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【综合题强化训练·50道必刷题】沪科版七年级下册期中数学卷
1．现在越来越多大学生选择回到家乡投身农业，运用知识和技能、提高农业生产效率、农产品品质、推动农村经济发展、传承农村文化、为农村振兴提供新思路．在外地创业成功的大学毕业生小姣响应号召，毅然返乡当起了新农人，创办了果蔬生态种植基地．最近为给基地蔬菜施肥，她准备购买甲、乙两种有机肥，且总费用不超过5650元．已知甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多100元，购买2吨甲种有机肥和1吨乙种有机肥共需1700元．
（1）甲、乙两种有机肥每吨各多少元？
（2）若小姣准备购买甲、乙两种有机肥共10吨，则小姣最多能购买甲种有机肥多少吨？
2．某汽车专卖店销售甲，乙两种型号的新能源汽车．第一周售出甲型汽车和乙型汽车各2辆，销售额为88万元：第二周售出3辆甲型汽车和1辆乙型汽车，销售额为96万元．
（1）求每辆甲型汽车和乙型汽车的售价；
（2）某公司向该店购买甲，乙两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元，则有哪几种购车方案？
3．如图，某公园有一块长为，宽为的长方形空地，规划部门计划在其内部修建一个底座边长为的正方形雕像，左右两边修两条宽为am的长方形道路，其余部分（阴影）种植花卉．
（1）用含a，b，的式子表示种植花卉的面积；
（2）若，，请求出种植花卉的面积．
4．《九章算术》中记载了这样一个问题：“假设头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
（1）求每头牛、羊各值多少两银子？
（2）若某商人准备用两银子买牛和羊共只，要求羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两有剩余，请问商人有几种购买方法？列出所有可能的购买方案．
5．因式分解
（1）a（x﹣y）﹣b（y﹣x）
（2）4x2﹣64
（3）x4﹣18x2+81
（4）81（a+b）2﹣25（a﹣b）2．
6．求不等式（2x﹣1）（x+3）＞0的解集．
解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：① 或 ② ．
解①得x＞ ；解②得x＜﹣3．
∴不等式的解集为x＞ 或x＜﹣3．
请你仿照上述方法解决下列问题：
（1）求不等式（2x﹣3）（x+1）＜0的解集．
（2）求不等式 ≥0的解集．
7．某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．第一周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；第二周售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．
（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元；
（2）甲公司拟向该店购买A、B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？
（3）为了提高营业额，除了A、B两种型号，第三周、第四周专卖店新增了售价为12万元的C种型号的汽车．据统计，第三周第四周总营业额达到380万元，且A、B两种型号共卖出10辆，C不少于12辆，则A型车至少卖出了几辆？
8．某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，其中苹果和梨的批发价格与零售价格如下表：
品种 苹果 梨
批发价（元/kg） 4 3.5
零售价（元/kg） 6 5
（1）若该经营户批发苹果和梨共 500kg，用去了1900元．求该经营户批发苹果和梨各多少 kg？
（2）若该经营户批发苹果和梨共 400kg，假设苹果和梨可以全部售完，该经营户要想利润不少于 675 元，则至少批发苹果多少 kg？（损耗和其他成本忽略不计）
9．
（1）解方程组： ．
（2）解不等式组 并将其解集表示在数轴上．
10．在疫情期间，学校购买甲、乙两种消毒液，已知购买3桶甲种消毒液和4桶乙种消毒液共需170元，购买2桶乙种消毒液比购买3桶甲种消毒液少用50元．
（1）求购买甲、乙两种消毒液每桶各需多少元？
（2）若要购买甲、乙两种消毒液共21桶，且总费用不超过548元，求至多可购进甲种消毒液多少桶？
11．如图①是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”.它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！
如图②是（a+b）n的三个展开式.结合上述两图之间的规律解题：
（1）请直接写出（a+b）4的展开式：（a+b）4＝ .
（2）请结合图②中的展开式计算下面的式：（x+2）3＝ .
12．为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需156元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需284元．
（1）每本科技类图书与每本文学类图书的价格分别为多少元
（2）社区计划购进科技类图书和文学类图书共60本，且总费用不超过2000元，那么最多购进科技类图书多少本
13．某商场准备从供货厂家选购甲、乙两种书包，若购进甲种书包5个和乙种书包4个共需570元；若购进甲种书包6个和乙种书包8个共需940元．
（1）求购进每个甲种、乙种书包的价钱分别为多少元？
（2）若该商场每销售1个甲种书包可获利15元，每销售1个乙种书包可获利20元，且该商场将购进甲、乙两种书包共50个全部售出后，要获得的利润不少于800元，问甲种书包至多购进多少个？
14．计算题
（1）计算：（x+4）2+（x+3）（x﹣3）
（2）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
15．甲、乙两家工厂生产的办公桌和办公椅的质量、价格一致， 每张办公桌800元，每把椅子80元，甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案:甲厂家，买张桌子送三把椅子:乙厂家，桌子和椅子全部按原价的8折优惠现某公司要购买3张办公桌和若干把椅子，若购买的椅子数为x把( ) .
（1）分别用含x的式子表示购买甲、乙两个厂家桌椅所需的金额:购买甲厂家的桌椅所需金额为 ；购买乙厂家的桌椅所需金额为 .
（2）该公司到哪家工厂购买更划算
16．解不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来.
（1）
（2）
17．乘法公式的探究及应用：
（1）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 (用式子表达)；
（2）运用你所得到的公式，计算 .
18．某商场计划从厂家购进甲、乙两种不同型号的电视机，已知进价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元．
（1）若商场购进这两种不同型号的电视机共50台，金额不超过76000元，商场有几种进货方案，并写出具体的进货方案．
（2）在（1）的条件下，若商场销售一台甲、乙型号的电视机的销售价分别为1650元、2300元，以上进货方案中，哪种进货方案获利最多？最多为多少元？
19．乘法公式的探究及应用.
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 （写成多项式乘法的形式）；
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （用式子表达）；
（4）运用你所得到的公式，计算下题：
20．2台大收割机和5台小收割机同时工作2天共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5天共收割小麦8公顷．
（1）求1台大收割机和1台小收割机每天各收割小麦多少公顷？
（2）已知大收割机每台租金600元/天，小收割机每台租金120元/天，某农场准备租用两种收割机共15台，且大收割机的数量不少于小收割机的一半，若每天总租金不超过5000元，设租赁大收割机 台，求该农场的租赁方案？
21．我们用[a]表示不大于a的最大整数，例如：[2.5]=2，[3]=3，[﹣2.5]=﹣3；用＜a＞表示大于a的最小整数，例如：＜2.5＞=3，＜4＞=5，＜﹣1.5＞=﹣1．解决下列问题：
（1）[﹣4.5]= ，＜3.5＞= ．
（2）若[x]=2，则x的取值范围是 ；若＜y＞=﹣1，则y的取值范围是 ．
（3）已知x，y满足方程组 ，求x，y的取值范围．
22．下面是小颍同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解不等式组：．解：去分母，得2（x+2）﹣6＜3（2x﹣1）……第一步去括号，得2x+4﹣6＜6x﹣3．……第二步移项，合并同类项，得﹣4x＜﹣1．……第三步两边同时除以﹣4，得x＜﹣……第四步
（1）上述过程中，第一步的依据是 ；第 步出现错误；
（2）该不等式的解集应为 ．
23．把下列各数填入相应的括号内：
（1）无理数：{ …}；
（2）负实数：{ …}；
（3）整 数：{ …}；
（4）分 数：{ …}；
24．为创建“美丽乡村”，某村计划购买甲、乙两种树苗共400棵，对本村道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．
（1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？
（2）若购买甲种树苗的金额不少了购买乙种树苗的金额，则至少应购买甲种树苗多少棵？
25．某工厂接受了15天内生产1200台GH型电子产品的总任务. 已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成. 工厂现有80名工人，每个工人每天能加工8个G型装置或4个H型装置.工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的G、H型装置数量正好全部配套组成GH型产品.
（1）按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH型电子产品？
（2）为了在规定期限内完成总任务，工厂决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行G 型装置的加工，且每人每天只能加工4个G型装置. 请问至少需要补充多少名新工人？
26．某校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书，调查发现：若购买甲种书柜2个，乙种书柜3个，共需资金720元；若购买甲种书柜3个，乙种书柜2个，共需资金680元．
（1）甲、乙两种书柜的单价分别是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共10个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多提供资金1480元，请你设计几种购买方案供这个学校选择．
27．为美化校园，某学校将要购进A、B两个品种的树苗，已知一株A品种树苗比一株B品种树苗多20元，若买一株A品种树苗和2株B品种树苗共需110元．
（1）问A、B两种树苗每株分别是多少元？
（2）学校若花费不超过4000元购入A、B两种树苗，已知A品种树苗数量是B品种树苗数量的一半，问此次至多购买B品种树苗多少株？
28．如图，数轴的正半轴上有A，B，C三点，表示1和 的对应点分别为A，B，点B到点A的距离与点C到原点的距离相等，设点C所表示的数为x.
（1）请你直接写出 的值；
（2）求 的平方根.
29．某地区有一块长方形水稻试验田，试验田的长、宽（如图所示，长度单位：米），试验田分两部分，一部分为水渠，另一部分为新型水稻种植田（阴影部分）.
（1）用含a，b的式子表示新型水稻种植田的面积是多少平方米（结果化成最简形式）；
（2）若a＝30，b＝40，在“农民丰收节”到来之时水稻成熟，计划先由甲型收割机收割一部分，再由乙型收割机收割剩余部分，甲型收割机收割水稻每平方米的费用为0.3元，乙型收割机收割水稻每平方米的费用为0.5元，若要收割全部水稻的费用不超过5000元，问甲型收割机最少收割多少平方米的水稻？
30．
（1）填空：
；
；
．
（2）猜想：
．（其中n为正整数，且）．
（3）利用（2）猜想的结论计算：
①
②
31．图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法，求图b中阴影部分的面积：
方法1： ； 方法2： ；
（2）观察图b，写出代数式，， 之间的等量关系，并通过计算验证；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值．
32．欣鑫中学开学初准备在商场购进A、B两种品牌的排球，已知购买一个B品牌排球比购买一个A品牌排球多花20元，购买2个A品牌排球和3个B品牌排球共需310元．
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的排球各需多少元？
（2）开学后学校决定再次购进A，B两种品牌排球共50个，恰逢商场对两种品牌排球的售价进行调整，A品牌排球售价比第一次购买时提高了，B品牌排球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌排球的总费用不超过3016元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌排球？
33．某校九年级组织各班级（每班人数都大于40但不超过50）同学观看励志电影，由各班班长负责买票，票价为每张40元．在询问买团体票的优惠情况时，售票员说：“40人以上的团体票有两个优惠方案可选择：方案一是全班同学打7折；方案二是班级中可有6人免费，剩余同学打8折．”
（1）填空：若三班班长说：“我们班无论选择何种方案，付的钱数都是一样的．”那么，三班人数为 ；
（2）若二班班长通过比较发现，确定二班采用方案一比较优惠，求二班的人数．
34．接种新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是战胜病毒的重要手段．北京科兴中维需运输一批疫苗到我市疾控中心，据调查得知，2辆A型冷链运输车与3辆B型冷链运输车一次可以运输600盒；5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1350盒．
（1）求每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输多少盒疫苗；
（2）计划用两种冷链运输车共12辆运输这批疫苗，A型车一次需费用5000元，B型车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500盒，且总费用小于54000元，请求出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？
35．已知a＝ －1，b＝ ＋1.
求：
（1）a2b＋ab2的值；
（2） 的值．
36．为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，现有甲、乙两种客车，原计划租用甲种45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的乙种60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．
（1）求参加此次研学活动的师生共有多少人？
（2）若同时租用两种客车，要使每位师生都有座位，甲种客车数量比乙种客车的5倍多1辆，则至少租用多少台乙种客车？
37．完成下列问题：
（1）若 是关于 的方程 的根，求 的值；
（2）已知 ， 为实数，且 ， 求2xy的值．
38．阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：
∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．
请解答：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
（3）已知：，其中x是整数，且，求的值．
39．
（1）计算：
．
（2）如图，已知直线
和
相交于点O，
，
平分
，
．求
的度数．
40．某中学为丰富学生的校园生活，准备从体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元。
（1）求购买一个足球、一个篮球各需多少元？
（2）根据学校实际情况，需从体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个，要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元，这所中学最多可以购买多少个篮球？
41．有这样的一列数 、 、 、……、 ，满足公式 ，已知 ， .
（1）求 和 的值；
（2）若 ， ，求 的值.
42．观察下列各式
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
（1）根据以上规律，则（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝ ；
（2）你能否由此归纳出一般规律（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）＝ ；
（3）根据以上规律求32018+32017+32016+…32+3+1的结果．
43．若满足.
（1）①设，，则 ▲ ， ▲ ，而 ▲ （用含，的代数式表示）；
②利用①中的信息，求出的值；
（2）如图，点，分别是正方形的边、上的点，满足，为常数，且，长方形的面积是，分别以、为边作正方形和正方形，求阴影部分的面积.
44．围绕“建设国家级现代农业产业示范园区”总体目标，吐鲁番农业产业区发展势头显现，引进多种口感好的葡萄品种，助推吐鲁番乡村振兴．“家乡好”超市看好甲、乙两种葡萄的市场价值，购进甲种葡萄15千克和乙种葡萄20千克需要430元；购进甲种葡萄10千克和乙种葡萄8千克需要212元；
（1）求甲乙两种葡萄的单价；
（2）超市决定每天购进甲、乙两种葡萄共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种葡萄m千克（m为正整数），求有几种购买方案？
45．商场销售甲、乙两种商品，它们的进价和售价如表：
进价(元) 售价(元)
甲 15 20
乙 35 43
（1）若该商场购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求购进甲、乙两种商品各多少件；
（2）该商场为使销售甲、乙两种商品共100件的总利润(利润=售价–进价)不少于750元，
且不超过760元，请你帮助该商场设计相应的进货方案.
46．某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表：
A B
成本(万元/套) 25 28
售价(万元/套) 30 34
（1）该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案？
（2）该公司如何建房获得利润最大？
（3）根据市场调查，每套B型住房的售价不会改变，每套A型住房的售价将会提高
a万元（a＞0），且所建的两种住房可全部售出，该公司如何建房获得利润最大？
47．建设新农村.绿色好家园，为了减小冬季居民取暖带来的环境污染，国家特推出煤改电工程.某学校准各安装一批柜式空调（ 型）和挂壁式空调（ 型）.经市场调查发现， 台 型空调和 台 型空调共需 元； 台 型空调和 台 型空调共需 元.
（1）求 型空调和 型空调的单价.
（2）为响应国家号召，有两家商场分别推出了优惠套餐.甲商场： 型空调和 型空调均打八折出售；乙商场： 型空调打九折出售， 型空调打七折出售.已知某学校需要购买 型空调和 型空调共 台，则该学校选择在哪家商场购买更划算
48．乘法公式的探究及应用：
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积．
方法1： ；
方法2： ；
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的数量关系： ；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：，，求的值；
②已知，求的值．
49．定义：对于任何有理数x，符号表示不大于x的最大整数，即，例如：，，．
（1）填空： ， ．
（2）如果，求满足条件的x的取值范围；
（3）若，求x的值．
50．某学校准备购买若干台A型电脑和B型打印机.如果购买1台A型电脑，2台B型打印机，一共需要花费6200元；如果购买2台A型电脑，1台B型打印机，一共需要花费7900元。
（1）求每台A型电脑和每台B型打印机的价格分别是多少元
（2）如果学校购买A型电脑和B型打印机的预算费用不超过20000元，并且购买B型打印机的台数要比购买A型电脑的台数多1台，那么该学校至多能购买多少台B型打印机
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【综合题强化训练·50道必刷题】沪科版七年级下册期中数学卷
1．现在越来越多大学生选择回到家乡投身农业，运用知识和技能、提高农业生产效率、农产品品质、推动农村经济发展、传承农村文化、为农村振兴提供新思路．在外地创业成功的大学毕业生小姣响应号召，毅然返乡当起了新农人，创办了果蔬生态种植基地．最近为给基地蔬菜施肥，她准备购买甲、乙两种有机肥，且总费用不超过5650元．已知甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多100元，购买2吨甲种有机肥和1吨乙种有机肥共需1700元．
（1）甲、乙两种有机肥每吨各多少元？
（2）若小姣准备购买甲、乙两种有机肥共10吨，则小姣最多能购买甲种有机肥多少吨？
【答案】（1）甲种有机肥每吨600元，乙种有机肥每吨500元
（2）小姣最多能购买甲种有机肥6吨
2．某汽车专卖店销售甲，乙两种型号的新能源汽车．第一周售出甲型汽车和乙型汽车各2辆，销售额为88万元：第二周售出3辆甲型汽车和1辆乙型汽车，销售额为96万元．
（1）求每辆甲型汽车和乙型汽车的售价；
（2）某公司向该店购买甲，乙两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元，则有哪几种购车方案？
【答案】（1）每辆甲型汽车的售价为26元，每辆乙型汽车的售价为18元
（2）购买甲型汽车3辆，购买甲型汽车3辆；或购买甲型汽车4辆，购买甲型汽车2辆
3．如图，某公园有一块长为，宽为的长方形空地，规划部门计划在其内部修建一个底座边长为的正方形雕像，左右两边修两条宽为am的长方形道路，其余部分（阴影）种植花卉．
（1）用含a，b，的式子表示种植花卉的面积；
（2）若，，请求出种植花卉的面积．
【答案】（1）
（2）
4．《九章算术》中记载了这样一个问题：“假设头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
（1）求每头牛、羊各值多少两银子？
（2）若某商人准备用两银子买牛和羊共只，要求羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两有剩余，请问商人有几种购买方法？列出所有可能的购买方案．
【答案】（1）每头牛值两银子，每只羊值两银子；
（2）有商人种购买方案，①购买头牛，只羊；②购买头牛，只羊；③购买头牛，只羊．
5．因式分解
（1）a（x﹣y）﹣b（y﹣x）
（2）4x2﹣64
（3）x4﹣18x2+81
（4）81（a+b）2﹣25（a﹣b）2．
【答案】（1）解：原式=a（x﹣y）+b（x﹣y）
=（x﹣y）（a+b）
（2）解：原式=4（x+4）（x﹣4）
（3）解：原式=（x2﹣9）2；
（4）解：原式=[9（a+b）+5（a﹣b）][9（a+b）﹣5（a﹣b）]
=（x+3）2（x﹣3）2
=4（7a+2b）（7a﹣2b）．
【解析】【分析】（1）根据提公因式法，可得答案；（2）根据平方差公式，可得答案；（3）根据完全平方公式，可得答案；（4）根据平方差公式，可得答案．
6．求不等式（2x﹣1）（x+3）＞0的解集．
解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：① 或 ② ．
解①得x＞ ；解②得x＜﹣3．
∴不等式的解集为x＞ 或x＜﹣3．
请你仿照上述方法解决下列问题：
（1）求不等式（2x﹣3）（x+1）＜0的解集．
（2）求不等式 ≥0的解集．
【答案】（1）解：根据“异号两数相乘，积为负”可得① 或② ，
解①得不等式组无解；解②得，﹣1＜x＜
（2）解：根据“同号两数相除，积为正”可得① ，② ，
解①得，x≥3，解②得，x＜﹣2，
故不等式组的解集为：x≥3或x＜﹣2．
故答案为（1）﹣1＜x＜ ；（2）x≥3或x＜﹣2．
【解析】【分析】（1）、（2）根据题意得出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可．
7．某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．第一周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；第二周售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．
（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元；
（2）甲公司拟向该店购买A、B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？
（3）为了提高营业额，除了A、B两种型号，第三周、第四周专卖店新增了售价为12万元的C种型号的汽车．据统计，第三周第四周总营业额达到380万元，且A、B两种型号共卖出10辆，C不少于12辆，则A型车至少卖出了几辆？
【答案】（1）解：设每辆A型车的售价为x万元，每辆B型车的售价为y万元，
依题意，得：，
解得：．
答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元．
（2）解：设购买A型车m辆，则购买B型车（6﹣m）辆，
依题意，得：，
解得：2≤m≤3．
∵m为正整数，
∴m的值可以为2，3，
∴共有2种购车方案，方案1：购买A型车2辆，B型车4辆；方案2：购买A型车3辆，B型车3辆．
（3）解：设A型车卖出了a辆，则B型车卖出了（10﹣a）辆，
依题意，得：≥12，
解得：a≥3．
答：A型车至少卖出了3辆．
【解析】【分析】（1）设每辆A型车的售价为x万元，每辆B型车的售价为y万元，根据售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元可得方程x+3y=96；根据售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元可得方程2x+y=62，联立求解即可；
（2）设购买A型车m辆，则购买B型车(6-m)辆，根据A型号车不少于2辆可得m≥2，根据购车费不少于130万元可得18m+26(6-m)≥130，联立求解可得m的范围，结合m为正整数可得m的取值，进而可得购车方案；
（3）设A型车卖出了a辆，则B型车卖出了(10-a)辆，根据总营业额-A的营业额-B的营业额，然后除以12表示出C的营业额，然后根据C售价为12万元列出关于a的不等式，求解即可.
8．某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，其中苹果和梨的批发价格与零售价格如下表：
品种 苹果 梨
批发价（元/kg） 4 3.5
零售价（元/kg） 6 5
（1）若该经营户批发苹果和梨共 500kg，用去了1900元．求该经营户批发苹果和梨各多少 kg？
（2）若该经营户批发苹果和梨共 400kg，假设苹果和梨可以全部售完，该经营户要想利润不少于 675 元，则至少批发苹果多少 kg？（损耗和其他成本忽略不计）
【答案】（1）解：设批发苹果 x kg，梨 y kg.
根据题意，列方程组：
解得
答：该经营户批发苹果 300 kg，梨200kg.
（2）解：设批发苹果 m kg，则批发梨(400－m) kg.
根据题意，得(6－4)m＋(5－3.5)(400－m)≥675
解得 m≥150
答：该经营户至少批发苹果150 kg
【解析】【分析】(1)设批发苹果 x kg，梨 y kg，根据“ 苹果和梨共 500kg”和”共花费1900元 ”，列出二元一次方程组求解即可；
(2)设批发苹果 m kg，则批发梨(400－m) kg，根据“ 两种水果的利润之和不少于 675 元 ”列出不等式求解，即可解答.
9．
（1）解方程组： ．
（2）解不等式组 并将其解集表示在数轴上．
【答案】（1）解： ，
由①×2-②得： ，
把 ，代入①可得 ，
方程组的解为： ；
（2）解： ，
解不等式①，得： ，
解不等式②，得： ，
则不等式组的解集为 ，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【解析】【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）先求出不等式组的解集为 ， 再将解集在数轴上表示即可。
10．在疫情期间，学校购买甲、乙两种消毒液，已知购买3桶甲种消毒液和4桶乙种消毒液共需170元，购买2桶乙种消毒液比购买3桶甲种消毒液少用50元．
（1）求购买甲、乙两种消毒液每桶各需多少元？
（2）若要购买甲、乙两种消毒液共21桶，且总费用不超过548元，求至多可购进甲种消毒液多少桶？
【答案】（1）解：设求购买甲、乙两种消毒液每桶各需x元，y元，
依题意，得： ，解得： ，
答：该校购买甲种消毒液每桶需30元，乙种消毒液每桶需20元；
（2）解：设要购进甲种消毒液m桶，则乙种消毒液（21﹣m）桶，
依题意，得：30m+20（21﹣m）≤548，
解得：m≤12.8．
答：最多购买甲种消毒液12桶．
【解析】【分析】（1）设求购买甲、乙两种消毒液每桶各需x元，y元，根据题意列出方程组，解之即可；
（2）设要购进甲种消毒液m桶，则乙种消毒液（21﹣m）桶，根据题意列出不等式，解之即可。
11．如图①是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”.它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！
如图②是（a+b）n的三个展开式.结合上述两图之间的规律解题：
（1）请直接写出（a+b）4的展开式：（a+b）4＝ .
（2）请结合图②中的展开式计算下面的式：（x+2）3＝ .
【答案】（1）a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（2）x3+6x2+12x+8
【解析】【解答】（1）解：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，
故答案为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（ 2 ）解：（x+2）3＝x3+6x2+12x+8，
故答案为：x3+6x2+12x+8
【分析】（1）根据杨辉三角中系数的规律，写出展开式即可；（2）根据得出的系数规律，写出展开式即可.
12．为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需156元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需284元．
（1）每本科技类图书与每本文学类图书的价格分别为多少元
（2）社区计划购进科技类图书和文学类图书共60本，且总费用不超过2000元，那么最多购进科技类图书多少本
【答案】（1）解：设每本科技类图书与每本文学类图书的价格分别为x元，y元，
根据题意，可得，
解得．
答：每本科技类图书的价格为36元，每本文学类图书的价格为28元；
（2）解：设购进科技类图书本，则购进文学类图书本，
根据题意，可得，
解得．
答：最多购进科技类图书40本．
【解析】【分析】（1）根据购买2本科技类图书和3本文学类图书需156元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需284元 ，列方程组即可；
（2）根据社区计划购进科技类图书和文学类图书共60本，且总费用不超过2000元， 列不等式 ， 求解即可。
13．某商场准备从供货厂家选购甲、乙两种书包，若购进甲种书包5个和乙种书包4个共需570元；若购进甲种书包6个和乙种书包8个共需940元．
（1）求购进每个甲种、乙种书包的价钱分别为多少元？
（2）若该商场每销售1个甲种书包可获利15元，每销售1个乙种书包可获利20元，且该商场将购进甲、乙两种书包共50个全部售出后，要获得的利润不少于800元，问甲种书包至多购进多少个？
【答案】（1）解：设甲种书包每个 元，乙种书包每个 元，
根据题意，得： ，
解得： ，
答：甲种书包每个50元，乙种书包每个80元
（2）解：设甲种书包购进 个，
根据题意，得： ，
解得： ，
答：甲种书包最多购进40个．
【解析】【分析】（1）设甲种书包每个 x 元，乙种书包每个 y 元，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设甲种书包购进 个，根据题意列出一元一次不等式求解即可。
14．计算题
（1）计算：（x+4）2+（x+3）（x﹣3）
（2）解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）解：（x+4）2+（x+3）（x﹣3）
=x2+8x+16+x2﹣9
=2x2+8x+7
（2）解： ，
由①得：x≤1，
由②得：x＜4，
∴不等式组的解集为x≤1；
在数轴上表示为
【解析】【分析】（1）首先根据完全平方公和平方差公式计算，再合并同类项即可；（2）分别求出两个不等式的解集，即可得出不等式组的解集，再在数轴上表示即可．
15．甲、乙两家工厂生产的办公桌和办公椅的质量、价格一致， 每张办公桌800元，每把椅子80元，甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案:甲厂家，买张桌子送三把椅子:乙厂家，桌子和椅子全部按原价的8折优惠现某公司要购买3张办公桌和若干把椅子，若购买的椅子数为x把( ) .
（1）分别用含x的式子表示购买甲、乙两个厂家桌椅所需的金额:购买甲厂家的桌椅所需金额为 ；购买乙厂家的桌椅所需金额为 .
（2）该公司到哪家工厂购买更划算
【答案】（1） 元； 元
（2）令 ，
解得
令 ，
解得
令 ，
解得
答：当购买的椅子少于15把，则到甲厂划算；若购买的椅子恰好为15把，则到甲、乙两厂的花费一样；若购买的椅子超过15把，则到乙厂划算.
【解析】【解答】（1）购买甲厂家的桌椅所需金额为： （元）；
购买乙厂家的桌椅所需金额为： （元）；
故答案为 元 ； 元
【分析】（1）根据每张办公桌800元，每把椅子80元， 列代数式计算求解即可；
（2）分类讨论，计算求解即可。
16．解不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来.
（1）
（2）
【答案】（1）解：去括号得：
∴
∴
∴
把这个解集在数轴上表示为：
（2）解：由 得： ，
由 得： ，
∴原不等式组的解集是： ，
把解集在数轴上表示为：
.
【解析】【分析】（1）根据一元一次不等式的解法求解，然后根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来；
（2）先分别解出不等式组中每一个不等式的解集，再根据“大小小大取中间”求公共解集，最后根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来.
17．乘法公式的探究及应用：
（1）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 (用式子表达)；
（2）运用你所得到的公式，计算 .
【答案】（1）
（2）解：(2m+n p)(2m n+p)，
【解析】【解答】(1)解：左图阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积：
宽：a b，长：a+b， 面积为：(a+b)(a b)
乘法公式为：
【分析】（1）根据图1表示出图2的宽和长，再根据矩形的面积列式，再根据阴影部分的面积相等解答；（2）把（n-p）看作一个整体，然后利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可得解．
18．某商场计划从厂家购进甲、乙两种不同型号的电视机，已知进价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元．
（1）若商场购进这两种不同型号的电视机共50台，金额不超过76000元，商场有几种进货方案，并写出具体的进货方案．
（2）在（1）的条件下，若商场销售一台甲、乙型号的电视机的销售价分别为1650元、2300元，以上进货方案中，哪种进货方案获利最多？最多为多少元？
【答案】（1）解：设购进甲种型号的电视机x台，则乙种型号的电视机（50﹣x）台．则
1500x+2100（50﹣x）≤76000，
解得 x≥48 ．
则50≥x≥48 ．
∵x是整数，
∴x＝49或x＝50．
故有2种进货方案：
方案一：是购进甲种型号的电视机49台，乙种型号的电视机1台；
方案二：是甲种型号的电视机50台，乙种型号的电视机0台
（2）解：方案一的利润为：49×（1650﹣1500）+（2300﹣2100）＝7550（元）
方案二的利润为：50×（1650﹣1500）＝7500（元）．
∵7550＞7500
∴方案一的利润大，最多为7550元．
【解析】【分析】（1）设购进甲种型号的电视机x台，则乙种型号的电视机（50﹣x）台．则列出不等式，解之即可得出x的取值范围，即可得出方案；
（2）利用（1）中的方案，代入计算即可得出答案。
19．乘法公式的探究及应用.
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 （写成多项式乘法的形式）；
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （用式子表达）；
（4）运用你所得到的公式，计算下题：
【答案】（1）
（2）a-b；a+b；(a+b)(a-b)
（3）
（4）解：原式
；
【解析】【解答】解：（1）利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积 ；
故答案为： ；
（2）由图可知矩形的宽是a-b，长是a+b，所以面积是 ；
故答案为：a-b，a+b， ；
（3） （等式两边交换位置也可）；
故答案为： ；
【分析】（1）利用正方形的面积公式进行解答；
（2）由图可知矩形的宽是a-b，长是a+b，然后根据矩形的面积公式进行计算；
（3）由图1、图2面积相等可得乘法公式；
（4）原式可变形为(100+3)×(100-3)，然后利用平方差公式计算.
20．2台大收割机和5台小收割机同时工作2天共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5天共收割小麦8公顷．
（1）求1台大收割机和1台小收割机每天各收割小麦多少公顷？
（2）已知大收割机每台租金600元/天，小收割机每台租金120元/天，某农场准备租用两种收割机共15台，且大收割机的数量不少于小收割机的一半，若每天总租金不超过5000元，设租赁大收割机 台，求该农场的租赁方案？
【答案】（1）设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x、y公顷，则：
，
解得： ；
∴1台大收割机和1台小收割机每天各收割小麦0.4公顷和0.2公顷；
（2）设大收割机为a台，则小收割机为（15-a）台，则
，
解不等式组得：5≤a≤6 ，
∵a取整数，
∴a=5或6．
共有2种方案，
大收割机5台，小收割机10台，每天收割小麦0.4×5+0.2×10=4（公顷）；
大收割机6台，小收割机9台，每天收割小麦0.4×6+0.2×9=4.2（公顷）；
答：共有2种方案，方案一：大收割机5台，小收割机10台；方案二：大收割机6台，小收割机9台．
【解析】【分析】（1）此题可设1台大型收割机和1台小型收割机工作1天各收割小麦x公顷和y公顷，根据题中的等量关系列出二元一次方程组解答即可；（2）大收割机为a台，则小收割机为（15-a）台．由“两种收割机共15台，要求大收割机的数量不少于小收割机的一半”和“每天总租金不超过5000元”列出关于a的不等式组，通过解不等式组求得整数a的值，从而得到结果．
21．我们用[a]表示不大于a的最大整数，例如：[2.5]=2，[3]=3，[﹣2.5]=﹣3；用＜a＞表示大于a的最小整数，例如：＜2.5＞=3，＜4＞=5，＜﹣1.5＞=﹣1．解决下列问题：
（1）[﹣4.5]= ，＜3.5＞= ．
（2）若[x]=2，则x的取值范围是 ；若＜y＞=﹣1，则y的取值范围是 ．
（3）已知x，y满足方程组 ，求x，y的取值范围．
【答案】（1）﹣5；4
（2）2≤x＜3；﹣2≤y＜﹣1
（3）解：解方程组得： ，
∴x，y的取值范围分别为﹣1≤x＜0，2≤y＜3．
【解析】【解答】解：（1）由题意得，[﹣4.5]=﹣5，＜3.5＞=4；
2）∵[x]=2，
∴x的取值范围是2≤x＜3；
∵＜y＞=﹣1，
∴y的取值范围是﹣2≤y＜﹣1；
【分析】（1）根据题目所给信息求解；（2）根据[2.5]=2，[3]=3，[﹣2.5]=﹣3，可得[x]=2中的2≤x＜3，根据＜a＞表示大于a的最小整数，可得＜y＞=﹣1中，﹣2≤y＜﹣1；（3）先求出[x]和＜y＞的值，然后求出x和y的取值范围．
22．下面是小颍同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解不等式组：．解：去分母，得2（x+2）﹣6＜3（2x﹣1）……第一步去括号，得2x+4﹣6＜6x﹣3．……第二步移项，合并同类项，得﹣4x＜﹣1．……第三步两边同时除以﹣4，得x＜﹣……第四步
（1）上述过程中，第一步的依据是 ；第 步出现错误；
（2）该不等式的解集应为 ．
【答案】（1）不等式的基本性质2|四
（2）x＞
【解析】【解答】解：（1）上述过程中，第一步的依据是是不等式的基本性质2；第四步开始出现错误；
（2）该不等式的解集应为x＞
．
故答案为：不等式的基本性质2；四；x＞
．
【分析】（1）利用不等式的性质求解即可；
（2）先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1即可。
23．把下列各数填入相应的括号内：
（1）无理数：{ …}；
（2）负实数：{ …}；
（3）整 数：{ …}；
（4）分 数：{ …}；
【答案】（1）解：无理数：
（2）解：负实数：
（3）解：整 数：
（4）解：分 数：
【解析】【分析】根据无理数、负实数、整数和分数的定义逐一判断即可.
24．为创建“美丽乡村”，某村计划购买甲、乙两种树苗共400棵，对本村道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．
（1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？
（2）若购买甲种树苗的金额不少了购买乙种树苗的金额，则至少应购买甲种树苗多少棵？
【答案】（1）解：设购买甲种树苗x棵，乙种树苗y棵，
，
解得， ，
即购买甲种树苗300棵，乙种树苗100棵
（2）解：设购买甲种树苗a棵，
200a≥300（400﹣a）
解得，a≥240，
即至少应购买甲种树苗240棵
【解析】【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，从而可以求得需购买甲、乙两种树苗各多少棵；（2）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得至少应购买甲种树苗多少棵．
25．某工厂接受了15天内生产1200台GH型电子产品的总任务. 已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成. 工厂现有80名工人，每个工人每天能加工8个G型装置或4个H型装置.工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的G、H型装置数量正好全部配套组成GH型产品.
（1）按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH型电子产品？
（2）为了在规定期限内完成总任务，工厂决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行G 型装置的加工，且每人每天只能加工4个G型装置. 请问至少需要补充多少名新工人？
【答案】（1）解：设安排x名工人生产G型装置，则安排（80﹣x）名工人生产H型装置，
根据题意得： ，
解得：x=32，
∴ .
答：按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成64套GH型电子产品.
（2）解：设招聘a名新工人加工G型装置
仍设x名工人加工G型装置，（80-x）名工人加工H型装置，
根据题意，
，
整理可得， ，
另外，注意到 ，即x≤20，
于是 ，
解得：a≥40，
答：至少应招聘40名新工人.
【解析】【分析】（1）设安排x名工人生产G型装置，则安排(80-x)名工人生产H型装置，根据题意可得x名工人每天能加工8x个G型装置，(80-x)名工人每天能加工4(80-x)个H型装置，然后根据每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成列出关于x的方程，求解即可；
（2）设招聘a名新工人加工G型装置，x名工人加工G型装置，(80-x)名工人加工H型装置，由题意可得共可加工（8x+4a）个G型装置，4(80-x)个H型装置，然后根据每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成列出方程，表示出x，根据题意可得 ，求出x的范围，进而可得a的范围.
26．某校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书，调查发现：若购买甲种书柜2个，乙种书柜3个，共需资金720元；若购买甲种书柜3个，乙种书柜2个，共需资金680元．
（1）甲、乙两种书柜的单价分别是多少元？
（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共10个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多提供资金1480元，请你设计几种购买方案供这个学校选择．
【答案】（1）解：设甲种书柜单价为x元，乙种书柜单价为y元，
则根据题意，得
解得
∴甲种书柜单价为120元，乙种书柜单价为160元．
（2）解：设购进甲种书柜a个，乙种书柜（）个，
则由
解得．
∵a为正整数，
∴，4，5，
∴共有3种购买方案，分别是：
方案1：购甲种书柜3个，乙种书柜7个．
方案2：购甲种书柜4个，乙种书柜6个．
方案3：购甲种书柜5个，乙种书柜5个．
【解析】【分析】（1）先求出，再解方程组即可；
（2）先求出，再求出 ，最后作答即可。
27．为美化校园，某学校将要购进A、B两个品种的树苗，已知一株A品种树苗比一株B品种树苗多20元，若买一株A品种树苗和2株B品种树苗共需110元．
（1）问A、B两种树苗每株分别是多少元？
（2）学校若花费不超过4000元购入A、B两种树苗，已知A品种树苗数量是B品种树苗数量的一半，问此次至多购买B品种树苗多少株？
【答案】（1）解：设A种树苗每株x元，B种树苗每株y元，依题意有
，
解得 ．
故A种树苗每株50元，B种树苗每株30元．
（2）解：设购买B种树苗z株，依题意有 ，
解得：z ，
z取最大整数，
所以z＝72，
答：此次至多购买B品种树苗72株．
【解析】【分析】（1）
设A种树苗每株x元，B种树苗每株y元，根据'一株A品种树苗比一株B品种树苗多20元"可得x-y=20，根据“若买一株A品种树苗和2株B品种树苗共需110元”，可得x+2y=110,然后联立方程组，解出即可.
（2）
设购买B种树苗z株，根据"
已知A品种树苗数量是B品种树苗数量的一半 "，列出一元一次不等式，解出即可.
28．如图，数轴的正半轴上有A，B，C三点，表示1和 的对应点分别为A，B，点B到点A的距离与点C到原点的距离相等，设点C所表示的数为x.
（1）请你直接写出 的值；
（2）求 的平方根.
【答案】（1） -1
（2）解：∵x= -1，
∴(x )2=( 1 )2＝1，
∴1的平方根为±1.
【解析】【解答】解：（1）∵点A、B分别表示1， ，
∴AB= -1，即x= -1；
故答案为： -1；
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离求出AB之间的距离即为x的值；
（2）把x的值代入所求代数式进行计算即可.
29．某地区有一块长方形水稻试验田，试验田的长、宽（如图所示，长度单位：米），试验田分两部分，一部分为水渠，另一部分为新型水稻种植田（阴影部分）.
（1）用含a，b的式子表示新型水稻种植田的面积是多少平方米（结果化成最简形式）；
（2）若a＝30，b＝40，在“农民丰收节”到来之时水稻成熟，计划先由甲型收割机收割一部分，再由乙型收割机收割剩余部分，甲型收割机收割水稻每平方米的费用为0.3元，乙型收割机收割水稻每平方米的费用为0.5元，若要收割全部水稻的费用不超过5000元，问甲型收割机最少收割多少平方米的水稻？
【答案】（1）解：新型水稻种植田的面积为（3b+b﹣a）（2b+b﹣a）﹣（b﹣a）2
＝（4b﹣a）（3b﹣a）﹣（b﹣a）2
＝12b2﹣4ab﹣3ab+a2﹣b2+2ab﹣a2
＝11b2﹣5ab
（2）解：当a＝30，b＝40时，新型水稻种植田的面积11b2﹣5ab＝11600（平方米），
设甲型收割机收割水稻a平方米，则乙型收割机收割水稻面积为（11600﹣a）平方米，
根据题意，得：0.3a+0.5（11600﹣a）≤5000，
解得：a≥4000，
答：甲型收割机最少收割4000平方米的水稻
【解析】【分析】（1）根据阴影部分的面积=大矩形的面积-水渠的面积，列出代数式，然后根据整式混合运算顺序化简即可；
（2）将 a＝30，b＝40 代入（1）化简的结果算出 新型水稻种植田的面积 ， 设甲型收割机收割水稻a平方米，则乙型收割机收割水稻面积为（11600﹣a）平方米， 然后利用甲型收割机收割一部分的费用+乙型收割机收割剩余部分的费用 不超过5000元 列出不等式，求解得出最大整数解即可。
30．
（1）填空：
；
；
．
（2）猜想：
．（其中n为正整数，且）．
（3）利用（2）猜想的结论计算：
①
②
【答案】（1）；；
（2）
（3）解：①
；
②∵
即
．
【解析】【解答】（1）；
；
；
故答案分别为：，，；
（2）由（1）的规律可得：原式，
故答案为：；
【分析】(1)利用平方差公式化简可得）的结果；根据多项式乘以多项式运算法则计算即可得出和的结果；
(2) 利用(1)中的结果，进行归纳总结，即可得出规律；
(3)根据(2)中得出的规律将原式变形分别计算即可.
31．图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法，求图b中阴影部分的面积：
方法1： ； 方法2： ；
（2）观察图b，写出代数式，， 之间的等量关系，并通过计算验证；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值．
【答案】（1）；
（2）解：由题意可知：，
∵，，
∴，
（3）解：由（2）可知：
，
∵，，
∴，
【解析】【解答】（1）解：方法1：求出小正方形的边长再求面积，可知阴影部分面积为：；
方法2：利用大正方形的面积减去4个小矩形的面积，可知阴影部分的面积为：；
故答案为：；；
【分析】（1）方法1：阴影部分是一个边长为（m-n）的正方形，直接求出正方形的面积；方法2：利用边长为（m+n）的大正方形的面积减去4个小矩形的面积；
（2）由（1）结论可得，分别利用完全平方公式将等式的左边右边化简，再比较即可；
（3）由（2）可知：， 再整体代入计算即可.
32．欣鑫中学开学初准备在商场购进A、B两种品牌的排球，已知购买一个B品牌排球比购买一个A品牌排球多花20元，购买2个A品牌排球和3个B品牌排球共需310元．
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的排球各需多少元？
（2）开学后学校决定再次购进A，B两种品牌排球共50个，恰逢商场对两种品牌排球的售价进行调整，A品牌排球售价比第一次购买时提高了，B品牌排球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌排球的总费用不超过3016元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌排球？
【答案】（1）购买一个A品牌的排球需要50元、一个B品牌的排球70元
（2）35个
33．某校九年级组织各班级（每班人数都大于40但不超过50）同学观看励志电影，由各班班长负责买票，票价为每张40元．在询问买团体票的优惠情况时，售票员说：“40人以上的团体票有两个优惠方案可选择：方案一是全班同学打7折；方案二是班级中可有6人免费，剩余同学打8折．”
（1）填空：若三班班长说：“我们班无论选择何种方案，付的钱数都是一样的．”那么，三班人数为 ；
（2）若二班班长通过比较发现，确定二班采用方案一比较优惠，求二班的人数．
【答案】（1）48
（2）解：设二班有y人，由题意可得y×40×0.7<(y-6)×0.8×40，
解得y>48.
∵每班人数都大于40但不超过50，
∴二班可能是49或50人.
【解析】【解答】解：（1）设三班有x人，由题意可得x×40×0.7=(x-6)×0.8×40，
解得x=48，
∴三班有48人.
故答案为：48.
【分析】（1）设三班有x人，则方案一的费用为x×40×0.7，方案二的费用为(x-6)×0.8×40，然后根据两种方案付的钱数一样建立方程，求解即可；
（2）设二班有y人，根据（1）表示出的方案一、方案二的费用，结合采用方案一比较优惠可得关于y的不等式，求出y的范围，结合每班人数都大于40但不超过50可得二班的人数.
34．接种新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是战胜病毒的重要手段．北京科兴中维需运输一批疫苗到我市疾控中心，据调查得知，2辆A型冷链运输车与3辆B型冷链运输车一次可以运输600盒；5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1350盒．
（1）求每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输多少盒疫苗；
（2）计划用两种冷链运输车共12辆运输这批疫苗，A型车一次需费用5000元，B型车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500盒，且总费用小于54000元，请求出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？
【答案】（1）每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输150盒疫苗、100盒疫苗
（2）方案一：A型车6辆，B型车6辆，所需费用最少，最少费用是48000元
35．已知a＝ －1，b＝ ＋1.
求：
（1）a2b＋ab2的值；
（2） 的值．
【答案】（1）解：∵ab＝1,a＋b＝2 ,
∴a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝2 ,
（2）解： ＝ = ,
∵ab＝1,a＋b＝2 ,
∴ ＝ = .
【解析】【分析】(1)先将代数式进行因式分解,然后再分别计算两个数的和,两个数的乘积,最后代入分解后的代数式即可求解,(2)先将分式通分,然后根据完全平方公式变形,再将两个数的和,两个数的乘积代入变形后的代数式计算即可求解.
36．为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，现有甲、乙两种客车，原计划租用甲种45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的乙种60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．
（1）求参加此次研学活动的师生共有多少人？
（2）若同时租用两种客车，要使每位师生都有座位，甲种客车数量比乙种客车的5倍多1辆，则至少租用多少台乙种客车？
【答案】（1）参加此次研学活动的师生共有600人
（2）至少租用2台乙种客车
37．完成下列问题：
（1）若 是关于 的方程 的根，求 的值；
（2）已知 ， 为实数，且 ， 求2xy的值．
【答案】（1）解:由题意得
∵
∴ 得 ＝－2
（2）解：依据题意有 ，则x=
∴2xy＝－15
【解析】【分析】（1）n是方程的根，则将n的值代入必定满足方程；（2）二次根式的被开方数大于等于0，据此求出x、y的值。
38．阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：
∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．
请解答：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
（3）已知：，其中x是整数，且，求的值．
【答案】（1）4；-4
（2）解：∵＜＜
即：3＜＜4，
∴a＝－3
∵10＜＜11，
∴b＝10
∴a＋b－=－3＋10－＝7．
（3）解：∵1＜＜2，
∴11＜10＋＜12∵10＋＝x＋y，其中x是整数，且0＜y ＜1，
∴ x＝11， y=10＋-11＝－1∴ x－y＝11－（－1 ）＝12－．
【解析】【解答】解：（1）解：∵＜＜
∴4<<5，
∴的整数部分为4，小数部分为-4，
故答案为：4，-4；
【分析】（1）根据4<<5，可得的整数部分和小数部分；
（2）先利用估算无理数大小的方法求出a、b的值，再将a、b的值代入计算即可；
（3）根据11＜10＋＜12，，可求出x、y的值，再将x、y的值代入计算即可。
39．
（1）计算：
．
（2）如图，已知直线
和
相交于点O，
，
平分
，
．求
的度数．
【答案】（1）解：
；
（2）解：∵
∴
∵
∴
∵平分
∴
∴
∴
∴．
【解析】【分析】（1）先利用幂的乘方和积的乘方化简，再计算同底数幂的乘法和同底数幂的除法，最后合并同类项即可；
（2）先求出∠EOF的度数，再根据角平分线的定义可得
，再求出
，最后利用邻补角求出
。
40．某中学为丰富学生的校园生活，准备从体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元。
（1）求购买一个足球、一个篮球各需多少元？
（2）根据学校实际情况，需从体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个，要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元，这所中学最多可以购买多少个篮球？
【答案】（1）解：设购买一个足球需要x元，购买一个篮球需要y元．
根据题意 解得：
∴购买一个足球需要50元，购买一个篮球需要80.
（2）解：设购买a个篮球，则购买（96-a）个足球．
根据题意得：80a+50（96-a）≤5720.
解得：a≤ .
∵a为整数 .
∴a最多是30.
∴这所中学最多可以购买30个篮球.
【解析】【分析】（1）首先设购买一个足球需要x元，购买一个篮球需要y元，根据题意列出方程组，然后得出方程组的解；
（2）设购买a个篮球，则购买（96-a）个足球，根据题意列出不等式，然后得出a的值．
41．有这样的一列数 、 、 、……、 ，满足公式 ，已知 ， .
（1）求 和 的值；
（2）若 ， ，求 的值.
【答案】（1）解：依题意有：
解得：
（2）解：依题意有：
解得：25 ＜k＜26 ，
∵k取整数，∴k=26.
答：a1和d的值分别为101，-4；k的值是26.
【解析】【分析】（1）将n=2与n=5分别代入公式列出方程组，求解即可；
（2）将a1与b的值代入公式，再将n=k代入公式，根据 ， 列出不等式组，求解并取出整数解即可。
42．观察下列各式
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
（1）根据以上规律，则（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝ ；
（2）你能否由此归纳出一般规律（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）＝ ；
（3）根据以上规律求32018+32017+32016+…32+3+1的结果．
【答案】（1）根据题中规律得：（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝x7﹣1；
（2）总结题中规律得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝xn+1﹣1；
（3）原式＝ ×（3﹣1）×（32018+32017+…+32+3+1）＝ ．
【解析】【分析】（1）观察所给的3个等式，从中找出符合每一个等式的规律，根据找出的规律填空即可.（2）观察所给的3个等式，从中找出符合每一个等式的规律， 归纳出一般规律 即可.（3）先把原式变形为可以利用规律做题的式子 ×（3﹣1）×（32018+32017+…+32+3+1） ，再根据规律计算即可.
43．若满足.
（1）①设，，则 ▲ ， ▲ ，而 ▲ （用含，的代数式表示）；
②利用①中的信息，求出的值；
（2）如图，点，分别是正方形的边、上的点，满足，为常数，且，长方形的面积是，分别以、为边作正方形和正方形，求阴影部分的面积.
【答案】（1）①，5，；
②
，即，
，
即，
（2）解：设正方形的边长为，
则，，
，
长方形的面积是，
，
，
，
，即，
，
.
【解析】【解答】（1）解：①根据题意可得：
，
，
，
故答案为：-1，5，xy；
【分析】（1）①根据题中所设，根据整式的加减法可得x＋y的值，根据题干给的条件可直接得出x2＋y2的值；②再利用完全平方公式的恒等变形即可求出xy的值，即（2021 a）（a 2022）的值；
（2）根据题意先设出正方形EGHC的边长，然后写出AE和AB的长可推出AB-AE＝1，然后利用长方形ABKE的面积可写出AB AE＝ ，推出AB2＋AE2＝，继而求出AB＋AE＝，即可求出阴影部分面积．
44．围绕“建设国家级现代农业产业示范园区”总体目标，吐鲁番农业产业区发展势头显现，引进多种口感好的葡萄品种，助推吐鲁番乡村振兴．“家乡好”超市看好甲、乙两种葡萄的市场价值，购进甲种葡萄15千克和乙种葡萄20千克需要430元；购进甲种葡萄10千克和乙种葡萄8千克需要212元；
（1）求甲乙两种葡萄的单价；
（2）超市决定每天购进甲、乙两种葡萄共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种葡萄m千克（m为正整数），求有几种购买方案？
【答案】（1）甲种葡萄的单价为元/千克，乙种葡萄的单价为元/千克；
（2）有三种购买方案：方案一：购买甲种葡萄千克，则购买乙种葡萄千克；方案二：购买甲种葡萄千克，则购买乙种葡萄千克；方案三：购买甲种葡萄千克，则购买乙种葡萄千克．
45．商场销售甲、乙两种商品，它们的进价和售价如表：
进价(元) 售价(元)
甲 15 20
乙 35 43
（1）若该商场购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求购进甲、乙两种商品各多少件；
（2）该商场为使销售甲、乙两种商品共100件的总利润(利润=售价–进价)不少于750元，
且不超过760元，请你帮助该商场设计相应的进货方案.
【答案】（1）解：设购进甲种商品 件,购进乙种商品 件.根据题意，得
；
解得, ；
答：购进甲种商品40件,购进乙种商品60件。
（2）解：设购进甲种商品 件,购进乙种商品 件.根据题意，得
解,得
因为,不小于 而不大于 的整数有14，15，16.
所以，满足题意的进货方案有三种:
方案1:购进甲种商品14件,购进乙种商品86件。
方案2:购进甲种商品15件,购进乙种商品85件。
方案3:购进甲种商品16件,购进乙种商品84件。
【解析】【分析】（1） 设购进甲种商品x件,购进乙种商品y件 ，根据甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元列出方程组，解方程组即可求出答案.（2） 设购进甲种商品 件,购进乙种商品 件. 根据总利润不少于750元， 且不超过760元， 列出不等式组，解不等式组求出此不等式组的解集，再根据a为整数，即可求出满足题意的进货方案 . 总利润=（售价-进价）×数量.
46．某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表：
A B
成本(万元/套) 25 28
售价(万元/套) 30 34
（1）该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案？
（2）该公司如何建房获得利润最大？
（3）根据市场调查，每套B型住房的售价不会改变，每套A型住房的售价将会提高
a万元（a＞0），且所建的两种住房可全部售出，该公司如何建房获得利润最大？
【答案】（1）解：设A种户型建房x套，B种户型建房（180-x）套，由题知：
∴三种方案：
A B
方案一 48 32
方案二 49 31
方案三 50 30
（2）解：设该公司建房获利W万元
当x=48时， 万
（3）解：
∴当 时，x=48
W最大，即A：48套，B：32套
【解析】【分析】（1）设A种户型建房x套，B种户型建房（80-x）套，根据题意列出不等式组，求出不等式组的解集，再求出整数解，即可得出答案；
（2） 设该公司建房获利W万元，根据题意得出w=（30-25）x+（34-25）（80-x）=-x+480，从而得出当x=48时，w最大，最大值为432万元；
（3）根据题意得出w=（5+a）x+6（80-x）=480+（a-1）x，得出当0＜a＜1，x=48时，w最大，即可得出答案.
47．建设新农村.绿色好家园，为了减小冬季居民取暖带来的环境污染，国家特推出煤改电工程.某学校准各安装一批柜式空调（ 型）和挂壁式空调（ 型）.经市场调查发现， 台 型空调和 台 型空调共需 元； 台 型空调和 台 型空调共需 元.
（1）求 型空调和 型空调的单价.
（2）为响应国家号召，有两家商场分别推出了优惠套餐.甲商场： 型空调和 型空调均打八折出售；乙商场： 型空调打九折出售， 型空调打七折出售.已知某学校需要购买 型空调和 型空调共 台，则该学校选择在哪家商场购买更划算
【答案】（1）解：设 型空调和 型空调的单价分别为 元，根据题意，得：
解得：
答： 型空调的单价为 元， 型空调的单价为 元.
（2）解：设购买 型空调 台，则购买 型空调 台
甲商场：
乙商场：
选甲商场时：
解得：
即当购买 型空调超过 台时，选择甲商场更划算；
选择乙商场时：
解得：
即当购买 型空调小于 台时，选择乙商场更划算；
解得：
即当购买 型空调等于 台时，选择甲、乙商场都一样
答：当购买 型空调等于 台，选择甲、乙商场都一样；小于 台时，选择乙商场更划算；超过 台时，选择甲商场更划算.
【解析】【分析】（1）设A型空调和B型空调的单价分别为x，y元，根据“4台A型空调和3台B型空调共需 24000 元；2台A型空调和5台B型空调共需19000 元”列出方程组，解之即可；
（2）设购买A型空调a台，则购买B型空调（65-a） 台，根据总价=单价×数量，分别求出甲、乙两商场的费用，分三种情况：①选甲商场时，②选择乙商场时 ，③两商场消费一样，据此分别建立不等式或方程，求解即可.
48．乘法公式的探究及应用：
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积．
方法1： ；
方法2： ；
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的数量关系： ；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：，，求的值；
②已知，求的值．
【答案】（1）S=a2+2ab+b2；S=a2+2ab+b2
（2）（a+b）2＝a2+b2+2ab
（3）解：①∵a+b＝5，
∴（a+b）2＝25，
a2+b2＝21，
∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝25﹣21＝4，
∴ab＝2；
②令，
∴，
由可得，
2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝4﹣10＝－6，
∴＝xy＝-3.
【解析】【解答】解：（1）方法1：大正方形的边长为（a+b），
∴S＝（a+b）（a+b）＝a2+2ab+b2．
方法2：大正方形的面积＝各个部分面积之和，
∴S＝a2+2ab+b2．
故答案为：a2+2ab+b2．
（2）由图2可得总面积减掉两个小矩形面积等于两个正方形面积之和，
即（a+b）2﹣2ab＝a2+b2．
故答案为：（a+b）2﹣2ab＝a2+b2；
【分析】（1）方法1：直接用正方形的面积表示；方法2：大正方形的面积＝各个部分面积之和；
（2）由图2可得总面积减掉两个小矩形面积等于两个正方形面积之和，据此即得结论；
（3）① 由a+b＝5可得（a+b）2＝25，根据2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2） ，再整体代入计算即可；②令，可得， ， 根据2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2） 可求出xy的值，即得结论.
49．定义：对于任何有理数x，符号表示不大于x的最大整数，即，例如：，，．
（1）填空： ， ．
（2）如果，求满足条件的x的取值范围；
（3）若，求x的值．
【答案】（1）3；2
（2）解：由题：
解得不等式组的解集为：
（3）解：由题得：，
∴
解得不等式组的解集为：
∵是整数
设（是整数）
∴
解得不等式组的解集为：
∵是整数
∴，
∵x是方程的整数解，
∴当时，；当时，．
【解析】【解答】解：（1）∵对于任何有理数x，符号表示不大于x的最大整数，
∴，，
故答案为：3，2
【分析】（1）直接根据题意（对于任何有理数x，符号表示不大于x的最大整数）即可求解；
（2）由题意（）得，进而即可解出x的取值范围；
（3）先将方程化为，根据题意（）得到不等式，进而即可求出x的取值范围，再根据是整数（是整数），进而得到，从而可以求出n的取值范围，再由n也为整数即可确定n的值，进而可以求出x的值。
50．某学校准备购买若干台A型电脑和B型打印机.如果购买1台A型电脑，2台B型打印机，一共需要花费6200元；如果购买2台A型电脑，1台B型打印机，一共需要花费7900元。
（1）求每台A型电脑和每台B型打印机的价格分别是多少元
（2）如果学校购买A型电脑和B型打印机的预算费用不超过20000元，并且购买B型打印机的台数要比购买A型电脑的台数多1台，那么该学校至多能购买多少台B型打印机
【答案】（1）解：设A型电脑每台x元，B型打印机每台y元，
则 ，
解得： ，
答：A型电脑每台3200元，B型打印机每台1500元.
（2）解：设A型电脑购买a台，则B型打印机购买（a+1）台，
则3200a+1500（a+1）≤20000，
47a+15≤200，
47a≤185，
，
∵a为正整数，
∴a≤3，
答：学校最多能购买4台B型打印机.
【解析】【分析】(1)二元一次方程组的实际应用：
①根据题意，适当的设出未知数；
②找出题中能概括数量间关系的等量关系；
③用未知数表示等量关系中的数量；
④列出等量关系式，并求出其解，他的解要使实际问题有意义，或是符合题意.
(2) 一元一次不等式解决实际问题的应用：
①根据题意，适当的设出未知数；
②找出题中能概括数量间关系的不等关系；
③用未知数表示不等关系中的数量；
④列出等量关系式，并求出其解集；
⑤检验并根据实际问题的要求写出符合题意的解或解集，并写出答案.
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