案】内错角相等，两直线平行
【分析】根据平行线的性质和判定即可求解．
解：∵ABCD，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∴∠EFG＝∠FGH，
∴EFGH（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：内错角相等，两直线平行．
【点拨】此题主要是综合考查了平行线的判定和性质，牢记内错角相等，两直线平行．
13．（2023下·江苏常州·七年级统考期末）如图，已知，，，则的度数 ．
【答案】50°/50度
【分析】先连接，根据“两直线平行，内错角相等”得，再根据，得，进而根据“内错角相等，两直线平行”得，最后根据“两直线平行，内错角相等”得出答案．
解：连接，
∵，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：50°．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质和判定，灵活选择定理是解题的关键．
14．（2021下·黑龙江鹤岗·七年级统考期末）如图，，，，则 ．
【答案】130°
【分析】根据，，可以得到AD∥BC，∠DCB=50°，∠DCB+∠ADC=180°，即可求解.
解：∵
∴AD∥BC
∴∠DCB+∠ADC=180°
∵
∴∠DCE=90°
∵
∴∠DCB=50°
∴∠ADC=130°
故答案为：130°.
【点拨】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂直的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
15．（2021下·浙江·七年级期中）如图，直线，、分别是、的平分线，那么与之间的关系是 .
【答案】互余
【分析】根据平行线的性质得出，再根据角平分线的定义得出结论．
解：∵，
∴，
∵、分别是、的平分线，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴与互余，
故答案为：互余．
【点拨】本题考查平行性的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质得出是解题的关键．
16．（2023下·七年级课时练习）如图，，，，表示图中三个角的角度，则，，三者之间的数量关系是 ．
【答案】
【解析】略
17．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则 ．
【答案】/88度
【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等，解题的关键是会添加常用辅助线（即过“拐点”作平行线），一般而言，有几个“拐点”就需要作几条平行线，从而利用“拐点”模型的基本结论解决问题；过点、、分别作，根据平行线的传递性得出，再根据两直线平行内错角相等以及角平分线的定义即可求解；
解：过点、、分别作，
∵
，
，
平分，平分 ，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
18．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图， ，点，在直线上（在的左侧），点在直线上，，垂足为，为线段上的一动点，连接，，与的角平分线交于点，且点在直线，之间的区域，下列结论：
①；
②；
③若，则；
④若，则，其中为正整数．
上述说法正确的是 （写出所有正确结论的序号）．
【答案】①③④
【分析】过点H作，利用平行线的性质可得，即可判断①；根据角平分的定义可得，，再根据三角形内角和定理，根据，利用平行线的性质即可判断②；设，则，利用①的结论即可判断③，同上可判断④．
解：如图，过点H作，
，
，
，，
，
，
，故①正确；
与的角平分线交于点，
，
，
根据①中的结论，可得,
，
，
，
，
，
，故②错误；
设，则，
，
根据①中结论可得，
，故③正确；
设，则，
，
，
根据①中结论可得，故④正确．
故答案为：①③④．
【点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【第三部分】解答题
19．（2023下·河南驻马店·七年级统考期中）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
（1）如图①，，E为之间一点，连接，得到．试探究与之间的数量关系，并说明理由．
（2）请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：
【类比探究】如图②，，线段与线段相交于点E，，，平分交直线于点F，则 °．
【答案】（1），理由见分析；（2）58
【分析】（1）过E作，根据平行线的性质求解即可；
（2）根据平行线的性质和角平分线的概念求解即可．
解：（1），
理由如下：
过E作，如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）同（1）方法可知：，
∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴．
【点拨】题目主要考查平行线的判定和性质，角平分线的计算，理解题意，熟练掌握运用平行线的判定和性质是解题关键．
20．（2023下·重庆铜梁·七年级统考期末）如图1，已知点A是外一点，连接．求的度数．
（1）阅读并补充下面推理过程：
解：过点A作，
所以 ， ．
又因为，
所以．
（2）从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将 “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
如图2，已知，试说明
（3）如图3，已知，平分，平分，若 ，则的度数为 °；
（4）如图4，已知，平分，平分，平分，平分 ，平分，平分…，若，则的度数为 ；（用含a的代数式表示）
【答案】（1）；（2）见分析；（3）130；（4）
【分析】（1）利用平行线的性质解答即可；
（2）过点B作，得到，利用两直线平行内错角相等得到，由此得到结论；
（3）过点B作，则，根据平行线的性质推出，再根据角平分线求出的度数；
（4）依据（2）（3）的结论推理计算可得答案．
（1）解：过点A作，
所以．
又因为，
所以．
故答案为：；
（2）解：过点B作，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：过点B作，则，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
根据（2）的结论可得：，
故答案为：130；
（4）由（3）得，
，
∵平分，平分，
∴，
∵平分，平分 ，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】此题考查了平行线的性质的应用，正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
21．（山西省晋中市寿阳县2022-2023学年七年级下学期期中数学试题）综合与实践
【问题情境】
在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知两直线a，b且和，，，．
（1）在图1中，，求的度数；
【深入探究】
（2）如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把的位置改变，发现，请说明理由；
【拓展应用】
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请直接写出与的数量关系．
【答案】（1）；（2）见分析；（3），理由见分析．
【分析】（1）根据及的和为可求出，根据平行线的性质解答；
（2）过点作，根据平行线的性质得到，，结合图形计算，证明结论；
（3）过点作，根据角平分线的定义、平行线的性质计算即可．
（1）解：如答图1，
∵，，
∴．
∵，
∴；
（2）解：理由如下：
如答图2，过点B作．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴；
（3）解：．
理由如下：
如答图3，过点C作．
∴．
∵平分，，
∴．
∵，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
【点拨】本题考查的是角平分线定义、平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质定理．
22．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）已知，点在上，点在上，点为射线上一点．
（1）【基础问题】如图1，试说明：．（完成下面的填空部分）
证明：过点作直线，
∵，
∴_______①_______．
∵，
∴_______②_______．
∵，
∴_______③_______（_______④_______）．
∴．
（2）【类比探究】如图2，当点在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系，并说明理由．
（3）【应用拓展】如图3，点与点重合，平分，且，，那么的度数为________．
【答案】（1）；；；两直线平行，内错角相等；（2），理由见分析；（3）
【分析】（）过点作直线，根据平行线的性质与判定即可求解；
（）过点作直线，同理可得，，则；
（）利用平行线的性质求出的值，再利用平行线的性质进行计算即可；
本题主要考查了平行线的性质，平行公理，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质.
解：（1）过点作直线，
∵，
∴ （平行于同一条直线的两条直线平行），
，
∴，
∵，
∴（两直线平行，内错角相等），
∴；
故答案为：；；；两直线平行，内错角相等；
（2）如图所示，过点作直线，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）如图所示，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．（2023下·云南玉溪·七年级统考期末）世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前2世纪我国西汉初期的《淮南万毕术》，书中记载的现象：“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣．”即潜望镜的雏形．如图，是一个潜望镜模型示意图，光线经过互相平行的镜子和镜子反射后，形成光线，人眼在点即可看到点的光线．已知，求证．请完成下面的证明，在括号内的横线上补充正确的结论或推理的依据．
证明：（已知），
（ ）
（已知），
（ ）
（等式的性质）．
，
（平角的定义），
，
（ ）．
【答案】；两直线平行，内错角相等；等量代换； ；；；内错角相等，两直线平行.
【分析】先根据“两直线平行，内错角相等”可得，又由于，可得，由平角的定义可得，，由此可得，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明．
解：证明：（已知），
（两直线平行，内错角相等）
（已知），
（等量代换）
（等式的性质）．
，
（平角的定义），
，
（内错角相等，两直线平行）
故答案为：；两直线平行，内错角相等；等量代换； ；；；内错角相等，两直线平行.
【点拨】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
24．（2018下·江苏南京·七年级校联考期中）模型与应用.
【模型】
（1）如图①，已知AB∥CD，求证∠1＋∠MEN＋∠2＝360°.
【应用】
（2）如图②，已知AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为 ．
如图③，已知AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋…＋∠n的度数为 ．
（3）如图④，已知AB∥CD，∠AM1M2的角平分线M1 O与∠CMnMn－1的角平分线MnO交于点O，若∠M1OMn＝m°．
在（2）的基础上，求∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋……＋∠n－1的度数．（用含m、n的代数式表示）
【答案】（1）证明见分析；（2）900° ，180°（n－1）；（3）（180n－180－2m）°
【模型】（1）证明：过点E作EF∥CD，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB，
∴∠1＋∠MEF＝180°，
同理∠2＋∠NEF＝180°
∴∠1＋∠2＋∠MEN＝360°
【应用】（2）分别过E点，F点，G点，H点作L1，L2，L3，L4平行于AB，利用（1）的方法可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180×5=900°；
由上面的解题方法可得：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋…＋∠n=180°（n－1），
故答案是：900° ， 180°（n－1）；
（3）过点O作SR∥AB，
∵AB∥CD，
∴SR∥CD，
∴∠AM1O＝∠M1OR
同理∠C MnO＝∠MnOR
∴∠A M1O＋∠CMnO＝∠M1OR＋∠MnOR，
∴∠A M1O＋∠CMnO＝∠M1OMn＝m°，
∵M1O平分∠AM1M2，
∴∠AM1M2＝2∠A M1O，
同理∠CMnMn-1＝2∠CMnO，
∴∠AM1M2＋∠CMnMn-1＝2∠AM1O＋2∠CMnO＝2∠M1OMn＝2m°，
又∵∠A M1M2＋∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋……＋∠n－1＋∠CMnMn-1＝180°（n－1），
∴∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋…＋∠n－1＝（180n－180－2m）°
点睛：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解决此类题目，过拐点作平行线是解题的关键，准确识图理清图中各角度之间的关系也很重要．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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