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【综合题强化训练·50道必刷题】苏科版七年级下册期中数学卷
1.老赵和老丁在农村老家都有一块田地,老赵田地的宽是老丁田地的宽的倍,老丁田地的长是老赵田地的长的倍.
(1)若老丁自家田地的长是宽的倍,设老丁田地的宽为米,直接写出:老赵田地的面积为______,老丁田地的面积为______;
(2)在(1)下,老赵和老丁退休后,回农村后把田地进行改造,老赵把田地的长增加米,而老丁把田地的长减少米,直接写出改造后:老赵田地的长为______米,老丁田地的长为______米;
(3)在(1)(2)下,老赵把田地的宽增加米,老丁也把田地的宽增加米,当为多少米时,两家改造后的田地的面积相等?
2.下列3×3网格图都是由9个相同的小正方形组成,每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影,请在余下的6个空白小正方形中,按下列要求涂上阴影:
(1)选取1个涂上阴影,使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形,但不是中心对称图形.
(2)选取1个涂上阴影,使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形,但不是轴对称图形.
(3)选取2个涂上阴影,使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形.
(请将三个小题依次作答在图1、图2、图3中,均只需画出符合条件的一种情形)
3.如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上,点E在BC边上,且点E在小正方形的顶点上,连接AE.
(1)在图中画出△AEF,使△AEF与△AEB关于直线AE对称,点F与点B是对称点;
(2)请直接写出△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积.
4.如图,△ACD、△AEB都是等腰直角三角形,∠CAD=∠EAB=90°,∠BAC=30°,若△EAC绕某点逆时针旋转后能与△BAD重合,问:
(1)旋转中心是 ;
(2)逆时针旋转 度;
(3)若EC=10cm,则BD的长度是 cm.
5.为了更好地开展劳动教育,某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造,已知该地块如下图是长为米,宽为米的长方形地块,学校准备在该地块内修一条平行四边形小路,小路的底边宽为a米,并计划将阴影部分改造为种植区.
(1)用含有a、b的式子分别表示出小路面积和种植区的总面积; (请将结果化为最简)
(2)若,,求出此时种植区的总面积.
6.
(1)已知 , ,求 的值.
(2)已知 , ,求 的值.
7.在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1个单位长度,三角形ABC的三个顶点的位置如图所示,现将三角形ABC平移,使点A变换为点A′,点B′、C′分别是B、C的对应点.
(1)请画出平移后的三角形A′B′C′;
(2)连接AA′,CC′;
(3)AA′与CC′的位置关系是 ,数量关系是 .
8.如图,△A1B1C1是△ABC向右平移4个单位长度后得到的,且三个顶点的坐标分别为A1(1,1),B1(4,2),C1(3,4).
(1)请画出△ABC,并写出点A,B,C的坐标;
(2)求出△AOA1的面积.
9.看图、回答问题
(1)指出图中有 个边长为a的正方形;有 个边长为b的正方形有 个两边长分别为a和b的矩形
(2)请用两种不同的方法表示图形的面积:
方法1: ;方法2: .
10.综合题
(1)已知4m=a,8n=b,用含a,b的式子表示下列代数式:
①求:22m+3n的值
②求:24m﹣6n的值
(2)已知2×8x×16=223,求x的值.
11.如图,有一块长(3a+b)米,宽(2a+b)米的长方形广场,园林部门要对阴影区城进行绿化,空白区城进行广场硬化,阴影部分是边长为(a+b)米的正方形.
(1)计算广场上需要硬化部分的面积;
(2)若a=30,b=10,求硬化部分的面积.
12.如图,△ABC中,A点坐标为(2,4),B点坐标为(﹣3,﹣2),C点坐标为(3,1).
(1)在图中画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′(不写画法),并写出点A′,B′,C′的坐标.
(2)求△ABC的面积.
13.如图,某市有一块长为米,宽为米的长方形地块,城市规划部门计划在中间留一块长为米,宽为米的长方形地块修建一座雕像,将阴影部分进行绿化.
(1)用含的式子表示绿化面积;
(2)求出当时的绿化面积.
14.一天,小聪和小慧玩纸片拼图游戏,发现利用图①中的三种纸片各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式,比如图②可以解释为:(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2
(1)图③可以解释为等式: .
(2)要拼出一个长为a+3b,宽为2a+b的长方形,需要如图所示的 块, 块, 块;
(3)如图④,大正方形的边长为m,小正方形的边长为n,若用x、y表示四个小长方形的两边长(x>y),观察图形,以下关系式正确的是 (填序号).
① x+y=m;② x2﹣y2=mn;③ 4xy ④ x2+y2= .
15.如图,已知点M是△ABC的边BC的中点,点O是△ABC外一点.
(1)画△A'B'C',使△A'B'C'与△ABC关于点M成中心对称;
(2)画△A″B″C″,使△A″B″C″与△ABC关于点O成中心对称.
16.观察以下等式:
(x+1)(x2﹣x+1)=x3+1
(x+3)(x2﹣3x+9)=x3+27
(x+6)(x2﹣6x+36)=x3+216
…
(1)按以上等式的规律,填空:(a+b)( )=a3+b3
(2)利用多项式的乘法法则,证明(1)中的等式成立.
(3)利用(1)中的公式化简:(x+y)(x2﹣xy+y2)﹣(x﹣y)(x2+xy+y2)
17.如图,在平面直角坐标系xOy中,A(1,2),B(3,1),C(﹣2,﹣1).
(1)如图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1;
(2)写出点A1,B1,C1的坐标(直接写答案).A1 B1 C1 ;
(3)求△ABC的面积.
18.乘法公式的探究及应用.
(1)如图1,可以求出阴影部分的面积是 (写成两数平方差的形式);
(2)如图2,若将阴影部分裁剪下来,重新拼成一个矩形,它的宽是 ,长是 ,面积是 (写成多项式乘法的形式);
(3)比较图1、图2两图的阴影部分面积,可以得到乘法公式 (用式子表达);
(4)运用你所得到的公式,计算下列各题:
①(2m+n-p)(2m-n+p);②10.3×9.7.
19.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点).
(1)将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A′BC′,请画出△A′BC′.
(2)求BA边旋转到BA′位置时所扫过图形的面积.
20.如图1,是边长为a的大正方形去掉一个边长为b的小正方形形成的,设其阴影部分面积为S1,将图1的阴影部分沿虚线剪开拼成的长方形如图2,拼接不重叠且无缝隙,设长方形面积为S2.
(1)求S1和S2;(用含a,b的代数式表示)
(2)由S1和S2的关系可以得到的一个乘法公式为 .
21.在5×6的方格图中
在图1中,将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2,得到封闭图形A1A2B2B1(即阴影部分)
在图2中,将线段A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3,得到封闭图形A1A2A3B3B2B1(即阴影部分)
(1)在图3中,画出将折线A1A2A3A4向右平移1单位后的图形,并用阴影画出由这两条折线所围成的封闭图形.
(2)设上述三个图形中,矩形ABCD分别除去阴影部分后剩余部分的面积记为S1、S2、S3,则S1= ,S2= S3=
(3)如图4,在一块矩形草地上,有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都是1个单位),请你猜想草地部分的面积是 .(用含a、b的代数式表示)
22.探索代数式 与代数式 的关系.
(1)当 , 时,分别计算两个代数式的值.
(2)当 , 时,分别计算两个代数式的值.
(3)你发现了什么规律?
(4)利用你发现的规律计算: .
23.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1
(2)将△ABC向右平移6个单位,作出平移后的△A2B2C2,并写出△A2B2C2各顶点的坐标
(3)观察△A1B1C1和△A2B2C2,它们是否关于某条直线对称?若是,请在图上画出这条对称轴.
24.图①、图②均为7×6的正方形网格,点A、B、C在格点(小正方形的顶点)上.
(1)在图①中确定格点D,并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形,使其为轴对称图形;
(2)在图②中确定格点E,并画出一个以A、B、C、E为顶点的四边形,使其为中心对称图形.
25.在一次数学课上,李老师对大家说:“你任意想一个非零数,然后按下列步骤操作,我会直接说出你运算的最后结果.”
(1)若小明同学心里想的是数9,请帮他计算出最后结果:
[(9+1)2﹣(9﹣1)2]×25÷9
(2)老师说:“同学们,无论你们心里想的是什么非零数,按照以上步骤进行操作,得到的最后结果都相等.”小明同学想验证这个结论,于是,设心里想的数是a(a≠0),请你帮小明完成这个验证过程.
26.如图,将一张长方形大铁皮切割成九块,切痕如图虚线所示,其中有两块是边长都为xdm的大正方形,两块是边长都为ydm的小正方形,五块是长宽分别是xdm、ydm的全等小长方形,且x>y.
(1)用含x、y的代数式表示长方形大铁皮的周长为 dm;
(2)若每块小长方形的面积10dm2,四个正方形的面积为58dm2,试求该切痕的总长.
27.如图,△ABC各顶点的坐标分别是A(﹣2,﹣4),B(0,﹣4),C(1,﹣1).
(1)在图中画出△ABC向左平移3个单位后的△A1B1C1;
(2)在图中画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2;
(3)在2的条件下,AC边扫过的面积是 .
28.如图,△ABC在平面直角坐标系内,顶点的坐标分别为A(-4,4),B(-2,5),C(-2,1).
(1)平移△ABC,使点C移到点C1(-2,-4),画出平移后的△A1B1C1,并写出点A1,B1的坐标;
(2)将△ABC绕点(0,3)旋转180°,得到△A2B2C2,画出旋转后的△A2B2C2;
(3)求(2)中的点C旋转到点C2时,点C经过的路径长(结果保留π).
29.亮亮计算一道整式乘法的题(3x-m)(2x-5),由于亮亮在解题过程中,抄错了第一个多项式中m前面的符号,把“-”写成了“+”,得到的结果为6x2-5x-25.
(1)求m的值;
(2)计算这道整式乘法的正确结果.
30.如图1是一个长为4a、宽为b的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形,然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形(如图2).
(1)图2中的阴影部分的面积为 ;
(2)观察图2请你写出(a+b)2、(a-b)2、ab之间的等量关系是 ;
(3)根据(2)中的结论,若x+y=7,xy= ,则x-y= ;
(4)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式.根据图3,写出一个因式分解的等式 .
31.阅读下面的解题过程:
计算2(﹣4a+3b)﹣3(a﹣2b)
解:原式=(﹣8a+6b)﹣(3a﹣6b)(第一步)
=﹣8a+6b﹣3a﹣6b(第二步)
=﹣11a+12b(第三步)
(1)这个题,错误的步骤是 .
A.三步都错
B.第一步和第二步
C.第一步和第三步
D.第二步和第三步
(2)请写出正确的解题步骤.
32.数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法,借助图的直观性,可以帮助助理解数学问题.
(1)请写出图1,图2,图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式.
图1 , 图2 , 图3 .
(2)用4个全等的长和宽分别为的长方形拼摆成一个如图4的正方形,请你通过计算阴影部分的面积, 写出这三个代数式之间的等量关系.
(3)根据(2)中你探索发现的结论,计算: 当时, 求的值.
33.简答下列各题:
(1)已知a2+b2=2,ab=1,求a+b和a-b的值;
(2)若a+=3,那么a2+= ;若a-=3,那么a4+= .
34.在平面直角坐标系中, 是由 平移而得到的,对应点坐标如下表所示:
(1)观察表中各对应点坐标变化,直接写出点C1的坐标;
(2)在平面直角坐标系中画出上述的两个三角形.
35.已知(x3+mx+n)(x2﹣3x+4)的展开式中不含x3和x2项.
(1)求m与n的值.
(2)在(1)的条件下,求(m+n)(m2﹣mn+n2)的值.
36.已知 , .
(1)化简 ;
(2)当 , ,求 的值;
(3)若 的值与y的取值无关,求 的值.
37.在下面的网格图中,每个小正方形的边长均为1个单位,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=6.
(1)试作出△ABC以A为旋转中心、沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1;
(2)若点B的坐标为(﹣5,5),试建立合适的直角坐标系,并写出A、C两点的坐标;
(3)作出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2,并写出A2、B2、C2三点的坐标.
38.画图并填空:
(1)画出△ABC先向右平移6格,再向下平移2格得到的△A1B1C1.
(2)线段AA1与线段BB1的关系是: .
(3)△ABC的面积是 平方单位.
39.法公式的探究及应用.
(1)如图1,可以求出阴影部分的面积是 (写成两数平方差的形式);
(2)如图2,若将阴影部分裁剪下来,重新拼成一个矩形,它的宽是 ,长是 ,面积是 (写成多项式乘法的形式)
(3)比较图1,图2的阴影部分面积,可以得到乘法公式 (用式子表达)
(4)应用所得的公式计算:(1﹣ (1﹣ )(1﹣ )…(1﹣ )(1﹣ )
40.如图,某市有一块长为米,宽为米的长方形地块,规划部门计划将阴影部分进行绿化,中间将修建一座雕像.
(1)求出绿化的面积是多少平方米?
(2)当,时,求出绿化面积.
41.如图,在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′,图中标出了点B的对应点B′.根据下列条件,利用网格点和三角尺画图:
(1)补全△A′B′C′;画出AC边上的中线BD;画出AC边上的高线BE;
(2)求△ABD的面积 .
42.如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形,然后按图2的形状拼成一个正方形
(1)
你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少?
(2)
请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积.
方法1:
方法2:
(3)
观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗?代数式:(m+n)2,(m﹣n)2,mn.
(4)
根据(3)题中的等量关系,解决如下问题:若a+b=7,ab=5,则(a﹣b)2= .
43.计算:
(1)(﹣3x2y)2 (6xy3)÷(9x3y4)
(2)(x﹣2y)(x+2y)﹣4y(x﹣y)
(3)( a+3b)2﹣( a﹣3b)2
(4)(﹣2)24(﹣0.125)8+20162﹣2015×2017.
44.已知 ,点 在 的内部,点 和点 关于 对称,点 关于 的对称点是 ,连接 交 于 ,交 于 ,
(1)补全图,并且保留作图痕迹.
(2)写出 °. 的周长为 .
45.如图:
(1)矩形A能通过一次轴对称变换与矩形B重合吗?如果可以,请画出对称轴所在直线,并写出表达式;
(2)矩形A能通过一次轴对称变换与矩形B重合吗?如果可以,请你描述变换过程.
46.制鞋厂生产的皮鞋按质量共分10个档次,最低档次(即第1档次)的皮鞋每双利润为60元.如果每提高一个档次,每双皮鞋的利润增加10元.最低档次的皮鞋每天可生产240双,每提高一个档次,每天将少生产15双皮鞋.每天生产第几档次的皮鞋所获利润最大?最大利润是多少元?
47.某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作:
(1)从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形,如图1,再沿线段AB把纸片剪开,最后把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形,这一过程所揭示的公式是 .
(2)先剪出一个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片,再剪出两张边长分别为a和b的长方形纸片,如图3,最后把剪成的四张纸片拼成如图4的正方形.这一过程你能发现什么代数公式?
(3)先剪出两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片,再剪出三张边长分别为a和占的长方形纸片,如图5,你能否把图5中所有纸片拼成一个长方形?
如果可以,请画出草图,并写出相应的等式.如果不能,请说明理由.
48.如图所示:
(1)折叠数轴,若1表示的点与-1表示的点重合,则-2表示的点与数 表示的点重合;
(2)折叠数轴,若-1表示的点与5表示的点重合,则4表示的点与 表示的点重合;
(3)已知数轴上点A表示的数是-1,点B表示的数是2,若点A以每秒1个单位长度的速度在数轴上移动,点B以每秒2个单位长度的速度在数轴上移动,且点A始终在点B的左侧,求经过几秒时,A、B两点的距离为6个单位长度.
49.若x满足(9 x)(x 4)=4,求(9 x) (x 4) 的值.
解:设9 x=a,x 4=b,则(9 x)(x 4)=ab=4,a b=(9 x) (x 4)=5
∴(9 x) (x 4) =a +b =(a+b) 2ab=5 —2 4=17
请仿照上面的方法求解下面问题:
(1)若x满足 ,求 的值;
(2)若x满足 ,求 的值
(3)已知正方形ABCD的边长为x,E,F分别是AD、DC上的点,且AE=1,CF=3,长方形 EMFD的面积是48,分别以MF,DF为边长作正方形MFRN和正方形GFDH,求阴影部分的面积.
50.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点三角形ABC(顶点是网格线的交点).
(1)先将△ABC竖直向上平移6个单位,再水平向右平移3个单位得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1
(2)将△A1B1C1绕B1点顺时针旋转90°,得△A2B1C2,请画出△A2B1C2
(3)线段B1C1变换到B1C2的过程中扫过区域的面积为
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【综合题强化训练·50道必刷题】苏科版七年级下册期中数学卷
1.老赵和老丁在农村老家都有一块田地,老赵田地的宽是老丁田地的宽的倍,老丁田地的长是老赵田地的长的倍.
(1)若老丁自家田地的长是宽的倍,设老丁田地的宽为米,直接写出:老赵田地的面积为______,老丁田地的面积为______;
(2)在(1)下,老赵和老丁退休后,回农村后把田地进行改造,老赵把田地的长增加米,而老丁把田地的长减少米,直接写出改造后:老赵田地的长为______米,老丁田地的长为______米;
(3)在(1)(2)下,老赵把田地的宽增加米,老丁也把田地的宽增加米,当为多少米时,两家改造后的田地的面积相等?
【答案】(1),;
(2);;
(3)米.
2.下列3×3网格图都是由9个相同的小正方形组成,每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影,请在余下的6个空白小正方形中,按下列要求涂上阴影:
(1)选取1个涂上阴影,使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形,但不是中心对称图形.
(2)选取1个涂上阴影,使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形,但不是轴对称图形.
(3)选取2个涂上阴影,使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形.
(请将三个小题依次作答在图1、图2、图3中,均只需画出符合条件的一种情形)
【答案】(1)如图1所示
(2)如图2所示
(3)如图3所示
【解析】【分析】(1)根据轴对称定义,在最上一行中间一列涂上阴影即可;(2)根据中心对称定义,在最下一行、最右一列涂上阴影即可;(3)在最上一行、中间一列,中间一行、最右一列涂上阴影即可.本题主要考查轴对称图形和中心对称图形,掌握轴对称图形和中心对称图形定义是解题的关键.
3.如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上,点E在BC边上,且点E在小正方形的顶点上,连接AE.
(1)在图中画出△AEF,使△AEF与△AEB关于直线AE对称,点F与点B是对称点;
(2)请直接写出△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积.
【答案】(1)解:△AEF如图所示;
(2)解:重叠部分的面积= ×4×4﹣ ×2×2
=8﹣2
=6.
【解析】【分析】(1)根据AE为网格正方形的对角线,作出点B关于AE的对称点F,然后连接AF、EF即可;
(2)根据图形,重叠部分是两个直角三角形的面积差,列式计算即可。
4.如图,△ACD、△AEB都是等腰直角三角形,∠CAD=∠EAB=90°,∠BAC=30°,若△EAC绕某点逆时针旋转后能与△BAD重合,问:
(1)旋转中心是 ;
(2)逆时针旋转 度;
(3)若EC=10cm,则BD的长度是 cm.
【答案】(1)A点
(2)90
(3)10
【解析】【解答】解:(1)∵△EAC逆时针旋转后能与△BAD重合,
∴A点即为两三角形的公共顶点,故旋转中心是A点;
( 2 )∵△EAC逆时针旋转后能与△BAD,
∴AE与AB重合,
∵∠BAE=90°,
∴旋转的度数为:90;
( 3 )由题意知EC和BD是对应线段,据旋转的性质可得BD=EC=10cm.
故答案为:(1)A;(2)90;(3)10.
【分析】(1)由已知条件易证△EAC≌△BAD,这两个三角形的公共顶点为A,根据旋转的性质可知旋转中心是点A;
(2)由(1)可知△EAC逆时针旋转后能与△BAD,所以AB与AE是对应边,再结合已知条件即可求解;
(3)由(1)可知BD=EC。结合已知条件可求解。
5.为了更好地开展劳动教育,某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造,已知该地块如下图是长为米,宽为米的长方形地块,学校准备在该地块内修一条平行四边形小路,小路的底边宽为a米,并计划将阴影部分改造为种植区.
(1)用含有a、b的式子分别表示出小路面积和种植区的总面积; (请将结果化为最简)
(2)若,,求出此时种植区的总面积.
【答案】(1), ;
(2)216.
6.
(1)已知 , ,求 的值.
(2)已知 , ,求 的值.
【答案】(1)解:∵ , ,
∴ .
(2)解:∵ , ,
∴
.
【解析】【分析】(1)利用同底数幂的除法可得,然后代入计算即可
(2)根据同底数幂的乘法及幂的乘方,将原式变形,然后代入计算即可.
7.在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1个单位长度,三角形ABC的三个顶点的位置如图所示,现将三角形ABC平移,使点A变换为点A′,点B′、C′分别是B、C的对应点.
(1)请画出平移后的三角形A′B′C′;
(2)连接AA′,CC′;
(3)AA′与CC′的位置关系是 ,数量关系是 .
【答案】(1)解:①如图,△A′B′C′为所作;
(2)解:如图,
′′
(3)平行;相等.
【解析】【分析】(1)由于点向左平移5个单位,再向下2个单位得到点A′,即△ABC向左平移5个单位,再向下2个单位得到△A′B′C′,然后利用此平移规律画出点B′和C′;(2)连结AA′,CC′;(3)利用平移的性质求解.
8.如图,△A1B1C1是△ABC向右平移4个单位长度后得到的,且三个顶点的坐标分别为A1(1,1),B1(4,2),C1(3,4).
(1)请画出△ABC,并写出点A,B,C的坐标;
(2)求出△AOA1的面积.
【答案】(1)解:如图所示,A(﹣3,1),B(0,2),C(﹣1,4);
(2)解:S△AOA1= ×4×1=2
【解析】【分析】(1)直接把△A1B1C1是向左平移4个单位,再写出点A,B,C的坐标即可;(2)直接根据三角形的面积公式即可得出结论.
9.看图、回答问题
(1)指出图中有 个边长为a的正方形;有 个边长为b的正方形有 个两边长分别为a和b的矩形
(2)请用两种不同的方法表示图形的面积:
方法1: ;方法2: .
【答案】(1)1;4;4
(2)(a+2b)2;a2+4b2+4ab
【解析】【分析】(1)根据图形得出即可;(2)根据正方形的面积公式得出即可,求出各个部分的面积,相加即可得出答案.
10.综合题
(1)已知4m=a,8n=b,用含a,b的式子表示下列代数式:
①求:22m+3n的值
②求:24m﹣6n的值
(2)已知2×8x×16=223,求x的值.
【答案】(1)解:∵4m=a,8n=b,
∴22m=a,23n=b,
22m+3n=22m 23n=ab;
②24m﹣6n=24m÷26n=(22m)2÷(23n)2=
(2)解∵2×8x×16=223,
∴2×(23)x×24=223,
∴2×23x×24=223,
∴1+3x+4=23,
解得:x=6:
【解析】【分析】(1)分别将4m,8n化为底数为2的形式,然后代入①②求解;(2)将8x化为23x,将16化为24,列出方程求出x的值.
11.如图,有一块长(3a+b)米,宽(2a+b)米的长方形广场,园林部门要对阴影区城进行绿化,空白区城进行广场硬化,阴影部分是边长为(a+b)米的正方形.
(1)计算广场上需要硬化部分的面积;
(2)若a=30,b=10,求硬化部分的面积.
【答案】(1)解:根据题意,广场上需要硬化部分的面积是
(2a+b)(3a+b)﹣(a+b)2
=6a2+2ab+3ab+b2﹣(a+b)2
=6a2+5ab+b2﹣(a2+2ab+b2)
=6a2+5ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2
=5a2+3ab
答:广场上需要硬化部分的面积是(5a2+3ab)m2.
(2)解:把a=30,b=10代入
5a2+3ab=5×302+3×30×10=5400 m2
答:广场上需要硬化部分的面积是5400m2.
【解析】【分析】(1)由题意可知空白部分的面积=长方形的面积﹣阴影部分的面积.长方形的面积是长×宽,即(3a+b)(2a+b);阴影部分是正方形,其面积是(a+b)2,所以空白部分的面积是(2a+b)(3a+b)﹣(a+b)2;(2)将a,b的数值代入(1)题中的代数式求值即可.
12.如图,△ABC中,A点坐标为(2,4),B点坐标为(﹣3,﹣2),C点坐标为(3,1).
(1)在图中画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′(不写画法),并写出点A′,B′,C′的坐标.
(2)求△ABC的面积.
【答案】(1)解:如图,A′(﹣2,4),B′(3,﹣2),C′(﹣3,1)
(2)解:S△ABC=6×6﹣ ×5×6﹣ ×6×3﹣ ×1×3,
=36﹣15﹣9﹣1 ,
=10 .
【解析】【分析】(1)根据网格结构找出点A′、B′、C′的位置,然后顺次连接即可;(2)利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积,然后列式计算即可得解.
13.如图,某市有一块长为米,宽为米的长方形地块,城市规划部门计划在中间留一块长为米,宽为米的长方形地块修建一座雕像,将阴影部分进行绿化.
(1)用含的式子表示绿化面积;
(2)求出当时的绿化面积.
【答案】(1)平方米
(2)69平方米
14.一天,小聪和小慧玩纸片拼图游戏,发现利用图①中的三种纸片各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式,比如图②可以解释为:(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2
(1)图③可以解释为等式: .
(2)要拼出一个长为a+3b,宽为2a+b的长方形,需要如图所示的 块, 块, 块;
(3)如图④,大正方形的边长为m,小正方形的边长为n,若用x、y表示四个小长方形的两边长(x>y),观察图形,以下关系式正确的是 (填序号).
① x+y=m;② x2﹣y2=mn;③ 4xy ④ x2+y2= .
【答案】(1)(a+2b)(2a+b)=2a2+5ab+2b2
(2)2;7;3
(3)①②③④
【解析】【解答】解:(1)图③可以解释为等式:(a+2b)(2a+b)=2a2+ab+4ab+2b2=2a2+5ab+2b2
故答案为:(a+2b)(2a+b)=2a2+5ab+2b2.(2)(a+3b)(2a+b)=2a2+7ab+3b2
故答案为:2;7;3.(3)∵x+y=m
∴①正确;
∵x+y=m,x-y=n
∴(x+y)(x-y)=mn,即x2-y2=mn,
∴②正确;
∵m2-n2=4xy
故③正确;
∵m2+n2=(x+y)2+(x-y)2=2x2+2y2=2(x2+y2)
∴④正确.
故答案为:①②③④.
【分析】(1)由图形根据面积公式可得答案;(2)将(a+3b)(2a+b)展开化简即可得答案;(3)根据图中每个图形的面积之间的关系即可判断出正确的有几个.
15.如图,已知点M是△ABC的边BC的中点,点O是△ABC外一点.
(1)画△A'B'C',使△A'B'C'与△ABC关于点M成中心对称;
(2)画△A″B″C″,使△A″B″C″与△ABC关于点O成中心对称.
【答案】(1)解:①连接AM并延长至A',使MA'=AM;
②点B关于点M的对称点B'即为点C,点C关于点M的对称点C'即为点B;
③连接A'B',A'C',则△A'B'C'即为所求.
(2)解:①连接AO,BO,CO,并分别延长至A″,B″,C″,使OA″=AO,OB″=BO,OC″=CO;
②连接A″B″,A″C″,B″C″,则△A″B″C″即为所求
【解析】【分析】(1)先找出点A、B、C关于点M的对称点A′、B′、C′,再将点A′、B′、C′顺次连接即可。
(2)先找出点A、B、C关于点O的对称点A″、B″、C″,再将点A″、B″、C″顺次连接即可。
16.观察以下等式:
(x+1)(x2﹣x+1)=x3+1
(x+3)(x2﹣3x+9)=x3+27
(x+6)(x2﹣6x+36)=x3+216
…
(1)按以上等式的规律,填空:(a+b)( )=a3+b3
(2)利用多项式的乘法法则,证明(1)中的等式成立.
(3)利用(1)中的公式化简:(x+y)(x2﹣xy+y2)﹣(x﹣y)(x2+xy+y2)
【答案】(1)a2﹣ab+b2
(2)解:(a+b)(a2﹣ab+b2)
=a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3
=a3+b3
(3)解:(x+y)(x2﹣xy+y2)﹣(x﹣y)(x2+xy+y2)
=x3+y3﹣(x3﹣y3)
=2y3
【解析】【解答】解:(1)(a+b)(a2﹣ab+b2)=a3+b3;
【分析】(1)根据所给等式可直接得到答案(a+b)(a2﹣ab+b2)=a3+b3;(2)利用多项式与多项式相乘的法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项,再把所得的积相加进行计算即可得到答案;(3)根据题目所给的例子,找出公式后直接运用即可.
17.如图,在平面直角坐标系xOy中,A(1,2),B(3,1),C(﹣2,﹣1).
(1)如图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1;
(2)写出点A1,B1,C1的坐标(直接写答案).A1 B1 C1 ;
(3)求△ABC的面积.
【答案】(1)解:如图所示:
(2)(1,-2);(3,-1);(-2,1)
(3)解:△ABC的面积=3×5- ×3×3- ×2×1- ×5×2=4.5
【解析】【分析】(1)考察轴对称中点的变换,图形的对称可以得到对应点关于y轴对称,所以可以分别画出A、B、C关于y轴对称的点,依次连接。
(2)直接根据图形写出坐标。
(3)三角形ABC是一个不规则的图形,无法根据面积公式直接求解,可以将三角形ABC补成一个规则的矩形,然后减去几个规则的三角形面积即可。
18.乘法公式的探究及应用.
(1)如图1,可以求出阴影部分的面积是 (写成两数平方差的形式);
(2)如图2,若将阴影部分裁剪下来,重新拼成一个矩形,它的宽是 ,长是 ,面积是 (写成多项式乘法的形式);
(3)比较图1、图2两图的阴影部分面积,可以得到乘法公式 (用式子表达);
(4)运用你所得到的公式,计算下列各题:
①(2m+n-p)(2m-n+p);②10.3×9.7.
【答案】(1)a2 -b2
(2)a-b;a+b;(a+b)(a-b)
(3)(a+b)(a﹣b)=a2 ﹣b2
(4)解:①原式=[2m+(n-p)][2m-(n-p)] =(2m)2 -(n-p)2 =4m2 -n2 +2np-p2;
②原式=(10+0.3)×(10-0.3)=102 -0.32=100-0.09=99.91.
【解析】【解答】解:(1)利用正方形的面积公式可知:阴影部分的面积=a2 -b2,
故答案为:a2 -b2;(2)由图可知矩形的宽是a-b,长是a+b,面积是(a+b)(a-b),
故答案为:a-b,a+b,(a+b)(a-b);(3)由阴影部分的面积不变可得(a+b)(a﹣b)=a2 ﹣b2,
故答案为:(a+b)(a﹣b)=a2 ﹣b2;
【分析】(1)利用面积公式:大正方形的面积-小正方形的面积=阴影面积;(2)根据图1可得矩形的长和宽,然后利用矩形面积公式进行求解即可;(3)利用面积相等列出等式即可;(4)①先分组,然后利用平方差公式简便计算即可;②写成两个数的和与两个数的差的形式,然后利用平方差公式简便计算即可.
19.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点).
(1)将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A′BC′,请画出△A′BC′.
(2)求BA边旋转到BA′位置时所扫过图形的面积.
【答案】(1)解:如图所示:△A′BC′即为所求,
(2)解:∵AB= = ,
∴BA边旋转到BA″位置时所扫过图形的面积为: =
【解析】【分析】(1)利用旋转的性质得出各对应点位置,再顺次连结即可求解;(2)先根据勾股定理得到AB的长,再利用扇形面积公式得出答
20.如图1,是边长为a的大正方形去掉一个边长为b的小正方形形成的,设其阴影部分面积为S1,将图1的阴影部分沿虚线剪开拼成的长方形如图2,拼接不重叠且无缝隙,设长方形面积为S2.
(1)求S1和S2;(用含a,b的代数式表示)
(2)由S1和S2的关系可以得到的一个乘法公式为 .
【答案】(1)解:由题意可得:
(2)(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2
【解析】【分析】解: (2)所以可得公式:(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2.故答案为:(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2.根据在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形,利用平方差公式即可得出答案.
21.在5×6的方格图中
在图1中,将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2,得到封闭图形A1A2B2B1(即阴影部分)
在图2中,将线段A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3,得到封闭图形A1A2A3B3B2B1(即阴影部分)
(1)在图3中,画出将折线A1A2A3A4向右平移1单位后的图形,并用阴影画出由这两条折线所围成的封闭图形.
(2)设上述三个图形中,矩形ABCD分别除去阴影部分后剩余部分的面积记为S1、S2、S3,则S1= ,S2= S3=
(3)如图4,在一块矩形草地上,有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都是1个单位),请你猜想草地部分的面积是 .(用含a、b的代数式表示)
【答案】(1)如图3所示:
(2)9;9;9
(3)ab﹣b
【解析】【解答】解:(1)如图3所示:
(2)S1=12﹣1×3=9;S2=12﹣1(1+2)=9;S3=12﹣1×(1+1+1)=9;
故答案为:9,9,9;
(3)由(2)得:草地部分的面积是:ab﹣b.
故答案为:ab﹣b.
【分析】(1)根据题意,直接画图即可,只要画一条有两个折点的折线,得到一个封闭图形即可;
(2)结合图形,根据平移的性质可知,①②③中阴影部分的面积都可看作是以3为长,1为宽的长方形的面积;
(3)将矩形中空白部分相对平移,正好组成一个新的矩形,这些矩形的宽(竖直方向的边长均为b)不变,长都是减少了1个单位(水平方向的边长均为a﹣1),所以空白部分的面积是b(a﹣1)=ab﹣b.
22.探索代数式 与代数式 的关系.
(1)当 , 时,分别计算两个代数式的值.
(2)当 , 时,分别计算两个代数式的值.
(3)你发现了什么规律?
(4)利用你发现的规律计算: .
【答案】(1)解:
,
(2)解:
,
(3)解:
(4)解:
【解析】【分析】(1)(2)把 与 的值代入两式计算即可得到结果;(3)归纳总结得出关系式即可;(4)原式变形后,利用完全平方公式计算即可得到结果.
23.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1
(2)将△ABC向右平移6个单位,作出平移后的△A2B2C2,并写出△A2B2C2各顶点的坐标
(3)观察△A1B1C1和△A2B2C2,它们是否关于某条直线对称?若是,请在图上画出这条对称轴.
【答案】(1)解:由图知,A(0,4),B(﹣2,2),C(﹣1,1),
∴点A、B、C关于y轴对称的对称点为A1(0,4)、B1(2,2)、C1(1,1),
连接A1B1,A1C1,B1C1,得△A1B1C1
(2)解:∵△ABC向右平移6个单位,
∴A、B、C三点的横坐标加6,纵坐标不变,
作出△A2B2C2,A2(6,4),B2(4,2),C2(5,1)
(3)解:△A1B1C1和△A2B2C2是轴对称图形,对称轴为图中直线l:x=3.
【解析】【分析】(1)根据轴对称图形的性质,找出A、B、C的对称点A1、B1、C1,画出图形即可;
(2)根据平移的性质,△ABC向右平移6个单位,A、B、C三点的横坐标加6,纵坐标不变;
(3)根据轴对称图形的性质和顶点坐标,可得其对称轴是l:x=3
24.图①、图②均为7×6的正方形网格,点A、B、C在格点(小正方形的顶点)上.
(1)在图①中确定格点D,并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形,使其为轴对称图形;
(2)在图②中确定格点E,并画出一个以A、B、C、E为顶点的四边形,使其为中心对称图形.
【答案】(1)解:有以下答案供参考:
(2)解:有以下答案供参考:
【解析】【分析】利用轴对称与中心对称的性质作图。
25.在一次数学课上,李老师对大家说:“你任意想一个非零数,然后按下列步骤操作,我会直接说出你运算的最后结果.”
(1)若小明同学心里想的是数9,请帮他计算出最后结果:
[(9+1)2﹣(9﹣1)2]×25÷9
(2)老师说:“同学们,无论你们心里想的是什么非零数,按照以上步骤进行操作,得到的最后结果都相等.”小明同学想验证这个结论,于是,设心里想的数是a(a≠0),请你帮小明完成这个验证过程.
【答案】(1)解:原式=(100﹣64)×25÷9=36×25÷9=100
(2)解:根据题意得:[(a+1)2﹣(a﹣1)2]×25÷a=(a+1+a﹣1)(a+1﹣a+1)×25÷a=4a×25÷a=100
【解析】【分析】(1)原式先计算乘方运算,再计算乘除运算即可得到结果;(2)根据题意列出关系式,整理验证即可.
26.如图,将一张长方形大铁皮切割成九块,切痕如图虚线所示,其中有两块是边长都为xdm的大正方形,两块是边长都为ydm的小正方形,五块是长宽分别是xdm、ydm的全等小长方形,且x>y.
(1)用含x、y的代数式表示长方形大铁皮的周长为 dm;
(2)若每块小长方形的面积10dm2,四个正方形的面积为58dm2,试求该切痕的总长.
【答案】(1)(6x+6y)
(2)解:由题意可知:xy=10,2x2+2y2=58,
即:x2+y2=29,
∵(x+y)2=x2+2xy+y2=29+20=49
∴x+y=7,
∴切痕总长为6×7=42dm
【解析】【解答】(1)根据题意得:长方形大铁皮的周长为6x+6y(cm);
故答案为:(6x+6y);
【分析】(1)由题意容易得出结果;(2)由题意和图形得出关系式,即可得出答案.
27.如图,△ABC各顶点的坐标分别是A(﹣2,﹣4),B(0,﹣4),C(1,﹣1).
(1)在图中画出△ABC向左平移3个单位后的△A1B1C1;
(2)在图中画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2;
(3)在2的条件下,AC边扫过的面积是 .
【答案】(1)解:如图所示,△A1B1C1为所求的三角形;
(2)解:如图所示,△A2B2C2为所求的三角形;
(3)
【解析】【解答】(1)如图,画出△ABC向左平移3个单位后的△A1B1C1;
(2)如图,画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2;
(3)在(2)的条件下,AC扫过的面积即为扇形AOA2的面积减去扇形COC2的面积,求出即可.
【分析】此题考查了基本作图,即图形的平移变换与旋转问题.
28.如图,△ABC在平面直角坐标系内,顶点的坐标分别为A(-4,4),B(-2,5),C(-2,1).
(1)平移△ABC,使点C移到点C1(-2,-4),画出平移后的△A1B1C1,并写出点A1,B1的坐标;
(2)将△ABC绕点(0,3)旋转180°,得到△A2B2C2,画出旋转后的△A2B2C2;
(3)求(2)中的点C旋转到点C2时,点C经过的路径长(结果保留π).
【答案】(1)解:如图所示,
则△A1B1C1为所求作的三角形,
∴A1(-4,-1),B1(-2,0)
(2)解:如图所示,则△A2B2C2为所求作的三角形
(3)解:点C经过的路径长:是以(0,3)为圆心,
以CC2为直径的半圆.
由勾股定理得:CC2= ,
∴点C经过的路径长: ×2πr= ×2π· =2 π
【解析】【分析】(1)由
点C移到点C1(-2,-4),可得出平移的方向和距离,然后利用平移性质分别求出点A1、B1的坐标,顺次连接即得△A1B1C1.
(2)分别找出点A、B、C
绕点(0,3)旋转180° 的对应点
A2、B2、C2 ,
顺次连接即得△A2B2C2.
(3)利用勾股定理求出CC2的长,先判断出点C经过的路径长是 以CC2为直径的半圆.然后利用圆的周长公式计算即得.
29.亮亮计算一道整式乘法的题(3x-m)(2x-5),由于亮亮在解题过程中,抄错了第一个多项式中m前面的符号,把“-”写成了“+”,得到的结果为6x2-5x-25.
(1)求m的值;
(2)计算这道整式乘法的正确结果.
【答案】(1)解:根据题意可得,
(3x+m)(2x-5)
=6x2-15x+2mx-5m
=6x2-(15-2m)x-5m,
即-5m=-25,
解得m=5;
(2)解:(3x-5)(2x-5)
=6x2-15x-10x+25
=6x2-25x+25.
【解析】【分析】(1)利用多项式乘多项式的计算方法可得(3x+m)(2x-5)=6x2-(15-2m)x-5m,再利用待定系数法可得-5m=-25,最后求出m的值即可;
(2)利用多项式乘多项式的计算方法求解即可。
30.如图1是一个长为4a、宽为b的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形,然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形(如图2).
(1)图2中的阴影部分的面积为 ;
(2)观察图2请你写出(a+b)2、(a-b)2、ab之间的等量关系是 ;
(3)根据(2)中的结论,若x+y=7,xy= ,则x-y= ;
(4)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式.根据图3,写出一个因式分解的等式 .
【答案】(1)(b﹣a)2
(2)(a+b)2﹣(a﹣b)2=4ab
(3)±2
(4)3a2+4ab+b2=(a+b) (3a+b)
【解析】【解答】解:(1)阴影部分是一个正方形,其边长为(b-a),故其面积为:(b﹣a)2
故答案为:(b﹣a)2 ;
(2)整个大正方形的边长为(a+b),面积为(a+b)2,
整个正方形的面积利用割补法得:(a﹣b)2+4ab;
所以(a+b)2﹣(a﹣b)2=4ab ;
故答案为:(a+b)2﹣(a﹣b)2=4ab ;
(3)因为(x+y)2﹣(x﹣y)2=4xy
所以(x-y)2=(x+y)2-4xy
又因 x+y=7,xy= ,
所以(x-y)2=72-4×=4,
∴x-y=±2;
故答案为:±2;
(4)长方形的面积利用割补法计算得:3a2+4ab+b2, 根据长方形的面积等于长乘以宽得:(a+b) (3a+b);
所以3a2+4ab+b2=(a+b) (3a+b);
故答案为:3a2+4ab+b2=(a+b) (3a+b).
【分析】(1)根据阴影部分为一个正方形,其边长为b-a,即可求出面积;
(2)利用图形面积的两种不同计算方法找出(a+b)2、(a-b)2、ab之间的等量关系即可;
(3) ,将x+y与xy的值代入即可求出所求式子的值;
(4)可利用长方形面积的两种表示法列出等式即可.
31.阅读下面的解题过程:
计算2(﹣4a+3b)﹣3(a﹣2b)
解:原式=(﹣8a+6b)﹣(3a﹣6b)(第一步)
=﹣8a+6b﹣3a﹣6b(第二步)
=﹣11a+12b(第三步)
(1)这个题,错误的步骤是 .
A.三步都错
B.第一步和第二步
C.第一步和第三步
D.第二步和第三步
(2)请写出正确的解题步骤.
【答案】(1)D
(2)解: ,
原式 (第一步)
(第二步)
. (第三步)
【解析】【解答】解:(1)第一处不符合题意在第二步;第二处不符合题意在第三步;
故答案为:D;
【分析】(1)根据整式的混合运算的计算法则及步骤判断即可;
(2)利用整式的混合运算计算即可。
32.数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法,借助图的直观性,可以帮助助理解数学问题.
(1)请写出图1,图2,图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式.
图1 , 图2 , 图3 .
(2)用4个全等的长和宽分别为的长方形拼摆成一个如图4的正方形,请你通过计算阴影部分的面积, 写出这三个代数式之间的等量关系.
(3)根据(2)中你探索发现的结论,计算: 当时, 求的值.
【答案】(1)a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2;(a+b)(a-b)=a2-b2
(2)解:∵S阴=(a-b)2=a2-2ab+b2,
S阴=(a+b)2-4ab=a2+2ab+b2-4ab=a2-2ab+b2,
∴(a-b)2=(a+b)2-4ab.
(3)解:∵a+b=5,ab=-6,
∴(a-b)2=(a+b)2-4ab
=52-4×(-6)
=25+24
=49.
又∵a-b>0,
∴a-b=7.
【解析】【解答】解:(1)图一、阴影部分的面积:a2+2ab+b2=(a+b)2;
图2、阴影部分的面积:a2-2ab+b2=(a-b)2;
图3、阴影部分的面积:(a+b)(a-b)=a2-b2.
【分析】(1)根据阴影部分的面积的构成可求解;
(2)图4中的阴影部分的面积S阴是边长为(a-b)的正方形,于是S阴=(a-b)2,S阴也可看作是由边长为(a+b)的正方形的面积减去4个边长为ab的长方形的面积,整理可得(a-b)2=(a+b)2-4ab;
(3)把已知条件代入(2)中的式子计算即可求解.
33.简答下列各题:
(1)已知a2+b2=2,ab=1,求a+b和a-b的值;
(2)若a+=3,那么a2+= ;若a-=3,那么a4+= .
【答案】(1)解:∵a2+b2=2,ab=1,
∴(a+b)2=a2+b2+2ab=2+2=4,即a+b=±2;
(a-b)2=a2+b2-2ab=2-2=0,即a-b=0.
(2)7;119
【解析】【解答】解:(2)
∵a+=3,
∴
若 a-=3,
∴
故答案为:7,119
【分析】(1)利用完全平方公式的变式计算即可;
(2)利用完全平方公式计算即可。
34.在平面直角坐标系中, 是由 平移而得到的,对应点坐标如下表所示:
(1)观察表中各对应点坐标变化,直接写出点C1的坐标;
(2)在平面直角坐标系中画出上述的两个三角形.
【答案】(1)解:观察表中点A和点A1坐标的变化,可知:纵坐标增加2,
点B和点B1坐标的变化可知:横坐标增加4,
则△A1B1C1是由△ABC经过向上平移2个单位,向右平移4个单位得到的,
∴C1(5+4,5+2),即C1(9,7)
(2)解:△ABC及平移后的△A1B1C1如图所示:
【解析】【分析】(1)根据点A、A1的坐标和点B、B1的坐标得到△A1B1C1是由△ABC经过向上平移2个单位,向右平移4个单位得到的,进而即可求解;
(2)根据平移的规律即可求出B1的坐标,最后描点即可求解.
35.已知(x3+mx+n)(x2﹣3x+4)的展开式中不含x3和x2项.
(1)求m与n的值.
(2)在(1)的条件下,求(m+n)(m2﹣mn+n2)的值.
【答案】(1)解:(x3+mx+n)(x2-3x+4)
=x5-3x4+(m+4)x3+(n-3m)x2+(4m-3n)x+4n,
根据展开式中不含x3和x2项得:m+4=0,n-3m=0,
解得:m=-4,n=-12
(2)解:因为(m+n)(m2-mn+n2)
=m3-m2n+mn2+m2n-mn2+n3
=m3+n3,
当m=-4,n=-12时,
原式=(-4)3+(-12)3=-64-1 728=-1 792
【解析】【分析】(1)把原式利用多项式乘以多项式的法则展开并合并同类项,得到x5-3x4+(m+4)x3+(n-3m)x2+(4m-3n)x+4n, 根据展开式中不含x3和x2项可得三次项和二次项的系数为0,解方程组分别求出m、n的值即可.(2)把原式利用多项式乘以多项式的法则展开并合并同类项,得到m3+n3, 再把 m=-4,n=-12 代入m3+n3计算,即可求出原式的值.
36.已知 , .
(1)化简 ;
(2)当 , ,求 的值;
(3)若 的值与y的取值无关,求 的值.
【答案】(1)解:∵ , ,
∴
(2)解:将 , 代入上式得:
原式
(3)解:由(1)可得: ,
∵ 的值与y的取值无关,
∴ ,
解得: ,
∴ .
【解析】【分析】(1)将 , 代入2A-3B,利用整式的混合运算求解即可;
(2)将 , 代入(1)的表达方式求解即可;
(3)由(1)可得,再利用,求出x的值,再代入即可。
37.在下面的网格图中,每个小正方形的边长均为1个单位,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=6.
(1)试作出△ABC以A为旋转中心、沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1;
(2)若点B的坐标为(﹣5,5),试建立合适的直角坐标系,并写出A、C两点的坐标;
(3)作出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2,并写出A2、B2、C2三点的坐标.
【答案】(1)解:如图:
(2)解:如图:A(﹣2,﹣1);C(﹣5,﹣1)
(3)解:如图:A2(2,1)、B2(5,﹣5)、C2(5,1)
【解析】【分析】(1)利用旋转的性质将△ABC以A为旋转中心、沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1;(2)利用B点坐标得出原点位置,进而得出A,C坐标;(3)利用关于原点对称点坐标性质得出A2、B2、C2三点位置进而得出答案.
38.画图并填空:
(1)画出△ABC先向右平移6格,再向下平移2格得到的△A1B1C1.
(2)线段AA1与线段BB1的关系是: .
(3)△ABC的面积是 平方单位.
【答案】(1)解:△A1B1C1如图所示;
(2)平行且相等
(3)解:3.5
【解析】【解答】解:(2)AA1与线段BB1平行且相等;(3)△ABC的面积=3×3﹣ ×2×3﹣ ×3×1﹣ ×2×1
=9﹣3﹣1.5﹣1
=3.5.
【分析】(1)根据网格结构找出点A1、B1、C1的位置,然后顺次连接即可;
(2)根据平移的性质,对应点的连线平行且相等;
(3)利用△ABC所在的正方形的面积减去四周三个小直角三角形的面积,列式计算即可得解.
39.法公式的探究及应用.
(1)如图1,可以求出阴影部分的面积是 (写成两数平方差的形式);
(2)如图2,若将阴影部分裁剪下来,重新拼成一个矩形,它的宽是 ,长是 ,面积是 (写成多项式乘法的形式)
(3)比较图1,图2的阴影部分面积,可以得到乘法公式 (用式子表达)
(4)应用所得的公式计算:(1﹣ (1﹣ )(1﹣ )…(1﹣ )(1﹣ )
【答案】(1)a2﹣b2
(2)a﹣b;a+b;(a+b)(a﹣b)
(3)(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2
(4)解:(1﹣ )(1﹣ )(1﹣ )…(1﹣ )(1﹣ )
=(1﹣ )(1+ )(1﹣ )(1+ )(1﹣ )(1+ )…(1﹣ )(1+ )(1﹣ )(1+ )
= × × × × × ×… × × ×
=
=
【解析】【解答】解:⑴利用正方形的面积公式可知:阴影部分的面积=a2﹣b2;
故答案为:a2﹣b2;
⑵由图可知矩形的宽是a﹣b,长是a+b,所以面积是(a+b)(a﹣b);
故答案为:a﹣b,a+b,(a+b)(a﹣b);
⑶(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2(等式两边交换位置也可);
故答案为:(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2;
【分析】⑴利用正方形的面积公式就可求出;⑵仔细观察图形就会知道长,宽,由面积公式就可求出面积;⑶建立等式就可得出;⑷利用平方差公式就可方便简单的计算.
40.如图,某市有一块长为米,宽为米的长方形地块,规划部门计划将阴影部分进行绿化,中间将修建一座雕像.
(1)求出绿化的面积是多少平方米?
(2)当,时,求出绿化面积.
【答案】(1)解:
(平方米);
答:绿化的面积是平方米;
(2)解:当,时,,
∴绿化面积为31平方米.
【解析】【分析】(1)利用长方形的面积公式及割补法求出绿化面积即可;
(2)将a、b的值代入(1)中代数式,再计算即可.
(1)解:
(平方米);
答:绿化的面积是平方米;
(2)解:当,时,,
∴绿化面积为31平方米.
41.如图,在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′,图中标出了点B的对应点B′.根据下列条件,利用网格点和三角尺画图:
(1)补全△A′B′C′;画出AC边上的中线BD;画出AC边上的高线BE;
(2)求△ABD的面积 .
【答案】(1)
如图所示,△A′B′C′即为所求作三角形
(2)4
【解析】【解答】(2)S△ABD=4×6﹣ ×1×2﹣ ×4×6﹣ ×(1+6)×2=24﹣1﹣12﹣7=4,故答案为:4.
【分析】(1)由点B的对应点B′知,三角形需向左平移5个单位、向下平移2个单位,据此可得;连接AC的中点D与点B即可得;过点B作AC延长线的垂线段即可得;(2)割补法求解可得.
42.如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形,然后按图2的形状拼成一个正方形
(1)
你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少?
(2)
请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积.
方法1:
方法2:
(3)
观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗?代数式:(m+n)2,(m﹣n)2,mn.
(4)
根据(3)题中的等量关系,解决如下问题:若a+b=7,ab=5,则(a﹣b)2= .
【答案】(1) 图2中的阴影部分的正方形的边长等于(m﹣n);
(2)(m+n)2﹣4mn;(m﹣n)2
(3)(m+n)2=(m﹣n)2+4mn
(4)29
【解析】【解答】(2)方法一、阴影部分的面积=(m+n)2﹣2m 2n;方法二、阴影部分的边长=m﹣n;故阴影部分的面积=(m﹣n)2.(3)三个代数式之间的等量关系是:(m+n)2=(m﹣n)2+4mn;(4)(a﹣b)2=(a+b)2﹣4ab=29.
【分析】(1)观察图2,阴影部分的边长就是矩形的长与宽的差,即(m﹣n);(2)本题可以直接求阴影部分正方形的边长,计算面积;也可以用正方形的面积减去四个小长方形的面积,得阴影部分的面积;(3)由(2)即可得出三个代数式之间的等量关系;(4)将a+b=7,ab=5,代入三个代数式之间的等量关系即可求出(a﹣b)2的值.
43.计算:
(1)(﹣3x2y)2 (6xy3)÷(9x3y4)
(2)(x﹣2y)(x+2y)﹣4y(x﹣y)
(3)( a+3b)2﹣( a﹣3b)2
(4)(﹣2)24(﹣0.125)8+20162﹣2015×2017.
【答案】(1)解:原式=9x4y2 (6xy3)÷(9x3y4)=6x2y;
(2)解:原式=x2﹣4y2﹣4xy+4y2=x2﹣4xy;
(3)解:原式=( a+3b+ a﹣3b)( a+3b﹣ a+3b)= a 6b=4ab;
(4)解:原式=[(﹣8)×(﹣0.125)]8+20162﹣(2016﹣1)×(2016+1)=1+20162﹣20162+1=2.
【解析】【分析】(1)原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算,即可得到结果;(2)原式利用平方差公式,单项式乘以多项式法则计算,去括号合并即可得到结果;(3)原式变形后,利用平方差公式与积的乘方运算法则计算即可得到结果.
44.已知 ,点 在 的内部,点 和点 关于 对称,点 关于 的对称点是 ,连接 交 于 ,交 于 ,
(1)补全图,并且保留作图痕迹.
(2)写出 °. 的周长为 .
【答案】(1)解:如图即为所求
(2)60;15
【解析】【解答】解:(2)连接OC、OD、OP、MP、NP,由对称的定义可知AO垂直平分CP,BO垂直平分DP,
易得OM平分 ,ON平分 ,
点M在AO上,点N在BO上
所以 , 的周长为15.
【分析】(1)依据过直线外一点作直线的垂线的作图方法作出过点P的OA的垂线,再由P与点C到OA的距离相等即可确定C点位置,同理可确定点D位置,连接CD即可;(2)由对称的定义可知AO垂直平分CP,BO垂直平分DP,由角平分线的性质可得 ,结合 可得的度数,根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等,可得 ,结合 ,易得 的周长.
45.如图:
(1)矩形A能通过一次轴对称变换与矩形B重合吗?如果可以,请画出对称轴所在直线,并写出表达式;
(2)矩形A能通过一次轴对称变换与矩形B重合吗?如果可以,请你描述变换过程.
【答案】(1)解:矩形A能通过一次轴对称变换与矩形B重合,对称轴为第一、三象限的角平分线,
函数解析式为:y=x;
(2)解:矩形A能通过一次轴对称变换与矩形B重合,沿直线y=x翻折即可
【解析】【分析】(1)矩形A能通过一次轴对称变换与矩形B重合,对称轴为第一、三象限的角平分线,据此可得对应的表达式;
(2)由(1)可得:沿着直线y=x折叠,能使矩形A与矩形B重合.
46.制鞋厂生产的皮鞋按质量共分10个档次,最低档次(即第1档次)的皮鞋每双利润为60元.如果每提高一个档次,每双皮鞋的利润增加10元.最低档次的皮鞋每天可生产240双,每提高一个档次,每天将少生产15双皮鞋.每天生产第几档次的皮鞋所获利润最大?最大利润是多少元?
【答案】解:由题意,生产第档次的皮鞋,每天可生产:
双,
每双利润为:元,
所以每天获利润为:
,
∵,
∴,
∴的最大值为18150,
∴第6档次的皮鞋所获利润最大,最大利润为18150元.
【解析】【分析】根据题意得出每天获利润为:,整理得,根据完全平方的非负性求出最大值即可.
47.某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作:
(1)从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形,如图1,再沿线段AB把纸片剪开,最后把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形,这一过程所揭示的公式是 .
(2)先剪出一个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片,再剪出两张边长分别为a和b的长方形纸片,如图3,最后把剪成的四张纸片拼成如图4的正方形.这一过程你能发现什么代数公式?
(3)先剪出两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片,再剪出三张边长分别为a和占的长方形纸片,如图5,你能否把图5中所有纸片拼成一个长方形?
如果可以,请画出草图,并写出相应的等式.如果不能,请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)解:能拼成长方形.
如图.(不止一种)画图正确得分.
等式: .
(等式左右两边交换不扣分)
【解析】【分析】 (1) 图1阴影部分面积为S1=a2-b2,图1阴影部分面积为S2=,根据展开前后图形的面积相等得到S1=S2,所以 ;
(2) 图3四个图形面积和为S3=a2+b2+2ab,图4的面积S4=(a+b)2,因为图4为图3的四个图形拼成,所以S3=S4,即 ;
(3) 图5六个图形面积和为S5=2a2+b2+3ab,画出的长方形的面积S=(a+b)(2a+b),因为画出的长方形为图5的六个图形拼成,所以S5=S,即 .
48.如图所示:
(1)折叠数轴,若1表示的点与-1表示的点重合,则-2表示的点与数 表示的点重合;
(2)折叠数轴,若-1表示的点与5表示的点重合,则4表示的点与 表示的点重合;
(3)已知数轴上点A表示的数是-1,点B表示的数是2,若点A以每秒1个单位长度的速度在数轴上移动,点B以每秒2个单位长度的速度在数轴上移动,且点A始终在点B的左侧,求经过几秒时,A、B两点的距离为6个单位长度.
【答案】(1)2
(2)0
(3)解:因为点A表示的数是-1,点B表示的数是2,所以A、B两点的距离是3个单位长度,
因为点A 始终在点B的左侧,
所以当点A和点B都向右同时移动时(6-3)÷(2-1)=3(秒),
当点A向左、点B向右同时移动时(6-3)÷(1+2)=1(秒),
答:经过1秒或3秒时,A、B两点的距离为6个单位长度.
【解析】【解答】解:(1)根据题意得:原点为对称轴,即-2对应的点为2,
故答案为:2;(2)根据题意得:2为对称轴,则表示4的点与表示0的点重合,
故答案为:0;
【分析】(1)根据题意过原点且与数轴垂直的直线为对称轴,根据轴对称的性质即可得出答案;
(2)根据题意过表示2的点且与数轴垂直的直线为对称轴,根据轴对称的性质即可得出答案;
(3) 由于点A表示的数是-1,点B表示的数是2,所以A、B两点的距离是3个单位长度, 又 点A 始终在点B的左侧,然后分① 当点A和点B都向右同时移动时 , ②当点A向左、点B向右同时移动 两种情况,考虑即可解决问题。
49.若x满足(9 x)(x 4)=4,求(9 x) (x 4) 的值.
解:设9 x=a,x 4=b,则(9 x)(x 4)=ab=4,a b=(9 x) (x 4)=5
∴(9 x) (x 4) =a +b =(a+b) 2ab=5 —2 4=17
请仿照上面的方法求解下面问题:
(1)若x满足 ,求 的值;
(2)若x满足 ,求 的值
(3)已知正方形ABCD的边长为x,E,F分别是AD、DC上的点,且AE=1,CF=3,长方形 EMFD的面积是48,分别以MF,DF为边长作正方形MFRN和正方形GFDH,求阴影部分的面积.
【答案】(1)解:令a=x-10,b=x-20,
∴ab=15,a-b=10,
∴a2+b2=(a-b)2+2ab=100+30=130,
∴(x-10)2+(x-20)2=130.
(2)解:令m=x-2021,n=x-2022,
∴m-n=1,
∴m2+n2=(m-n)2+2mn=1+2mn=33,
∴mn=16,
∴(x-2021)(x-2022)=16.
(3)解:∵AE=1,CF=3,正方形ABCD的边长为x,
∴DE=x-1,DF=x-3,
∵长方形EMFD的面积是48,
∴(x-1)(x-3)=48,
令c=x-1>0,d=x-3>0,
∴cd=48,c-d=2,
∴(c+d)2=(c-d)2+4cd=4+4×48=196,
∴c+d=14,
∵正方形MFRN和正方形GFDH,
∴S阴影部分=S正方形MFRN-S正方形GFDH
=DE2-DF2
=c2-d2
=(c+d)(c-d)
=14×2
=28.
【解析】【分析】(1)仿照给定方法,令a=x-10,b=x-20,则ab=15,a-b=10,再利用完全平方公式可得a2+b2=(a-b)2+2ab=130,即可求出(x-10)2+(x-20)2的值;
(2)仿照给定方法,令m=x-2021,n=x-2022,则m-n=1,再利用完全平方公式可得m2+n2=(m-n)2+2mn=33,从而求出mn=16,即可求得(x-2021)(x-2022)的值;
(3)由AE=1,CF=3,正方形ABCD边长为x,可得DE=x-1,DF=x-3,由长方形EMFD的面积是48,从而得到(x-1)(x-3)=48,再结合(1)和(2)方法,令c=x-1>0,d=x-3>0,则cd=48,c-d=2,利用完全平方公式得(c+d)2=(c-d)2+4cd=196,从而求得c+d=14,再由S阴影部分=S正方形MFRN-S正方形GFDH和平方差公式可得,S阴影部分=(c+d)(c-d),代入数据求值即可.
50.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点三角形ABC(顶点是网格线的交点).
(1)先将△ABC竖直向上平移6个单位,再水平向右平移3个单位得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1
(2)将△A1B1C1绕B1点顺时针旋转90°,得△A2B1C2,请画出△A2B1C2
(3)线段B1C1变换到B1C2的过程中扫过区域的面积为
【答案】(1)
(2)
(3)π
【解析】【解答】解:(3)
∵BC=3,
∴线段B1C1变换到B1C2的过程中扫过区域的面积为: =π.
故答案为:π.
【分析】(1)根据图形平移的性质画出△A1B1C1;
(2)根据旋转的性质画出△A2B1C2;
(3)利用扇形面积公式求出即可.
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