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【综合题强化训练·50道必刷题】苏科版八年级下册期中数学卷
1．随着社会的发展，私家车变得越来越普及，使用节能低油耗汽车，对环保有着非常积极的意义．某市有关部门对该市的某一型号的若干辆汽车进行了一项油耗抽样试验：在同一条件下，被抽样的该型号汽车，在耗油1L的情况下所行驶的路程(单位：km)。对得到的数据进行统计分析，结果如图所示。
(注：记A为12~12.5，B为12.5~13，C为13~13.5，D为13.5~14，E为14~14.5)
请依据统计结果回答以下问题：
（1）试求进行该试验的车辆数；
（2）请补全频数直方图；
（3）求扇形D的圆心角的度数。
2．如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，且，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，，，求的长．
3．为了了解本校2014-2015学年七年级学生的身体素质情况，体育老师随机抽取了本校50名2014-2015学年七年级学生进行一分钟跳绳次数测试，测试所得样本数据（单位：次）如下：
88 90 92 96 99 102 106 108 110 112
113 115 115 117 118 120 120 123 125 127
130 132 134 134 134 135 136 137 138 138
139 141 142 142 143 144 145 146 148 149
150 152 153 157 160 162 162 165 168 172
（1）记跳绳次数为x，补全下面的样本频数分布表：
组别 次数（x） 频数（人数）
1 80≤x＜100 5
2 100≤x＜120
3 120≤x＜140
4 140≤x＜160
5 160≤x＜180
（2）若该年级有300名学生，请根据样本数据估计该校2014-2015学年七年级学生中一分钟跳绳次数不低于120次的学生大约有多少人？
4．某中学疫情期间为了切实抓好“停课不停学“活动，借助某软件平台随机抽取了该校部分学生的在线学习时间，并将结果给制成如下两幅不完整的统计的图。
请你根据以上信息回答下列问题：
（1）本次调查的人数为 人，学习时间为7小时的所对的圆心角为 ；
（2）
补全频数分布直方图；
（3）
若全校共有学生1800人，估计有多少学生在线学习时间不低于8个小时。
5．如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作 交 的延长线于点E，点F在BC上，且CF=BE，连接DF．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）连接 ，若 ，求 的长．
6．如图1，两张纸片正方形与正方形拼在一起，在边上取，沿，分别剪一刀，将拼至，拼至，无缝隙无重叠，如图2．
（1）求证：．
（2）求证：四边形是正方形．
（3）仿照题中的剪拼方法，剪两刀把图3中两个正方形剪拼成一个更大的正方形，在图中作出剪拼线，并完成拼图．
7．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，使点E落在BD上，得到矩形AEFG，EF与AD相交于点H，连接AF．
（1）求证：BD∥AF；
（2）若AB＝1，BC＝2，求AH的长．
8．在△ABC中，AC=BC，直线MN经过点C，AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E，且AD=CE；
（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：AC⊥BC.
（2）判断AD、BE、DE这三条线段之间的数量关系，并说明理由.
（3）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不必证明.
9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点C作CEBD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：∠ACD＝∠ECD；
（2）连接OE，若AB＝1，tan∠ACD＝2．求OE的长．
10．如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，使B，C，E三点在同一直线上，连结BF，交CD于点G.
（1）求证：CG=CE.
（2）若正方形的边长为4，求菱形BDFE的面积.
11．如图，平行四边形ABCD的对角线 AC，BD 交于点 O，AE⊥BC于点 E，点F在BC延长线上，且CF＝BE．
（1）求证：四边形 AEFD 是矩形；
（2）连接 AF，若 ，BE＝1，AD＝3，求AF的长．
12．《重庆市生活垃圾分类管理办法》于2019年开始实施我校为积极响应政府对垃圾分类处理的号召，开展了垃圾分类网上知识竞赛，并从该校七年级随机抽取了部分学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（根据成绩共分 四个等级），其中获得 等级和 等级的人数相等.
下面给出了相应的条形统计图和扇形统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）共抽取了 名学生；
（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中 等级对应的圆心角的度数；
（3）A等级中有 名同学是女生，学校计划从 等级的学生中抽取 名参加区级垃圾分类网上知识竞赛，则抽到女生的概率是多少？
13．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．
14．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 ， ；
（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你直接写出所有以格点为顶点，OA、OB为勾股边且有对角线相等的勾股四边形OAMB的顶点M的坐标．
（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD、DC，∠DCB=30°．求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
（4）若将图2中△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转a度（0°＜a＜90°），得到△DBE，连接AD、DC，则∠DCB= °，四边形ABCD是勾股四边形．
15．如图，已知E是正方形ABCD的边AB上的一点，延长BC到点F使AE=CF，连接DE，DF．
（1）能通过旋转△DAE得到△DCP吗？说明理由．
（2）连接EF，过点D作DM垂直EF于点M，交BC于点N．若BN=2，CN=3，求AE的长．
16．某校为了增强学生垃圾分类的意识，举办了一次全校学生参与的有关垃圾分类的问卷测试（满分100分，得分均为整数），从中随机抽取部分学生的成绩，如图所示绘制了样本的频数分布表和频数分布直方图．
成绩x（分） 频数（人） 百分比
50≤x＜60 12 12%
60≤x＜70 20 a
70≤x＜80 b c
80≤x＜90 28 28%
90≤x＜100 16 16%
请根据以上图表，回答下列问题：
（1）请直接写出a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）补全频数分布直方图；
（3）若该校有学生1800人，成绩在80分以上为优秀，请你估计该校本次测试成绩优秀的学生有多少人？
17．如图，四边形为平行四边形，为上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接．为的中点，连接．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求的度数．
18．基本图形：在RT△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE．
探索：
（1）连接EC，如图①，试探索线段BC，CD，CE之间满足的等量关系，并证明结论；
（2）连接DE，如图②，试探索线段DE，BD，CD之间满足的等量关系，并证明结论；
（3）联想：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，若BD=7，CD=2，则AD的长为 ．
19．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，线段AB的端点A，B都在正方形网格的格点上.
（1）请在下面的网格中画出平行四边形ABCD，使AD= （点C，D都在正方形网格的格点上，画出一个正确的图形即可）；
（2）在（1）中所画出的平行四边形ABCD的对角线BD的长是 。
20．某商场对今年端午节这天销售A、B、C三种品牌粽子的情况进行了统计，绘制如图1和2所示的统计图．根据图中信息解答下列问题：
（1）这天共销售了多少个粽子？
（2）销售品牌粽子多个个？并补全图1中的条形图；
（3）求出A品牌粽子在图2中所对应的圆心角的度数；
（4）根据上述统计信息，明年端午节期间该商场对A、B、C三种品牌的粽子如何进货？请你提一条合理化的建议．
21．如图，DE是平行四边形ABCD中的∠ADC的平分线，EF∥AD，交DC于F.
（1）求证：四边形AEFD是菱形；
（2）如果∠A=60度，AD=5，求菱形AEFD的面积.
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将线段CA绕点C逆时针旋转60°，得到线段CD，连接AD，BD．
（1）依题意补全图形；
（2）若BC=1，求线段BD的长．
23．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AD的中点，点F、G在CD边上，EF⊥CD，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求CG的长．
24．下面是小明设计的作正方形ABCD的尺规作图过程．
已知：RtABC中，∠ABC＝90°，AB=CB
求作：正方形ABCD．
作法：如图，
①以点A为圆心，BC长为半径作弧；
②以点C为圆心，AB长为半径作弧；
③两弧交于点D．点B和点D在AC异侧；
④连接AD，CD．
所以四边形ABCD是正方形．
（1）根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：
∵AB＝ ▲ ，BC＝ ▲ ，
∴四边形ABCD是平行四边形
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形（ ）（填推理的依据），
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是正方形（ ）（填推理的依据）．
25．如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，∠BAC=∠DAC．
（1）求证：AB=BC；
（2）若AB=4，AC=4 ，求平行四边形ABCD的面积．
26．随着人民生活水平不断提高，我市“初中生带手机”现象也越来越多，为了了解家长对此现象的态度，某校数学课外活动小组随机调查了若干名学生家长，并将调查结果进行统计，得出如下所示的条形统计图和扇形统计图．
（1）这次调查的学生家长总人数为
（2）请补全条形统计图，并求出持“很赞同”态度的学生家长占被调查总人数的百分比．
（3）求扇形统计图中表示学生家长持“无所谓”态度的扇形圆心角的度数．
27．如图，在矩形中，点是线段上的一点，连接.
（1）在线段上求作一点，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图中，猜想和存在的数量关系，并证明你猜想的结论.
28．在中，对角线交于点O，过点O作，交于点E，交于点F，连接．
（1）如图1，求证：四边形是菱形；
（2）如图2，，请直接写出图中的所有等边三角形．
29．重庆实验外国语学校举行了“书香文化节”知识竞赛，从中随机抽取男生、女生各20名同学的竞赛成绩（满分50分）进行整理和分析，得分用x表示．共分成四组：
A：；B：；C：；D：；
下面给出了部分信息：男生在C组的数据个数为5个，20名女生的竞赛成绩为：
50，50，48，44，46，50，46，49，50，48，45，50，50，50，49，48，50，46，50，50．
性别 平均数 中位数 众数 满分率
男生 48.05 48.5 a 45%
女生 48.45 b 50 50%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）根据以上数据，你认为该校女生与男生的竞赛成绩谁更好？请说明理由；
（3）若该校有3000名男生和3200名女生，估计该校竞赛成绩为满分的人数．
30．已知：如图，将绕点旋转一定角度得到，若．
（1）求证：；
（2）若，，求四边形的面积．
31．如图，四边形中，，、交于点O，．
（1）求证：；
（2）E是边上一点，连接交于点F，如果，求证：四边形是平行四边形．
32．“人在草木间，有味是清欢”2022年，“中国传统制茶技艺及其相关习俗”被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，临沧国家级非遗代表性项目滇红茶制作技艺位列其中．某校组织九年级学生参加了茶文化知识竞赛活动，王老师在九年级学生中随机抽取了40名同学的成绩（满分100分），统计并制作了如下的频数分布表和扇形统计图：
组别 得分（m分） 频数 频率
A 5 0.125
B a 0.4
C 12 b
D 5 0.125
E 2 0.05
根据上述信息回答下列问题：
（1）表格中的_ ；_ ；
（2）在扇形统计图中，A组所占部分对应的圆心角为α，则_ ；
（3）该校九年级共有600人，估计该校竞赛得分不低于80分的同学人数．
33．如图，在菱形 中，连接 ．
（1）求证： 是等边三角形；
（2）若BD＝2，则请直接写出菱形 的面积为 ．
34．农历五月初五是我国传统佳节“端午节”民间历来有吃“粽子”的习俗，某区食品厂为了解市民对去年销售量较好的栗子粽、豆沙粽、红枣粽、蛋黄棕、大肉棕（以下分别用A，B，C，D，E表示）这五种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整统计图．
根据以上统计图解答问题：
（1）本次被调查的市民有 人，请补全条形统计图；
（2）扇形统计图中大肉粽对应的圆心角是 度；
（3）若该区有居民约40万人，估计其中喜爱大肉粽的有多少人？
35．某商场对一种新售的手机进行市场问卷调查，其中一个项目是让每个人按A（不喜欢）、B（一般）、C（不比较喜欢）、D（非常喜欢）四个等级对该手机进行评价，图①和图②是该商场采集数据后，绘制的两幅不完整的统计图，请你根据以上统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）本次调查的人数为多少人？A等级的人数是多少？请在图中补全条形统计图．
（2）图①中，a等于多少？D等级所占的圆心角为多少度？
36．在菱形ABCD中，E、F分别是AD和AB的中点，连接BE、DF．
（1）如图（1），求证：BE＝DF；
（2）如图（2），设BE，DF交于点G，连接AC，EF，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有的等腰三角形．
37．如图，在 中，AB=AC， 的中线BE，CD垂直相交于点O，点F、G分别为OB、OC的中点.
（1）求证：四边形DFGE是正方形.
（2）当BC=4时，求AB的长.
38．为了了解业余射击队队员的射击成绩，对某次射击比赛中每一名队员的平均成绩（单位：环，环数为整数）进行了统计，分别绘制了如下统计表和频率分布直方图，请你根据统计表和频率分布直方图回答下列问题：
平均成绩 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
人数 0 1 3 3 4 6 1 0
（1）参加这次射击比赛的队员有多少名？
（2）这次射击比赛平均成绩的中位数落在频率分布直方图的哪个小组内？
（3）这次射击比赛平均成绩的众数落在频率分布直方图的哪个小组内？
39．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．
（1）求证：四边形BPEQ是菱形；
（2）若AB=6，F为AB的中点，OF+OB=9，求PQ的长．
40．如图，已知E、F分别是的边、上的点，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）在中，若，，，求边上的高．
41．某校机器人兴趣小组在如图①所示的矩形场地上开展训练．机器人从点A出发，在矩形ABCD边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动，到达点D时停止移动．已知机器人的速度为1个单位长度/s，移动至拐角处调整方向需要1s（即在B、C处拐弯时分别用时1s）．设机器人所用时间为t（s）时，其所在位置用点P表示，P到对角线BD的距离（即垂线段 PQ的长）为d个单位长度，其中d与t的函数图象如图②所示．
（1）求AB、BC的长；
（2）如图②，点M、N分别在线段EF、GH上，线段MN平行于横轴，M、N的横坐标分别为t1、t2．设机器人用了t1（s）到达点P1处，用了t2（s）到达点P2处（见图①）．若CP1+CP2=7，求t1、t2的值．
42．如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，AB⊥BC，点E，F在边AB上，且∠AED=45°，∠BFC=60°，AE=2，EF=2﹣ ，FC=2 ．
（1）BC= ．
（2）求点D到BC的距离．
（3）求DC的长．
43．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC⊥BD，垂足为点O，点O是线段AC的中点．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AD=5，AC=6，求四边形ABCD的面积．
44．如图，△ABD中，∠ABD＝∠ADB.
（1）作点A关于BD的对称点C；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，连接BC、DC，连接AC，交BD于点O.
①求证：四边形ABCD是菱形；
②取BC的中点E，连接OE，若OE＝ ，BD＝10，求点E到AD的距离.
45．已知点 、 、 在同一条直线上， ，将一个三角板的直角顶点放在点 处如图，（注： ， ， ）.
（1）如图1，使三角板的短直角边 与射线 重合，则 .
（2）如图2，将三角板 绕点 逆时针方向旋转，若 恰好平分 ，请说明 所在射线是 的平分线.
（3）如图3，将三角板 绕点 逆时针转动到使 时，求 的度数.
（4）将图1中的三角板绕点 以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 秒时， 恰好与直线 重合，求 的值.
46．将一副直角三角板如图1，摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，，保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转．
（1）如图2，当为的角平分线时，求此时t的值；
（2）当旋转至的内部时，求与的数量关系；
（3）在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，求此时t的值．
47．已知一副三角板按如图1方式拼接在一起，其中边OA、OC与直线EF重合， ，
（1）图1中
（2）如图2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕着点O按顺时针方向旋转一个角度 ，在转动过程中两块三角板都在直线EF的上方：
①当OB平分OA、OC、OD其中的两边组成的角时，求满足要求的所有旋转角度 的值；
②是否存在 ？若存在，求此时的 的值；若不存在，请说明理由.
48．如图，△ABC与△DCE有公共顶点C，AB=CD，BC=CE，∠ABC=∠DCE=90°.
（1）如图1，当点D在BC延长线上时.
①求证：△ABC≌△DCE.
②判断AC与DE的位置关系，并说明理由.
（2）如图2，△CDE从（1）中位置开始绕点C顺时针旋转，当点D落在BC边上时停止.
①若∠A=60°，记旋转的度数为 ，当 为何值时，DE与△ABC一边平行.
②如图3，若AB=c， BC=a， AC=b， a>c，边BC，DE交于点F，求整个运动过程中，F在BC上的运动路程（用含a， b， c的代数式表示）
49．如图，在矩形 中， ， ．
（1）在图①中， 是 上一点， 垂直平分 ，分别交 、 边于点 、 ，求证：四边形 是菱形；
（2）若菱形 的四个顶点都在矩形 的边上，当菱形的面积最大时，菱形的边长是 ．
50．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=2 ，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
（3）设AE=x，四边形DEFG的面积为S，求出S与x的函数关系式．
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【综合题强化训练·50道必刷题】苏科版八年级下册期中数学卷
1．随着社会的发展，私家车变得越来越普及，使用节能低油耗汽车，对环保有着非常积极的意义．某市有关部门对该市的某一型号的若干辆汽车进行了一项油耗抽样试验：在同一条件下，被抽样的该型号汽车，在耗油1L的情况下所行驶的路程(单位：km)。对得到的数据进行统计分析，结果如图所示。
(注：记A为12~12.5，B为12.5~13，C为13~13.5，D为13.5~14，E为14~14.5)
请依据统计结果回答以下问题：
（1）试求进行该试验的车辆数；
（2）请补全频数直方图；
（3）求扇形D的圆心角的度数。
【答案】（1）解：进行该试验的车辆数为 9÷30%=30(辆)
（2）B：20%×30=6(辆)，
D：30-2-6-9-4= 9(辆)，
补全频数分布直方图如下：
（3）扇形D的圆心角的度数为360°× =108°
【解析】【分析】（1）利用C试验的车辆数÷C试验的车辆数所占的百分比，列式计算可求解.
（2）先求出B，D组的车辆数，再补全频数分布直方图.
（3）扇形D的圆心角的度数=360°×D组的车辆数所占的百分比，列式计算即可.
2．如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，且，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，，，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，．
，，
，
四边形是平行四边形．
又，即，
平行四边形是矩形．
（2）解：平分，．
，，
，．
在中，由勾股定理，得．
由（1）知，四边形DEBF是矩形，
【解析】【分析】（1）首先根据平行四边形的性质，来证明四边形DEBF是平行四边形，又利用题目条件以及矩形的判定 ，证明平行四边形DEBF是矩形.
（2）首先根据平行四边形的性质，所以DC∥AB，利用平行线的性质可以得到∠DFA=∠DAF，所以AD=DF，然后再利用勾股定理解出DE，最后根据矩形的性质解出BF即可.
3．为了了解本校2014-2015学年七年级学生的身体素质情况，体育老师随机抽取了本校50名2014-2015学年七年级学生进行一分钟跳绳次数测试，测试所得样本数据（单位：次）如下：
88 90 92 96 99 102 106 108 110 112
113 115 115 117 118 120 120 123 125 127
130 132 134 134 134 135 136 137 138 138
139 141 142 142 143 144 145 146 148 149
150 152 153 157 160 162 162 165 168 172
（1）记跳绳次数为x，补全下面的样本频数分布表：
组别 次数（x） 频数（人数）
1 80≤x＜100 5
2 100≤x＜120
3 120≤x＜140
4 140≤x＜160
5 160≤x＜180
（2）若该年级有300名学生，请根据样本数据估计该校2014-2015学年七年级学生中一分钟跳绳次数不低于120次的学生大约有多少人？
【答案】（1）10；16；13；6
（2）解：一分钟跳绳次数不低于120次的学生所占的百分比是： ×100%=70%，
则该年级有300名学生中一分钟跳绳次数不低于120次的学生大约有300×70%=210（人）
【解析】【分析】注意：统计数据的个数时，相同的数据有几个算几个，不能按一个算，”不低于120次”是指大于或等于120次
4．某中学疫情期间为了切实抓好“停课不停学“活动，借助某软件平台随机抽取了该校部分学生的在线学习时间，并将结果给制成如下两幅不完整的统计的图。
请你根据以上信息回答下列问题：
（1）本次调查的人数为 人，学习时间为7小时的所对的圆心角为 ；
（2）
补全频数分布直方图；
（3）
若全校共有学生1800人，估计有多少学生在线学习时间不低于8个小时。
【答案】（1）50；12
（2）解：由（1）知学习时间为9h的人数为15人，学习时间7h的人数为12人，补全条形频数分布直方图如下，
（3）解：1800×（30%+40%）=1260（人）
答：有1260学生在线学习时间不低于8个小时。
【解析】【解答】解：（1）总人数：20÷40%=50（人）
学习时间为9h的人数为：50×30%=15（人）
学习时间7h的人数：50-3-15-20=12（人）
学习时间为7小时的所对的圆心角为（12÷50）×360°=86.4°
【分析】（1）已知学习时间为8h的人数和百分数，可以求出总人数；先求出学习时间为7h的人数，再求出百分数，进而求出圆心角的度数。
（2）学习时间为7h的人数，总人数减去6h、8h、9h的人数即可；
（3） 先求出学习时间不低于8个小时的百分数，可以估算出全校学习时间不低于8个小时的人数。
5．如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作 交 的延长线于点E，点F在BC上，且CF=BE，连接DF．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）连接 ，若 ，求 的长．
【答案】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形；
（2）解：由（1）可得：四边形 是矩形，
∵ ，
∴ ，
∴在Rt△AEB中， ，
设BF=x，则 ，
∴在Rt△ABD中，由勾股定理可得 ，
在Rt△DFB中，由勾股定理可得 ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ．
【解析】【分析】（1）由题意易得 ， ，则有 ， ，进而可证 ，则有 ，然后问题可求证；
（2）由（1）可得 ，由勾股定理可得 ，设BF=x，则 ，进而可得 ，最后根据勾股定理可求解．
6．如图1，两张纸片正方形与正方形拼在一起，在边上取，沿，分别剪一刀，将拼至，拼至，无缝隙无重叠，如图2．
（1）求证：．
（2）求证：四边形是正方形．
（3）仿照题中的剪拼方法，剪两刀把图3中两个正方形剪拼成一个更大的正方形，在图中作出剪拼线，并完成拼图．
【答案】（1）证明：在正方形与正方形中，，，．
∵，，
∴．
∵，，
∴．
又∵，
∴．
∴，
∴
（2）证明：由（1）已证：，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴
∵是由拼成的，
∴
∴．
同理．
∴，四边形是正方形，
（3）如图所示，取，沿，分别剪一刀，
将拼至，拼至．
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质和等量转化即可证明AD=ME，通过三角形全等即可求证DM=MF；
（2）结合第一问的结果，通过等量转化求证，再利用三角形拼成的性质和正方形的四条边都相等即可求证四边形DMFN为正方形；
（3）依照图中的作图方法即可画出图形.
7．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，使点E落在BD上，得到矩形AEFG，EF与AD相交于点H，连接AF．
（1）求证：BD∥AF；
（2）若AB＝1，BC＝2，求AH的长．
【答案】（1）证明：如图所示，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转，使点E落在BD上，得到矩形AEFG，
∴∠4=∠EFA，∠DAB=∠FEA=90°，
∴∠4+∠1=∠EFA+∠EAF，
∴∠1=∠EAF，
又∵AE=AB，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠EAF，
∴BD∥AF.
（2）解： ∵BD∥AF，
∴∠3=∠EFA，
∵∠4=∠EFA，
∴∠4=∠3，
∴EH=DH，
∵AB＝1，BC＝2，
∴AE=1，AD=2，
设EH=DH=x，
∴AH=2-x，
在Rt △AEH中，由勾股定理得，AE2+EH2=AH2，即：12+x2=（2-x）2，
解得，x=，
∴AH=2-=.
【解析】【分析】（1）矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AEFG，知∠4=∠EFA，∠DAB=∠FEA=90°，可得∠4+∠1=∠EFA+∠EAF，推出∠1=∠EAF，再由AE=AB可推出∠1=∠2，进而得∠2=∠EAF，即可证明；
（2）由BD∥AF，得∠3=∠EFA，结合∠4=∠EFA，推出∠4=∠3，进而得EH=DH；设EH=DH=x，则AH=2-x，在Rt △AEH中，由勾股定理得，AE2+EH2=AH2，即：12+x2=（2-x）2，解得x，再由AH=AD-DH，即可求解.
8．在△ABC中，AC=BC，直线MN经过点C，AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E，且AD=CE；
（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：AC⊥BC.
（2）判断AD、BE、DE这三条线段之间的数量关系，并说明理由.
（3）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不必证明.
【答案】（1）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
在Rt△ADC和Rt△CEB中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△CEB（HL），
∴∠DAC=∠BCE，
∵∠ADC=90°，即∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，即∠ACB=90°，
∴AC⊥BC；
（2）解：DE=AD+BE，
理由如下：
∵Rt△ADC≌Rt△CEB，
∴DC=BE，
∵AD=CE，
∴DE=DC+CE=AD+BE；
（3）解：AD=DE+BE，
同理可证：Rt△ADC≌Rt△CEB（HL），
∴CD=BE，
∴AD=CE=DE+CD=DE+BE，
∴即AD=DE+BE.
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°，利用HL证明Rt△ADC≌Rt△CEB，再利用全等三角形的性质可推出∠DAC=∠BCE，然后利用直角三角形的两锐角互余可得到∠DAC+∠ACD=90°，由此可推出∠ACB=90°，利用垂直的定义，可证得结论；
（2）利用全等三角形的对应边相等，可证得DC=BE，再根据DE=DC+CE，可证得结论；
（3）同理可证Rt△ADC≌Rt△CEB，利用全等三角形的性质得CD=BE，然后根据AD=CE=DE+CD，可推出线段DE、AD、BE之间的数量关系.
9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点C作CEBD，交AD的延长线于点E．
（1）求证：∠ACD＝∠ECD；
（2）连接OE，若AB＝1，tan∠ACD＝2．求OE的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，∠ADC=90°，BC//DE，
∵CE//BD，
∴四边形BCED是平行四边形，
∴BD=CE，
∴AC=CE，
∴∠ACD=∠ECD；
（2）解：过点O作OF⊥AD于点F，则F为AD的中点．
∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=1，tan∠ACD=2，
∴AB=CD=1，AD=BC，tan∠ACD==2，OB=OD，
∴AD=2，
由（1）知四边形BCED是平行四边形，
∴AD=BC=DE=2，
∵OB=OD，OF⊥AD，
∴ OF=AB=，EF=DE+AD=3，
∴OE=．
【解析】【分析】（1）先证出四边形BCED是平行四边形，可得BD=CE，再结合AC=BD，可得AC=CE，即可得到∠ACD=∠ECD；
（2）过点O作OF⊥AD于点F，则F为AD的中点，先求出OF=AB=，EF=DE+AD=3，再利用勾股定理求出OE的长即可。
10．如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，使B，C，E三点在同一直线上，连结BF，交CD于点G.
（1）求证：CG=CE.
（2）若正方形的边长为4，求菱形BDFE的面积.
【答案】（1）证明：连结DE交BF于点 ，则 .
∵ ，
，
∵
又∵ ，
∴ ，
∴
（2）解：∵正方形的边长 ，
∴
菱形BDFE的面积 ，
∴菱形BDFE的面积为 .
【解析】【分析】（1）连结DE交BF于点，可证得DE⊥BF，利用余角的性质可证得∠CDE=∠CBG，利用ASA可证得△BCG≌△DCE，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
（2）利用正方形的性质和勾股定理求出BD的长，然后利用菱形的面积公式求出菱形BDFE的面积.
11．如图，平行四边形ABCD的对角线 AC，BD 交于点 O，AE⊥BC于点 E，点F在BC延长线上，且CF＝BE．
（1）求证：四边形 AEFD 是矩形；
（2）连接 AF，若 ，BE＝1，AD＝3，求AF的长．
【答案】（1）证明：
∵平行四边形ABCD，
∴，AD＝BC，
∵CF＝BE，
∴CF＋EC＝BE＋EC，
即BC＝EF，
∴，AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形 AEFD是矩形．
（2）解：在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，，BE＝1，
∴，
∴AE＝2，
∵四边形AEFD为矩形，
∴FD＝AE＝2，∠ADF＝90°．
∵AD＝3，
∴AF＝＝＝．
【解析】【分析】（1）先证出四边形AEFD是平行四边形，再结合∠AEF＝90°，即可得到四边形 AEFD是矩形；
（2）先求出AE的长，利用矩形的性质可得FD＝AE＝2，∠ADF＝90°，再结合AD=3，利用勾股定理求出AF的长即可。
12．《重庆市生活垃圾分类管理办法》于2019年开始实施我校为积极响应政府对垃圾分类处理的号召，开展了垃圾分类网上知识竞赛，并从该校七年级随机抽取了部分学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（根据成绩共分 四个等级），其中获得 等级和 等级的人数相等.
下面给出了相应的条形统计图和扇形统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）共抽取了 名学生；
（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中 等级对应的圆心角的度数；
（3）A等级中有 名同学是女生，学校计划从 等级的学生中抽取 名参加区级垃圾分类网上知识竞赛，则抽到女生的概率是多少？
【答案】（1）40
（2）解：D等级的人数为：40－10－15－10＝5（人），
补全条形统计图如下：
B等级对应的圆心角的度数为： ，
答：B等级对应的圆心角的度数为135°
（3）解：抽到女生的概率为 .
【解析】【解答】解：（1）10÷25%＝40（人），
故答案为：40；
【分析】（1）根据A等级人数是10人，所占百分比是25%，据此即可求得抽取的总人数；（2）由（1）可求得D等级的人数，补全条形统计图即可，根据B等级的人数所占百分比×360°即可得到B等级对应的圆心角的度数；（3）根据概率公式即可求得.
13．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．
【答案】（1）【解答】解：如图所示，画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）如图所示，画出△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，
线段BC旋转过程中所扫过得面积S==．
【解析】【分析】（1）根据题意画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1即可；
（2）根据题意画出△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，线段BC旋转过程中扫过的面积为扇形BCC2的面积，求出即可．
14．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 ， ；
（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你直接写出所有以格点为顶点，OA、OB为勾股边且有对角线相等的勾股四边形OAMB的顶点M的坐标．
（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD、DC，∠DCB=30°．求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．
（4）若将图2中△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转a度（0°＜a＜90°），得到△DBE，连接AD、DC，则∠DCB= °，四边形ABCD是勾股四边形．
【答案】（1）矩形；正方形
（2）解：如图1所示：M（3，4），M（4，3）；
（3）解：如图2，连接CE，由旋转得：△ABC≌△DBE，
∴AC=DE，BC=BE，
∵∠CBE=60，
∴△CBE为等边三角形，
∴BC=CE，∠BCE=60，
∵∠DCB=30，
∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=30°+60°=90°，
∴DC2+EC2=DE2，∴DC2+BC2=AC2．
∴即四边形ABCD是勾股四边形．
（4）
【解析】【解答】（1）学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称：矩形，正方形；
（ 4 ）如图3，当∠DCB= ，四边形ABCD是勾股四边形，
理由：连接CE，
由旋转得：△ABC≌△DBE，
∴AC=DE，BC=BE，
又∵∠CBE=α，
∴∠BCE=∠BEC=90°- ，
∴∠DCE=90°，
∴DC2+EC2=DE2，
∴DC2+BC2=AC2．
∴即四边形ABCD是勾股四边形
【分析】（1）根据勾股四边形的定义，可知正方形、矩形直角梯形都是勾股四边形；
（2）如图1中，借助勾股四边形的定义及方格纸的特点，以OA、OB为勾股边且有对角线相等的勾股四边形OAMB的顶点M的坐标为（3，4）或（4，3）；
（3）如图2，连接CE，由旋转得：△ABC≌△DBE，根据全等三角形对应边相等得出AC=DE，BC=BE，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角得出△CBE为等边三角形，根据等边三角形的性质得出BC=CE，∠BCE=60，根据角的和差得出∠DCE=∠DCB+∠BCE=30°+60°=90°，从而得出△DCE是直角三角形即可解决问题；
（4）如图3，当∠DCB=α，四边形ABCD是勾股四边形．连接CE，只要证明△DCE是直角三角形即可解决问题．
15．如图，已知E是正方形ABCD的边AB上的一点，延长BC到点F使AE=CF，连接DE，DF．
（1）能通过旋转△DAE得到△DCP吗？说明理由．
（2）连接EF，过点D作DM垂直EF于点M，交BC于点N．若BN=2，CN=3，求AE的长．
【答案】（1）解：能通过旋转△DAE得到△DCF，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠A=∠DCB=90°，
∴∠DCF=∠A= 90．
在△DAE和△DCF中，
∴△DAE≌△DCF(SAS)，
∴△DCF可以看作由△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到；
（2）解：如图，连接EN，
∵△DAE≌△DCF，
∴DE=DF．
∵DN⊥EF，
∴EM=FM，
∴DN垂直平分EF，
∴NE=FN；
由题意可得BC=5，即正方形ABCD的边长为5，
设AE=CF=x，则BE=5-x，EN=FN=3+x，
由勾股定理，得BE2+BN2=EN2，即(5-x)2 +2=(3+x)2，
解得x=
∴AE= .
【解析】【分析】（1）能通过旋转△DAE得到△DCF，理由如下：由正方形性质得AD=DC，∠A=∠DCB=90°，从而可用SAS判断出△DAE≌△DCF，根据旋转的性质得△DCF可以看作由△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到；
（2）如图，连接EN，根据全等三角形对应边相等得DE=DF，根据等腰三角形的三线合一得EM=FM，
推出DN垂直平分EF，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得NE=FN，易得正方形ABCD的边长为5，设AE=CF=x，则BE=5-x，EN=FN=3+x，在△BEN中，利用勾股定理建立方程求解可得x的值，从而即可得出AE的长.
16．某校为了增强学生垃圾分类的意识，举办了一次全校学生参与的有关垃圾分类的问卷测试（满分100分，得分均为整数），从中随机抽取部分学生的成绩，如图所示绘制了样本的频数分布表和频数分布直方图．
成绩x（分） 频数（人） 百分比
50≤x＜60 12 12%
60≤x＜70 20 a
70≤x＜80 b c
80≤x＜90 28 28%
90≤x＜100 16 16%
请根据以上图表，回答下列问题：
（1）请直接写出a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）补全频数分布直方图；
（3）若该校有学生1800人，成绩在80分以上为优秀，请你估计该校本次测试成绩优秀的学生有多少人？
【答案】（1）20%；24；24%
（2）解：根据b=24补全频数分布直方图如下所示：
（3）解：（人），
答：估计该校本次测试成绩优秀的学生有792人．
【解析】【解答】解：（1）调查的总人数为（人），
则，
，
，
故答案为：，24，；
【分析】（1）先根据50≤x＜60 的频数及其对应的百分比求出样本容量，再用60≤x＜70的频数除以样本容量可得a的值，根据各分数段人数之和等于总人数求出b，进而求出c；
（2）根据（1）所求结果补全图形即可；
（3）用总人数乘以样本中成绩在80分以上的学生的百分比即可。
17．如图，四边形为平行四边形，为上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接．为的中点，连接．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求的度数．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
是的中位线，
，，
为的中点，
，
，，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）先证明，再结合AD=FH，可得四边形是平行四边形；
（2）根据平行四边形的性质可得，利用角的运算求出，再利用三角形的内角和及等腰三角形的性质可得。
18．基本图形：在RT△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE．
探索：
（1）连接EC，如图①，试探索线段BC，CD，CE之间满足的等量关系，并证明结论；
（2）连接DE，如图②，试探索线段DE，BD，CD之间满足的等量关系，并证明结论；
（3）联想：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，若BD=7，CD=2，则AD的长为 ．
【答案】（1）解：结论： ，理由如下：
如图①中，
∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即： ；
（2）解：结论： ．理由如下：连接CE，
由（1）得， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
∴
（3）
【解析】【解答】解：（3）作AE⊥4D，使4E=AD，连接CE，DE.
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE=7，
∵∠ADC=45°，∠EDA=45°，
∴∠EDC=90°。
∴DE= =√8.
∵∠DAE=90°
∴ ，即
∴AD= .
故答案为 ．
【分析】（1）说明△BAD≌OCAE（SAS）即可解答；（2）先说明△BAD≌△CAE，可得BD=CE、∠ACE=∠B，进一步可得∠DCE=90°，最后利用勾股定理即可解答；（3）作AE⊥AD.使AE=AD，连接CE，DE.由△BAD≌△CAE（SAS），推出BD=CE=7，由∠ADC=45°，∠EDA=45°，可得∠EDC=90°，最后利用勾股定理解答即可
19．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，线段AB的端点A，B都在正方形网格的格点上.
（1）请在下面的网格中画出平行四边形ABCD，使AD= （点C，D都在正方形网格的格点上，画出一个正确的图形即可）；
（2）在（1）中所画出的平行四边形ABCD的对角线BD的长是 。
【答案】（1）解：如图所示
（2）
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和勾股定理作图求解即可；
（2）利用勾股定理计算求解即可。
20．某商场对今年端午节这天销售A、B、C三种品牌粽子的情况进行了统计，绘制如图1和2所示的统计图．根据图中信息解答下列问题：
（1）这天共销售了多少个粽子？
（2）销售品牌粽子多个个？并补全图1中的条形图；
（3）求出A品牌粽子在图2中所对应的圆心角的度数；
（4）根据上述统计信息，明年端午节期间该商场对A、B、C三种品牌的粽子如何进货？请你提一条合理化的建议．
【答案】（1）解：销售粽子总数为 =2400（个）；
（2）解：销售B品牌粽子个数为2400﹣1200﹣400=800（个），
补全图1中的条形图，如下：
（3）解：A品牌粽子在图7中所对应的圆心角的度数为 ×360°=60°；
（4）解：根据上述统计信息，明年端午节期间该商场应多进C品牌的粽子，或者少进A品牌的粽子等．
【解析】【分析】（1）用C品牌的销售量除以它所占的百分比即可得销售这三种品牌粽子总个数；
（2）B品牌的销售量=总销售量-1200-400=800个，补全图形即可；
（3）A品牌粽子在图中所对应的圆心角的度数=360°×（400÷2400）=60°；
（4）由于C品牌的销售量最大，所以建议多进C种．
21．如图，DE是平行四边形ABCD中的∠ADC的平分线，EF∥AD，交DC于F.
（1）求证：四边形AEFD是菱形；
（2）如果∠A=60度，AD=5，求菱形AEFD的面积.
【答案】（1）证明：∵DF∥AE，EF∥AD，
∴四边形AEFD是平行四边形，∠2＝∠AED，
又∵DE平分∠ADC，∴∠1＝∠2，
∴∠AED＝∠1．
∴AD＝AE．
∴四边形AEFD是菱形
（2）解：在菱形AEFD中，∵∠DAB＝60°，
∴△AED为等边三角形．
∴DE＝5．连接AF，与DE相交于O，则 ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【解析】【分析】（1） 根据平行四边形的判定及平行线的性质可得四边形AEFD是平行四边形，∠2＝∠AED， 利用角平分线的定义可得∠1＝∠2，利用等量代换可得∠AED＝∠1，从而可得AD＝AE，根据一组邻边相等的平四边形是菱形即证；
（2）先求出△AED为等边三角形， 可得DE=5，连接AF，与DE相交于O，根据菱形的性质可得，利用勾股定理可求出OA，从而可得AF=2OA，由菱形AEFD的面积=AF·DE即可求出结论.
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将线段CA绕点C逆时针旋转60°，得到线段CD，连接AD，BD．
（1）依题意补全图形；
（2）若BC=1，求线段BD的长．
【答案】（1）解：根据线段旋转方法，，如图所示即为所求；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∵ 线段CA绕点C逆时针旋转60°得到线段CD，
∴且，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴ 在中，
．
【解析】【分析】（1）根据要求作出图象即可；
（2）先证明是等边三角形，可得，，再求出，最后利用勾股定理求出BD的长即可。
23．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AD的中点，点F、G在CD边上，EF⊥CD，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求CG的长．
【答案】（1）证明： 四边形 是菱形，
， ，
是 的中点，
是 的中位线，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
四边形 是矩形；
（2）解： 四边形 是菱形，
，
是 的中位线，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
， ，
在 中，由勾股定理得： ，
．
【解析】【分析】（1）证明OE是 的中位线，得到OE//CD，再由OG//EF，得到四边形OEFG是平行四边形，然后证出∠EFG=90°，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得出AD=CD，再由直角三角形斜边上中线的性质可得，再利用勾股定理求出DF=3，即可求解。
24．下面是小明设计的作正方形ABCD的尺规作图过程．
已知：RtABC中，∠ABC＝90°，AB=CB
求作：正方形ABCD．
作法：如图，
①以点A为圆心，BC长为半径作弧；
②以点C为圆心，AB长为半径作弧；
③两弧交于点D．点B和点D在AC异侧；
④连接AD，CD．
所以四边形ABCD是正方形．
（1）根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：
∵AB＝ ▲ ，BC＝ ▲ ，
∴四边形ABCD是平行四边形
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形（ ）（填推理的依据），
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是正方形（ ）（填推理的依据）．
【答案】（1）解：如图，四边形ABCD即为所求；
（2）证明：∵AB＝CD，BC＝AD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）
【解析】【分析】利用正方形的判定方法求解即可。
25．如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，∠BAC=∠DAC．
（1）求证：AB=BC；
（2）若AB=4，AC=4 ，求平行四边形ABCD的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∵∠BAC=∠DAC，
∴∠BAC=∠BCA，
∴AB=BC；
（2）解：连接BD交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC= AC=2 ，OB=OD= BD，
∴OB= ═2，
∴BD=2OB=4，
∴平行四边形ABCD的面积= AC BD= ×
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，根据平行线的性质得出∠DAC=∠BCA，求出∠BAC=∠BCA即可；（2）求出四边形ABCD是菱形，根据勾股定理求出BO，求出BD，根据面积公式求出即可．
26．随着人民生活水平不断提高，我市“初中生带手机”现象也越来越多，为了了解家长对此现象的态度，某校数学课外活动小组随机调查了若干名学生家长，并将调查结果进行统计，得出如下所示的条形统计图和扇形统计图．
（1）这次调查的学生家长总人数为
（2）请补全条形统计图，并求出持“很赞同”态度的学生家长占被调查总人数的百分比．
（3）求扇形统计图中表示学生家长持“无所谓”态度的扇形圆心角的度数．
【答案】（1）200
（2）解：如图所示：
持“很赞同”态度的学生家长占被调查总人数的百分比为：
（200﹣80﹣20﹣60）÷200×100%=20%；
（3）解：学生家长持“无所谓”态度的扇形圆心角的度数为：×360°=36°
【解析】【解答】（1）利用持反对态度的人数和所占百分比进而求出总人数；
（2）利用（1）中所求得出持很赞同态度的人数没进而求出所占百分比；
（3）利用（1）中所求得出学生家长持“无所谓”态度的扇形圆心角的度数．
【分析】此题考查了统计图的应用，利用样本估计总体和扇形圆心角度数的求法.
27．如图，在矩形中，点是线段上的一点，连接.
（1）在线段上求作一点，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图中，猜想和存在的数量关系，并证明你猜想的结论.
【答案】（1）解：如下图：
（2）解：相等，证明如下：
∵四边形为矩形
∴，，
又∵
∴
∴
∴
【解析】【解答】解：（1）连接AC、BD交于点O，以O为圆心，以OE为半径画圆，与BC交点其中的一个即是F，连接DF，如下图：
【分析】（1）连接AC、BD交于点O，以O为圆心，以OE为半径画圆，与BC交点其中的一个即是F，连接DF，则四边形BEDF为平行四边形，∠EDF=∠EBF，由矩形的性质可得∠ADC=∠ABC=90°，则∠FDC=∠ABE；
（2）根据矩形的性质可得∠BAE=∠DCF=90°，AB=CD，AD=BC，证明△ABE≌△CDF，得到AE=CF，然后结合线段的和差关系进行解答.
28．在中，对角线交于点O，过点O作，交于点E，交于点F，连接．
（1）如图1，求证：四边形是菱形；
（2）如图2，，请直接写出图中的所有等边三角形．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴，，
∴，
∴
∴
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形是菱形
（2），，，
【解析】【解答】解：（2）在和中，
，，
，
，
，
是等边三角形，
同理可证明是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
同理可证明：是等边三角形
，，，都是等边三角形．
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再结合，可得四边形是菱形；
（2）利用等边三角形的判定方法求解即可。
29．重庆实验外国语学校举行了“书香文化节”知识竞赛，从中随机抽取男生、女生各20名同学的竞赛成绩（满分50分）进行整理和分析，得分用x表示．共分成四组：
A：；B：；C：；D：；
下面给出了部分信息：男生在C组的数据个数为5个，20名女生的竞赛成绩为：
50，50，48，44，46，50，46，49，50，48，45，50，50，50，49，48，50，46，50，50．
性别 平均数 中位数 众数 满分率
男生 48.05 48.5 a 45%
女生 48.45 b 50 50%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）根据以上数据，你认为该校女生与男生的竞赛成绩谁更好？请说明理由；
（3）若该校有3000名男生和3200名女生，估计该校竞赛成绩为满分的人数．
【答案】（1）50；49.5；15
（2）解：女生的成绩好一些，
理由：女生的平均成绩好于男生，中位数和满分率也大于男生，
故女生的成绩好一些；
（3）解：（人）；
答：估计该校竞赛成绩为满分的人数为2950人．
【解析】【解答】（1）解：男生满分率为45%
众数a=50
把女生的竞赛成绩按从小到大排列为44，45，46，46，48，48，48，49，49，50，50，50，50，50，50，50，50，50，排在中间的数为49，50
中位数
C组所占比为
m=15
故第一空答案为50，第二空答案为49.5.第三空答案为15
【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求出a，b值；求出C组所占百分比即可求出m值。
（2）根据平均数、中位数、众数和满分率的意义即可求出答案。
（3）。
30．已知：如图，将绕点旋转一定角度得到，若．
（1）求证：；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：将绕点旋转一定角度得到，
，，
，
，
，
在与中，
，
；
（2）解：由(1)知，，
，
，，
，
四边形是菱形，
，
设，交于，
，
，
，
四边形的面积．
【解析】【分析】（1）利用“SAS”证明即可；
（2）先证明四边形是菱形，再求出BD的长，最后利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可。
31．如图，四边形中，，、交于点O，．
（1）求证：；
（2）E是边上一点，连接交于点F，如果，求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
，
∴ ；
（2）证明：由（1）知， ， ，
又∵ ，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形．
【解析】【分析】（1）先利用“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得；
（2）先证出，可得，证出，再结合，即可得到四边形 是平行四边形。
32．“人在草木间，有味是清欢”2022年，“中国传统制茶技艺及其相关习俗”被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，临沧国家级非遗代表性项目滇红茶制作技艺位列其中．某校组织九年级学生参加了茶文化知识竞赛活动，王老师在九年级学生中随机抽取了40名同学的成绩（满分100分），统计并制作了如下的频数分布表和扇形统计图：
组别 得分（m分） 频数 频率
A 5 0.125
B a 0.4
C 12 b
D 5 0.125
E 2 0.05
根据上述信息回答下列问题：
（1）表格中的_ ；_ ；
（2）在扇形统计图中，A组所占部分对应的圆心角为α，则_ ；
（3）该校九年级共有600人，估计该校竞赛得分不低于80分的同学人数．
【答案】（1）16；0.3
（2）
（3）解：（人），
答：估计该校竞赛得分不低于80分的同学有315人．
【解析】【解答】（1），
故答案为：16，0.3；
（2）在扇形统计图中，A组所占部分对应的圆心角，
故答案为：；
【分析】（1）根据频率分布表中的数据，得出a，b
（2）根据比例求解扇形角度即可。
33．如图，在菱形 中，连接 ．
（1）求证： 是等边三角形；
（2）若BD＝2，则请直接写出菱形 的面积为 ．
【答案】（1）解：证明 四边形 是菱形，
，
，
，
，
是等边三角形；
（2）
【解析】【解答】由（1）得： 是等边三角形，
菱形 的面积 的面积 ，
故答案为： ．
【分析】（1）先求出∠ABD=∠ADB，再求出∠ABD=∠ADB=∠A，最后证明求解即可；
（2）利用三角形的面积公式计算求解即可。
34．农历五月初五是我国传统佳节“端午节”民间历来有吃“粽子”的习俗，某区食品厂为了解市民对去年销售量较好的栗子粽、豆沙粽、红枣粽、蛋黄棕、大肉棕（以下分别用A，B，C，D，E表示）这五种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整统计图．
根据以上统计图解答问题：
（1）本次被调查的市民有 人，请补全条形统计图；
（2）扇形统计图中大肉粽对应的圆心角是 度；
（3）若该区有居民约40万人，估计其中喜爱大肉粽的有多少人？
【答案】（1）200；喜爱豆沙粽的人数=200-（40+10+50+70）=30（人）
（2）126
（3）解：400000×=140000（人）
答：估计其中喜爱大肉粽的有140000人。
【解析】【解答】解：（1） 本次被调查的市民数=50÷25%=200（人），
（2）大肉粽对应的圆心角=70÷200×360°=126°，
【分析】（1） 本次被调查的市民数=某组的人数÷该组的频率；
喜爱豆沙粽的人数=本次抽查的人数-其他组的人数；
根据求得的数据补充条形图即可；
（2）大肉粽对应的圆心角=抽查中喜爱大肉粽的人数÷本次抽查的人数×360°；
（3） 估计其中喜爱大肉粽的人数=40万×喜爱大肉粽的频率.
35．某商场对一种新售的手机进行市场问卷调查，其中一个项目是让每个人按A（不喜欢）、B（一般）、C（不比较喜欢）、D（非常喜欢）四个等级对该手机进行评价，图①和图②是该商场采集数据后，绘制的两幅不完整的统计图，请你根据以上统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）本次调查的人数为多少人？A等级的人数是多少？请在图中补全条形统计图．
（2）图①中，a等于多少？D等级所占的圆心角为多少度？
【答案】（1）解：根据题意得：46÷23%=200（人），A等级的人数为200﹣（46+70+64）=20（人），
补全条形统计图，如图所示：
（2）解：由题意得：a%= ，即a=10；D等级占的圆心角度数为32%×360°=115.2°
【解析】【分析】（1）根据条形统计图及扇形统计图可知： 对一种新售的手机选择一般态度的人数是46人，所占的百分比是 23%，用对一种新售的手机选择一般态度的人数除以其所占的百分比即可算出 本次调查的总人数；用 本次调查的总人数分别减去对一种新售的手机选择一般态度的人数、对一种新售的手机选择比较喜欢的人数、对一种新售的手机选择喜欢的人数即可算出对一种新售的手机选择不喜欢的人数，即A等级的人数；由于条形统计图的纵轴代表的是人数，根据计算的A等级的人数即可补全条形统计图；
（2）用对一种新售的手机选择不喜欢的人数除以本次调查的总人数再乘以百分之百即可算出a的值；用360°乘以对一种新售的手机选择非常喜欢的人数所占的百分比即可算出 D等级占的圆心角度数。
36．在菱形ABCD中，E、F分别是AD和AB的中点，连接BE、DF．
（1）如图（1），求证：BE＝DF；
（2）如图（2），设BE，DF交于点G，连接AC，EF，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有的等腰三角形．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴ ．
∵E、F分别是AD和AB的中点，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴ ．
∴ ， 为等腰三角形．
∵E、F分别是AD和AB的中点，
∴ ， ．
∴ 为等腰三角形．
∵ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
∴ 为等腰三角形．
∴图中的等腰三角形有 ， ， ， ．
【解析】【分析】（1）根据菱形性质可得 ，再由中点定义可推出 ，利用SAS证明 ，即可证得结论；
（2）分别利用菱形的性质、中点定义及三角形全等找出图中所有的等腰三角形．
37．如图，在 中，AB=AC， 的中线BE，CD垂直相交于点O，点F、G分别为OB、OC的中点.
（1）求证：四边形DFGE是正方形.
（2）当BC=4时，求AB的长.
【答案】（1）证明：连接AO并延长交BC于点M.
∵三角形的三条中线相交于同一点，△ABC的中线BD、CE交于点O，
∴M为BC的中点，
∵AB=AC，
∴AM⊥BC，
∵D，F，G，E分别是AB，OB，OC，AC的中点，
∴DF∥AO，EG//AO，DE//BC，FG∥BC，
∴DF//EG，DE//FG，
∴四边形DFGE是平行四边形，
又AM⊥BC，
∴DF⊥FG；
∴四边形EFGH是矩形，
∵CD⊥BE，
∴四边形DFGE是正方形.
（2）解：由（1）可得∠BOM=∠COM= ∠BOC=45゜，
又AM⊥BC，
∴ △BMO是等腰直角三角形，BM= BC=2，
∴BO= BM=2 ，
∵F是BO的中点，
∴OF= BO=
∴DO=
在Rt△DOB中，由勾股定理得BD=
∵D是AB的中点，
∴AB=2BD=2 .
【解析】【分析】（1）先证明四边形DFGE是平行四边形，再证明四边形EFGH是矩形，最后证明DFGE是正方形即可；
（2）证明△BMO是等腰直角三角形，由勾股定理得BO=2 ，BD= ，由D是AB的中点可得结论.
38．为了了解业余射击队队员的射击成绩，对某次射击比赛中每一名队员的平均成绩（单位：环，环数为整数）进行了统计，分别绘制了如下统计表和频率分布直方图，请你根据统计表和频率分布直方图回答下列问题：
平均成绩 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
人数 0 1 3 3 4 6 1 0
（1）参加这次射击比赛的队员有多少名？
（2）这次射击比赛平均成绩的中位数落在频率分布直方图的哪个小组内？
（3）这次射击比赛平均成绩的众数落在频率分布直方图的哪个小组内？
【答案】（1）解：参加这次射击比赛的队员有：4+6+7+15+1=33（人）
（2）解：33个数，中位数应是大小排序后的第17个数，落在4.5～6.5这个小组内
（3）解：0.5～2.5有4个数，则平均数为2的人数为3；6.5～8.5有15个数，则平均数为7的人数为15﹣6=9人；平均数为5的人数为7﹣4=3；所以众数为7，落在6.5～8.5小组内
【解析】【分析】（1）把各频数相加即可；（2）33个数，中位数应是大小排序后的第17个数；（3）6.5～8.5的频数最多为15．
39．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．
（1）求证：四边形BPEQ是菱形；
（2）若AB=6，F为AB的中点，OF+OB=9，求PQ的长．
【答案】（1）证明：∵PQ垂直平分BE，∴QB=QE，OB=OE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠PEO=∠QBO，在△BOQ与△EOP中， ，∴△BOQ≌△EOP（ASA），∴PE=QB，又∵AD∥BC，∴四边形BPEQ是平行四边形，又∵QB=QE，
∴四边形BPEQ是菱形；
（2）解：∵O，F分别为PQ，AB的中点，
∴AE+BE=2OF+2OB=18，
设AE=x，则BE=18﹣x，
在Rt△ABE中，62+x2=（18﹣x）2，
解得x=8，
BE=18﹣x=10，
∴OB= BE=5，
设PE=y，则AP=8﹣y，BP=PE=y，
在Rt△ABP中，62+（8﹣y）2=y2，解得y= ，
在Rt△BOP中，PO= = ，
∴PQ=2PO= ．
【解析】【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质证明QB=QE，由ASA证明△BOQ≌△EOP，得出PE=QB，证出四边形ABGE是平行四边形，得到QB=QE，再根据菱形的判定即可得出四边形BPEQ是菱形；
（2）根据三角形中位线的性质可得AE+BE=2OF+2OB=18，设AE=x，则BE=18-x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得62+x2=（18-x）2，BE=10，得到OB=5，再勾股定理求出y和PO的值即可PQ的长.
40．如图，已知E、F分别是的边、上的点，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）在中，若，，，求边上的高．
【答案】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD=BC，结合BE=DF，可得AF=EC，根据一组对边平行且相等可证四边形 是平行四边形；
（2）由勾股定理求出BC=10，根据 即可求出AG的长.
41．某校机器人兴趣小组在如图①所示的矩形场地上开展训练．机器人从点A出发，在矩形ABCD边上沿着A→B→C→D的方向匀速移动，到达点D时停止移动．已知机器人的速度为1个单位长度/s，移动至拐角处调整方向需要1s（即在B、C处拐弯时分别用时1s）．设机器人所用时间为t（s）时，其所在位置用点P表示，P到对角线BD的距离（即垂线段 PQ的长）为d个单位长度，其中d与t的函数图象如图②所示．
（1）求AB、BC的长；
（2）如图②，点M、N分别在线段EF、GH上，线段MN平行于横轴，M、N的横坐标分别为t1、t2．设机器人用了t1（s）到达点P1处，用了t2（s）到达点P2处（见图①）．若CP1+CP2=7，求t1、t2的值．
【答案】（1）解：作AT⊥BD，垂足为T，
由题意得，AB=8，AT= ，
在Rt△ABT中，AB2=BT2+AT2，
∴BT= ，
∵tan∠ABD= ，
∴AD=6，
即BC=6
（2）解：在图①中，连接P1P2．过P1，P2分别作BD的垂线，垂足为Q1，Q2．
则P1Q1∥P2Q2．
∵在图②中，线段MN平行于横轴，
∴d1=d2，即P1Q1=P2Q2．∴
P1P2∥BD．
∴ ．
即 ．
又∵CP1+CP2=7，
∴CP1=3，CP2=4．
设M，N的横坐标分别为t1，t2，
由题意得，CP1=15﹣t1，CP2=t2﹣16，
∴t1=12，t2=20
【解析】【分析】（1）作AT⊥BD，垂足为T，由题意得到AB=8，AT= ，在Rt△ABT中，根据勾股定理得到BT= ，根据三角函数的定义即可得到结论；（2）如图，连接P1P2．过P1，P2分别作BD的垂线，垂足为Q1，Q2．则P1Q1∥P2Q2．根据平行线的性质得到d1=d2，得到P1Q1=P2Q2．根据平行线分线段成比例定理得到 ．设M，N的横坐标分别为t1，t2，于是得到结论．
42．如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，AB⊥BC，点E，F在边AB上，且∠AED=45°，∠BFC=60°，AE=2，EF=2﹣ ，FC=2 ．
（1）BC= ．
（2）求点D到BC的距离．
（3）求DC的长．
【答案】（1）3
（2）解：过点D作DG⊥BC于点G，
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴DG=AB，DA⊥AB，
∵FC=2 ，∠BFC=60°，
∴BF=FC cos60°= ，
∴DC=AB=AE+EF+BF=2+2﹣ + =4
（3）解：∵DA⊥AB，∠AED=45°，
∴AD=AE=2，
∵DG⊥BC，AB⊥BC，
∴DG∥AB，
∵AD∥BC，
∴四边形ABGD是平行四边形，
∴BG=AD=2，
∴CG=BC﹣BG=3﹣2=1，
∴在Rt△DCG中，CD= = ．
【解析】【解答】解：（1）∵AB⊥BC，
∴∠B=90°，
∵FC=2 ，∠BFC=60°，
∴BC=FC sin60°=2 × =3；
故答案为：3；
【分析】（1）由AB⊥BC，FC=2 °，∠BFC=60°，直接利用三角函数的知识求解即可求得答案；（2）首先过点D作DG⊥BC于点G，由AD∥BC，AB⊥BC，可得DG=AB，继而求得答案；（3）首先可得四边形ABGD是平行四边形，即可求得CG的长，然后由勾股定理求得答案．
43．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC⊥BD，垂足为点O，点O是线段AC的中点．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AD=5，AC=6，求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）证明：∵AB=AD，
∴点O是BD的中点
∴AC、BD相互垂直平分
∴四边形ABCD是菱形．
（2）解：∵
∴
∴BD＝2DO＝8，
∴菱形ABCD的面积=
【解析】【分析】（1）利用菱形的判定方法求解即可；
（2）先利用勾股定理求出OD的长，再利用菱形的性质可得BD的长，最后利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可。
44．如图，△ABD中，∠ABD＝∠ADB.
（1）作点A关于BD的对称点C；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，连接BC、DC，连接AC，交BD于点O.
①求证：四边形ABCD是菱形；
②取BC的中点E，连接OE，若OE＝ ，BD＝10，求点E到AD的距离.
【答案】（1）解：如图，C为A关于BD的对称点；
（2）解：①如图，由作图可得：
四边形 是平行四边形，
四边形 是菱形.
②如图，E为BC的中点，连接 过 作 垂足为
四边形 是菱形，则 到 的距离等于
为BC的中点，
菱形的面积为：
所以E到AD的距离等于
【解析】【分析】（1）作BD的垂直平分线，连接点A与BD的中点并延长，使A到中点的距离等于点C到中点的距离即可；
（2）①由作图可得：BC=AD，AB=DC，则四边形ABCD是平行四边形，根据∠ABD=∠ADB可得AB=AD，然后利用菱形的判定定理进行证明；
②E为BC的中点，连接OE，过B作BH⊥AD，垂足为H，根据菱形的性质可得AC⊥BD，OB=OD，OA=OC，AB=BC=CD=AD，根据中位线的性质可得CD=2OE=13=AD，OB=OD=5，利用勾股定理求出OC，利用菱形的面积公式可得BH，即点E到AD的距离.
45．已知点 、 、 在同一条直线上， ，将一个三角板的直角顶点放在点 处如图，（注： ， ， ）.
（1）如图1，使三角板的短直角边 与射线 重合，则 .
（2）如图2，将三角板 绕点 逆时针方向旋转，若 恰好平分 ，请说明 所在射线是 的平分线.
（3）如图3，将三角板 绕点 逆时针转动到使 时，求 的度数.
（4）将图1中的三角板绕点 以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 秒时， 恰好与直线 重合，求 的值.
【答案】（1）40°
（2）解：∵OE平分∠AOC，
∴∠COE=∠AOE= ∠COA，
∵∠EOD= ，
∴∠AOE+∠DOB= ，∠COE+∠COD= ，
∴∠COD=∠DOB，
∴OD所在射线是∠BOC的平分线.
（3）解：设∠COD=x度，则∠AOE=4x度，
∵∠DOE= ，∠BOC= ，
∴5x=40，
∴x=8，
即∠COD=
∴∠BOD=
（4）解：如图，分两种情况：
在一周之内，当OE与射线OC的反向延长线重合时，三角板绕点O旋转了 ，
5t=140， t=28；
当OE与射线OC重合时，三角板绕点O旋转了 ，
5t=320，t=64.
所以当t=28秒或64秒时，OE与直线OC重合.
综上所述，t的值为28或64.
【解析】【解答】（1）解：∵∠DOE=∠COE+∠BOC= ，
又∵ ，
∴∠COE= ；
【分析】（1）根据∠DOE=∠COE+∠BOC= 可得结果；
（2）由平角易得 ∠COA 的度数，根据 OE平分∠AOC易得∠COE 的度数，根据 ∠COE+∠COD= 易得∠COD的度数可得结果；
（3） 设∠COD=x度，则∠AOE=4x度， 根据平角易得关于x的方程，根据角的和差可得结果；
（4）分类讨论 当OE与射线OC的反向延长线重合 、 OE与射线OC重合 可得结果.
46．将一副直角三角板如图1，摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，，保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转．
（1）如图2，当为的角平分线时，求此时t的值；
（2）当旋转至的内部时，求与的数量关系；
（3）在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，求此时t的值．
【答案】（1）解：，，
，
平分，
，
，
答：此时t的值是3；
（2）解：当AC旋转至∠DCE的内部时，如图3，∠DCA与∠ECB的数量关系是：∠ECB-∠DCA=15°；
理由是：由旋转得：，
，，
；
（3）解：分四种情况：
①当AB∥DE时，如图4，，
；
②当AB∥CE时，如图5，则，
，
；
③当AB∥CD时，如图6，则，
，
；
④当AC∥DE时，如图7，
，
，
；
综上，t的值是15或24或27或33．
【解析】【分析】（1）先根据三角形的内角和定理算出∠DCE=30°，进而根据角平分线的定义得∠ACE=15°，最后结合旋转速度可算出旋转时间t的值；
（2）当AC旋转至∠DCE的内部时，如图3，∠DCA与∠ECB的数量关系是：∠ECB-∠DCA=15°；理由如下：由旋转得∠ACE=5t，则∠DCA=30°-5t，∠ECB=45°-5t，然后求出∠ECB-∠DCA即可得出结论；
（3）分类讨论：①当AB∥DE时，②当AB∥CE时，③当AB∥CD时，④当AC∥DE时，分别结合平行线的性质及角的和差算出∠ACE的度数，进而结合旋转速度可分别算出旋转时间.
47．已知一副三角板按如图1方式拼接在一起，其中边OA、OC与直线EF重合， ，
（1）图1中
（2）如图2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕着点O按顺时针方向旋转一个角度 ，在转动过程中两块三角板都在直线EF的上方：
①当OB平分OA、OC、OD其中的两边组成的角时，求满足要求的所有旋转角度 的值；
②是否存在 ？若存在，求此时的 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）75
（2）解：①当OB平分∠AOD时，
∵∠AOE＝α，∠COD＝60°，
∴∠AOD＝180° ∠AOE ∠COD＝120° α，
∴∠AOB＝ ∠AOD＝60° α＝45°，
∴α＝30°，
当OB平分∠AOC时，
∵∠AOC＝180° α，
∴∠AOB═90° α＝45°，
∴α＝90°；
当OB平分∠DOC时，
∵∠DOC＝60°，
∴∠BOC＝30°，
∴α＝180° 45° 30°＝105°，
综上所述，旋转角度α的值为30°，90°，105°；
②当OA在OD的左侧时，则∠AOD＝120° α，∠BOC＝135° α，
∵∠BOC＝2∠AOD，
∴135° α＝2（120° α），
∴α＝105°；
当OA在OD的右侧时，则∠AOD＝α 120°，∠BOC＝135° α，
∵∠BOC＝2∠AOD，
∴135° α＝2（α 120），
∴α＝125°，
综上所述，当α＝105°或125°时，存在∠BOC＝2∠AOD.
【解析】【解答】解：（1）∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，
∴∠BOD＝180° ∠AOB ∠COD＝75°，
故答案为：75；
【分析】（1）根据平平角的定义即可得到结论；（2）①根据已知条件和角平分线的定义即可得到结论；②当OA在OD的左侧时，当OA在OD的右侧时，列方程即可得到结论.
48．如图，△ABC与△DCE有公共顶点C，AB=CD，BC=CE，∠ABC=∠DCE=90°.
（1）如图1，当点D在BC延长线上时.
①求证：△ABC≌△DCE.
②判断AC与DE的位置关系，并说明理由.
（2）如图2，△CDE从（1）中位置开始绕点C顺时针旋转，当点D落在BC边上时停止.
①若∠A=60°，记旋转的度数为 ，当 为何值时，DE与△ABC一边平行.
②如图3，若AB=c， BC=a， AC=b， a>c，边BC，DE交于点F，求整个运动过程中，F在BC上的运动路程（用含a， b， c的代数式表示）
【答案】（1）证明：①在△ABC和△DCE中，
∴△ABC≌△DCE（SAS）
AC⊥DE，理由如下：
如图所示，延长AC与DE交于M，
∵△ABC≌△DCE
∴∠ACB=∠E，
又∵∠ACB=∠DCM，∠E+∠D=90°
∴∠DCM+∠D=90°，
∴∠CMD=90°
即AC⊥DE.
（2）解：由题意可得，∠D=∠A=60°，∠E=∠ACB=30°，
（i）当DE∥BC时，如下图所示，
∵DE∥BC，
∴∠BCE=∠E=30°，
所以旋转角度 =90°-30°=60°
（ii）当DE∥AC时，如下图所示，此时BC和CE重合，
由图可知， =∠BCD=90°
（iii）当DE∥AB时，如下图所示，
∵DE∥AB，AB⊥BC
∴DE⊥BC，
∴∠BCE=90°-30°=60°
∴ =90°+∠BCE=150°
综上， 为60°或90°或150°.
②由题意可得，F点从B点开始运动到图1中 点所示位置，然后再继续运动，返回到图2中F点重合，
B点的运动路程为：
图1 图2
【解析】【分析】（1）①由边角边可证全等；②延长AC与DE交于M，由△ABC≌△DCE得∠ACB=∠E，利用等角的余角相等可证结论.（2）①根据题意，作出符合条件的三种情况，易得旋转角度.②根据题意，作出F的最终位置，即可得出运动路径.
49．如图，在矩形 中， ， ．
（1）在图①中， 是 上一点， 垂直平分 ，分别交 、 边于点 、 ，求证：四边形 是菱形；
（2）若菱形 的四个顶点都在矩形 的边上，当菱形的面积最大时，菱形的边长是 ．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEF=∠EFP，
∵EF垂直平分AP，
∴AF=PF ，AE=PE，∠AEF =∠PEF，
∴∠EFP=∠PEF，
∴PE =PF，
∴AF=PF=AE=PE，
∴四边形AFPE是菱形；
（2）
【解析】【解答】解：（2）如图，当点P与点C重合时，菱形 的面积最大．
设AF=CF= ，则BF= ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90 ，
∴ ，即 ，
解得： ．
∴菱形的边长是 ．
故答案为： ．
【分析】（1）利用平行四边形的性质，得到平行，再利用平行线的性质，得到角相等，最后证出思辨相等即可；（2）根据菱形的性质及面积计算方法求解即可。
50．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=2 ，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
（3）设AE=x，四边形DEFG的面积为S，求出S与x的函数关系式．
【答案】（1）解：如图，作EM⊥BC，EN⊥CD
∴∠MEN=90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM=EN，
∵∠DEF=90°，
∴∠DEN=∠MEF，
在△DEM和△FEM中，
，
∴△DEM≌△FEM，
∴EF=DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）解：CE+CG的值是定值，定值为4，
∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE=DG，AD=DC，
∵∠CDG+∠CDE=∠ADE+∠CDE=90°，
∴∠CDG=∠ADE，
∴△ADE≌△CDG，
∴AE=CG．
∴CE+CG=CE+AE=AC= AB= ×2 =4，
（3）解：如图，
∵正方形ABCD中，AB=2 ，
∴AC=4，
过点E作EM⊥AD，
∴∠DAE=45°，
∵AE=x，
∴AM=EM= x，
在Rt△DME中，DM=AD﹣AM=2 ﹣ x，EM= x，
根据勾股定理得，DE2=DM2+EM2=（2 ﹣ x）2+（ x）2=x2﹣4x+8，
∵四边形DEFG为正方形，
∴S=S正方形DEFG=DE2=x2﹣4x+8．
【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到EN=EM，然后判断∠DEN=∠FEM，得到△DEM≌△FEM，则有DE=EF即可；（2）同（1）的方法判断出△ADE≌△CDG得到CG=AE，即：CE+CG=CE+AE=AC=4；（3）由正方形的性质得到∠DAE=45°，表示出AM=EM，再表示出DM，再用勾股定理求出DE2．
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