第四章 《因式分解》3 公式法（2）—北师大版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2024八下·贵阳期中）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·成安期末）甲、乙两位同学在对多项式分解因式时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么的值为（ ）
A．15 B． C．25 D．
3．（2020八下·渠县期末）把多项式ax3﹣2ax2+ax分解因式，结果正确的是（ ）
A．ax（x2﹣2x） B．ax2（x﹣2）
C．ax（x+1）（x﹣1） D．ax（x﹣1）2
4．（2023八下·泗县期中）若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式，则a的值为（ ）
A．1 B．5 C． D．
5．（2023八下·西安期末）已知，，则的值为（ ）
A．-2 B．1 C．-1 D．2
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2024八下·榆树开学考）分解因式： ．
7．（2024八下·金牛期末）已知，，则 ．
8．（2024八下·哈尔滨开学考）因式分解： ．
9．（2017八下·吉安期末）已知a+b=2，则 a2+ab+ b2=
10．（2024八下·三水期中）如图，四个图形能拼成一个大长方形，据此可写出个多项式的因式分解： ．
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2024八下·信宜月考）分解因式：
（1）；
（2）．
12．（2024八下·新城期中）（1）因式分解：．
（2）利用因式分解计算：．
13．（2024八下·胶州月考）学习了乘法公式后，老师向同学们提出了如下问题：
①将多项式因式分解；
①
②求多项式的最小值．
②由①，得，因为，所以．所以，当时，的值最小，且最小值为-1．
请你运用上述方法解决下列问题：
（1）将多项式因式分解；
（2）求多项式的最小值；
（3）若多项式比较多项式的大小．
14．（2022八下·薛城期末）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，则，
即，
∴，解得．
故另一个因式为，m的值为－21．
仿照上面的方法解答下面问题：
已知二次三项式有一个因式是x-5，求另一个因式以及k的值．
15．（2023八下·达川期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、添项拆项法、十字相乘法等等．①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．
例如：
②十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．
分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写在十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法．
例如： 分析：
观察得出：两个因式分别为与
解：原式
③添项拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．
例如：．
（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法） ；
②（十字相乘法） ；
（2）已知：a、b、c为的三条边，，判断的形状．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：A、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意；
B、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意；
C、是因式分解，符合题意；
D、，因式分解不彻底，不符合题意；
故选：C．
【分析】
把一个多项式表示成几个整式乘积的形式，把这种变形叫做因式分解，即因式分解的结果必须是几个整式乘积的形式，同时在实数范围内每一个因式都不能再分解为止．
2．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，，
甲看错了的值，分解的结果是，
，
乙看错了的值，分解的结果是，
，
．
故答案为：B．
【分析】利用甲的结果得到c，乙的结果得到b，再代入计算解题．
3．【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】原式=ax（x2﹣2x+1）=ax（x﹣1）2，
故答案为：D．
【分析】先提取公因式ax，再根据完全平方公式把x2﹣2x+1继续分解即可.
4．【答案】A
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解： 多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式，
由多项式的乘法运算法则可得另一个因式的一次项为x， 常数项为
故答案为：A
【分析】根据题意先求出，再求出a=1即可作答。
5．【答案】D
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：原式=
=，
，，
则原式==2.
故答案为：D.
【分析】先将多项式化简，利用提取公因式以及完全平方式化简再将值代入即可.
6．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】xy2+6xy+9x=x(y2+6y+9)=x(y+3)2
故答案为：x(y+3)2。
【分析】先提公因式x，再用完全平方公式分解即可。
7．【答案】24
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：，，
．
故答案为：24
【分析】首先把多项式进行因式分解，然后再整体代入求值即可。
8．【答案】a(x-3)2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：ax2-6ax+9a=a(x2-6x+9)=a(x-3)2.
故答案为：a(x-3)2.
【分析】先利用提取公因式分解，再利用完全平方公式分解到每一个因式都不能再分解为止.
9．【答案】2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：∵a+b=2，
∴ = （a2+2ab+b2）= （a+b）2= ×22=2．
故答案为：2．
【分析】首先将原式提取公因式 ，进而配方得出原式= （a+b）2，即可得出答案．
10．【答案】
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：将四个图形平成一个大长方形，如图所示，
则大长方形的长为 ，宽为，
图形①的面积为：，
图形②的面积为：，
图形③的面积为：，
图形④的面积为：，
大长方形的面积为：，
∴，
即，
故答案为：．
【分析】利用“ 四个图形面积之和等于大长方形的面积 ”画出图形并求解即可.
11．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）先提取公因式2，再利用平方差公式进行第二次分解即可；
（2）先提取公因式(2-y)，再利用平方差公式进行第二次分解即可.
12．【答案】（1）解：原式
．
（2）解：原式．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）利用平方差公式因式分解，再提公因式法，即可求得；
（2）利用完全平方和公式，即可求得.
13．【答案】（1）解：
；
（2）解：
∵，
∴，
∴多项式的最小值．
（3）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴即．
【知识点】整式的加减运算；因式分解﹣公式法；完全平方式
【解析】【分析】（1）根据题意利用完全平方公式及平方差公式进行因式分解即可；
（2）先配方，再利用即可解决问题；
（3）利用作差法及配方法求解即可．
（1）解：
；
（2）解：
∵，
∴，
∴多项式的最小值．
（3）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴即．
14．【答案】解：设另一个因式为x＋p，
由题意得：，
即，
则有，
解得，
所以另一个因式为：（x＋8），k的值为40．
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】设另一个因式为x＋p，根据题意列出算式，再利用待定系数法可得，求出p、k的值即可。
15．【答案】（1）；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理；因式分解﹣十字相乘法；因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：（1）①原式=a（b-1）-（b-1）= ；
②原式= ；
故答案为：，；
【分析】（1）①先分组，再利用提公因式法分解即可；
②利用十字相乘法分解即可；
（2）先移项再分组得 ， 即得 ， 根据偶次幂的非负性求出a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理进行解答即可.
1 / 1第四章 《因式分解》3 公式法（2）—北师大版数学八（下） 课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．（2024八下·贵阳期中）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：A、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意；
B、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意；
C、是因式分解，符合题意；
D、，因式分解不彻底，不符合题意；
故选：C．
【分析】
把一个多项式表示成几个整式乘积的形式，把这种变形叫做因式分解，即因式分解的结果必须是几个整式乘积的形式，同时在实数范围内每一个因式都不能再分解为止．
2．（2024八下·成安期末）甲、乙两位同学在对多项式分解因式时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么的值为（ ）
A．15 B． C．25 D．
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，，
甲看错了的值，分解的结果是，
，
乙看错了的值，分解的结果是，
，
．
故答案为：B．
【分析】利用甲的结果得到c，乙的结果得到b，再代入计算解题．
3．（2020八下·渠县期末）把多项式ax3﹣2ax2+ax分解因式，结果正确的是（ ）
A．ax（x2﹣2x） B．ax2（x﹣2）
C．ax（x+1）（x﹣1） D．ax（x﹣1）2
【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】原式=ax（x2﹣2x+1）=ax（x﹣1）2，
故答案为：D．
【分析】先提取公因式ax，再根据完全平方公式把x2﹣2x+1继续分解即可.
4．（2023八下·泗县期中）若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式，则a的值为（ ）
A．1 B．5 C． D．
【答案】A
【知识点】实数范围内分解因式
【解析】【解答】解： 多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式，
由多项式的乘法运算法则可得另一个因式的一次项为x， 常数项为
故答案为：A
【分析】根据题意先求出，再求出a=1即可作答。
5．（2023八下·西安期末）已知，，则的值为（ ）
A．-2 B．1 C．-1 D．2
【答案】D
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：原式=
=，
，，
则原式==2.
故答案为：D.
【分析】先将多项式化简，利用提取公因式以及完全平方式化简再将值代入即可.
二、填空题（每题5分，共25分）
6．（2024八下·榆树开学考）分解因式： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】xy2+6xy+9x=x(y2+6y+9)=x(y+3)2
故答案为：x(y+3)2。
【分析】先提公因式x，再用完全平方公式分解即可。
7．（2024八下·金牛期末）已知，，则 ．
【答案】24
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：，，
．
故答案为：24
【分析】首先把多项式进行因式分解，然后再整体代入求值即可。
8．（2024八下·哈尔滨开学考）因式分解： ．
【答案】a(x-3)2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：ax2-6ax+9a=a(x2-6x+9)=a(x-3)2.
故答案为：a(x-3)2.
【分析】先利用提取公因式分解，再利用完全平方公式分解到每一个因式都不能再分解为止.
9．（2017八下·吉安期末）已知a+b=2，则 a2+ab+ b2=
【答案】2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：∵a+b=2，
∴ = （a2+2ab+b2）= （a+b）2= ×22=2．
故答案为：2．
【分析】首先将原式提取公因式 ，进而配方得出原式= （a+b）2，即可得出答案．
10．（2024八下·三水期中）如图，四个图形能拼成一个大长方形，据此可写出个多项式的因式分解： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：将四个图形平成一个大长方形，如图所示，
则大长方形的长为 ，宽为，
图形①的面积为：，
图形②的面积为：，
图形③的面积为：，
图形④的面积为：，
大长方形的面积为：，
∴，
即，
故答案为：．
【分析】利用“ 四个图形面积之和等于大长方形的面积 ”画出图形并求解即可.
三、解答题（共5题，共50分）
11．（2024八下·信宜月考）分解因式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）先提取公因式2，再利用平方差公式进行第二次分解即可；
（2）先提取公因式(2-y)，再利用平方差公式进行第二次分解即可.
12．（2024八下·新城期中）（1）因式分解：．
（2）利用因式分解计算：．
【答案】（1）解：原式
．
（2）解：原式．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】（1）利用平方差公式因式分解，再提公因式法，即可求得；
（2）利用完全平方和公式，即可求得.
13．（2024八下·胶州月考）学习了乘法公式后，老师向同学们提出了如下问题：
①将多项式因式分解；
①
②求多项式的最小值．
②由①，得，因为，所以．所以，当时，的值最小，且最小值为-1．
请你运用上述方法解决下列问题：
（1）将多项式因式分解；
（2）求多项式的最小值；
（3）若多项式比较多项式的大小．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
∵，
∴，
∴多项式的最小值．
（3）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴即．
【知识点】整式的加减运算；因式分解﹣公式法；完全平方式
【解析】【分析】（1）根据题意利用完全平方公式及平方差公式进行因式分解即可；
（2）先配方，再利用即可解决问题；
（3）利用作差法及配方法求解即可．
（1）解：
；
（2）解：
∵，
∴，
∴多项式的最小值．
（3）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴即．
14．（2022八下·薛城期末）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，则，
即，
∴，解得．
故另一个因式为，m的值为－21．
仿照上面的方法解答下面问题：
已知二次三项式有一个因式是x-5，求另一个因式以及k的值．
【答案】解：设另一个因式为x＋p，
由题意得：，
即，
则有，
解得，
所以另一个因式为：（x＋8），k的值为40．
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】设另一个因式为x＋p，根据题意列出算式，再利用待定系数法可得，求出p、k的值即可。
15．（2023八下·达川期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、添项拆项法、十字相乘法等等．①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．
例如：
②十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．
分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写在十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法．
例如： 分析：
观察得出：两个因式分别为与
解：原式
③添项拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．
例如：．
（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：
①（分组分解法） ；
②（十字相乘法） ；
（2）已知：a、b、c为的三条边，，判断的形状．
【答案】（1）；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理；因式分解﹣十字相乘法；因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：（1）①原式=a（b-1）-（b-1）= ；
②原式= ；
故答案为：，；
【分析】（1）①先分组，再利用提公因式法分解即可；
②利用十字相乘法分解即可；
（2）先移项再分组得 ， 即得 ， 根据偶次幂的非负性求出a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理进行解答即可.
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