数学：5.4《两角和与差的正切公式》教案（3）（沪教版高一）

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5.4 (3)两角和与差的正切公式
上海市杨浦高级中学 曹丽琼
一、教学内容分析
推导两角和与差的正切公式是本节课的重点，它是余弦和正弦公式的重要应用.推导的难度并不大，学生可以独立完成.对公式的推导过程要求熟悉，这有利于梳理两角和与差公式间的相互联系，也有利于对公式特征的理解和形式的记忆，为之后的学习打下基础.
要使学生能够正确、熟练、较灵活的使用两角和与差的正切公式，在例题的设计中要覆盖对公式的正用、逆用以及变形使用，逆用和变形使用是本堂课的教学难点，但由此可提高学生的观察以及发散思维能力.
二、教学目标设计
（1）熟悉两角和与差正切公式的推导，知道公式成立的条件，理解公式的形式特征.
（2）初步了解公式的作用，能够正确运用公式及其常用变形进行计算、化简、证明.
（3）在公式的推导过程中,进一步形成转化的思想方法和逻辑思维的能力.
三、教学重点及难点
两角和与差的正切公式的推导和应用；
四、教学流程设计
五、教学过程设计
一、讲授新课
1、复习引入
（1）两角和与差的余弦公式
①
②
其中，①式可在②式中用替换而得.
（2）两角和与差的正弦公式
，
正弦公式可以通过诱导公式，将转化为，继而应用余弦公式推得.
问题：如何用以及表示？
2、公式推导
学生思考、独立完成.
分子、分母分别除以（），并化简得
③
思考1、两角差的正切公式具有怎样的形式？
思考2、两角和与差的正余弦公式对任意角成立，两角和与差的正切公式也如此吗？提出你的理由.
学生回答
1、同理可得 ④；
或由变量替换的思想，用替换两角和公式中的即可.
2、不是，使用③式前需要先保证、都有意义，且.即、、都不能取（）.同理，④式中的、、也不能取（）.
这是使用两角和与差正切公式的条件.如果、中有取到（）的角，又如何求或呢？
学生回答
[说明] 明确公式成立的条件，使学生的认识完整化.
3、强调特征
（1）等号的左边是复角的正切.右边为分式，分子是两单角的正切之和或差，分母是1减去两单角的正切之积.
（2）分子中和或差与等号左边相同，分母则与等号左边相异.
[说明]学生掌握公式的特征，不仅从简单的对比而得，更要从推导过程中去理解.
4、例题解析
例1、 已知，，求下列三角比的值：
（1）；（2）
解答：（1）；（2）
[说明]教材中没有继续推导两角和与差的余切公式.在遇到此类问题时，常常通过三角比的倒数关系将余切转化为正切，或通过商数关系转化为正余弦来计算.
例2、运用两角和的正切公式，求的值.
解答：
[说明]方法一、可先计算.方法二、将表达式中的1看作为，逆用两角和的正切公式先化简后求值.
方法二突现了“1”在三角问题中的重要地位.
例3、化简
解答：
[说明]两角和与差正切公式的常用变式
；
.
例4、已知、是方程的两个根，求
及.
解答：；或.
[说明]两角和与差的正切公式其结构特征提供了使用韦达定理的条件，从而与二次方程产生联系.
三、巩固练习
例5、不查表计算
解答：
例6、已知，，求的值.
解答：
例7、证明下列三角恒等式：
（1） （2）
四、课堂小结
（1）应用已学知识推导了两角和与差的正切公式，知道了公式使用的条件以及特征.
（2）能够对所学的公式作正、逆双向使用，进行化简与求值.熟悉公式的常用变式以及知识拓展，从而对公式有进一步的理解.
五、课后作业
课本第59 练习5.4（3）1、2
习题5.4 A组：2/（5）、（6）
复习引入、设置问题
联系已知，推导公式
小结特征、理解记忆
求值化简、恒等证明
常用变式、巩固练习
课堂小结、布置作业
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