第四章 《因式分解》3 公式法（1）—北师大版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2019·临沂）将 进行因式分解，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024七下·灌阳期中）下列各式中，不能进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八下·南海期中）已知a、b、c为的三边，且满足，则是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
4．（2020·柳州）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A．a2﹣b2 B．﹣a2﹣b2 C．a2+b2 D．a2+2ab+b2
5．（2024·云南） 分解因式：（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2018·漳州模拟）因式分解： = ．
7．（2019·株洲模拟）因式分解： ＝ .
8．（2025八下·合江开学考）因式分解： ．
9．（2018·覃塘模拟）因式分解： ．
10．（2024七上·杨浦期末）因式分解： ．
三、解答题（共4题，共50分）
11．分解因式：
（1）
（2）1-（x-1）2.
12． 将下列多项式分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
13．（2023·舟山）观察下面的等式：
（1）写出的结果．
（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
14．（2023八上·江津期中）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图①)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图②).
（1）上述操作能验证的等式是 ▲ ；
（2）应用你从(1)得出的等式，完成下列各题：
①已知x2 4y2=12，x+2y=4，求x 2y的值.
②计算：(1 )(1 )(1 )…(1 )(1 )．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】
，
故答案为：C．
【分析】可利用提取同类项和公式法进行因式分解。
2．【答案】D
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A中，由，可以因式分解，所以A不符合题意；
B中，由，可以因式分解，所以B不符合题意；
C中，由，可以因式分解，所以C不符合题意；
D中，由不可以因式分解，所以D符合题意．
故选：D．
【分析】不题考查了因式分解的方法，其中因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等，结合选项，逐项求解，即可得到答案.
3．【答案】C
【知识点】因式分解的应用；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或，
∴（舍去负值）或，
∴是等腰三角形或直角三角形．
故选：C．
【分析】
将等式左边和右边分别因式分解、 移项 、提取公因式，可求得(a2-b2)(c2 - (a2 + b2)) = 0，进而可得：或，可得或，进而判定三角形的形状．
4．【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、a2﹣b2符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解；
B、﹣a2﹣b2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
C、a2+b2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
D、a2+2ab+b2是三项，不能用平方差公式进行因式分解.
故答案为：A.
【分析】根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断后利用排除法求解.
5．【答案】A
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：由题意得=，
故答案为：A
【分析】先提取公因式a，进而运用平方差公式进行因式分解即可求解。
6．【答案】a（x+1）(x-1)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=a（x2-1）=a（x+1）（x-1），
故答案为：a（x+1）（x-1）.
【分析】先利用提公因式法，再利用平方差公式法分解到每一个因式都不能再分解为止。
7．【答案】2a(a+2)(a-2)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】 解： = .
故答案为： 2a(a+2)(a-2) .
【分析】先提取公因式2a，再根据平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)进行因式分解.
8．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】此题的二项式的各项有公因式“5”，故先提取公因式5，再用平方差公式将商式继续分解即可．
9．【答案】2x（x-3）（x+3）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=2x( )=2x(x+3)(x－3)．
【分析】首先提公因式2x，再将括号内的因式用平方差公式分解即可求解。
10．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：由，
故答案为：．
【分析】本题主要考查因式分解， 把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解，利用提取公因式法和平方差公式法，直接因式分解，即可得到答案．
11．【答案】（1）解：原式=（x-2+y）（x-2-y）；
（2）解：原式=[1+（x-1）][1-（x-1）]=x（2-x）.
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）把（x-2）看做一个整体，直接利用平方差公式进行因式分解；
（2）把（x-1）看做一个整体，直接利用平方差公式进行因式分解，进而再合并括号内的同类项即可.
12．【答案】（1）解：=（2x+3）（2x-3）
（2）解： =（5+4a）（5-4a）
（3）解： =（p+0.1q）（p-0.1q）
（4）解：= （m+n+n）（m+n-n）=m(m+2n)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】利用平方差公式分别进行因式分解即可.
13．【答案】（1）
（2）
（3）
。
∴结论正确．
【知识点】平方差公式及应用；因式分解的应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）；
（2）
【分析】（1）观察可得192-172的结果；
（2）观察可得等号右边的底数可表示为2n+1、2n-1，右边的式子可表示为8n，据此解答；
（3）根据平方差公式进行证明.
14．【答案】（1）a2-b2=（a+b）（a-b）
（2）解：①∵x2-4y2=（x+2y）（x-2y），
∴12=4（x-2y）
得：x-2y=3；
②原式=（1-）（1+）（1-）（1+）（1-）（1+）…（1-）（1+）（1-）（1+）===.
【知识点】平方差公式的几何背景；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1）第一个图形中阴影部分的面积是a2-b2，第二个图形的面积是（a+b）（a-b），
则a2-b2=（a+b）（a-b）．
故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b）；
【分析】（1）根据正方形和长方形的面积公式计算两个图形中阴影部分的面积，利用面积相等列出等式；
（2）①把x2-4y2利用（1）的结论写成两个式子相乘的形式，然后把x+2y=4代入即可求解；
②利用（1）的结论化成式子相乘的形式即可求解．
1 / 1第四章 《因式分解》3 公式法（1）—北师大版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2019·临沂）将 进行因式分解，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】
，
故答案为：C．
【分析】可利用提取同类项和公式法进行因式分解。
2．（2024七下·灌阳期中）下列各式中，不能进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A中，由，可以因式分解，所以A不符合题意；
B中，由，可以因式分解，所以B不符合题意；
C中，由，可以因式分解，所以C不符合题意；
D中，由不可以因式分解，所以D符合题意．
故选：D．
【分析】不题考查了因式分解的方法，其中因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等，结合选项，逐项求解，即可得到答案.
3．（2024八下·南海期中）已知a、b、c为的三边，且满足，则是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【知识点】因式分解的应用；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或，
∴（舍去负值）或，
∴是等腰三角形或直角三角形．
故选：C．
【分析】
将等式左边和右边分别因式分解、 移项 、提取公因式，可求得(a2-b2)(c2 - (a2 + b2)) = 0，进而可得：或，可得或，进而判定三角形的形状．
4．（2020·柳州）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A．a2﹣b2 B．﹣a2﹣b2 C．a2+b2 D．a2+2ab+b2
【答案】A
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、a2﹣b2符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解；
B、﹣a2﹣b2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
C、a2+b2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
D、a2+2ab+b2是三项，不能用平方差公式进行因式分解.
故答案为：A.
【分析】根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断后利用排除法求解.
5．（2024·云南） 分解因式：（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：由题意得=，
故答案为：A
【分析】先提取公因式a，进而运用平方差公式进行因式分解即可求解。
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2018·漳州模拟）因式分解： = ．
【答案】a（x+1）(x-1)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=a（x2-1）=a（x+1）（x-1），
故答案为：a（x+1）（x-1）.
【分析】先利用提公因式法，再利用平方差公式法分解到每一个因式都不能再分解为止。
7．（2019·株洲模拟）因式分解： ＝ .
【答案】2a(a+2)(a-2)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】 解： = .
故答案为： 2a(a+2)(a-2) .
【分析】先提取公因式2a，再根据平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)进行因式分解.
8．（2025八下·合江开学考）因式分解： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】此题的二项式的各项有公因式“5”，故先提取公因式5，再用平方差公式将商式继续分解即可．
9．（2018·覃塘模拟）因式分解： ．
【答案】2x（x-3）（x+3）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=2x( )=2x(x+3)(x－3)．
【分析】首先提公因式2x，再将括号内的因式用平方差公式分解即可求解。
10．（2024七上·杨浦期末）因式分解： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：由，
故答案为：．
【分析】本题主要考查因式分解， 把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解，利用提取公因式法和平方差公式法，直接因式分解，即可得到答案．
三、解答题（共4题，共50分）
11．分解因式：
（1）
（2）1-（x-1）2.
【答案】（1）解：原式=（x-2+y）（x-2-y）；
（2）解：原式=[1+（x-1）][1-（x-1）]=x（2-x）.
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）把（x-2）看做一个整体，直接利用平方差公式进行因式分解；
（2）把（x-1）看做一个整体，直接利用平方差公式进行因式分解，进而再合并括号内的同类项即可.
12． 将下列多项式分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：=（2x+3）（2x-3）
（2）解： =（5+4a）（5-4a）
（3）解： =（p+0.1q）（p-0.1q）
（4）解：= （m+n+n）（m+n-n）=m(m+2n)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【分析】利用平方差公式分别进行因式分解即可.
13．（2023·舟山）观察下面的等式：
（1）写出的结果．
（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【答案】（1）
（2）
（3）
。
∴结论正确．
【知识点】平方差公式及应用；因式分解的应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）；
（2）
【分析】（1）观察可得192-172的结果；
（2）观察可得等号右边的底数可表示为2n+1、2n-1，右边的式子可表示为8n，据此解答；
（3）根据平方差公式进行证明.
14．（2023八上·江津期中）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图①)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图②).
（1）上述操作能验证的等式是 ▲ ；
（2）应用你从(1)得出的等式，完成下列各题：
①已知x2 4y2=12，x+2y=4，求x 2y的值.
②计算：(1 )(1 )(1 )…(1 )(1 )．
【答案】（1）a2-b2=（a+b）（a-b）
（2）解：①∵x2-4y2=（x+2y）（x-2y），
∴12=4（x-2y）
得：x-2y=3；
②原式=（1-）（1+）（1-）（1+）（1-）（1+）…（1-）（1+）（1-）（1+）===.
【知识点】平方差公式的几何背景；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1）第一个图形中阴影部分的面积是a2-b2，第二个图形的面积是（a+b）（a-b），
则a2-b2=（a+b）（a-b）．
故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b）；
【分析】（1）根据正方形和长方形的面积公式计算两个图形中阴影部分的面积，利用面积相等列出等式；
（2）①把x2-4y2利用（1）的结论写成两个式子相乘的形式，然后把x+2y=4代入即可求解；
②利用（1）的结论化成式子相乘的形式即可求解．
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