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苏科版2024—2025学年七年级下册期中复习全优达标卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．“x的2倍不小于3”用不等式表示是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程组中，属于二元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
3． 已知，则( )
A． B． C． D．
4．定义，，给出下列结论错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为的正方形，需要类卡片的张数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．下列命题为真命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．同旁内角互补
C．内错角相等 D．同位角相等
7．如图，直线DE分别交射线BA，BG于点D，F，则下列条件中能判定DE∥BC的个数是（ ）
①∠ADE＝∠GBC；②∠DFB＝∠GBC；③∠EDB+∠ABC＝180°；④∠GFE＝∠GBC．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．我国古代数学著作《增删算法统宗》中有这么一首诗：“今有布绢四十定，共卖价钞六百八．四定绢价九十贯，三定布价该五十．欲问绢布各几何？价钞各该分端，若人算得无差讹，堪把芳名题郡邑．”其大意是：今有绢与布40定，卖得680贯钱，4定绢价90贯，3定布价50贯，欲问绢布有多少，分开把价算，若人算得无差错，你的名字城镇到处扬．设有绢定，布定，依据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知关于x，y的方程是二元一次方程，则m，n的值为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在长方形中，，其内部有边长为a的正方形与边长为b的正方形，两个正方形的重合部分也为正方形，且面积为5，若，则正方形与正方形的面积之和为（ ）
A．29 B．25 C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若，则的值为 ．
12．如图，，点在上，，则 度．
13．计算： .
14．写出一个解为的二元一次方程组： ．
15．已知x+y＝3，xy＝2，则x2+y2＝ ．
16．已知，则 .
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知关于 x、y 的二元一次方程组．
（1）当时，解这个方程组；
（2）若，设，求S的取值范围．
18． 如图，已知，分别是射线，上的点.连接，平分，平分，．
（1）试说明；
（2）若，求的度数．
19．如图， 于点 ， 于点 ，且 .
（1）试判断 与 的位置关系，并说明理由.
（2）若 ，求 的度数.
20．为了保护环境，某市公交公司决定购买一批共10台全新的混合动力公交车，现有两种型号，其中每台的价格，年省油量如下表：
A B
价格（万元/台） a b
节省的油量（万升/年） 2.4 2
经调查，购买一台A型车比购买一台B型车多20万元，购买2台A型车比购买3台B型车少60万元.
（1）请求出a和b；
（2）若购买这批混合动力公交车每年能节省22.4万升汽油，求购买这批混合动力公交车需要多少万元
21．阅读：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值.
解：∵a+b＝﹣4，ab＝3，
∴a2+b2＝(a+b)2﹣2ab＝(﹣4)2﹣2×3＝10.
请你根据上述解题思路解答下面问题：
（1）已知a﹣b＝﹣3，ab＝﹣2，求(a+b)(a2﹣b2)的值.
（2）已知a﹣c﹣b＝﹣10，(a﹣b) c＝﹣12，求(a﹣b)2+c2的值.
22．小丽购买学习用品的收据如下表.因污损导致部分数据无法识别，根据下表，解决下列问题.
商品名 单价(元) 数量 金额(元）
签字笔 3 2 6
自动铅笔 1.5 ● ●
记号笔 4 ● ●
软皮笔记本 ● 2 9
圆规 3.5 1 ●
合计 8 28
（1）小丽购买自动铅笔、记号笔各几支
（2）若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种学习用品，共花费15元，则有哪几种不同的购买方案
23．如图，现有一块长为（4a+b）米，宽为（a+2b）米的长方形地块，规划将阴影部分进行绿化，中间预留部分是边长为a米的正方形.
（1）求绿化的面积S（用含a，b的代数式表示，并化简）；
（2）若a=2，b=3，绿化成本为100元/平方米，则完成绿化共需要多少元？
24．如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FGAE，∠1=∠2．
（1）求证：ABCD；
（2）若BC平分∠ABD，∠D=112°，求∠C的度数．
25．计算并观察规律，完成下列问题：
例：计算：
解：设，则原式.
（1）计算：；
（2）若，，请比较M、N的大小.
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苏科版2024—2025学年七年级下册期中复习全优达标卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．“x的2倍不小于3”用不等式表示是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得：2x≥3，
故答案为： D．
【分析】“不小于”表示“≥”据此列出不等式即可.
2．下列方程组中，属于二元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、方程组中的第二个方程不是整式方程，所以该方程组不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
B、方程组中的第一个方程不是二元一次方程，所以该方程组不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
C、方程组中的第二个方程不是二元一次方程，所以该方程组不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
D、方程组符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组，故本选项符合题意．
故答案为：D.
【分析】一个方程是二元一次方程必须满足：1、等号两边的式子都是整数；2、有且只有两个未知数；3、含有未知数的项的次数必须都是1.
3． 已知，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ ，
∴.
∴.
故答案为：C.
【分析】已知等式两边平方，利用完全平方公式展开，变形即可求出所求式子的值．
4．定义，，给出下列结论错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【解析】【解答】解：A、∵a
当a=-b≠0时
b※a=4b2
a☆b=-4b2
a※b≠a☆b
符合题意，正确
B、若a=b
b※a=4b2 a☆b=4b2
∴b※a＝a☆b
不符合题意，错误
C、若，则a+b=0且a-b=0
不符合题意，错误
D、∵
∴
不符合题意，错误
故答案为：A
【分析】根据题目给出的定义，代入逐步计算即可。
5．用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为的正方形，需要类卡片的张数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】【解答】解：，类卡片的面积为，
需要类卡片的张数为4张．
故选：D．
【分析】先求出 边长为的正方形的面积，利用完全平方公式展开，求根据B类卡片面积，喜庆得需要B类卡片的张数.
6．下列命题为真命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．同旁内角互补
C．内错角相等 D．同位角相等
【答案】A
【解析】【解答】解：对于A，由对顶角的定义可知对顶角相等，正确；
对于B、C、D，在两直线被第三条直线所截行成的各组角的关系中，未说明两直线平行，
故此时对应的同旁内角、内错角及同位角不一定相等.
故选：A.
【分析】由相交线与平行线的性质区分角及对应性质.
7．如图，直线DE分别交射线BA，BG于点D，F，则下列条件中能判定DE∥BC的个数是（ ）
①∠ADE＝∠GBC；②∠DFB＝∠GBC；③∠EDB+∠ABC＝180°；④∠GFE＝∠GBC．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】①∠ADE＝∠GBC不能判断DE∥BC；
②∵∠DFB＝∠GBC，
∴DE∥BC；
③∵∠EDB＋∠ABC＝180°，
∴DE∥BC；
④∵∠GFE＝∠GBC，
∴DE∥BC，
∴能判定DE∥BC的选项有②③④共3个.
故答案为：C.
【分析】∠ADE＝∠GBC不能判断DE∥BC，可对①作出判断；利用内错角相等，两直线平行，可对②作出判断；利用同旁内角互补，两直线平行，可对③作出判断；利用同位角相等，两直线平行，可对④作出判断，综上所述，可得到正确结论的序号.
8．我国古代数学著作《增删算法统宗》中有这么一首诗：“今有布绢四十定，共卖价钞六百八．四定绢价九十贯，三定布价该五十．欲问绢布各几何？价钞各该分端，若人算得无差讹，堪把芳名题郡邑．”其大意是：今有绢与布40定，卖得680贯钱，4定绢价90贯，3定布价50贯，欲问绢布有多少，分开把价算，若人算得无差错，你的名字城镇到处扬．设有绢定，布定，依据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵今有绢与布40定，卖得680贯钱，4定绢价90贯，3定布价50贯，
∴可列方程组，
故答案为：A.
【分析】根据今有绢与布40定，卖得680贯钱，4定绢价90贯，3定布价50贯，列出方程组求解即可。
9．已知关于x，y的方程是二元一次方程，则m，n的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】∵关于x、y的方程x2m﹣n﹣2+ym+n+1＝6是二元一次方程，
∴，
解得．
故答案为：A．
【分析】根据二元一次方程的定义计算求解即可。
10．如图，在长方形中，，其内部有边长为a的正方形与边长为b的正方形，两个正方形的重合部分也为正方形，且面积为5，若，则正方形与正方形的面积之和为（ ）
A．29 B．25 C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得重合部分小正方形的面积为5，其边长为，
BE=AB-AE=6-a=b-，
∴a+b=6+，S1=（a-）（b-）=ab-；
∵S2=5S1，
∴S2=5ab-，
由长方形的面积与各个部分面积之间的关系可得a2+b2-5+S1+S2=6×10，
整理得a2+b2+6ab=65+36，
即（a+b）2+4ab=65+36，
∴（6+）2+4ab=65+36，
∴ab=6+6，
∴a2+b2=65+36-6ab=65+36-36-36=29.
故答案为：A.
【分析】由重合部分小正方形的面积为5，其边长为，由拼图可知a+b=6+①，由长方形的面积与各个部分面积之间的关系可得a2+b2+6ab=65+36，从而利用配方法变形后将①代入化简可得ab=6+6，进而即可求出a2+b2的值了.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若，则的值为 ．
【答案】6
【解析】【解答】解：24×22=26=2m，所以m=6.
故第1空答案为：6.
【分析】根据同底数幂的乘法，可得24×22=26，从而得到m的值。
12．如图，，点在上，，则 度．
【答案】72
【解析】【解答】解：∵
∴
∵，
∴∠EDF=∠CFD
∴∠EDF+∠CFD=180°
∴∠EDF+∠ABC=180°
又∵
设度，则度，
即，
解得：，
∴度，
故答案为：72．
【分析】先利用，得到 ，在根据，推出∠EDF+∠ABC=180°，在根据条件，即可求出∠ABC的度数.
13．计算： .
【答案】
【解析】【解答】解：原式=1+1-4=-2.
故答案为：-2.
【分析】首先根据有理数的乘方，零整数指数幂，负整数指数幂进行化简，然后再进行有理数的加减即可。
14．写出一个解为的二元一次方程组： ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】【解答】2+(-5)=-3，2-(-5)=7
用x、y将2、-3替换，即可得到
故答案为：（答案不唯一）
【分析】围绕列一组方程即可.
15．已知x+y＝3，xy＝2，则x2+y2＝ ．
【答案】5
【解析】【解答】解：将x+y＝3两边平方得：
（x+y）2＝x2+2xy+y2＝9，
将xy＝2代入得：
x2+4+y2＝9，
x2+y2＝5
故答案为：5
【分析】将x+y＝3两边平方得x2+2xy+y2＝9，将xy＝2代入即可求解.
16．已知，则 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：.
【分析】根据同底数幂的除法及幂的乘方，将原式变形为，然后代入计算即可.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知关于 x、y 的二元一次方程组．
（1）当时，解这个方程组；
（2）若，设，求S的取值范围．
【答案】（1）解：时，方程组为 ，
得，，
得，， 解得：，
将 代入②得，，
解得，
即方程组的解是
（2）解：，
得，，
即：，
∵，
∴ ，
即 ，
∴S 的取值范围是：．
【解析】【分析】（1）先将k值代入，再运用加减消元法即可求解；
（2）先运用加减消元法得到，再根据k的取值范围即可确定，进而即可求解。
18． 如图，已知，分别是射线，上的点.连接，平分，平分，．
（1）试说明；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解： 平分 ，
，
，
，
；
（2）解： ，
，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
的度数为 ．
【解析】【分析】(1)本题考查的是角平分线的定义和平行线的判定，通过角与角之间的等量代换得到结论.
(2)本题的解题关键是通过平行线和角平分线找到角与角之间的关系，然后用方程的思想算出角度.
19．如图， 于点 ， 于点 ，且 .
（1）试判断 与 的位置关系，并说明理由.
（2）若 ，求 的度数.
【答案】（1）解：如图，
理由：
（2）解：
由(1)得
【解析】【分析】（1）利用同垂直于一条直线的两直线平行，可证得AD∥EF，利用平行线的性质可得到∠4+∠3=180°，利用补角的性质可证得∠1=∠4；然后利用内错角相等，两直线平行，可证得结论.
（2）利用垂直的定义可证得∠1+∠2=90°，结合已知求出∠2的度数，然后利用平行线的性质可求出∠C的度数.
20．为了保护环境，某市公交公司决定购买一批共10台全新的混合动力公交车，现有两种型号，其中每台的价格，年省油量如下表：
A B
价格（万元/台） a b
节省的油量（万升/年） 2.4 2
经调查，购买一台A型车比购买一台B型车多20万元，购买2台A型车比购买3台B型车少60万元.
（1）请求出a和b；
（2）若购买这批混合动力公交车每年能节省22.4万升汽油，求购买这批混合动力公交车需要多少万元
【答案】（1）解：根据题意得：
解得：
（2）解：设A型车购买x台，则B型车购买（10-x）台
根据题意得：2.4x+2（10-x）=22.4
解得：x=6
∴10-x=4
∴120×6+100×4=1120（万元）
答：购买这批混合动力公交车需要1120万元.
【解析】【分析】（1）根据购买一台A型车比购买一台B型车多20万元可得a-b=20；根据购买2台A型车比购买3台B型车少60万元可得3b-2a=60，联立求解即可；
（2）设A型车购买x台，则B型车购买(10-x)，根据A型车的节省油量×台数+B型车的节省油量×台数=总节省量可得关于x的方程，求出x的值，然后根据A型车的价格×台数+B型车的价格×台数=总费用进行解答.
21．阅读：已知a+b＝﹣4，ab＝3，求a2+b2的值.
解：∵a+b＝﹣4，ab＝3，
∴a2+b2＝(a+b)2﹣2ab＝(﹣4)2﹣2×3＝10.
请你根据上述解题思路解答下面问题：
（1）已知a﹣b＝﹣3，ab＝﹣2，求(a+b)(a2﹣b2)的值.
（2）已知a﹣c﹣b＝﹣10，(a﹣b) c＝﹣12，求(a﹣b)2+c2的值.
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
.
【解析】【分析】(1)根据平方差公式和完全平方公式把(a＋b)(a2－b2)变形为 ，采用整体代入法求解；(2)根据完全平分公式把(a－b)2＋c2变形为 ，即可解答.
22．小丽购买学习用品的收据如下表.因污损导致部分数据无法识别，根据下表，解决下列问题.
商品名 单价(元) 数量 金额(元）
签字笔 3 2 6
自动铅笔 1.5 ● ●
记号笔 4 ● ●
软皮笔记本 ● 2 9
圆规 3.5 1 ●
合计 8 28
（1）小丽购买自动铅笔、记号笔各几支
（2）若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种学习用品，共花费15元，则有哪几种不同的购买方案
【答案】（1）解：设小丽购买自动铅笔x支，记号笔y支，
根据题意可得 解得
答：小丽购买自动铅笔1支，记号笔2支.
（2）解：设小丽再次购买软皮笔记本m本，自动铅笔n支，根据题意
可得 ，即 .
∵ 为正整数，
或 或
则共有3种购买方案：
①购买1本软皮笔记本与7支自动铅笔；
②购买2本软皮笔记本与4支自动铅笔；
③购买3本软皮笔记本与1支自动铅笔.
【解析】【分析】（1）设小丽购买自动铅笔x支，记号笔y支，利用总价=单价×数量，结合表中已知数据，即可得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解即可解决问题；
（2）设小丽再次购买软皮笔记本m本，自动铅笔n支，利用总价=单价×数量，结合表中已知数据，即可得出关于m、n的二元一次方程，根据m和n均为正整数，求得符合条件的二元一次方程的正整数解，即可确定各购买方案.
23．如图，现有一块长为（4a+b）米，宽为（a+2b）米的长方形地块，规划将阴影部分进行绿化，中间预留部分是边长为a米的正方形.
（1）求绿化的面积S（用含a，b的代数式表示，并化简）；
（2）若a=2，b=3，绿化成本为100元/平方米，则完成绿化共需要多少元？
【答案】（1）解：S=（4a+b）（a+2b）-a2=4a2+8ab+ab+2b2-a2
=（3a2+9ab+2b2）平方米
（2）解：当a=2，b=3时，
S=3×22+9×2×3+2×32=84（平方米），
故完成绿化共需100×84=8400（元）.
【解析】【分析】(1)根据阴影部分的面积等于长为（4a+b），宽为（a+2b）的面积与边长为a的正方形的面积之差，依此列出等式并整理化简即可；
(2)根据(1)的结果，把a、b的值代入计算面积，结合单位成本，求总成本，即可解答.
24．如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FGAE，∠1=∠2．
（1）求证：ABCD；
（2）若BC平分∠ABD，∠D=112°，求∠C的度数．
【答案】（1）证明：∵FG∥AE，
∴∠FGC=∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠FGC，
∴AB∥CD；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠D=180°，
∵∠D=112°，
∴∠ABD=180°-112°=68°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC=∠ABD=34°，
∵AB∥CD，
∴∠C=∠ABC=34°．
所以∠C的度数为34°．
【解析】【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可进行证明；
（2）根据BC平分∠ABD，∠D=112°，即可得解。
25．计算并观察规律，完成下列问题：
例：计算：
解：设，则原式.
（1）计算：；
（2）若，，请比较M、N的大小.
【答案】（1）解：设223=x，
∴2232-224×122
=x2-（x+1）（x-1）
=x2-x2+1
=1；
（2）解：设123456786=x，
∴M=123456789×123456786
=（x+3） x
=x2+3x，
N=123456788×123456787
=（x+2）（x+1）
=x2+3x+2，
∴M＜N.
【解析】【分析】（1）模仿例题设223=x，则224=x+1，122=x-1，然后计算即可；
（2）模仿例题设123456786=x，则M= （x+3） x=x2+3x，N=（x+2）（x+1）=x2+3x+2，据此即可比较M、N的大小.
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