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北师大版2024—2025学年八年级下册期中复习真题集训卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若，则下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
2． 如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到，以下结论：①，②，③，④，正确的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
3． 如图，在中，已知，，平分交边于点E，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中（ ）
A．至少有一个角是钝角或直角 B．没有一个角是锐角
C．没有一个角是钝角或直角 D．每一个角都是钝角或直角
5．在欧拉的著作《代数引论》中有这样一道趣题：两个农妇一共带着100个鸡蛋去集市，两人所带鸡蛋个数不等，但卖得的钱数相同．甲农妇说：“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖得15个铜板．”乙农妇答道：“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖得个铜板．”试问这两名农妇各带了多少个鸡蛋？设甲农妇带了x个鸡蛋，列出方程，现有以下结论：
①甲农妇所卖鸡蛋的单价是个铜板；②乙农妇所卖鸡蛋的单价是个铜板；③100个鸡蛋所卖得的钱数是个铜板；④所列方程依据的等量关系是甲、乙农妇卖得的钱数相同．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
6．下列图形中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥2且x≠3 B．x≠2 C．x≥2且x≠3 D．x≠2
8．若等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为（ ）
A． B．
C． D．或
9．如图，在△ABC中，D，E分别是边 AB，BC的中点，点F 在射线DE 上.添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是（ ）
A．∠B=∠F B．DE=EF C．AC=CF D．AD=CF
10．若整数a使关于x的分式方程的解为非负整数，且使关于y的不等式组至多有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．24 B．12 C．6 D．4
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知a、b、c是. 的三边长且c=5，a、b满足关系式 则△ABC的形状为 三角形.
12．如图，中，，，，、分别为，的中点，平分，交于点，则的长是 .
13．如图，已知一次函数的图象经过点和点，则关于x的不等式组的解集为 ．
14．如图，绕点逆时针旋转得到，则 ．
15．如图， 的对角线、相交于点，若，则 的面积为 ．
16．在 中，，则 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知，．
（1）试求的值；
（2）试求的值．
18．如图，在中，，，．
（1）画出绕点按逆时针方向旋转所得到的；
（2）连接，求的长．
19．如图，已知平行四边形，是的角平分线，交于点E
（1）求证：；
（2）若点E是的中点，，求的度数
20．如图，在平行四边形中，E，F是直线上的两点，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，且，求的长．
21．如图，中，，D为边的中点，F为的延长线上一点，过点F 作于G点，并交于E点，试说明下列结论成立的理由：
（1）；
（2）是等腰三角形
22．学校组织暑期夏令营，学校联系了报价均为每人200元的两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：全部师生折优惠；乙旅行社的优惠条件是：可免去一位老师的费用，其余师生8折优惠．
（1）分别写出两家旅行社所需的费用y（元）与师生人数x（人）的函数关系式；
（2）当师生人数是多少时，甲旅行社比乙旅行社更便宜．
23．（1）解不等式：．
（2）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
24．如图，每个小正方形的边长都是1，四边形ABCD的顶点都在格点上．
（1）求证：DA⊥AB．
（2）四边形ABCD的面积是 ．
25．如图所示，点 是等边三角形 内的一点，且 ， ， ，若将 绕点 逆时针旋转后，得到 ．
（1）求 的长；
（2） 的度数．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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北师大版2024—2025学年八年级下册期中复习真题集训卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若，则下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵，
A、不等式两边同时乘以－3得：，正确，符合题意；
B、不等式两边同时减1得：，原选项错误，不符合题意；
C、不等式两边同时除以4得：，原选项错误，不符合题意；
D、不等式两边同时加5得：，原选项错误，不符合题意；
故答案为： A．
【分析】
本题考查了不等式的基本性质，熟知不等式的基本性质是解题关键．
不等式的基本性质1：不等式两边同时加上（或减去）同一个数或式子，不等号的方向不变；
不等式的基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
不等式的基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；
根据不等式的基本性质，进行判断，即可得出答案．
2． 如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到，以下结论：①，②，③，④，正确的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【答案】D
【解析】【解答】解：①将绕点逆时针旋转得到，
，故①正确；
②将绕点逆时针旋转得到，
∠BAB'=50°，∠AB'C'=∠ABC=30°，
，
∠CAB'=∠BAB'-∠CAB=50°-20°=30°，
∠CAB'=∠AB'C'，
AC∥C'B'，故②正确；
③∠BAB'=50°，AB=AB'，
∠CB'B=∠AB'C'+∠AB'B=30°+65°=95°，
C'B'与BB'不垂直，故③错误；
④AC=AC'，∠CAC'=50°，
，故④正确；
综上所述，正确的有①②④.
故答案为：D.
【分析】①根据旋转的性质判断即可；②根据旋转的性质得到∠BAB'=50°，∠AB'C'=∠ABC=30°，求出∠CAB'的度数，再根据内错角相等，两直线平行判断即可；③根据旋转的性质和等腰三角形的性质求出∠AB'B的度数即可得到∠CB'B=95°，据此即可判断；④类比③求出∠ACC'的度数即可判断.
3． 如图，在中，已知，，平分交边于点E，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE
∵ ABCD为平行四边形
∴AD||BC
∴ ∠DAE=∠BEA
∴ ∠BAE=∠BEA
∴BE=AB=3，
∵BC=AD=4
∴EC=BC-BE=1
故答案为：A.
【分析】由角平分线和平行线可得等腰三角形，即BE=BA，即可得EC的长.
4．若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中（ ）
A．至少有一个角是钝角或直角 B．没有一个角是锐角
C．没有一个角是钝角或直角 D．每一个角都是钝角或直角
【答案】C
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中没有一个角是钝角或直角.
故答案为：C.
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，结论的反面成立，即可得出答案.
5．在欧拉的著作《代数引论》中有这样一道趣题：两个农妇一共带着100个鸡蛋去集市，两人所带鸡蛋个数不等，但卖得的钱数相同．甲农妇说：“如果我有你那么多鸡蛋就可以卖得15个铜板．”乙农妇答道：“如果我有你那么多鸡蛋就只能卖得个铜板．”试问这两名农妇各带了多少个鸡蛋？设甲农妇带了x个鸡蛋，列出方程，现有以下结论：
①甲农妇所卖鸡蛋的单价是个铜板；②乙农妇所卖鸡蛋的单价是个铜板；③100个鸡蛋所卖得的钱数是个铜板；④所列方程依据的等量关系是甲、乙农妇卖得的钱数相同．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【解析】【解答】解：①甲农妇所卖鸡蛋的单价是个铜板，正确，
②乙农妇所卖鸡蛋的单价是个铜板，正确，
③个鸡蛋所卖得的钱数是个铜板，错误，
④所列方程依据的等量关系是甲、乙农妇卖得的钱数相同，正确，
综上所述，正确的说法为：①②④，
故答案为：B.
【分析】设甲农妇带了x个鸡蛋，则乙农妇带了个鸡蛋，进而根据两农妇的对话列出方程， 据此分析各个选项即可.
6．下列图形中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】A、是轴对称图形，不是中心图形，此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心图形，此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心图形，此选项不符合题意；
D、是中心图形，此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据中心对称图形定义“在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”并结合各选项即可判断求解.
7．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥2且x≠3 B．x≠2 C．x≥2且x≠3 D．x≠2
【答案】C
【解析】【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴3x-6≥0且x-3≠0，
解之：x≥2且x≠3.
故答案为：C.
【分析】利用分式有意义则分母不等于0，二次根式有意义，则被开方数为非负数，据此可求出x的取值范围.
8．若等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】A
【解析】【解答】解：若是腰长时，等腰三角形的边长分别为、、；
∵，不能构成三角形；
∴等腰三角形的边长分别为、、；
∴这个三角形的周长=++=
故答案为：A.
【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，判断三角形的三边长；根据三角形的周长公式和二次根式的加法计算即可.
9．如图，在△ABC中，D，E分别是边 AB，BC的中点，点F 在射线DE 上.添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是（ ）
A．∠B=∠F B．DE=EF C．AC=CF D．AD=CF
【答案】B
【解析】【解答】解：∵ D，E分别是边 AB，BC的中点，
∴DE∥AC，DE=AC，
A、当∠B=∠F，不能判定AD∥CF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故不符合题意；
B、 ∵DE=EF ，
∴DE=DF，
∴AC=DF，
∵AC∥DF，
∴四边形ADFC为平行四边形，故符合题意；
C、由AC=CF不能得出AC=DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故不符合题意；
D、∵AD=CF ，AD=BD，
∴BD=CF，
由BD=CF，∠BED=∠CEF，BE=CE，不能判定△BED≌△CEF，不能判定CF∥AB，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用三角形中位线定理可得DE∥AC，DE=AC，再根据平行四边形的判定定理逐一判断即可.
10．若整数a使关于x的分式方程的解为非负整数，且使关于y的不等式组至多有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．24 B．12 C．6 D．4
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得，
∴不等式组的解集为10≤y＜2a-3，
∵关于y的不等式组至多有3个整数解，
∴2a-3≤13，
∴a≤8，
∵，
∴1-x+a=x-3，
解得，
∵关于x的分式方程的解为非负整数，
∴，
∴a≥-4且a≠2，
∴-4≤a≤8且a≠2，且a为偶数，
∴符合条件的所有整数a为-4，-2，0，4，6，8，
∴-4-2+0+4+6+8=12，
故答案为：B
【分析】先解出一元一次不等式组，再结合题意即可得到a≤8；再解分式方程，结合题意即可得到a≥-4且a≠2，进而得到-4≤a≤8且a≠2，且a为偶数，再根据题意即可求解。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知a、b、c是. 的三边长且c=5，a、b满足关系式 则△ABC的形状为 三角形.
【答案】直角
【解析】【解答】解：∵+（b﹣3）2=0，
∴a﹣4=0，b﹣3=0，
解得：a=4，b=3，
∵c=5，
∴a2+b2=c2，
∴∠C=90°，
即△ABC是直角三角形，
故答案为直角．
【分析】利用二次根式和偶次方的非负性求出a、b的值，再根据勾股定理的逆定理判断即可．
12．如图，中，，，，、分别为，的中点，平分，交于点，则的长是 .
【答案】0.5
【解析】【解答】解：∵ AC=3，BC=4，∠C=90°，
∴ AB=5，
∵、分别为，的中点，
∴ AB∥DE，DE=AB=，
∴ ∠ABF=∠DFB，
∵平分，
∴ ∠ABF=∠DBF，
∴ ∠DFB=∠DBF，
∴ △BDF是等腰三角形，
∴ BD=DF=2，
∴ EF=DE-DF=-2=0.5.
故答案为：0.5.
【分析】根据三角形的中位线定理可得AB∥DE，DE=AB，根据平行线的性质和角平分线的定义可推出△BDF是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得BD=DF，EF=DE-DF，即可求得.
13．如图，已知一次函数的图象经过点和点，则关于x的不等式组的解集为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：把点A（-1，2）和点B（-2，0）代入y=kx+b中，
.
解得.
∴解析式为：y=2x+4，
则不等式组为.
解不等式组的解集为：
故答案为：
【分析】 由点A（-1，2）和点B（-2，0）得出k，b，写出在x轴上方且函数y=kx+b的函数值小于函数y=-x的函数值对应的自变量的范围即可．
14．如图，绕点逆时针旋转得到，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵绕点O逆时针旋转得到，
∴
故答案为：.
【分析】根据旋转的性质，即可得出答案.
15．如图， 的对角线、相交于点，若，则 的面积为 ．
【答案】8
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∴S△AOD=S△DOC=S△COB=S△AOB=2，
∴S ABCD =4S△AOB=8，
故答案为：8.
【分析】本题主要考察平行四边形的性质以及三角形中线的性质，平行四边形的两条对角线相互平分，三角形的中线将三角形的面积平分，二者结合即可求解.
16．在 中，，则 ．
【答案】80°
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A+∠C=200°，
∴∠A=100°，
∴∠B=180°-∠A=80°.
故答案为：80°.
【分析】根据平行四边形的性质得出∠A=∠C，AD∥BC，从而得出∠A+∠B=180°，再根据∠A+∠C=200°，得出∠A=100°，即可得出∠B=80°.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知，．
（1）试求的值；
（2）试求的值．
【答案】（1）解：∵ ， ，
∴x+y==4，xy==1
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴x+y==4，x-y=，xy==1
∴ .
【解析】【分析】（1）先根据实数加减法运算法则求出“x+y”的值，再根据平方差公式及二次根式的性质算出“xy”的值，进而根据完全平方公式可得x2+y2=（x+y）2-2xy，最后整体代入计算可得答案；
（2）先根据实数加减法运算法则求出“x+y”及“x-y”的值，再根据平方差公式及二次根式的性质算出“xy”的值，进而通分计算异分母分式的减法后将分子利用平方差公式分解因式，最后整体代入计算可得答案.
18．如图，在中，，，．
（1）画出绕点按逆时针方向旋转所得到的；
（2）连接，求的长．
【答案】（1）解：如图所示， 就是所要画的图形；
（2）解： ， ， ，
，
绕点 按逆时针方向旋转 所得到的 ，
， ，
是等边三角形，
．
【解析】【分析】（1）依据要求画图即可；
（2）由勾股定理求出AB=5，根据旋转的性质可证是等边三角形，利用等边三角形的性质即可求解.
19．如图，已知平行四边形，是的角平分线，交于点E
（1）求证：；
（2）若点E是的中点，，求的度数
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴ ，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴.
（2）解：∵四边形是平行四边形，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）由AD//BC可得∠ADE=∠DEC，再由∠ADE=∠EDC，可得∠DEC=∠EDC，最后可以证得CD=CE.
（2）由题意可得AD//BC，AB=CD，∠BAD=∠C=108°，从而可以分别求出∠B和∠BAE的度数，进而可以求出∠DAE的度数.
20．如图，在平行四边形中，E，F是直线上的两点，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，且，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接交于点，
四边形是平行四边形，
，
，
，即，
四边形是平行四边形．
（2）解：四边形是平行四边形，，
，
，，
，
设，则，，
，
，
在中，，即，
解得或（不符合题意，舍去），
则的长为．
【解析】【分析】（1）连接AC交BD于点O，根据平行四边形的性质可得OA=OC，OB=OD，由已知条件可知DE=BF，结合线段的和差关系可得OF=OE，然后根据平行四边形的判定定理进行证明；
（2）根据平行四边形的性质可得AD=BC=3，由勾股定理可得BD的值，设DE=BF=x，则EF=2x+4，DF=x+4，根据EF-AF=2可得AF=2x+2，然后在Rt△ADF中，利用勾股定理进行计算即可.
21．如图，中，，D为边的中点，F为的延长线上一点，过点F 作于G点，并交于E点，试说明下列结论成立的理由：
（1）；
（2）是等腰三角形
【答案】（1）证明：∵AB=AC，D为BC边的中点，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵AB=AC，D为BC边的中点，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
即是等腰三角形．
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的三线合一得AD⊥BC，进而根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行可得AD∥FG；
（2）由等腰三角形的三线合一得∠BAD=∠CAD，由平行线的性质可得∠F=∠CAD，∠FEA=∠BAD，则∠F=∠FEA，由等角对等边可得AE=AF，从而可得△AEF是等腰三角形.
22．学校组织暑期夏令营，学校联系了报价均为每人200元的两家旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：全部师生折优惠；乙旅行社的优惠条件是：可免去一位老师的费用，其余师生8折优惠．
（1）分别写出两家旅行社所需的费用y（元）与师生人数x（人）的函数关系式；
（2）当师生人数是多少时，甲旅行社比乙旅行社更便宜．
【答案】（1）解：由题意得：
甲旅行社的所需的费用y（元）与师生人数x（人）的函数关系式：y甲=0.75×200x=150x；
乙旅行社的所需的费用y（元）与师生人数x（人）的函数关系式：y乙=200×0.8（x-1）=160x-160；
（2）解：要使甲旅行社比乙旅行社更便宜，则满足y甲＜y乙，
即150x＜160x-160，
解得x＞16，
所以当师生人数大于16人时，选择甲旅行社优惠．
【解析】【分析】（1）根据所需费用=优惠率×报价×人数列式可得y关于x的函数解析式；
（2）要使甲旅行社比乙旅行社更便宜，则满足y甲＜y乙，据此列出不等式，求解即可.
23．（1）解不等式：．
（2）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）解：
去分母，
去括号得，
移项得，
合并同类项，
系数化为1得，
∴不等式的解为： ．
（2）解：原不等式组为，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为．
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【解析】【分析】本题考查解不等式的过程。根据解题步骤，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，注意最后一步的系数化1时，系数为负数时，不等号要变号的问题。
24．如图，每个小正方形的边长都是1，四边形ABCD的顶点都在格点上．
（1）求证：DA⊥AB．
（2）四边形ABCD的面积是 ．
【答案】（1）证明：连接BD
∵，
，
∴
∴△ABD是直角三角形，∠BAD＝90°，
∴DA⊥AB．
（2）12
【解析】【解答】解：（2）
∵， ， ， ，
∴
【分析】（1）先利用勾股定理求出AD和BD的长，再利用勾股定理的逆定理证明△ABD是直角三角形，∠BAD＝90°，即可得到DA⊥AB；
（2）利用割补法列出算式
，再将数据代入计算即可。
25．如图所示，点 是等边三角形 内的一点，且 ， ， ，若将 绕点 逆时针旋转后，得到 ．
（1）求 的长；
（2） 的度数．
【答案】（1）解：连结 ，如图．
∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
∵ 绕点 逆时针能转后，得到 ，
∵∠PAC+∠BAP=∠P′AB+∠BAP=60°，
∴ ， ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ．
（2）解：在 中，
∵ ， ， ，
在△BPP′中，
∴ ，
∴ 为直角三角形， ，
∴ ．
【解析】【分析】（1） 连结 ，根据旋转的性质得出 ， ， ，从而得出为等边三角形，可得 ， ；
（2） 根据勾股定理的逆定理得出 为直角三角形， ，利用即可求出结论 ．
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