2025年中考数学复习--将军饮马最值模型（含答案）

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将军饮马最值模型
1.正方形中的将军饮马最小值问题
如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是直线BC上一动点.若AB=4，则AE+OE的最小值是( )
2.直角三角形中的将军饮马 垂线段最短
已知在Rt△ACB中, ∠C=90°, ∠ABC=75° , AB=5, 点E为边AC上的动点,点F为边 AB上的动点，则线段FE+EB的最小值是 ( )
B. C. D.
3.矩形中的将军饮马最小值问题(初二)
如图，点P 为矩形ABCD的对角线AC上一动点，点E为BC的中点，连接PE，PB，若AB=4, BC=4 则PE+PB的最小值为 .
4.正方形中的将军饮马最小值问题(初三)
如图，正方形ABCD的边长为5，E为AD的中点，P为CE上一动点，则AP+BP的最小值为 .
5. 正方形中的将军饮马与隐形圆综合题(初三)
如图，动点M在边长为2的正方形ABCD内，且. P 是 CD边上的一个动点， E是AD边的中点，则线段PE+PM的最小值为 ( )
6.平面直角坐标系中造桥选址问题(初二)
在平面直角坐标系中，长为2的线段CD(点D在点C右侧)在x轴上移动，A(0，2), B(0, 4) , 连接AC, BD, 则AC+BD的最小值为( )
7.正方形中的将军饮马变式题(初二)
如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边BC上，MC=1，P为正方形内(含边上)一点， 且 正方形 ABCD, G 为边 CD上一动点, 连接MG, GP, 则 MG+GP 的最小值为 .
8.平面直角坐标系中的将军饮马问题(初二)
如图，在 中, ∠OBA=90° , A(4, 4) , 点C在边AB上, 且 点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形 PDBC周长最小的点 P 的坐标为( )
A. (2, 2) D. (3, 3)
9. 正方形中的将军饮马问题 (初二)
如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC=12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P的个数是 ( )
A. 0 B. 4 C. 6 D. 8
10.60°角一定两动型将军饮马问题(初二)
如图,在锐角三角形ABC中,BC=4,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,交AC于点D,M, N分别是BD, BC上的动点, 则CM+MN的最小值是 ( )
B. 2 D. 4
11.菱形中的将军饮马问题(初二)
如图，在菱形ABCD中， E是BC边的中点, P, M分别是AC,AB 上的动点, 连接PE, PM, 则PE+PM的最小值是 ( )
A. 6 D. 4.5
12.菱形中的将军饮马最小值问题(初二)
如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD 相交于点O, AH是 的平分线， 于点E，点P 是直线AB上的一个动点，则( 的最小值是 .
13.一定点往两边翻折型将军饮马问题(初二)
如图， 点P是∠AOB内的定点且( 若点 M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是 ( )
C. 6 D. 3
14. 平面直角坐标系中的将军饮马问题(初二)
如图, 矩形ABOC 的顶点A的坐标为(-4,5), D是OB的中点, E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E 的坐标是 ( )
C. (0, 2)
15.正方形中的将军饮马问题(初三)
如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时， 的值是 .
16.等边三角形中的将军饮马问题(初二)
如图， 是等边三角形， N是AB的中点，AD是BC边上的中线，M是AD上的一个动点，连接BM，MN，则I 的最小值是 .
17.菱形中的将军饮马问题(初二)
如图,在菱形ABCD 中, Q为AB的中点，P 为对角线BD上的任意一点，则 的最小值为 .
18.平面直角坐标系中造桥选址问题(初二)
如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在 x轴, y轴上, B,D两点坐标分别为B(-4, 6) , D(0, 4) , 线段EF 在边 OA上移动，保持 ，当四边形BDEF 的周长最小时，点E 的坐标为 .
19.正方形中的将军饮马问题(初二)
如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且 N 是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是 .
20.正方形中将军饮马综合题(初三)
如图, 正方形ABCD 中, AB=1, 连接AC, 的角平分线交AD于点E，在AB上截取 连接DF, 分别交CE, CA于点G, H, 点 P 是线段GC上的动点,PQ⊥AC 于点Q,连接PH. 下列结论: ①CE⊥DF; ②DE+DC=AC; ③EA= AH; ④PH+PQ 的最小值是 其中所有正确结论的序号是 .
21.菱形中的两点之间线段最短 (初二)
如图，四边形ABCD是菱形，对角线 AC，BD相交于点O， 点P是AC上一动点，点E 是AB的中点，则PD+PE 的最小值为 .
22.等腰三角形中的将军饮马周长最小值问题(初二)
如图,等腰△ABC的底边BC=20,面积为120, 点D在BC边上,且CD=5, 直线EF 是腰AC的垂直平分线，若点M在EF上运动，则△CDM周长的最小值为 .
23.平面直角坐标系中造桥选址问题(初二)
如图,在平面直角坐标系中,已知A(3,6),B(-2,2),在x轴上取两点C,D(点C在点D左侧) , 且始终保持CD=1, 线段CD在x轴上平移, 当AD+BC的值最小时，点C 的坐标为 .
24.扇形中的将军饮马问题(初三)
如图，在扇形BOC中， OD平分 交BC弧于点 D，点E为半径 学习笔记：OB上一动点.若( ，则阴影部分周长的最小值为 .
25.角内定点往两边翻折求周长最小值问题(初二)
已知 在平面直角坐标系中的位置如图所示，且 在 内有一点P (4, 3), M,N分别是OA, OB边上的动点, 连接PM, PN, MN, 则 周长的最小值是 .
26.三角形全等先找动点轨迹将军饮马最小值问题(初二)如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E 顺时针旋转90°到EF, 连接DF, CF, 则当DF+CF 之和取最小值时, △DCF的周长为( )
27.等边三角形中一定两动垂线段最短问题(初二)
如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点,连接CE,EF,则CE+EF 的最小值为 .
28.矩形中一定两动垂线段最短问题(初二)
如图, 在矩形ABCD中,) , 若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则 的最小值为 .
29.菱形平移先找动点轨迹的将军饮马问题(初二)
如图，在边长为1的菱形ABCD 中， 将 沿射线BD方向平移，得到 , 连接EC、GC. 求EC+GC 的最小值为 .
30.平面直角坐标系中周长最小值将军饮马问题(初二)
如图，在直角坐标系中，点A(1，1)，B(3，3)是第一象限角平分线上的两点, 点C的纵坐标为1, 且CA=CB, 在y轴上取一点D, 连接AC, BC, AD, BD,使得四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值为 .
31.矩形中先找河的将军饮马问题(初二)
如图, 在矩形ABCD中, AB=4, BC=6, 点P 是矩形ABCD内一动点, 且满足 则 PC+PD的最小值为 .
32.求线段差的最大值 将军饮马变式题(初二)
如图，在正方形ABCD 中， AC与 BD交于点O, N是AO的中点, 点M在BC边上，且 P为对角线BD上一点，则 PM-PN的最大值为 .
33.正方形中将军饮马和隐形圆综合题(初三)
如图， 已知正方形ABCD的边长是4，点E 是 AB边上一动点，连接CE，过点B作 于点G，点P 是AB边上另一动点，则PD+PG 的最小值为 .
34.将军饮马问题先找河 找动点的轨迹(初二)
如图，E是线段AB上一点，△ADE 和△BCE 是位于直线AB 同侧的两个等边三角形，点P，F分别是CD，AB的中点.若AB=4，则下列结论错误的是( )
A. PA+PB的最小值为 B. PE+PF的最小值为
C.△CDE周长的最小值为6 D.四边形ABCD面积的最小值为
35. 直角三角形中一定两动将军饮马问题(初三)
如图, Rt△ABC中, 点 D, E分别是边 BC, AC上的动点，则DA+DE 的最小值为 .
36.将军饮马问题先找河 手拉手全等找动点的轨迹(初二)
如图， 是边长为6的等边三角形，点E 为高BD上的动点.连接CE，将CE绕点 C 顺时针旋转( 得到CF. 连 接AF, E F, D F, 则. 周长的最小值是 .
37.圆柱形玻璃杯 蚂蚁爬行最短路径 将军饮马问题(初二)
如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为 .(杯壁厚度不计)
38. 一线三等角证全等，一定两动型将军饮马问题(初二)
如图, Rt△ABC中, ∠C=90°, 以AB为边在AB上方作正方形ABDE, 过点D作DF⊥CB, 交CB的延长线于点 F, 连接BE.
(1).求证: △ABC≌△BDF;
(2). P, N分别为AC, BE上的动点, 连接AN, PN, 若DF=5, AC=9, 求AN+PN的最小值.
39.二次函数几何综合压轴题 将军饮马最值模型(初三)
如图，抛物线 经过A(-1, 0) , C(0, 3) 两点, 并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点 D.
(1)求该抛物线的表达式；
(2) 若点H是x轴上一动点, 分别连接MH, DH, 求MH+DH的最小值;
(3)若点P 是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形 若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
40.二次函数几何综合压轴题 将军饮马最小值问题(初三)
如图，抛物线 与 x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.已知点A的坐标是( 抛物线的对称轴是直线x=1.
(1)直接写出点B的坐标；
(2)在对称轴上找一点 P，使PA+PC的值最小.求点P的坐标和PA+PC的最小值；
(3)第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，连接BC 交 MN于点 Q.依题意补全图形，当 的值最大时，求点M的坐标.
1.解：如图，作点A 关于直线BC的对称点 A'，连接A'O, 其与BC 的交点即为点 E, 再作 OF⊥AB 交AB于点F，
∵ A 与A'关于BC对称,
∴ AE=A'E, AE+OE=A'E+OE,
∴ 当且仅当A'，O，E三点共线时和最小，如图所示，此时AE+OE=A'E+OE=A'O, 则A'O即为所求.
∵正方形ABCD，点O为对角线的交点，
∵A与A'关于BC 对称, ∴AB=BA'=4,
∴FA'=FB+BA'=2+4=6,
在 Rt△OFA'中, 故选: D.
2.简解:过点B 作关于AC的对称点B',连接B'E,由对称性质得: AB'=AB=5, EB=EB'
∴FE+EB=FE+EB′, ∴当B′、E、F 三点共线且垂直AB时有最小值，如图，B'D即为所求的最小值，
∵∠C=90° , ∠ABC=75° ∴∠BAC=15°
∴ 在Rt△AB'D中, ∠B'AD=2∠BAC=30°,
故选: B.
3.解:如图,作点B关于AC 的对称点B',交 AC 于点 F, 连接EF, 由对称性可知, PB=PB'
, 当B' 、P、E三点共线时,则B'E 的长度即为PE+PB 的最小值.
∵四边形ABCD 为矩形,
∴AB=CD=4, ∠ABC=90° ,在 Rt△ABC中,
∴∠ACB=30° ,
由对称的性质可知, B'B=2BF, B'B⊥AC,
∵BE=BF, ∠CBF=60°, ∴△BEF 是等边三角形,
∴BE=BF=B'F, ∴△BEB'是直角三角形,
∴PE+PB 的最小值为6, 故答案为: 6.
4. 解: 作 B点关于EC的对称点F, BF交EC于点 H,过F点作 FG⊥BC 交BC 的延长线于点G, 连接PF.
由对称性质得: BP=FP, ∴AP+BP=AP+PF,
当A、P、F三点共线时, AF 即为AP+BP 的最小值,
∵E 点是 AD的中点,正方形ABCD的边长为5,
∵BH⊥EC, ∴∠BHC=90° ,
∵∠BCD=90°, ∴∠HBC=∠ECD, ∴tan∠HBC=
∴BH=2HC, 在 Rt△BCH中, 设HC=a, 则BH=2a, 且已知BC=5,
在Rt△BGF中,同理可得, BG=2FG, ∴GF=4,BG=8,过点F作 FM⊥AB交于M,
依题意得: MF=BG=8, AM=1,
在Rt△AFM 中,
∴AP+BP的最小值为 故答案为：
5.解:作点E关于 DC的对称点 E',设AB的中点为点 O,连接OE', 交 DC于点 P, 连接PE, 如图:
∵动点M在边长为2的正方形ABCD内, 且AM⊥BM,
∴点M在以AB为直径的半圆上，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴AD=AB=2, ∠DAB=90° ,
∵E是 AD的中点,
∵作点E 关于DC 的对称点E',
∴DE'=DE=1, PE=PE', ∴AE'=AD+DE'=2+1=3,
∴ PE+PM=PE'+PM, 连接OE', 于 CD 交于 P, 与半圆交于点 M，此时E'M 的值，即为PE+PM的最小值.在 Rt△AOE'中, 故选: A.
6. 简解: 如图, 作 BDCE, 则EC=BD.
∴ AC+BD=AC+EC,根据将军饮马原理,过点A作x 轴的对称点A′, 则AC=A′C.
∴ AC+BD=AC+EC=A 'C+EC,
当E、C、A′三点共线时，有最小值， 即为所求，∴AC+BD 的最小值为 故选: B.
7. 解: 过点P作EF∥AB, 分别交AD, BC于点E, F,
∵四边形ABCD 是正方形，
∴四边形ABFE 和四边形 EFCD 都是矩形,
正方形ABCD, 正方形ABCD的边长为4,
解得FB=2,
∴CF=BC-FB=4-2=2=FB,
即F是 BC的中点，且P 点在线段 EF 上运动.
作点 M 关于 CD的对称点 M',连接M'G,
则M' G=MG, M' C=MC=1,
∴MG+GP=M' G+GP≥M' F,
∴MG+GP 的最小值为M' F 的长,
∴MG+GP 的最小值为3, 故答案为: 3.
8. 解: ∵在Rt△ABO中, ∠OBA=90°, A(4, 4), 点D为OB的中点, ∴BC=3, OD=BD=2, ∴D(2, 0), C(4,3),作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时, 四边形PDBC周长最小, E(0,2),
∵直线OA 的解析式为y=x，设直线EC的解析式为 解得：
∴直线 EC的解析式为 解 得 ，故选: C.
9.解：如图，作点F关于 BC的对称点 M，连接FM 交BC于点 N, 连接EM, 交BC于点 H
∵点E, F将对角线AC三等分, 且AC=12,
∴EC=8, FC=4=AE,
∵点M与点F关于BC对称
∴CF=CM=4, ∠ACB=∠BCM=45° ∴∠ACM=90°
则在线段BC存在点H到点 E 和点 F的距离之和最小为 在点H右侧，当点 P与点 C 重合时，则PE+PF=12
∴点 P在CH上时, 在点 H 左侧，当点P与点B重合时，.
∵AB=BC, AE=CF, ∠BAE=∠BCF,
∴△ABE≌△CBF (SAS) ∴BE=BF=2
∴点 P在 BH 上时,
∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P，使得PE+PF=9，同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点 P，使得PE+PF=9. 即共有8个点 P满足 PE+PF=9, 故选: D.
10. 简解: 如图, 在 BA上截取BE=BC, 连接ME,∵∠ABC的平分线交AC于点D, ∴∠EBM=∠NBM,在△BME与△BMC中, △BME≌△BMC(SAS),∴ME=MC. ∴CM+MN=CM+ME.
当N、M、E三点共线且垂直BC时，取最小值，EF 即为所求最小值： 故选: C .
11.解:如图,作点E关于AC的对称点 E',过点E'作E' F⊥AB 于点 F, 则E' F 即为所求最小值,
∵四边形ABCD是菱形, ∴点 E' 在 CD上,
∵AC=6 , BD=6, ∴AB=3
由 得： 解得： E' F 即 PE+PM的最小值是 故选: C.
12. 解: 连接OE, 过点O作 OF⊥AB, 垂足为F, 并延长到点O' , 使O' F=OF, 连接O' E交直线AB 于点 P,连接OP, ∴AP 是OO' 的垂直平分线, ∴OP=O' P,∴OP+PE=O' P+PE, 当O' 、P、E三点共线时, O' E 即为OP+PE 的值最小,
∵四边形ABCD是菱形, ∴AD=AB=3, OA=OC=
∵∠BAD=60°, ∴△ADB是等边三角形,
∵CE⊥AH, ∴∠AEC=90° ,
∵AE 平分∠CAB, ∴∠OAE=∠EAB,
∴∠OEA=∠EAB, ∴OE∥AB,
∴∠EOF=∠AFO=90° ,
在 Rt△AOF 中,
在Rt△EOO' 中,
∴OP+PE 的最小值为 故答案为：
13. 解: 作 P点分别关于OA、OB的对称点 C、D, 连接CD分别交OA、 OB于M、N, 则MP=MC, NP=ND,OP=OD=OC= ,∠BOP=∠BOD,∠AOP=∠AOC,∴PN+PM+MN=ND+MN+MC=DC, ∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°,
∴此时△PMN周长最小, 作 OH⊥CD于 H,则CH=DH,
故选: D.
14.解：如图，作A关于y轴的对称点A'，连接A'D交y轴于E，则此时，△ADE的周长最小，
∵四边形ABOC 是矩形,
∴AC∥OB, AC=OB, ∵A点的坐标为(-4, 5) ,
∴A′ (4,5), B(-4,0), ∵D是OB的中点, ∴D(-2,0),设直线DA'的解析式为
∴直线DA'的解析式为 当x=0时, 故选: B.
15. 解: 作点E 关于 AC 的对称点 E', 连接FE'交 AC于点 P', 连接PE',
∴PE=PE', ∴PE+PF=PE'+PF≥E'F,故当 PE+PF 取得最小值时,点 P 位于点 P'处,
∴当PE+PF 取得最小值时，求 的值，只要求出. 的值即可.
∵正方形ABCD是关于 AC 所在直线轴对称，
∴点E 关于 AC 所在直线对称的对称点 E'在 AD 上，且AE'=AE, 过点 F作 FG⊥AB交AC于点G,则∠GFA=90° ,
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠DAB=∠B=90°, ∠CAB=∠ACB=45° ,
∴FG∥BC∥AD,∠AGF=∠ACB=45° , ∴GF=AF,
∵E,F 是正方形ABCD 的边 AB 的三等分点,
又
故答案为：
16.解: 如下图, 连接CM, CN,
∵△ABC是等边三角形, AD 是中线, ∴AD⊥BC, BD=CD, ∴AD 是BC的垂直平分线, ∴BM=CM, ∴BM+MN=CM+MN, 即当点 C、M、N三点共线时,BM+MN最小值为CN的长,
∵点 N是AB 的中点,
最小值为： 故答案为：
17. 解: 如图,连接PC, AC, CQ. ∵四边形ABCD是菱形, ∴∠ABP=∠PBC, 在△ABP 和△CBP中,△ABP≌△CBP (SAS), ∴PA=PC,
∵AB∥CD, ∴∠ABC+∠BCD=180°,
∴△ABC是等边三角形, ∵AQ=QB, ∴CQ⊥AB,
的最小值为
故答案为：
18.解：在 BC上截取BH=3，作点D关于x轴的对称点G, 连接GH交AO于点E, ∴BH=EF=3, BC∥AO, ∴四边形 BHEF是平行四边形，
∴BF=EH, ∵点D与点 G关于x轴对称,
∴DE=GE, 点G坐标为(0, - 4) ,
∵四边形BDEF的周长=EF+BF+BD+DE,
∴四边形BDEF的周长=EF+EH+EG+BD,
∵EF和BD 是定值, ∴当EH+GE有最小值时,四边形BDEF的周长有最小值， ∴当点E，点H，点G共线时，EH+GE有最小值, ∵点B(-4, 6), ∴点H(-1,6),设直线GH的解析式为y= kx+b,把点G(0, - 4)、点 H(--1，6)代入，待定系数法可得，直线 GH 的解析式为：y=-10x-4, ∴当y=0时, ∴点 故答案为：
19.解：∵正方形是轴对称图形，点B与点D 是关于直线AC为对称轴的对称点, ∴连接BN, BD, ∴BN=ND,∴DN+MN=BN+MN, 连接BM交AC于点 P,
∵点 N为AC上的动点，由三角形两边和大于第三边可知, 当点N运动到点 P 时, BN+MN=BP+PM=BM,BN+MN的最小值为BM的长度，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=CD=8, CM=8-2=6, ∠BCM=90° ,
∴BM=10, ∴DN+MN的最小值是10. 故答案为: 10.
20. 解: ∵正方形ABCD,∴CD=AD,∠CDE=∠DAF=90° , ∴∠ADF+∠CDF=90° ,在△CDE和△DAF中, 易证△CDE≌△DAF(ASA) ,
∴∠DCE=∠ADF, ∴∠DCE+∠CDF=90°,
∴∠DGC=90°, ∴CE⊥DF, 故①正确;
∵CE 平分∠ACD, ∴∠DCE=∠HCG, 在△GCD和△GCH中, 易证∴△GCD≌△GCH (ASA),
∴CD=CH, ∠CDH=∠CHD,
∵正方形ABCD, ∴CD∥AB, ∴∠CDF=∠AFD,
∴∠CHD=∠AFD, ∵∠CHD=∠AHF,
∴∠AFD=∠AHF, ∴AF=AH,
∴AC=AH+CH=AF+CD=DE+CD, 故②正确,设DE=AF=AH=a,
∵∠AHF=∠DHC, ∠CDF=∠AFH,
故③错误；
∵△GCD≌△GCH, ∴DG=GH,
∵CE⊥DF, ∴CG垂直平分DH, ∴DP=PH,
当DQ⊥HC时, PH+PQ=DP+PQ有最小值,
过点D作DM⊥HC,则DM的长度为PH+PQ的最小值,
故④正确. 故答案为：①②④.
21. 解: 如图, 连接DE, ∵四边形ABCD 是菱形, 对
角线AC, BD相交于点O, AC=6 , BD=6,
即△ABD是等边三角形，又∵E是AB的中点，
∵DP+PE≥DE, ∴PD+PE 的最小值为 DE 的长, 即PD+PE的最小值为 故答案为：
22. 解: 如图, 作 AH⊥BC于 H, 连接AM,
∵EF 垂直平分线段AC, ∴MA=MC, ∴DM+MC=AM+MD, ∴当A、D、M共线时, DM+MC的值最小,
∵等腰△ABC的底边BC=20, 面积为120, AH⊥BC,
∴BH=CH=10, AH=12, ∴DH=CH-CD=5,
∴AD=13, ∴DM+MC的最小值为13,
∴△CDM周长的最小值=13+5=18, 故答案为18.
23. 解: 把A(3, 6) 向左平移1得A' (2, 6) , 作点B关于x轴的对称点B'，连接B'A'交x轴于C，在x轴上取点 D (点C在点 D 左侧) , 使CD=1, 连接AD,则AD+BC的值最小,∵B(-2,2), ∴B' (-2, - 2),由A′ (2,6)、B′ (-2, - 2)的坐标,得直线B′ A′的解析式为y=2x+2,当y=0时,x=-1, ∴C(-1,0),故答案为: (-1, 0) .
24.解:如图,作点 D 关于 OB的对称点 D',连接D'C交OB于点 E' , 连接E' D、OD' ,
此时E' C+E' D 最小, 即: 由题意得, ∠COD=∠DOB=∠BOD' =30° , ∴∠COD' =
CD弧的长 ∴阴影部分周长的最小 值为 故答案为：
25. 解: 分别作 P关于射线OA、射线OB的对称点P'与点P”, 连接P' P", 与OA、OB分别交于M、N两点，此时△PMN周长最小，最小值为 P'P"的长，连接OP' , OP" , OP,
∵OA、OB分别为PP' , PP" 的垂直平分线,P(4,3),
且∠POA=∠P' OA, ∠POB=∠P" OB,
∵∠AOB=∠AOP+∠BOP=60°,
,过O作OQ⊥P' P" ,可得P'Q=P" Q, ∠OP' Q=∠OP" Q=30° ,
则△PMN周长的最小值是 故答案为：
26. 解: 过点F作 FG⊥AB 交AB延长线于点 G,
∵将ED绕点E顺时针旋转90°到EF,
∴EF⊥DE, EF=DE,
∴∠DEA+∠FEG=∠DEA+∠ADE=90° ,
∴∠ADE=∠FEG,
又∵∠DAE=∠FGE=90° ,
∴△AED≌△GFE (AAS),
∴FG=AE, AD=EG, ∴AD=EG=AB,
即BG=AE=FG, ∴∠CBF=∠GBF=45° ,
∴点F 在∠CBG的角平分线上运动，
连接BF，BF 即为∠CBG的角平分线，作点C 关于BF 的对称点C', ∴C'点在AB 的延长线上,由对称性质可知, C' F=CF, BC' =BC=3
∴DF+CF=DF+C' F, 当点D、F、C' 三点共线时,DC' 即为DF+CF 的最小值.
在Rt△ADC' 中,
∴DF+CF 的最小值为
∴此时△DCF的周长为 故选: A.
27. 解: 过C作CF⊥AB交AD于E, 则此时,CE+EF的 值最小,且CE+EF的最小值=CF, ∵△ABC为等边三角形，边长为6，
∴CE+EF的最小值为 故答案为：
28. 解: 作点A关于BD的对称点A' , 连接MA' ,BA' , 过点A' 作A' H⊥AB于H. ∵BA=BA' ,∠ABD=∠DBA' =30° , ∴∠ABA' =60° ,
∴△ABA' 是等边三角形,
∵四边形ABCD 是矩形,
∴AD=BC=10,在Rt△ABD中,
∵A' H⊥AB, ∴AH=HB=5
∵AM+MN=A' M+MN≥A' H,
∴AM+MN≥15, ∴AM+MN的最小值为15.
故答案为15.
29. 解: ∵在边长为1的菱形ABCD中, ∠ABC=60°,
∴AB=CD=1, ∠ABD=∠ADB=30° ,
∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△EGF,
∴EG=AB=1, EG∥AB, ∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=CD, AB∥CD, ∴EG=CD, EG∥CD,
连接ED，∴四边形EGCD 是平行四边形，
∴ED=GC, ∴EC+GC的最小值=EC+ED的最小值,
∵点E在过点A 且平行于 BD 的定直线上，
∴作点D关于定直线的对称点M，连接CM交定直线于E，则 CM的长度即为EC+DE的最小值，
∵∠EAD=∠ADB=30° , AD=1,
∴DM=1, ∴DM=CD,
∵∠CDM=∠MDG+∠CDB=90°+30° =120° ,
故答案为：
30. 解: ∵点A (1, 1) , 点C的纵坐标为1,
∴AC∥x轴, ∴∠BAC=45° ,
∵CA=CB, ∴∠ABC=∠BAC=45° , ∴∠C=90° ,
∵B(3, 3) ∴C(3, 1) , ∴AC=BC=2,
作B关于y轴的对称点E，连接AE交y轴于D，则此时，四边形ACBD 的周长最小，
这个最小周长的值=AC+BC+AE, 过E作 EF⊥AC交CA的延长线于 F, 则EF=BC=2, AF=6-2=4,
∴最小周长的值：
故答案为：
31. 解: 如图, 作 PM⊥AD于 M, 作点D 关于直线PM的对称点 E, 连接PE, EC. 设AM=x.
∵四边形ABC 都是矩形，
∴AB∥CD,AB=CD=4, BC=AD=6,
∴x=2, ∴AM=2, DM=EM=4,
∵PM 垂直平分线段DE, ∴PD=PE,
∴PC+PD=PC+PE≥EC, ∴ EC 即为所求的最小值,在Rt△ECD中,
∴PD+PC的最小值为
32.解：如图所示，以BD为对称轴作N的对称点N'，连接 MN'并延长交 BD于 P，连NP，根据轴对称性质可知, PN=PN' , ∴PM-PN=PM-PN'≤MN' ,
当 P，M，N'三点共线时，取“等于”， ∵正方形边长为8, ∵o为AC中点，
∵N为OA 中点,
∴PM∥AB∥CD, ∠CMN' =90° ,
∵∠N' CM=45°, ∴△N' CM为等腰直角三角形,
∴CM=MN' =2,
即 PM -PN的最大值为2,故答案为:2.
33.解:如图:取点D 关于直线AB的对称点 D'.以BC中点O为圆心，OB为半径画半圆.连接OD'交AB 于点P,交半圆O于点 G,连 BG.连CG 并延长交AB于点E.由以上作图可知, BG⊥EC于G. PD+PG=PD'+PG=D'G.
由两点之间线段最短可知，此时PD+PG最小.
的最小值为
故答案为：
34.解: 延长AD, BC交于M, 过P作直线l∥AB,如图:
∵△ADE 和△BCE 是等边三角形,
∴∠DEA=∠MBA=60° , ∠CEB=∠MAB=60° ,
∴DE∥BM, CE∥AM, ∴四边形DECM是平行四边形,
∵P为CD中点, ∴P为EM中点,
∵E在线段AB 上运动， ∴P 在直线l上运动，由AB=4知等边三角形ABM的高为2
∴M到直线l的距离，P到直线AB 的距离都为 作A关于直线l的对称点 A',连接A'B,当 P 运动到 A'B与直线l的交点, 即A', P, B共线时, PA+PB=PA'+PB最小，此时 PA+PB 最小值即为 故选项A错误，符合题意；
∵PM=PE, ∴PE+PF=PM+PF,
∴如下图, 当M, P, F 共线时, PE+PF 最小, 最小值为MF 的长度,
∵F为AB 的中点, ∴MF⊥AB,
∴MF 为等边三角形 ABM 的高, ∴PE+PF 的最小值为 故选项B正确，不符合题意；
过D作DK⊥AB于K,过C作CT⊥AB于 T, 如下图,∵△ADE 和△BCE 是等边三角形,
∴CD≥2, ∴DE+CE+CD≥AE+BE+2,
即 DE+CE+CD≥AB+2, ∴DE+CE+CD≥6, ∴△CDE周长的最小值为6，故选项C正确，不符合题意；
如上图, 设AE=2m, 则BE=4-2m,
∴AK=KE=m,BT=ET=2-m,DK= AK= m,
∴S四边形
∴当m=1时，四边形ABCD 面积的最小值为 故选项D正确，不符合题意；
故选: A.
35. 解: 作A关于BC的对称点A', 连接AA', 交 BC于F, 过A'作A'G⊥AC于G, 由题意得, 当A'、D、E三点共线，且垂直AC时最小，则A′G即为所求的最小值；
Rt△ABC中, ∠BAC=90° , AB=3, AC=6
∵∠A'FD=∠DGC=90°, ∠A'DF=∠CDE,
∴∠A'=∠C, ∵∠AGA'=∠BAC=90° ,
即AD+DE的最小值是 故答案为：
36. 解: ∵△ABC是等边三角形,
∴AC=BC=6, ∠ABC=∠BCA=60° ,
∵∠ECF=60° , ∴∠BCE=60° -∠ECA=∠ACF,
∵CE=CF,∴△BCE≌△ACF(SAS),∴∠CAF=∠CBE,
∵△ABC 是等边三角形, BD 是高,
∴∠CAF=∠CBE= ∠ABC=30°, CD= AC=3,
∵ E 点在 BD上运动， ∴F 在射线AF 的一段上运动
过C点作关于AF 的对称点 H, 连接AH, FH, CH, DH则CF=FH, AC=AH=6, ∠ACH=2∠CAF=60°
∴ △ACH 是等边三角形
∵ D 是AC的中点,
∵ CF=FH, ∴ △CDF的周长=CD+DF+CF=3+DF+FH当DF+FH取最小值时，△CDF 周长才有最小值.
∵CF+DF=HF+DF≥DH=3
∴即当D、F、H三点共线时, CF+DF的值最小为: CF+DF=DH=3 ，∴△CDF的周长的最小值为
故答案为：
37.解：如图：将圆中杯子侧面展开，得到如图的矩形，则CD的长度为16cm，EF 就是杯高为9cm，且根据题意可得，P为CD上的一个动点，求蚂蚁爬行最短路径，就是求 PA+PB 的最小值,
作 B 关于 CD 的对称点 B', 连接PB',
由对称性可知, PB′=PB, B′C=BC=1.
∴PA+PB=PA+PB', 连接AB', 由两点之间, 线段最短可知，AB'的长即为所有的最短距离，
过点A作AG⊥CB于点 G, 则
∵AF=4cm, ∴AE=9-4=5cm, ∴CG=AE=5cm
∴B'G=CG+B'C=5+1=6cm
∴Rt△AB'G 中, 故答案为： 10.
38. (1)证明: ∵Rt△ABC中,∠C=90° , DF⊥CB,∴∠C=∠DFB=90°. ∵四边形ABDE是正方形,∴BD=AB, ∠DBA=90° , ∵∠DBF+∠ABC=90° ,∠CAB+∠ABC=90°, ∴∠DBF=∠CAB,在△ABC和△BDF中, 易证△ABC≌△BDF (AAS) ;
(2) 解: ∵△ABC≌△BDF,
∴DF=BC=5,BF=AC=9,∴FC=BF+BC=9+5=14.如上图，连接DN，∵BE 是正方形顶点 A 与顶点D的对称轴, ∴AN=DN. ∴AN+PN=DN+PN,当D、N、P三点共线，且垂直CA时最小.作DM⊥AC于 M, PM 即为所求最小值.由题意可知, PM=FC=14.
∴ AN+PN 的最小值等于 14.
39. 解: (1)∵抛物线, 经过A(-1,0),C(0,3) 两点,解得： ∴该抛物线的表达式为
∴顶点M(1, 4) , 设直线AM的解析式为y= kx+d,把点A(-1,0), 点 M(1,4)代入得:
解得： 直线AM的解析式为y=2x+2,当x=0时, y=2, ∴D (0, 2) ,
作点D关于x轴的对称点D' (0, - 2), 连接D' M,D'H，如图，根据对称性， 则
∴MH+DH=MH+D' H≥D' M,
∴D' M即为MH+DH的最小值,
∴MH+DH 的最小值为
(3)对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形.
由(2) 得: D (0, 2) , M(1,4) ,
∵点P 是抛物线上一动点，∴设1
∵抛物线 的对称轴为直线x=1，
∴设Q(1, n),
①当DM、PQ为对角线时, DM、PQ的中点重合,
解得：
②当DP、MQ为对角线时, DP、MQ的中点重合, 解得：(m= ,∴Q(1,1);③当DQ、PM为对角线时, DQ、PM的中点重合, 解得：{m=0,∴Q(1,5);综上所述，对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q 的坐标为(1，3)或(1，1) 或(1, 5).
40. 解: (1) ∵抛物线 的对称轴是直线x=1, ∴-b/ 2a=1, ∴b=-2a①,
∵抛物线 与x轴交于A，B两点，点A的坐标是(-1, 0) , ∴a-b+3=0②,
联立①②得： 解得
∴二次函数的解析式为
令y=0, 得 , 解得x=3或x=-1,
∴点B的坐标为(3,0);
(2)如图,在对称轴任选一点 P,连接PB,PC,∵点A, B关于直线x=1对称, ∴PA=PB,∴PA+PC=PB+PC,
当C、P、B三点共线时,BC 即为PA+PC的最小值,即连接BC与对称轴直线x=1的交点，即为所求的P点.
设直线 CB 的表达式为 y= kx+m,
把C(0,3)和B(3,0)代入得:解得
∴直线CB 的表达式为y=-x+3,
∴当x=1时, y=2, ∴P (1, 2) ,
∵OB=OC=3, 在Rt△BOC中,
∴PA+PC的最小值即为.
(3)如下图补全图形，
由(1)得抛物线的表达式为
由 (2)得直线BC 的解析式为.y=-x+3,
故设 则Q(t, - t+3) .
∴MQ=(-t +2t+3) - (-t+3) =-t +3t,
过点Q作QD⊥OC，垂足为D，则△CDQ是等腰直角三角形.
∴当 时， 有最大值，
此时点