云南省保山市第八中学2023-2024学年高一下学期期中教学质量测评数学试题
1．（2024高一下·保山期中）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高一下·保山期中）已知复数（是虚数单位），则的虚部是（ ）
A．1 B． C． D．
3．（2024高一下·保山期中）计算的值（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一下·保山期中）已知，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（2024高一下·保山期中）已知球的半径为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·保山期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则（ ）
A．1 B．3 C． D．
7．（2024高一下·保山期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·保山期中）在中，内角所对的边分别为，若，，则（ ）
A． B． C．1 D．
9．（2024高一下·保山期中）用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面，则这个几何体可能是（ ）
A．圆柱 B．棱柱 C．球 D．圆台
10．（2024高一下·保山期中）已知锐角三角形三边长分别为，则实数的可能取值是（ ）
A． B． C．7 D．
11．（2024高一下·保山期中）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的单调减区间为
C．图象的一条对称轴方程为
D．点是图象的一个对称中心
12．（2024高一下·保山期中）如图，四边形是梯形的直观图，四边形是等腰梯形，且，则梯形的周长为 .
13．（2024高一下·保山期中）已知向量，若三点共线，则 .
14．（2024高一下·保山期中）如图，三棱台的上、下底边长之比为，三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，则 .
15．（2024高一下·保山期中）已知，复数是虚数单位.
（1）若是纯虚数，求的值；
（2）若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围.
16．（2024高一下·保山期中）已知向量，．
（1）若，求的值；
（2）若，向量与的夹角为锐角，求的取值范围．
17．（2024高一下·保山期中）已知函数的图象经过点．
（1）求实数a的值；
（2）求函数的最小正周期和单调区间．
18．（2024高一下·保山期中）如图，一个圆台型花盆盆口直径为20cm，盆底直径为10cm，盆壁长（指圆台的母线长）13cm．
（1）求这个圆台型花盆的体积；
（2）现在为了美化花盆的外观，决定给花盆的侧面涂上一层油漆，每平方米需要花费10元，给这批1万个花盆全部涂上油漆，预计花费多少元？（第（2）问中取3.14）
19．（2024高一下·保山期中）在中，角所对的边分别为，且满足．
（1）求；
（2）若，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】由题意得 .
故答案为：A.
【分析】根据补集的定义求解.
2．【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：已知，则的虚部是1.
故答案为：A.
【分析】利用复数的除法运算可得，再利用复数的概念即可求解.
3．【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】解：.
故答案为：C．
【分析】利用两角差的余弦公式结合特殊角的三角函数值即可求解.
4．【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：A.
【分析】先把化为，再利用基本不等式即可求解.
5．【答案】C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】利用球的表面积公式，代入计算，即可求解.
6．【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的值
【解析】【解答】函数是定义在上的偶函数，，，求得.
故答案为：D.
【分析】由函数是偶函数，，得，代入解析式求的值.
7．【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：，
故答案为：B.
【分析】利用对数的运算性质结合换底公式即可求解.
8．【答案】C
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：已知，得，
所以．
故答案为：C．
【分析】根据正弦定理计算可得，代入化简即可求解.
9．【答案】A,C,D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：由题意可得用一个平面去截圆台、圆柱、球均可以得到圆面，故A，C，D选项正确；
根据棱柱的定义，可知平面截棱柱得到的截面为一个多边形，一定不会产生圆面，故B选项错误.
故答案为：ACD.
【分析】利用用一个平面去截旋转体均可以得到圆面，平面截棱柱得到的截面为一个多边形，即可求解.
10．【答案】B,C
【知识点】解三角形
【解析】【解答】解：因为是三角形的三边，则且，得，
设这个三角形中长为的边所对角分别为，显然长为的边所对角必为锐角，
而这个三角形为锐角三角形，
则由余弦定理得，即，解得，
所以实数的取值范围是，故BC正确，AD错误.
故答案为：BC.
【分析】先利用三角形三边关系确定的范围，再利用余弦定理列出关于的不等式组，即可求解.
11．【答案】A,B,C
【知识点】正弦函数的性质；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、由题意可知，，所以，
因为，所以，所以，
又在的图象上，所以，
所以，解得，
又，所以，故选项A正确；
B、，令，
解得，
所以的单调减区间为，故选项B正确；
C、令，解得，当时，，故选项C正确；
D、令，解得，令，则，故选项D错误.
故选：ABC.
【分析】结合图象先求得A，T，进而求得，又在的图象上，结合正弦函数的性质求得，即可判断选项A；进而求得函数f(x)的解析式，根据正弦函数的单调性，对称性逐一判断选项B、C、D即可.
12．【答案】
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：如图所示，过点作⊥于点，
易知，，由勾股定理可得，
原图形梯形如下图所示，过点作⊥于点，
易知，，，所以，
由勾股定理可得，
所以梯形的周长为.
故答案为：.
【分析】直观图中作出辅助线，先求出，进而作出原图形，根据斜二测画法的法则求出各梯形OABC的边长，即可求得梯形的周长 .
13．【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意可知，，
因为三点共线，所以与共线，所以，解得.
故答案为：.
【分析】先利用向量加法坐标运算求得，进而利用向量共线的坐标运算列式求得m的值即可.
14．【答案】
【知识点】锥体的体积公式及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由三棱台的上、下底边长之比为，可得上、下底面的面积比为，
设上底面面积为，则下底面面积为，设三棱台的高为，则点到平面的距离也为，所以，，
所以，
故答案为：.
【分析】因为点到平面的距离相等，所以，，利用锥体体积公式与棱台体积公式计算出三棱锥与三棱台的体积之比即可.
15．【答案】（1）解：由题意可知，解得
所以.
（2）解：在复平面内对应的点为，
由题意可知，解得，
所以的取值范围是.
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【分析】（1）按照纯虚数的概念a=0，b≠0列方程组求出m的值即可；
（2）利用复数的几何意义，在复平面内对应的点位于第四象限，则a>0，b<0 列不等式组求出m的取值范围即可.
（1）因为是纯虚数，
所以
解得；
（2）在复平面内对应的点为，
由题意可得
解得，即的取值范围是.
16．【答案】（1）解：由题意可知，
∵，∴，
∴，
.
（2）解：由题意可知，
∵向量与的夹角为锐角，∴，且与不共线
，且，
∴的取值范围为，，．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）利用向量的坐标运算先求得，进而根据两向量垂直的条件列式求得的值即可；
（2）先求得 ，进而由向量与的夹角为锐角，可知，且与不共线，根据向量夹角与向量数量积的关系及共线向量的充要条件列方程组求出的取值范围即可.
（1）若，则，
，
，，
，，，
，
.
（2）向量与的夹角为锐角，则，
，，
，又，
，，
又当与的夹角为不符题意，
，
，
所以的取值范围为，，．
17．【答案】（1）解：将点代入得，即，所以
（2）解：由（1）得，
所以函数的最小正周期为，
令，；解得，，
令，，解得，，
故函数的单调递增区间为，
单调递减区间为．
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；辅助角公式
【解析】【分析】（1）将点代入列式计算求出实数a的值即可；
（2）先写出函数f(x)的解析式，进而利用辅助角公式将函数化为，进而利用正弦函数的周期公式和单调性计算求出函数的最小正周期和单调区间即可．
（1）将点代入得，
即，故；
（2）由（1）得，
所以函数的最小正周期为，
又函数的单调递增区间为，
单调递减区间为，
令，；
解得，，
令，，
解得，，
故函数的单调递增区间为，
单调递减区间为．
18．【答案】（1）解：由题意可知，圆台型花盆的上底半径，下底半径，母线长，
由勾股定理可得，高，
所以体积，
所以这个圆台型花盆的体积为.
（2）解：圆台型花盆的侧面积，
所以（元），
所以给1万个同样的花盆全部涂上油漆预计花费6123元.
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）根据给定条件先求出圆台的高，进而利用圆台体积公式计算求出圆台型花盆的体积即可；
（2）先利用圆台的侧面积公式求出一个圆台型花盆的侧面积，再结合题设求解即得.
（1）圆台型花盆的上底半径，下底半径，母线长，则高，
体积，所以这个圆台型花盆的体积为.
（2）由（1）知，圆台型花盆的侧面积，
则（元），所以给1万个同样的花盆全部涂上油漆预计花费6123元.
19．【答案】（1）解：
，即，
即；
（2）解：由余弦定理有，
当且仅当时取等号，故的最小值为1．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1) 根据题意利用正、余弦定理边角转化可得 ，即可得结果；
(2) 利用余弦定理结合基本不等式运算求解.
1 / 1云南省保山市第八中学2023-2024学年高一下学期期中教学质量测评数学试题
1．（2024高一下·保山期中）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】由题意得 .
故答案为：A.
【分析】根据补集的定义求解.
2．（2024高一下·保山期中）已知复数（是虚数单位），则的虚部是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：已知，则的虚部是1.
故答案为：A.
【分析】利用复数的除法运算可得，再利用复数的概念即可求解.
3．（2024高一下·保山期中）计算的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】解：.
故答案为：C．
【分析】利用两角差的余弦公式结合特殊角的三角函数值即可求解.
4．（2024高一下·保山期中）已知，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：A.
【分析】先把化为，再利用基本不等式即可求解.
5．（2024高一下·保山期中）已知球的半径为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】利用球的表面积公式，代入计算，即可求解.
6．（2024高一下·保山期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则（ ）
A．1 B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的值
【解析】【解答】函数是定义在上的偶函数，，，求得.
故答案为：D.
【分析】由函数是偶函数，，得，代入解析式求的值.
7．（2024高一下·保山期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：，
故答案为：B.
【分析】利用对数的运算性质结合换底公式即可求解.
8．（2024高一下·保山期中）在中，内角所对的边分别为，若，，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：已知，得，
所以．
故答案为：C．
【分析】根据正弦定理计算可得，代入化简即可求解.
9．（2024高一下·保山期中）用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面，则这个几何体可能是（ ）
A．圆柱 B．棱柱 C．球 D．圆台
【答案】A,C,D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：由题意可得用一个平面去截圆台、圆柱、球均可以得到圆面，故A，C，D选项正确；
根据棱柱的定义，可知平面截棱柱得到的截面为一个多边形，一定不会产生圆面，故B选项错误.
故答案为：ACD.
【分析】利用用一个平面去截旋转体均可以得到圆面，平面截棱柱得到的截面为一个多边形，即可求解.
10．（2024高一下·保山期中）已知锐角三角形三边长分别为，则实数的可能取值是（ ）
A． B． C．7 D．
【答案】B,C
【知识点】解三角形
【解析】【解答】解：因为是三角形的三边，则且，得，
设这个三角形中长为的边所对角分别为，显然长为的边所对角必为锐角，
而这个三角形为锐角三角形，
则由余弦定理得，即，解得，
所以实数的取值范围是，故BC正确，AD错误.
故答案为：BC.
【分析】先利用三角形三边关系确定的范围，再利用余弦定理列出关于的不等式组，即可求解.
11．（2024高一下·保山期中）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的单调减区间为
C．图象的一条对称轴方程为
D．点是图象的一个对称中心
【答案】A,B,C
【知识点】正弦函数的性质；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、由题意可知，，所以，
因为，所以，所以，
又在的图象上，所以，
所以，解得，
又，所以，故选项A正确；
B、，令，
解得，
所以的单调减区间为，故选项B正确；
C、令，解得，当时，，故选项C正确；
D、令，解得，令，则，故选项D错误.
故选：ABC.
【分析】结合图象先求得A，T，进而求得，又在的图象上，结合正弦函数的性质求得，即可判断选项A；进而求得函数f(x)的解析式，根据正弦函数的单调性，对称性逐一判断选项B、C、D即可.
12．（2024高一下·保山期中）如图，四边形是梯形的直观图，四边形是等腰梯形，且，则梯形的周长为 .
【答案】
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：如图所示，过点作⊥于点，
易知，，由勾股定理可得，
原图形梯形如下图所示，过点作⊥于点，
易知，，，所以，
由勾股定理可得，
所以梯形的周长为.
故答案为：.
【分析】直观图中作出辅助线，先求出，进而作出原图形，根据斜二测画法的法则求出各梯形OABC的边长，即可求得梯形的周长 .
13．（2024高一下·保山期中）已知向量，若三点共线，则 .
【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意可知，，
因为三点共线，所以与共线，所以，解得.
故答案为：.
【分析】先利用向量加法坐标运算求得，进而利用向量共线的坐标运算列式求得m的值即可.
14．（2024高一下·保山期中）如图，三棱台的上、下底边长之比为，三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，则 .
【答案】
【知识点】锥体的体积公式及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由三棱台的上、下底边长之比为，可得上、下底面的面积比为，
设上底面面积为，则下底面面积为，设三棱台的高为，则点到平面的距离也为，所以，，
所以，
故答案为：.
【分析】因为点到平面的距离相等，所以，，利用锥体体积公式与棱台体积公式计算出三棱锥与三棱台的体积之比即可.
15．（2024高一下·保山期中）已知，复数是虚数单位.
（1）若是纯虚数，求的值；
（2）若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围.
【答案】（1）解：由题意可知，解得
所以.
（2）解：在复平面内对应的点为，
由题意可知，解得，
所以的取值范围是.
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【分析】（1）按照纯虚数的概念a=0，b≠0列方程组求出m的值即可；
（2）利用复数的几何意义，在复平面内对应的点位于第四象限，则a>0，b<0 列不等式组求出m的取值范围即可.
（1）因为是纯虚数，
所以
解得；
（2）在复平面内对应的点为，
由题意可得
解得，即的取值范围是.
16．（2024高一下·保山期中）已知向量，．
（1）若，求的值；
（2）若，向量与的夹角为锐角，求的取值范围．
【答案】（1）解：由题意可知，
∵，∴，
∴，
.
（2）解：由题意可知，
∵向量与的夹角为锐角，∴，且与不共线
，且，
∴的取值范围为，，．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）利用向量的坐标运算先求得，进而根据两向量垂直的条件列式求得的值即可；
（2）先求得 ，进而由向量与的夹角为锐角，可知，且与不共线，根据向量夹角与向量数量积的关系及共线向量的充要条件列方程组求出的取值范围即可.
（1）若，则，
，
，，
，，，
，
.
（2）向量与的夹角为锐角，则，
，，
，又，
，，
又当与的夹角为不符题意，
，
，
所以的取值范围为，，．
17．（2024高一下·保山期中）已知函数的图象经过点．
（1）求实数a的值；
（2）求函数的最小正周期和单调区间．
【答案】（1）解：将点代入得，即，所以
（2）解：由（1）得，
所以函数的最小正周期为，
令，；解得，，
令，，解得，，
故函数的单调递增区间为，
单调递减区间为．
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；辅助角公式
【解析】【分析】（1）将点代入列式计算求出实数a的值即可；
（2）先写出函数f(x)的解析式，进而利用辅助角公式将函数化为，进而利用正弦函数的周期公式和单调性计算求出函数的最小正周期和单调区间即可．
（1）将点代入得，
即，故；
（2）由（1）得，
所以函数的最小正周期为，
又函数的单调递增区间为，
单调递减区间为，
令，；
解得，，
令，，
解得，，
故函数的单调递增区间为，
单调递减区间为．
18．（2024高一下·保山期中）如图，一个圆台型花盆盆口直径为20cm，盆底直径为10cm，盆壁长（指圆台的母线长）13cm．
（1）求这个圆台型花盆的体积；
（2）现在为了美化花盆的外观，决定给花盆的侧面涂上一层油漆，每平方米需要花费10元，给这批1万个花盆全部涂上油漆，预计花费多少元？（第（2）问中取3.14）
【答案】（1）解：由题意可知，圆台型花盆的上底半径，下底半径，母线长，
由勾股定理可得，高，
所以体积，
所以这个圆台型花盆的体积为.
（2）解：圆台型花盆的侧面积，
所以（元），
所以给1万个同样的花盆全部涂上油漆预计花费6123元.
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）根据给定条件先求出圆台的高，进而利用圆台体积公式计算求出圆台型花盆的体积即可；
（2）先利用圆台的侧面积公式求出一个圆台型花盆的侧面积，再结合题设求解即得.
（1）圆台型花盆的上底半径，下底半径，母线长，则高，
体积，所以这个圆台型花盆的体积为.
（2）由（1）知，圆台型花盆的侧面积，
则（元），所以给1万个同样的花盆全部涂上油漆预计花费6123元.
19．（2024高一下·保山期中）在中，角所对的边分别为，且满足．
（1）求；
（2）若，求的最小值．
【答案】（1）解：
，即，
即；
（2）解：由余弦定理有，
当且仅当时取等号，故的最小值为1．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1) 根据题意利用正、余弦定理边角转化可得 ，即可得结果；
(2) 利用余弦定理结合基本不等式运算求解.
1 / 1
