沪科版数学七年级下册8.4因式分解解法类型汇总（同步测试）
一、因式分解的概念
1．（2023·济宁）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．将下列每个多项式与因式分解适用的方法连线．
3．（2023八上·大余月考）下面是甲同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
．（第四步）
回答下列问题：
（1）甲同学第二步到第三步运用了因式分解的 ．（填写序号）
①提公因式法 ②平方差公式法 ③两数和的完全平方公式法
（2）通过观察，我们知道甲同学因式分解的结果不彻底，请直接写出因式分解的结果： ．
（3）请尝试对多项式进行因式分解．
二、提公因式法
4．（2023·广西） 分解因式：a2 + 5a = .
5．（2024七上·宝山期末）因式分解： ．
6．（2024七下·义乌期中）因式分解： ．
三、公式法
7．把多项式 分解因式， 结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．分解因式：
（1）
（2）
9．（2024七下·临平月考）因式分解：
（1）.
（2）.
四、分组分解法
10．（2024七上·松江月考）分解因式： ．
11．（2024七上·上海市月考）因式分解：；
12．（2024七上·上海市月考）因式分解：．
13．（2024七上·徐汇期中）因式分解：．
14．（2025八上·江汉期末）阅读材料：要把多项式分解因式，可以先把它进行分组再分解因式：，这种分解因式的方法叫做分组分解法．
（1）请用上述方法分解因式：；
（2）已知，，求式子的值；
（3）分解因式：______．
15．（2024七上·徐汇期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0．
利用上述规律，回答下列问题：
（1）若是多项式的一个因式，求k的值．
（2）若和是多项式的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解．
（3）分解因式：．
16．（2024八上·衡阳期中）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
例1：“两两分组”： 解：原式 ． 例2：“三一分组”： 解：原式 ．
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．
请同学们在阅读材料的启发下解答下列问题：
分解因式：
（1）；
（2）．
五、添项拆项法
17．因式分解：
（1）；
（2）．
18．（2021七下·余姚期末）【学习材料】﹣﹣﹣拆项添项法
在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项
例1分解因式：x4+4
解：原式＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2﹣2x+2）（x2+2x+2）
例2分解因式：x3+5x﹣6
解：原式＝x3﹣x+6x﹣6＝x（x2﹣1）+6（x﹣1）＝（x﹣1）（x2+x+6）
【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题：
（1）分解因式：x2+16x﹣36＝ ．
（2）运用拆项添项法分解因式：x4+4y4．
（3）化简： ．
19．（2024八上·栖霞期中）《义务教育数学课程标准（2022年版）》关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力． 因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法—拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式转化为已学过的知识进行分解．
例题：用拆项补项法分解因式
解：添加两项
原式
请你结合自己的思考和理解完成下列各题：
（1）分解因式：；
（2）分解因式：．
六、阅读新定义型（其他解法）
20．（2019七下·新田期中）在求代数式的值时，当单个字母不能或不用求出时，可把已条件作为一个整体，通过整体代入，实现降次、消元、归零、约分等，快速求得其结果．如：已知 ， ，求代数式 的值．可以这样思考：
因为 ，
所以
即
所以
举一反三：
（1）已知 ， ，求 的值．
（2）已知 ，则 的值．
（3）已知 ，求 的值．
七、十字相乘法
21．（2024八上·宽城期末）分解因式： ．
22．（2025八上·松江期末）在实数范围内分解因式： ．
23．（2025七上·上海市期末）因式分解： ．
24．（2024八上·防城月考）【材料阅读】利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解因式的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则．
根据阅读材料解决下列问题：
（1）用十字相乘法分解因式：，
④______．
（2）如果，其中均为整数，求的值．
25．（2024八上·遵义期末）睿睿自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示，仿照上述解决下列问题：
（1）因式分解：；
睿睿做了如下分析：
一次项为：，则常数项为：；
则________；________；
∴（____）（____）
（2）因式分解：；
26．（2024七下·岳阳期中）如图，大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的．
观察猜想：请根据此图填空：（______）（______）．
说理验证：事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形：
（______）（______）（提示：提公因式）（______）（______）．
于是，我们可以利用此方法进行多项式的因式分解．
尝试运用：例题：把多项式因式分解．
请利用上述方法将下列多项式因式分解：
（1）；
（2）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：
A、从左到右的变形不为因式分解，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据因式分解的定义结合题意运用公式法、提公因式法、十字相乘法进行因式分解即可求解。
2．【答案】解：①2a2-2a=2a（a-1），根据提公因式法因式分解；
②b2+6b+9=（b+3）2，根据完全平方公式因式分解；
③4-c2=（2-c）（2+c），根据平方差公式因式分解；
④4x2-12x+9=（2x-3）2，根据完全平方公式因式分解；
⑤2（a-b）2-a+b=（a-b）（2a-2b-1），根据提公因式法因式分解；
∴.
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】先将多项式分别因式分解，再根据因式分解的方法连线即可.
3．【答案】（1）③
（2）
（3）设：，
原式
．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1） 甲同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式法.
故答案为：③.
（2）设，原式，故答案为：．
【分析】（1）直接根据因式分解的方程进行求解即可；
（2）最后一步再进行完全平方公式进行分解即可；
（3）仿照题目中的解题过程， 设：， 使 原式 ，再进行分解即可.
4．【答案】a(a+5)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： a2 + 5a =a(a+5).
故答案为：a(a+5)
【分析】观察此多项式的特点：含有公因式a，因此利用提公因式法分解因式.
5．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：；
故答案为：
【分析】提公因式进行因式分解即可求出答案.
6．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
7．【答案】D
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解： .
故答案为：D.
【分析】先将4改写成，再运用公式法（平方差公式）因式分解，并对每个因式进行合并同类项.
8．【答案】（1）解：；
（2）解：.
【知识点】因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】（1） 此题的二项式中，每一项都能写成一个整式的完全平方，且两项的符号相反，故直接使用平方差公式分解因式即可；
（2）此题的三项式中，首项与尾项都能写成一个整式的完全平方，且两项的符号相同，中间项能写成首尾项底数乘积的2倍，故直接利用完全平方公式分解即可.
9．【答案】（1）.
（2）＝
＝．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】第（1）小题着重考查了平方差公式，即a2-b2=(a+b)(a-b).
第（2）小题着重考查了完全平方公式，即(a+b)2=a2+2ab+b2.
10．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解-分组分解法
11．【答案】
【知识点】因式分解-分组分解法
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-分组分解法
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-分组分解法
14．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】因式分解-分组分解法
15．【答案】（1）；
（2）m、n的值分别为和0；
（3）
【知识点】因式分解的应用；因式分解﹣十字相乘法；因式分解-分组分解法；加减消元法解二元一次方程组
16．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解-分组分解法
【解析】【分析】本题考查因式分解．
（1）根据“两两分组”中的例题因式分解可得：原式，再提取公因式x-y可分解出因式；
（2）根据“三一分组”中的例题写出因式分解可得：原式，利用完全平方公式进行计算可得：原式，再利用平方差公式进行因式分解可求出答案.
（1）解：
；
（2）解：
．
17．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【分析】(1)此题先采用分组分解法，再采用十字交叉相乘法因式分解。具体做法是，先把前两项a3b-ab3提公因式，分解为ab（a2-b2）=ab(a+b)(a-b)，再把a、b分别乘到括号里，变形为（ab+b2）（a2-ab），最后把（ab+b2）（a2-ab）+a2+b2+1十字交叉相乘，即可分解为（ab+b2+1）（a2-ab+1）.
（2）此题先采用分组分解法，再采用平方差公式因式分解。具体做法是：先把-4b2+4bc-c2 变形为：
-（4b2-4bc+c2）= -（2b-c）2，再把 9a2-（2b-c）2 分解为（3a+2b-c）·（3a-2b+c），即可.
18．【答案】（1）（x+18）（x-2）
（2）解：原式=x4+4x2y2+4y4-4x2y2=（x2+2y2）2-4x2y2=（x2+2xy+2y2）（x2-2xy+2y2）；
（3）解：由题意得，
原式=.
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1）x2+16x﹣36
=x2+16x+64-64﹣36
=（x+8）2-100
=（x+8+10）（x+8-10）
=（x+18）（x-2），
故答案为：（x+18）（x-2）；
【分析】（1）根据拆项添项法结合平方差公式和完全平方公式进行因式分解即可求解；
（2）根据拆项添项法结合平方差公式和完全平方公式进行因式分解即可求解；
（3）根据拆项添项法结合提公因式对式子进行因式分解，再约分即可求解.
19．【答案】（1）
（2）
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣十字相乘法；因式分解-分组分解法
20．【答案】（1）解：因为（a-b）2=12, （a+b）2=18
所以（a+b）2-（a-b）2＝28-12
所以a2+b2+2ab-(a2+b2-2ab)＝16
即4ab=16
ab=4
（2）解：因为 所以 所以
所以 所以 所以 所以
所以
（3）解：因为 ，所以
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝-1+2019
＝2018
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用；因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）用完全平方公式展开，然后两式做减法可得到4ab=16，即ab=4；（2）根据 可得到 ，然后再根据 得到 ；（3）把 局部进行提取公因式，然后将 整体代入即可
21．【答案】
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
22．【答案】
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
23．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解﹣十字相乘法
24．【答案】（1）；；3；
（2）或
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
25．【答案】（1）2，4，2，4
（2）解：一次项为：，则常数项为，
则
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】（1）解：一次项为：，则常数项为，则；；
所以．
故答案为：2，4，2，4．
【分析】（1）根据十字相乘法因式分解解题；
（2）根据十字相乘法因式分解解题．
（1）解：一次项为：，则常数项为，则；；
所以．
故答案为：2，4，2，4．
（2）解：一次项为：，则常数项为，
则．
26．【答案】观察猜想：，；说理验证：，，，；
解：（1）
；
（2）
．
【知识点】因式分解的应用；因式分解﹣十字相乘法；因式分解-分组分解法；猜想与证明
【解析】【解答】解；观察猜想：由图可知四个小长方形的面积之和等于大长方形的面积，即，
故答案诶：；
说理验证：由题意得，
故答案为：，，，；
【分析】观察猜想：由图可知四个小长方形的面积之和等于大长方形的面积，结合小长方形的面积公式计算即可求解；
说理验证：先提取公因式x和q分组分解因式，再提取公因式进行分解因式即可；
（1）仿照题意分解因式即可求解；
（2）把看作一个整体，仿照题意分解因式即可求解．
1 / 1沪科版数学七年级下册8.4因式分解解法类型汇总（同步测试）
一、因式分解的概念
1．（2023·济宁）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：
A、从左到右的变形不为因式分解，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据因式分解的定义结合题意运用公式法、提公因式法、十字相乘法进行因式分解即可求解。
2．将下列每个多项式与因式分解适用的方法连线．
【答案】解：①2a2-2a=2a（a-1），根据提公因式法因式分解；
②b2+6b+9=（b+3）2，根据完全平方公式因式分解；
③4-c2=（2-c）（2+c），根据平方差公式因式分解；
④4x2-12x+9=（2x-3）2，根据完全平方公式因式分解；
⑤2（a-b）2-a+b=（a-b）（2a-2b-1），根据提公因式法因式分解；
∴.
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【分析】先将多项式分别因式分解，再根据因式分解的方法连线即可.
3．（2023八上·大余月考）下面是甲同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
．（第四步）
回答下列问题：
（1）甲同学第二步到第三步运用了因式分解的 ．（填写序号）
①提公因式法 ②平方差公式法 ③两数和的完全平方公式法
（2）通过观察，我们知道甲同学因式分解的结果不彻底，请直接写出因式分解的结果： ．
（3）请尝试对多项式进行因式分解．
【答案】（1）③
（2）
（3）设：，
原式
．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1） 甲同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式法.
故答案为：③.
（2）设，原式，故答案为：．
【分析】（1）直接根据因式分解的方程进行求解即可；
（2）最后一步再进行完全平方公式进行分解即可；
（3）仿照题目中的解题过程， 设：， 使 原式 ，再进行分解即可.
二、提公因式法
4．（2023·广西） 分解因式：a2 + 5a = .
【答案】a(a+5)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： a2 + 5a =a(a+5).
故答案为：a(a+5)
【分析】观察此多项式的特点：含有公因式a，因此利用提公因式法分解因式.
5．（2024七上·宝山期末）因式分解： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：；
故答案为：
【分析】提公因式进行因式分解即可求出答案.
6．（2024七下·义乌期中）因式分解： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
三、公式法
7．把多项式 分解因式， 结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解： .
故答案为：D.
【分析】先将4改写成，再运用公式法（平方差公式）因式分解，并对每个因式进行合并同类项.
8．分解因式：
（1）
（2）
【答案】（1）解：；
（2）解：.
【知识点】因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】（1） 此题的二项式中，每一项都能写成一个整式的完全平方，且两项的符号相反，故直接使用平方差公式分解因式即可；
（2）此题的三项式中，首项与尾项都能写成一个整式的完全平方，且两项的符号相同，中间项能写成首尾项底数乘积的2倍，故直接利用完全平方公式分解即可.
9．（2024七下·临平月考）因式分解：
（1）.
（2）.
【答案】（1）.
（2）＝
＝．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【分析】第（1）小题着重考查了平方差公式，即a2-b2=(a+b)(a-b).
第（2）小题着重考查了完全平方公式，即(a+b)2=a2+2ab+b2.
四、分组分解法
10．（2024七上·松江月考）分解因式： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解-分组分解法
11．（2024七上·上海市月考）因式分解：；
【答案】
【知识点】因式分解-分组分解法
12．（2024七上·上海市月考）因式分解：．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-分组分解法
13．（2024七上·徐汇期中）因式分解：．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-分组分解法
14．（2025八上·江汉期末）阅读材料：要把多项式分解因式，可以先把它进行分组再分解因式：，这种分解因式的方法叫做分组分解法．
（1）请用上述方法分解因式：；
（2）已知，，求式子的值；
（3）分解因式：______．
【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】因式分解-分组分解法
15．（2024七上·徐汇期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0．
利用上述规律，回答下列问题：
（1）若是多项式的一个因式，求k的值．
（2）若和是多项式的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解．
（3）分解因式：．
【答案】（1）；
（2）m、n的值分别为和0；
（3）
【知识点】因式分解的应用；因式分解﹣十字相乘法；因式分解-分组分解法；加减消元法解二元一次方程组
16．（2024八上·衡阳期中）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
例1：“两两分组”： 解：原式 ． 例2：“三一分组”： 解：原式 ．
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．
请同学们在阅读材料的启发下解答下列问题：
分解因式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解-分组分解法
【解析】【分析】本题考查因式分解．
（1）根据“两两分组”中的例题因式分解可得：原式，再提取公因式x-y可分解出因式；
（2）根据“三一分组”中的例题写出因式分解可得：原式，利用完全平方公式进行计算可得：原式，再利用平方差公式进行因式分解可求出答案.
（1）解：
；
（2）解：
．
五、添项拆项法
17．因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【分析】(1)此题先采用分组分解法，再采用十字交叉相乘法因式分解。具体做法是，先把前两项a3b-ab3提公因式，分解为ab（a2-b2）=ab(a+b)(a-b)，再把a、b分别乘到括号里，变形为（ab+b2）（a2-ab），最后把（ab+b2）（a2-ab）+a2+b2+1十字交叉相乘，即可分解为（ab+b2+1）（a2-ab+1）.
（2）此题先采用分组分解法，再采用平方差公式因式分解。具体做法是：先把-4b2+4bc-c2 变形为：
-（4b2-4bc+c2）= -（2b-c）2，再把 9a2-（2b-c）2 分解为（3a+2b-c）·（3a-2b+c），即可.
18．（2021七下·余姚期末）【学习材料】﹣﹣﹣拆项添项法
在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项
例1分解因式：x4+4
解：原式＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2﹣2x+2）（x2+2x+2）
例2分解因式：x3+5x﹣6
解：原式＝x3﹣x+6x﹣6＝x（x2﹣1）+6（x﹣1）＝（x﹣1）（x2+x+6）
【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题：
（1）分解因式：x2+16x﹣36＝ ．
（2）运用拆项添项法分解因式：x4+4y4．
（3）化简： ．
【答案】（1）（x+18）（x-2）
（2）解：原式=x4+4x2y2+4y4-4x2y2=（x2+2y2）2-4x2y2=（x2+2xy+2y2）（x2-2xy+2y2）；
（3）解：由题意得，
原式=.
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：（1）x2+16x﹣36
=x2+16x+64-64﹣36
=（x+8）2-100
=（x+8+10）（x+8-10）
=（x+18）（x-2），
故答案为：（x+18）（x-2）；
【分析】（1）根据拆项添项法结合平方差公式和完全平方公式进行因式分解即可求解；
（2）根据拆项添项法结合平方差公式和完全平方公式进行因式分解即可求解；
（3）根据拆项添项法结合提公因式对式子进行因式分解，再约分即可求解.
19．（2024八上·栖霞期中）《义务教育数学课程标准（2022年版）》关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力． 因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法—拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式转化为已学过的知识进行分解．
例题：用拆项补项法分解因式
解：添加两项
原式
请你结合自己的思考和理解完成下列各题：
（1）分解因式：；
（2）分解因式：．
【答案】（1）
（2）
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣十字相乘法；因式分解-分组分解法
六、阅读新定义型（其他解法）
20．（2019七下·新田期中）在求代数式的值时，当单个字母不能或不用求出时，可把已条件作为一个整体，通过整体代入，实现降次、消元、归零、约分等，快速求得其结果．如：已知 ， ，求代数式 的值．可以这样思考：
因为 ，
所以
即
所以
举一反三：
（1）已知 ， ，求 的值．
（2）已知 ，则 的值．
（3）已知 ，求 的值．
【答案】（1）解：因为（a-b）2=12, （a+b）2=18
所以（a+b）2-（a-b）2＝28-12
所以a2+b2+2ab-(a2+b2-2ab)＝16
即4ab=16
ab=4
（2）解：因为 所以 所以
所以 所以 所以 所以
所以
（3）解：因为 ，所以
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝-1+2019
＝2018
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用；因式分解﹣提公因式法
【解析】【分析】（1）用完全平方公式展开，然后两式做减法可得到4ab=16，即ab=4；（2）根据 可得到 ，然后再根据 得到 ；（3）把 局部进行提取公因式，然后将 整体代入即可
七、十字相乘法
21．（2024八上·宽城期末）分解因式： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
22．（2025八上·松江期末）在实数范围内分解因式： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
23．（2025七上·上海市期末）因式分解： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解﹣十字相乘法
24．（2024八上·防城月考）【材料阅读】利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以为未知数，为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二次项系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解因式的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则．
根据阅读材料解决下列问题：
（1）用十字相乘法分解因式：，
④______．
（2）如果，其中均为整数，求的值．
【答案】（1）；；3；
（2）或
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
25．（2024八上·遵义期末）睿睿自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示，仿照上述解决下列问题：
（1）因式分解：；
睿睿做了如下分析：
一次项为：，则常数项为：；
则________；________；
∴（____）（____）
（2）因式分解：；
【答案】（1）2，4，2，4
（2）解：一次项为：，则常数项为，
则
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】（1）解：一次项为：，则常数项为，则；；
所以．
故答案为：2，4，2，4．
【分析】（1）根据十字相乘法因式分解解题；
（2）根据十字相乘法因式分解解题．
（1）解：一次项为：，则常数项为，则；；
所以．
故答案为：2，4，2，4．
（2）解：一次项为：，则常数项为，
则．
26．（2024七下·岳阳期中）如图，大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的．
观察猜想：请根据此图填空：（______）（______）．
说理验证：事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形：
（______）（______）（提示：提公因式）（______）（______）．
于是，我们可以利用此方法进行多项式的因式分解．
尝试运用：例题：把多项式因式分解．
请利用上述方法将下列多项式因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】观察猜想：，；说理验证：，，，；
解：（1）
；
（2）
．
【知识点】因式分解的应用；因式分解﹣十字相乘法；因式分解-分组分解法；猜想与证明
【解析】【解答】解；观察猜想：由图可知四个小长方形的面积之和等于大长方形的面积，即，
故答案诶：；
说理验证：由题意得，
故答案为：，，，；
【分析】观察猜想：由图可知四个小长方形的面积之和等于大长方形的面积，结合小长方形的面积公式计算即可求解；
说理验证：先提取公因式x和q分组分解因式，再提取公因式进行分解因式即可；
（1）仿照题意分解因式即可求解；
（2）把看作一个整体，仿照题意分解因式即可求解．
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