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沪科版2024—2025学年八年级下册期中真题汇编培优卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若关于的一元二次方程kx2+2x-1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k>-1 B．k≥-1 C．k>-1且k≠0 D．k≥-1且k≠0
2．如图，在中，，平分，平分，则长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．在二次根式中，最简二次根式个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，则的值是（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
6．若关于x的一元二次方程没有实数根，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．向上抛出的物体，在不考虑空气阻力的情况下，有如下关系式：，其中表示上升高度，表示抛出时的速度，表示重力加速度，表示抛出后的时间．如果一物体以的速度从地面竖直向上抛出，经过后它在离地面高的地方，则a的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
8． 如图，长方形的边在数轴上，若点A与数轴上表示数的点重合，点D与数轴上表示数的点重合，，以点A为圆心，对角线的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E，则点E表示的数为（ ）
A． B． C． D．1
9． 下列说法中，正确的是（ ）
A．平行四边形的对角线相等
B．平行四边形的对角互补
C．有一组对边平行的四边形是平行四边形
D．平行四边形的对边平行且相等
10．在中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． 在综合实践活动课上，康颖把如图矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E、H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A'、D点的对称点为D'，若AB=12，BC＝42，AE＝5，则FG的长为 .
12．如图，在中，，P为边上一动点，于E，于F，M为EF的中点，则的最小值为 ．
13．已知a，b是方程的两个实数根，则的值是 。
14． 已知一组数据，，，…，．的方差是1.5，则另一组数据，，，…，的方差是 ．
15．平面直角坐标系中，已知点，点，点，点，以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，则x的值为 ．
16．如图，在中，，分别是，的中点，，平分，交于点．若，则的长度是 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，矩形的对角线、相交于点O，过点D作，交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求矩形的面积．
18．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
（1）化简：；
（2）若，求a的值．
19．如图，在中，，cm，cm，动点从点出发沿射线以1cm/s的速度移动，设运动的时间为ts．
（1）求边的长；
（2）当为直角三角形时，求t的值．
20．“一碗面，一座城”！中江挂面在2017年全国魅力城市PK中，作为德阳市的一张名片登上中央电视台，为“德阳魅力城”的晋升立下了汗马功劳，为发展中江经济，县政府决定在2016年底生产100吨挂面的基础上继续扩大生产规模，到2018年底产量达到169吨．
（1）求中江挂面这两年产量的平均增长率；
（2）若按此速度继续扩大生产规模，请你计算到2019年底时，中江挂面的产量将达到多少吨？每吨挂面可盈利6千元，则2019年仅挂面一项，能为中江赚多少钱？
21．如图，平行四边形 中， 是它的一条对角线，过 、 两点作 ，垂足分别为 、 ，延长 、 分别交 、 于 、 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）已知 ．求 的长．
22．如图，将长方形纸片 沿对角线 折叠，点 落在点 处， 与 相交于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
23．有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB为xm.
（1）如果要围成面积为63的花圃，AB的长是多少？
（2）能围成面积为80的花圃吗？如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由.
24．近年来网约车给人们的出行带来了便利，小明和数学兴趣小组的同学对甲、乙两家网约车公司司机月收入进行了抽样调查，两家公司分别抽取的10名司机月收入（单位：千元）如图所示：
根据以上信息，整理分析数据如下：
平均月收入/千元 中位数 众数 方差
甲公司 6 6 c d
乙公司 a b 4 7.6
（1）填空：a= ；b= ；c= ；d= .
（2）小明的叔叔计划从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是小明，你建议他选哪家公司？请说明理由.
25．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作 于点E，延长BC至F，使 .连接DF.
（1）求证：四边形ADFE为矩形；
（2）连接OF，若 ， ， ，求OF的长.
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沪科版2024—2025学年八年级下册期中真题汇编培优卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若关于的一元二次方程kx2+2x-1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k>-1 B．k≥-1 C．k>-1且k≠0 D．k≥-1且k≠0
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得：，解得且，
的取值范围是且，
故答案为：D．
【分析】根据一元二次方程有实数根，判别式，结合一元二次方程的定义即可得解.
2．如图，在中，，平分，平分，则长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∴．
同理可得．
∴．
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形性质可得，则，再根据角平分线定义可得，则，再根据等角对等边可得，同理可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
3．在二次根式中，最简二次根式个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】【解答】解：是最简二次根式；
，故不是最简二次根式；
，故不是最简二次根式；
是最简二次根式；
是最简二次根式；
∴ 最简二次根式有3个．
故答案为：B．
【分析】被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式就是最简二次根式，据此逐一判断即可.
4．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，，
当AO＝OP1，AO＝OP3时，P1（﹣，0），P3（，0），
当AP2＝OP2时，P2（1，0），
当AO＝AP4时，P4（2，0），
故符合条件的点有4个．
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理可得OA，再根据等腰三角形性质分类讨论即可求出答案.
5．如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，则的值是（ ）
A．4 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【解析】【解答】解：由勾股定理得：，
∴，
故选：B．
【分析】
首先在给定的方格纸上确定点A、B、C的坐标，然后应用勾股定理计算AB、BC、AC三线段的平方长度，然后代入即可求解．
6．若关于x的一元二次方程没有实数根，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】【解答】解：∵一元二次方程无实数根，
∴，
解得，
由一次函数可得，，
∴一次函数过一、二、四象限，不过第三象限，
故选：C．
【分析】
一元二次方程的根的判别式是△=b2-4ac，当判别式小于零时，方程无实数根。对于一次函数y=(m+1)x-m，据此得出m的取值范围，再根据一次函数的图象与系数的关系求解即可．
7．向上抛出的物体，在不考虑空气阻力的情况下，有如下关系式：，其中表示上升高度，表示抛出时的速度，表示重力加速度，表示抛出后的时间．如果一物体以的速度从地面竖直向上抛出，经过后它在离地面高的地方，则a的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【解析】【解答】解：依题意得：，
解得：或5，
经过或后它在离地面高的地方，
故选：D．
【分析】
把，，代入关系式求解即可．
8． 如图，长方形的边在数轴上，若点A与数轴上表示数的点重合，点D与数轴上表示数的点重合，，以点A为圆心，对角线的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E，则点E表示的数为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】【解答】解：∵点A与数轴上表示数的点重合，点D与数轴上表示数的点重合，
∴AD=-1-（-4）=3，
根据题意可得：AB=CD=1，∠ADC=90°，
∴AC=，
∵ 以点A为圆心，对角线的长为半径作弧与数轴负半轴交于一点E，
∴AE=AC=，
∴点E表示的数为，
故答案为：A.
【分析】先利用数轴上两点之间的距离公式求出AD的长，再利用勾股定理求出AC的长，可得AE=AC=，再求出点E表示的数即可.
9． 下列说法中，正确的是（ ）
A．平行四边形的对角线相等
B．平行四边形的对角互补
C．有一组对边平行的四边形是平行四边形
D．平行四边形的对边平行且相等
【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵平行四边形的对角线互相平分但不一定相等，∴A不正确，不符合题意；
B、∵平行四边形的对角相等且邻角互补，∴B不正确，不符合题意；
C、∵有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴C不正确，不符合题意；
D、∵平行四边形的对边平行且相等，∴D正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用平行四边形的性质逐项分析判断即可.
10．在中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解： 在中，
，
∠B+∠D=360°-（∠A+∠C）=260°，
四边形ABCD是平行四边形，
∠B=∠D，
∠D=130°.
故答案为：D.
【分析】先根据四边形的内角和为360°求出∠B+∠D的度数，再根据平行四边形的对角相等求解即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． 在综合实践活动课上，康颖把如图矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E、H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A'、D点的对称点为D'，若AB=12，BC＝42，AE＝5，则FG的长为 .
【答案】14
【解析】【解答】解：如图，过点E作EM⊥BC于M，过点P作PQ⊥BC于Q，
由折叠可得：AE=AE =5，AB=A P=12，∠A =∠A=90°，PF=BF，
在Rt△AE P中，PE==13，
设PF=x，则BF=PF=x，
由题意，易得四边形ABME、四边形EMQP是矩形，
∴EM=AB=PQ=12，BM=AE=5，PE=MQ=13，
∴MF=MQ-MF=13-（x-5）=18-x，
在Rt△PFQ中，由勾股定理得：x2=(18-x)2+122，
解得：x=13，则FQ=18-13=5；
过点H作HK⊥BC于k，
由折叠可得：D H=DH，D P=DC=12，∠D =∠D=90°，PG=CG，
设DH=y，则D H=DH=y，PH=42-5-13-y=24-y，
在Rt△HD P中，由勾股定理得：y2+122=(24-y)2，解得：y=9，
∴PH=24-9=15，
设PG=CG=m，
由题意，易得四边形PQKH、四边形CDHK是矩形，
∴PH=QK=15，DH=CK=9，
∴GK=m-9，
∴QG=QK-GK=24-m，
在Rt△PQG中，由勾股定理得：(24-m)2+122=m2，解得：m=15，
∴QG =24-15=9，
∴FG=FQ+QG=5+9=14.
故答案为：14.
【分析】过点E作EM⊥BC于M，过点P作PQ⊥BC于Q，过点H作HK⊥BC于k，由题意，易得四边形ABME、四边形EMQP、四边形PQKH、四边形CDHK是矩形，设PF=x，则BF=PF=x，在Rt△PFQ中，由勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，由线段的构成FQ=MQ-MF求出FQ的值；同理可求得QG的值，然后根据线段的构成FG=FQ+QG可求解.
12．如图，在中，，P为边上一动点，于E，于F，M为EF的中点，则的最小值为 ．
【答案】1.2
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
在中，，
，
∴是直角三角形，且，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴．
∵M是的中点，
∴，
∵ 直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即时，最短，同样也最短，
，即，
．
故答案为：．
【分析】先根据勾股定理的逆定理和矩形的判定证出四边形是矩形，进而得到，，再根据垂线段最短，利用三角形的面积求出AP即可求得.
13．已知a，b是方程的两个实数根，则的值是 。
【答案】2034
【解析】【解答】∵a，b是方程的两个实数根，
∴，
∴
∴.
【分析】根据已知题意结合根与系数之间的关系先求出a与b之和，通过整体思想代入即可求出答案.
14． 已知一组数据，，，…，．的方差是1.5，则另一组数据，，，…，的方差是 ．
【答案】6
【解析】【解答】解：设，，，…，的平均数为，则，，，…，的平均数为，
∵数据，，，…，的方差为1.5，
∴，
∴
，
故答案为：6．
【分析】设，，，…，的平均数为，则，，，…，的平均数为，然后根据方差的计算方法计算即可．
15．平面直角坐标系中，已知点，点，点，点，以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，则x的值为 ．
【答案】-3或5
【解析】【解答】解：①以AB为对角线，
∵A（4，0），B（0，1），C（1，3），D（x，y），
∴，
解得
∵y≥0，
∴此种情况不符合题意，舍去；
②以AC为对角线，
∵A（4，0），B（0，1），C（1，3），D（x，y），
∴，
解得；
③以AD为对角线，
∵A（4，0），B（0，1），C（1，3），D（x，y），
∴，
解得，
综上x的值为-3或5.
故答案为：-3或5.
【分析】此题需要分三类思考：①以AB为对角线，②以AC为对角线，③以AD为对角线，根据线段的中点坐标公式表示出各对角线的中点，由平行四边形的对角线互相平分可知两对角线中点重合，据此建立方程组，求解即可.
16．如图，在中，，分别是，的中点，，平分，交于点．若，则的长度是 ．
【答案】8
【解析】【解答】解：∵，分别是，的中点，，∴是的中位线，∴，，∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵是的中点，∴，∴的长度是．
故答案为：．
【分析】由中位线定理可知DE等于BC的一半，且DE平行BC，借助平行的性质定理结合角平分的概念可指导出EC等于EF；由于F是DE的三等分点，则EF可知，EC可知；由于点E平分AC，则AC可知。
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，矩形的对角线、相交于点O，过点D作，交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求矩形的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形
∴，
∵
∴四边形为平行四边形
∴
∵
∴
（2）解：∵四边形是矩形
∴，，，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴在中，
∴
【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质即可得到，，进而根据平行四边形的判定与性质结合题意得到，再结合题意即可求解；
（2）先根据矩形的性质即可得到，，，，进而得到，从而根据等腰三角形的性质即可得到，再求出AD，进而运用勾股定理即可求出AB，然后结合题意即可求解。
18．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
（1）化简：；
（2）若，求a的值．
【答案】（1）解：根据题意得，
解得，
；
（2）解：根据题意得，，
，
，
即，
解得，
，
的值为．
【解析】【分析】（1）先根据一元二次方程根与判别式的关系即可得到，进而根据二次根式的性质化简即可求解；
（2）先根据一元二次方程根与系数的关系即可得到，，再结合题意即可求出a，进而即可求解。
19．如图，在中，，cm，cm，动点从点出发沿射线以1cm/s的速度移动，设运动的时间为ts．
（1）求边的长；
（2）当为直角三角形时，求t的值．
【答案】（1）解：在中，，，
由勾股定理得；
（2）解：由题意知．
①当时，如图，点P与点C重合，，
∴；
②当时，如图2，，．
在中，，
在中，，
因此，
解得．
综上所述，当为直角三角形时，t的值为或．
【解析】【分析】（1）根据勾股定理运算即可求解；
（2）由题意知．分类讨论：①当时，如图，点P与点C重合，，进而即可求出t；②当时，如图2，，．进而根据勾股定理即可得到t；最后总结即可。
20．“一碗面，一座城”！中江挂面在2017年全国魅力城市PK中，作为德阳市的一张名片登上中央电视台，为“德阳魅力城”的晋升立下了汗马功劳，为发展中江经济，县政府决定在2016年底生产100吨挂面的基础上继续扩大生产规模，到2018年底产量达到169吨．
（1）求中江挂面这两年产量的平均增长率；
（2）若按此速度继续扩大生产规模，请你计算到2019年底时，中江挂面的产量将达到多少吨？每吨挂面可盈利6千元，则2019年仅挂面一项，能为中江赚多少钱？
【答案】（1）解：设这两年产量的平均增长率为x，
根据题意，得，
解得（舍去），
答：中江挂面这两年产量的平均增长率．
（2）解：（吨），
（元），
答：2019年仅挂面一项，能为中江赚1318200元．
【解析】【分析】（1）设这两年产量的平均增长率为x，根据“县政府决定在2016年底生产100吨挂面的基础上继续扩大生产规模，到2018年底产量达到169吨”即可列出一元二次方程，进而即可求解；
（2）根据题意进行计算即可求解。
21．如图，平行四边形 中， 是它的一条对角线，过 、 两点作 ，垂足分别为 、 ，延长 、 分别交 、 于 、 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）已知 ．求 的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∵AM⊥BD，CN⊥BD，
∴AM∥CN，
∴CM∥AN，AM∥CN，
∴四边形AMCN是平行四边形．
（2）解：∵四边形AMCN是平行四边形，
∴CM＝AN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∴DM＝BN，∠MDE＝∠NBF，
在△MDE和△NBF中，
，
∴△MDE≌△NBF（AAS），
∴ME＝NF＝3，
在Rt△DME中，∵∠DEM＝90°，DE＝4，ME＝3，
∴DM＝ ＝5，
∴BN＝DM＝5．
【解析】【分析】（1）先求出 CD∥AB， 再求出 AM∥CN， 最后证明求解即可；
（2）先求出 DM＝BN，∠MDE＝∠NBF， 再证明 △MDE≌△NBF ，最后利用勾股定理计算求解即可。
22．如图，将长方形纸片 沿对角线 折叠，点 落在点 处， 与 相交于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）证明：∵四边形 是矩形，
∴ ，
由折叠的性质可得 ，
∴ ，
∵∠AEB=∠CEF，
∴ （AAS）；
（2）解：由（1）可得 ，
∴CE=AE，
设CE=AE=x，
∵ ， ，
∴BE=8-x，
在Rt△ABE中， ，即 ，
解得： ，
∴ ．
【解析】【分析】
（1）根据折叠性质，得到AB=CF，∠F=∠B，根据对顶角相等得到 AEB=∠CEF ，从而推出 。
（2）根据（1）可得到CE=AE，设AE为x，为直角三角形，根据勾股定理可得到AB2+BE2=AE2，且BE可为8-x，从而得到答案。
23．有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB为xm.
（1）如果要围成面积为63的花圃，AB的长是多少？
（2）能围成面积为80的花圃吗？如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由.
【答案】（1）解：由题意可得：x(30-3x)=63，
整理，得，
解方程得
.
当x=7时，30-3x=9＜10，符合题意；
当x=3时，30-3x=21＞10，不符合题意，舍去；
∴当AB的长为7m时，花圃的面积为63.
（2）解：不能围成面积为80的花圃.理由如下：
由题意可得：x(30-3x)=80，
整理，得，
∵△=，
故原方程无实数根，
所以不能围成面积为80的花圃.
【解析】【分析】（1）由题意可得BC=(30-3x)，根据矩形的面积公式建立关于x的方程，求出x的值，然后根据BC<10进行取舍；
（2）同理可得关于x的方程，然后求出判别式的值，据此判断.
24．近年来网约车给人们的出行带来了便利，小明和数学兴趣小组的同学对甲、乙两家网约车公司司机月收入进行了抽样调查，两家公司分别抽取的10名司机月收入（单位：千元）如图所示：
根据以上信息，整理分析数据如下：
平均月收入/千元 中位数 众数 方差
甲公司 6 6 c d
乙公司 a b 4 7.6
（1）填空：a= ；b= ；c= ；d= .
（2）小明的叔叔计划从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是小明，你建议他选哪家公司？请说明理由.
【答案】（1）6；4.5；6；1.2
（2）解：选甲公司，理由如下：
因为平均数相同，中位数、众数甲公司均大于乙公司，且甲公司方差小，更稳定，故答案为：甲公司.
【解析】【解答】解：（1）乙公司平均月收入a==6，
甲公司收入6千元所占比例为：1-10%-10%-20%-20%=40%，所占比例最大
所以甲公司的众数c=6，
方差d= [（4-6）2+2×（5-6）2+4×（6-6）2+2×（7-6）2+（8-6）2]=1.2；
乙公司中位数b==4.5，
故答案为：6；4.5；6；1.2；
【分析】（1）根据加权平均数公式，中位数及众数的定义，方差公式分别计算即可；
（2）根据平均数、中位数、众数、方差这四个方面进行解答即可.
25．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作 于点E，延长BC至F，使 .连接DF.
（1）求证：四边形ADFE为矩形；
（2）连接OF，若 ， ， ，求OF的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC且AB=DC，
∴∠ABE=∠DCF，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴AE=DF，∠AEB=∠DFC=90°，
∴AE∥DF，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∵∠DFC=90°，
∴平行四边形ADFE是矩形；
（2）解：由（1）知：四边形ADFE是矩形，
∴EF=AD=3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=3，CD=AB，OB=OD，
∴BE=CF=BC-EC=1，
∴BF=BC+CF=4，
在Rt△ABE中，∠ABE=60°，
∴∠BAE=90°-∠ABE=30°，
∴AB=2BE=2，
∴DF=AE= ，
∴BD=
∵∠DFB=90°，OB=OD，
∴OF= BD= .
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB∥DC，AB=DC，根据平行线的性质得∠ABE=∠DCF，证明△ABE≌△DCF，得到AE=DF，∠AEB=∠DFC=90°，推出四边形ADFE是平行四边形，然后结合∠DFC=90°以及矩形的判定定理进行证明；
（2）易得EF=AD=3，BC=AD=3，CD=AB，OB=OD，则BE=CF=BC-EC=1，BF=BC+CF=4，易得∠BAE=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AB=2BE=2，利用勾股定理求出DF、BD，然后根据直角三角形斜边上中线的性质进行计算.
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