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【综合题强化训练·50道必刷题】沪科版八年级下册期中数学卷
1．受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略，某市汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2016年利润为2亿元，2018年利润为2.88亿元．
（1）求该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率；
（2）若利润的年平均增长率不变，该企业2019年的利润能否超过3.5亿元？
2．如图，有一个水池，水面是一个边长为16米的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面2米，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度与这根芦苇的长度分别是多少米？
3．已知，如图，和都是等腰直角三角形，，为边上一点.
（1）求证：.
（2）若线段，，求线段的长.
4．
5G时代即将来临，湖北省提出“建成全国领先、中部一流5G网络”的战略目标.据统计，目前湖北5G基站的数量有1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座.
（1）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率；
（2）若2023年保持前两年5G基站数量的年平均增长率不变，到2023年底，全省5G基站数量能否超过29万座？
5．关于x的方程（m+2）x2﹣4x+1＝0有两个不相等实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）当m为正整数时，求方程的根.
6．一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．
（1）若轮船速度为25km/小时，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间．
（2）C岛在A港的什么方向？
7．如图是一张长10 dm，宽6 dm矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为x dm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖方盒.
（1）无盖方盒盒底的长为 dm，宽为 dm（用含x的式子表示）
（2）若要制作一个底面积是32dm2的一个无盖长方体纸盒，求剪去的正方形边长x.
8．某超市销售一种水果，进价为每箱40元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱72元，每月可销售60箱．经市场调查发现：若这种水果的售价每降低2元，则每月的销量将增加10箱，设每箱水果降价x元（x为偶数），每月的销量为y箱．
（1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围．
（2）若该超市在销售过程中每月需支出其他费用500元，则如何定价才能使每月销售水果的利润最大？最大利润是多少元？
9．如图：用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：
（1）在第n个图中每一横行共多少块瓷砖，每一竖行共有多少块瓷砖（均用含n的代数式表示）。
（2）设铺设地面所用瓷砖总数为y，请写出y与（1）中n的函数关系式；并求当y=506时，n的值。
（3）是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算说明为什么？
10．△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动.如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动.设运动时间为t秒.
（1）填空：BQ= ，PB= （用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
（3）是否存在t的值，使得△PBQ的面积等于4cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由.
11．完全平方公式是初中数学的重要公式之一： ，完全平方公式既可以用来进行整式计算又可以用来进行分解因式，在学习中芳芳同学发现 也可以用完全平方公式进行分解因式， ；根据以上发现解决问题
（1）写出一个上面相同的式子，并进行分解因式；
（2）若 ，请用 ， 表示 ，
（3）如图在 中， ， ， ，延长 至点 ，使 ，求 的长（参考上面提供的方法把结果进行化简）
12．某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，
（1）求增加了多少行或多少列？
（2）若团体操表演队在某次文艺汇演，租表演服装每套要50元，化妆每人10元，需支付经费多少元？
13．已知关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m为正整数时，求方程的根．
14．如图， 中， ， 于点E， 于点D， ， 与 交于点F，连接 .
（1）求证：
（2）判断 与 的数量关系；
（3）若 ，求 的长.
15．“中国梦，点军梦”，2017年9月1日点军区某校新校区一期工程通过工程竣工验收全面投入使用。该校区一期工程自2015年年初开始投资建设，工程分别由搬迁安置、工程建设、辅助配套三项工程组成，市政府在每年年初分别对三项工程进行不同数额的投资。2015年年初共投资9亿元，其中对工程建设、辅助配套的投资分别是搬迁安置投资的3倍、5倍。随后两年，搬迁安置投资每年都增加相同的数额，辅助配套投资从2016年初开始遂年按同一百分数递减；2016年年初工程投资数额正好是搬迁安置投资每年增加数额的2倍， 2017年年初工程投资数额较前一年的增长率正好是2016年初辅助配套投资遂年递减百分率的2.5倍。工程结束后经核算，这三年的搬迁安置总投资达6亿元，且三年的搬迁安置与辅助配套总投资之和比工程建设总投资还多10.2亿元。
求：
（1）2015年年初工程建设投资是多少亿元？
（2）市政府三年建设总投资是多少亿元？
16．某水果批发商场经销一种高档水果，若每千克盈利10元，每天可售出500千克.经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，求：
（1）每千克应涨价多少元？
（2）该水果月销售（按每月30天）是多少千克？
17．如图，以直角三角形的直角顶点为原点，以、所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点，满足．
（1）点的坐标为 ；点的坐标为 ．
（2）如图1，已知坐标轴上有两动点、同时出发，点从点出发沿轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，点从点出发以2个单位长度每秒的速度沿轴正方向移动，点到达点整个运动随之结束．的中点的坐标是，设运动时间为．问：是否存在这样的，使？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由．
（3）如图2，过作，作交于点，点是线段上一动点，连交于点，当点在线段上运动的过程中，的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由．
18．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，且AB=10，BC=6，CD=2．点E从点B出发沿BC方向运动，过点E作EF∥AD交边AB于点F．将△BEF沿EF所在的直线折叠得到△GEF，直线FG、EG分别交AD于点M、N，当EG过点D时，点E即停止运动．设BE=x，△GEF与梯形ABCD的重叠部分的面积为y．
（1）证明△AMF是等腰三角形；
（2）当EG过点D时（如图（3）），求x的值；
（3）将y表示成x的函数，并求y的最大值．
19．今年中秋节期间，节令商品销售非常火爆，某超市推出了、两款月饼礼盒．已知礼盒售价为100元盒，礼盒售价为200元/盒，该超市9月16日销售、两款礼盒共350盒，销售额为50000元．
（1）该超市9月16日、款礼盒的销量分别为多少盒？
（2）9月17日正好是中秋佳节，超市为减少库存，开展了“情满中秋·礼迎国庆”的促销活动，款礼盒按原价打八折出售，销量在9月16日的基础上增加了，超市调研发现，款礼盒每降价1元，日销量就在9月16日的基础上增加1盒，若要使得9月17日超市的销售额达到54000元，则款礼盒的促销价应定为多少元？
20．如图所示，六盘水市某中学有一块不规则四边形的空地ABCD，学校计划在空地上铺悬浮地板，经测量，∠ABC＝90°，BC＝6m，AB＝8m，AD＝26m，CD＝24m.
（1）求空地ABCD的面积.
（2）若每铺1平方米悬浮地板需要120元，问总共需投入多少元？
21．实践与探索
（1）填空： ； ．
（2）观察第（1）的结果填空：当 时， ；当 时， ．
（3）利用你总结的规律计算： ，其中x的取值范围在数轴上表示为 ．
22．随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广.喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的 和 .去年，新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨.
（1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？
（2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了 ，漫灌试验田的面积减少了 .同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了 .经测算，今年的灌溉用水量比去年减少 ，求 的值.
（3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系.今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元.在（2）的情况下，若每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？
23．已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0.
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1，x2是原方程的两根，且|x1－x2|＝2 ，求m的值．
24．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对 进人其中时，会得到一个新的实数 -3.例如把(2)， 放入其中，就会得到 .
（1）若把实数对 放入其中，得到的实数是多少
（2）若把实数对 放入其中，得到实数4，求 的值.
（3）小明说，若把实数对 放入其中，得到的实数可能小于-15.你认为小明的说法正确吗 为什么
25．今年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2020年，2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的出厂价调整为162元/件．
（1）这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率．
（2）2021年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？
26．已知关于x的一元二次方程（m-2）x2+2mx+m+3=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．
27．已知关于x的一元二次方程x2+2（k+1）x+k2+2=0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若|x1|+|x2|=2 ，求k值．
28．如图，用长的铝合金条制成“田”字形窗框，窗框的宽和高各是多少时，窗户的透光面积为（铝合金条的宽度不计）？
29．在△AED中，EA＝ED，∠AED＝α，点F为直线AD上一动点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转α，得到线段EG，连接DG．
（1）如图1，探究线段AF、DG之间的数量关系；
（2）如图2，当α＝90°时，其它条件不变，试判断线段DF、AF、GF的数量关系，并证明．
30．济南市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”.某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同.
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？
31．如图1，已知与都是等腰直角三角形，其中，点E为边上一点．
（1）试判断与的大小关系，并说明理由；
（2）求证：；
（3）若E点不在线段上，如图2所示在内，且，，求的值．
32．每年淘宝网都会举办“双十一”购物活动，许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动．甲网店销售一件A商品成本为50元，网上标价80元．
（1）“双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售A商品吸引买主，问平均每次降价率为多少，才能使这件A商品的利润率为10%？（ ≈0.83）
（2）据媒体爆料，有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天，先提高商品的网上标价后再推出促销活动，存在欺诈行为．“双十一”活动之前，乙网店销售A商品的成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出60件A商品．在“双十一”购物活动这天，乙网店先将网上标价提高a%，再推出五折销售的促销活动，吸引了大量网购者，乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A商品数量也比原来一周卖出的A商品数量增加了a%，这样“双十一”活动当天乙网店的利润达到了3600元，求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为多少？
33．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”的销售十分火爆，出现了“一墩难求”的现象．据统计，某特许零售店2021年11月的销量为3万件，2022年1月的销量为3.63万件．
（1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；
（2）假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，则2022年2月“冰墩墩”的销量有没有超过4万件？请利用计算说明．
34．某景区六月份的游客人数为50万人，七、八两月游客人数持续增加，八月份的人数达到万．
（1）求该景区七、八月游客人数的月平均增长率；
（2）景区内某商店销售一种纪念品，已知每件纪念品的成本是30元．如果销售价定为每件40元，那么日销售量将达到件．八月份库存不足的情况下，店主提价销售，若销售价每提高5元，日销售量将减少10件．要使每天销售这种纪念品盈利元，同时又利于游客，那么该纪念品的销售价应定为多少元？
35．已知，，求下列代数式的值：
（1）；
（2）．
36．某工厂生产一批小家电，2020年的出厂价是144元，2021年、2022年连续两年改进技术、降低成本，这两年出厂价下降的百分率相同，2022年的出厂价调整为100元．
（1）求这两年出厂价下降的百分率．
（2）某商场2022年销售这批小家电的售价为140元时，平均每天可销售20台，为了尽快减少库存，商场决定降价销售，经调查发现，小家电售价每降低5元，每天可多售出10台，若每天要盈利1250元，小家电的售价应为多少元？
37．如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝20，BC＝15，CD＝9．
（1）求AC的长；
（2）判断△ABC的形状并证明．
38．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
（1）请问一元二次方程x2﹣3x+2=0是倍根方程吗？如果是，请说明理由．
（2）若一元二次方程ax2+bx﹣6=0是倍根方程，且方程有一个根为2，求a、b的值？
39．某水果超市第一次花费2200元购进甲、乙两种水果共350千克．已知甲种水果进价每千克5元，售价每千克10元；乙种水果进价每千克8元，售价每千克12元．
（1）第一次购进的甲、乙两种水果各多少千克？
（2）由于第一次购进的水果很快销售完毕，超市决定再次购进甲、乙两种水果，它们的进价不变．若要本次购进的水果销售完毕后获得利润2090元，甲种水果进货量在第一次进货量的基础上增加了2m%，售价比第一次提高了m%；乙种水果的进货量为100千克，售价不变．求m的值．
40．在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，
（1）求高台A比矮台B高多少米？
（2）求旗杆的高度OM；
（3）玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．
41．如图，在四边形中，，，，，求：
（1）的长；
（2）四边形的面积．
42．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫可爱三角形．
（1）①根据“可爱三角形”的定义，请判断：等边三角形一定 （填“是”或“不是”）可爱三角形；
②若三角形的三边长分别是4，，，则该三角形 （填“是”或“不是”）可爱三角形；
（2）若是可爱三角形，，，求的长．
43．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.
（1）若降价4元，则平均每天销售数量为 件：
（2）若商场平均每天要盈利1200元，则每件衬衫应降价多少元？
44．已知a= +1，b= ﹣1，求下列代数式的值：
（1）求ab的值
（2）求a2+ab+b2的值
（3） + ．
45．如图，某校将一块三角形废地ABC，设计为一个花园，测得AC=80m，BC=60m，AB=100m．
（1）已知花园的入口D在AB上，且到A、B的距离相等，出口为C，求CD的长．
（2）若从C到AB要修一条水沟，水沟的造价为30元∕米，要使这条水沟的造价最低，则最低要花多少元修这条水沟？
46．要在一块长52m，宽48m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路．下面分别是小亮和小颖的设计方案．
（1）求小亮设计方案中甬路的宽度x；
（2）求小颖设计方案中四块绿地的总面积（友情提示：小颖设计方案中的x与小亮设计方案中的x取值相同）
47．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线
y = -
x+ 4与 x 轴、y 轴分别交于点 A、点 B，点 D 在 y 轴的负半轴上，若将△DAB 沿着直线 AD 折叠，点 B 恰好落在 x 轴正半轴上的点 C处.
（1）求直线 CD 的表达式；
（2）在直线 AB 上是否存在一点 P，使得 SDPCD= SDOCD？若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
48．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．设a+b（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ．
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： + ＝（ + ）2；
（3）化简
49．
（1）（问题探究）
如图①，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，不需要证明.
（2）（深入探究）
如图②，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD，连接BD、CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由.
（3）（拓展应用）
如图③，在△ABC中，∠ACB=45°，以AB为直角边，A为直角顶点向外作等腰直角△ABD，连接CD，若AC= ，BC=3，则CD长为 .
50．如图，在等腰 中， .点 从点 出发沿射线 方向运动，同时点 从 出发，以相同的速度沿射线 方向运动，连 ，交直线 于点
（1）当点 运动到 中点时，求 的长.
（2）求证： .
（3）过点 作 ，交直线 于 ，请探究 之间的数量关系，并直接写出结论.
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【综合题强化训练·50道必刷题】沪科版八年级下册期中数学卷
1．受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略，某市汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2016年利润为2亿元，2018年利润为2.88亿元．
（1）求该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率；
（2）若利润的年平均增长率不变，该企业2019年的利润能否超过3.5亿元？
【答案】（1）这两年该企业年利润平均增长率为；（2）该企业2019年的利润不能超过3.5亿元．
2．如图，有一个水池，水面是一个边长为16米的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面2米，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度与这根芦苇的长度分别是多少米？
【答案】水的深度是15米，芦苇长为17米
3．已知，如图，和都是等腰直角三角形，，为边上一点.
（1）求证：.
（2）若线段，，求线段的长.
【答案】（1）证明：和都是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
.
（2）解：，，
，
是等腰直角三角形
由可知≌
，，
，
.
【解析】【分析】（1）根据SAS证明△ACE≌△BCD，可得BD=AE；
（2）先求BD=AB-AD=12，由全等三角形的性质及等腰直角三角形可得 ，， 即得∠EAD=90°，根据勾股定理求出DE的长.
4．
5G时代即将来临，湖北省提出“建成全国领先、中部一流5G网络”的战略目标.据统计，目前湖北5G基站的数量有1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座.
（1）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率；
（2）若2023年保持前两年5G基站数量的年平均增长率不变，到2023年底，全省5G基站数量能否超过29万座？
【答案】（1）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，
依题意，得：1.5×4×（1+x）2＝17.34
解得：x1＝0.7＝70%，x2＝-2.7（舍去）.
答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%.
（2） （万座）
29.478万座＞29万座
答：到2023年底，全省5G基站数量能超过29万座.
【解析】【分析】（1）根据增长率问题：变化前的量×（1+x）2=变化后的量，列出方程求解.（2）按照（1）中算出的增长率，计算2023年的基站数，即可判断.
5．关于x的方程（m+2）x2﹣4x+1＝0有两个不相等实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）当m为正整数时，求方程的根.
【答案】（1）解：由题意得，m+2≠0，（﹣4）2﹣4×（m+2）＞0，
解得，m＜2且m≠﹣2
（2）解：∵m＜2，m为正整数，
∴m＝1，
则原方程可化为3x2﹣4x+1＝0，
（3x﹣1）（x﹣1）＝0，
解得，x1＝ ，x2＝1
【解析】【分析】（1）根据当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根、一元二次方程的定义列式计算即可；（2）根据题意求出m，利用因式分解法解出方程.
6．一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．
（1）若轮船速度为25km/小时，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间．
（2）C岛在A港的什么方向？
【答案】（1）解：由题意AD＝60km，
Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，得602+BD2＝1002．
∴BD＝80（km）．
∴CD＝BC﹣BD＝125﹣80＝45（km）．
∴AC＝=＝75（km）．
75÷25＝3（小时）．
答：从C岛返回A港所需的时间为3小时．
（2）解：
∵AB2+AC2＝1002+752＝15625，BC2＝1252＝15625，
∴AB2+AC2＝BC2．
∴∠BAC＝90°．
∴∠NAC＝180°﹣90°﹣48°＝42°．
∴C岛在A港的北偏西42°．
【解析】【分析】（1）在 Rt△ABD中， 利用勾股定理求得BD，则CD=BC-BD；然后在Rt△ACD利用勾股定理求得AC，即可解决；
（2） 因AB2+AC2＝BC2，则 ∠BAC＝90°，求出∠NAC，即可表示C岛的位置。
7．如图是一张长10 dm，宽6 dm矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为x dm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖方盒.
（1）无盖方盒盒底的长为 dm，宽为 dm（用含x的式子表示）
（2）若要制作一个底面积是32dm2的一个无盖长方体纸盒，求剪去的正方形边长x.
【答案】（1）（10﹣2x）；（6﹣2x）
（2）解：根据题意得：（10﹣2x）（6﹣2x）=32，解得：x1=1，x2=7（不合题意，舍去）.
答：剪去的正方形边长为1dm.
【解析】【解答】解：（1）无盖方盒盒底的长为（10﹣2x）dm，宽为（6﹣2x）dm.
故答案为：（10﹣2x），（6﹣2x）；
【分析】（1）由矩形纸板的长宽结合剪去的正方形的边长，即得无盖纸盒的长与宽；
（2）根据矩形的面积公式列出关于x的方程，求出x值即可.
8．某超市销售一种水果，进价为每箱40元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱72元，每月可销售60箱．经市场调查发现：若这种水果的售价每降低2元，则每月的销量将增加10箱，设每箱水果降价x元（x为偶数），每月的销量为y箱．
（1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围．
（2）若该超市在销售过程中每月需支出其他费用500元，则如何定价才能使每月销售水果的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：根据题意知y＝60+5x，（0≤x≤32，且x为偶数）；
（2）解：设每月销售水果的利润为w，
则w＝（72﹣x﹣40）（5x+60）﹣500
＝﹣5x2+100x+1420
＝﹣5（x﹣10）2+1920，
当x＝10时，w取得最大值，最大值为1920元，
答：当售价为62元时，每月销售水果的利润最大，最大利润是1920元．
【解析】【分析】 (1)根据售价每降低2元，则每月的销量将增加10箱，由每箱降价x元多卖5x元，即可列出关系式；
(2)由利润=（售价-成本）×销售量-每月其他支出列函数关系式，利用二次函数的性质即可求得结果。
9．如图：用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：
（1）在第n个图中每一横行共多少块瓷砖，每一竖行共有多少块瓷砖（均用含n的代数式表示）。
（2）设铺设地面所用瓷砖总数为y，请写出y与（1）中n的函数关系式；并求当y=506时，n的值。
（3）是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算说明为什么？
【答案】（1）解：白瓷砖：n（n+1）．
黑瓷砖：（n+3）（n+2）-n（n+1）=4n+6
（2）解：n（n+1）+4n+6=506．
解得n1=20，n2=-25（不合题意，舍去）．
所以n的值为20
（3）解：由题意得n（n+1）=4n+6， n=．因为不是正整数，
所以不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形
【解析】【分析】（1）根据题意可得白瓷砖：n（n+1）．黑瓷砖：（n+3）（n+2）-n（n+1）=4n+6
（2）铺设地面所用瓷砖总数为y=n（n+1）+4n+6=+5n+6；当y=506时可得n（n+1）+4n+6=506．解这个方程即可求解；
（3）根据黑瓷砖与白瓷砖块数相等可得n（n+1）=4n+6，解得n=，而n为正整数，所以不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形。
10．△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动.如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动.设运动时间为t秒.
（1）填空：BQ= ，PB= （用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
（3）是否存在t的值，使得△PBQ的面积等于4cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）2t；5-t
（2）解：在Rt△PBQ中，由勾股定理，得
4t2+（5-t）2=25，
解得：t1=0，t2=2；
（3）解：由题意，得 =4，
解得：t1=1，t2=4（不符合题意，舍去），
∴当t=1时，△PBQ的面积等于4cm2.
【解析】【解答】解：（1）由题意，得：BQ=2t，PB=5-t.
故答案为：2t，5-t；
【分析】（1）由题意可得：BQ=2t，PB=5-t；
（2）在Rt△PBQ中，根据勾股定理进行求解即可；
（3）直接利用三角形的面积公式进行求解.
11．完全平方公式是初中数学的重要公式之一： ，完全平方公式既可以用来进行整式计算又可以用来进行分解因式，在学习中芳芳同学发现 也可以用完全平方公式进行分解因式， ；根据以上发现解决问题
（1）写出一个上面相同的式子，并进行分解因式；
（2）若 ，请用 ， 表示 ，
（3）如图在 中， ， ， ，延长 至点 ，使 ，求 的长（参考上面提供的方法把结果进行化简）
【答案】（1）
（2） ，
所以 ，
（3）由勾股定理得 ，
，
，又 ，
所以 ， ．
；
所以 ，
所以 ，
因为 为三角形的一边，
所以 不合题意舍去，
所以
【解析】【分析】（1）利用计算 得到的结果，反过来可得到答案，（2）计算 ，观察结果利用无理数与有理数的对应关系可得答案，（3）先利用勾股定理得到： ，利用完全平方式的特点求 的算术平方根即可．
12．某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，
（1）求增加了多少行或多少列？
（2）若团体操表演队在某次文艺汇演，租表演服装每套要50元，化妆每人10元，需支付经费多少元？
【答案】（1）解：设增加了x行，则增加的列数为x，
根据题意，得：，
整理，得：，
解得(舍)，
答：增加了3行3列；
（2）解：因为团体操表演队共有：(人)，
(元)，
答：需支付经费5940元．
【解析】【分析】（1）设增加了x行，则增加的列数为x，根据题意列出方程，再求解即可；
（2）根据题意列出算式求解即可。
13．已知关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m为正整数时，求方程的根．
【答案】（1）解：据题意得△=（﹣2m）2﹣4（m2+m﹣2）＞0，
解得m＜2
（2）解：m的正整数值为1，
方程化为x2﹣2x=0，
解得x1=0，x2=2
【解析】【分析】（1）利用判别式的意义得到=（﹣2m）2﹣4（m2+m﹣2）＞0，然后解不等式即可；（2）利用m的范围确定m的正整数值为1，则方程化为x2﹣2x=0，然后利用因式分解法解方程．
14．如图， 中， ， 于点E， 于点D， ， 与 交于点F，连接 .
（1）求证：
（2）判断 与 的数量关系；
（3）若 ，求 的长.
【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠CBE，
在△ADC和△BDF中，
，
∴△ACD≌△BFD（ASA）；
（2）解：BF=2AE，
证明：由（1）可知：BF=AC，
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AC=2AE，
∴BF=2AE；
（3）解：∵△ACD≌△BFD，
∴DF=CD= ，
在Rt△CDF中，CF= = ，
∵BE⊥AC，AE=EC，
∴AF=CF= ，
∴AD=AF+DF= + .
【解析】【分析】（1）先判定出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD，再根据同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE，然后利用“角边角”证明△ACD≌△BFD即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC=2AE，从而得证；
（3）根据全等三角形对应边相等可得DF=CD，然后利用勾股定理列式求出CF，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=CF，然后根据AD=AF+DF代入数据即可得解.
15．“中国梦，点军梦”，2017年9月1日点军区某校新校区一期工程通过工程竣工验收全面投入使用。该校区一期工程自2015年年初开始投资建设，工程分别由搬迁安置、工程建设、辅助配套三项工程组成，市政府在每年年初分别对三项工程进行不同数额的投资。2015年年初共投资9亿元，其中对工程建设、辅助配套的投资分别是搬迁安置投资的3倍、5倍。随后两年，搬迁安置投资每年都增加相同的数额，辅助配套投资从2016年初开始遂年按同一百分数递减；2016年年初工程投资数额正好是搬迁安置投资每年增加数额的2倍， 2017年年初工程投资数额较前一年的增长率正好是2016年初辅助配套投资遂年递减百分率的2.5倍。工程结束后经核算，这三年的搬迁安置总投资达6亿元，且三年的搬迁安置与辅助配套总投资之和比工程建设总投资还多10.2亿元。
求：
（1）2015年年初工程建设投资是多少亿元？
（2）市政府三年建设总投资是多少亿元？
【答案】（1）解：设2015年年初搬迁安置投资为x亿元，则
x+3x+5x=9
x=1
所以：2015年年初工程建设投资是3x=3亿元．
（2）解：设搬迁安置投资每年增加相同的数额为a亿元，辅助配套投资从2016年初开始遂年递减的百分数为b，则1+（1+a）+（1+2a）=6
6+（5+5（1-b）+5（1-b）2）=（3+2a+2a（1+2.5b））+10.2
解得：a=1
b=0.2 b= （舍去）
所以，市政府三年建设总投资为：
6+（5+5（1-b）+5（1-b）2）+ （3+2a+2a（1+2.5b））＝26.2亿元
或者2（3+2a+2a（1+2.5b））+10.2＝26.2亿元
【解析】【分析】（1）根据题意列方程，再解方程即可解答。
（2）设搬迁安置投资每年增加相同的数额为a亿元，辅助配套投资从2016年初开始遂年递减的百分数为b， 根据题意列方程组，求出方程组的解，然后就可求出市政府三年建设总投资。
16．某水果批发商场经销一种高档水果，若每千克盈利10元，每天可售出500千克.经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，求：
（1）每千克应涨价多少元？
（2）该水果月销售（按每月30天）是多少千克？
【答案】（1）解：设每千克水果应涨价x元，
依题意得方程：(500 20x)(10+x)=6000，
整理,得
解这个方程,得
要使顾客得到实惠，应取x=5.
答：每千克水果应涨价5元
（2）解：由(1)可知日销售量=500 100=400，
400×30=12000千克，
答：该水果月销售(按每月30天)是12000千克
【解析】【分析】（1）设每千克水果应涨价x元，根据每天总盈利=每千克盈利×日销量，列出方程，解出方程并检验即可.
（2）根据日销量×30天计算即可.
17．如图，以直角三角形的直角顶点为原点，以、所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点，满足．
（1）点的坐标为 ；点的坐标为 ．
（2）如图1，已知坐标轴上有两动点、同时出发，点从点出发沿轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，点从点出发以2个单位长度每秒的速度沿轴正方向移动，点到达点整个运动随之结束．的中点的坐标是，设运动时间为．问：是否存在这样的，使？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由．
（3）如图2，过作，作交于点，点是线段上一动点，连交于点，当点在线段上运动的过程中，的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由．
【答案】（1）（0，4）；（2，0）
（2）解：存在，理由：如图1中，D（1，2），
由条件可知：P点从C点运动到O点时间为2秒，Q点从O点运动到A点时间为2秒，
∴0＜t≤2时，点Q在线段AO上，即CP=t，OP=2-t，OQ=2t，AQ=4-2t，
∴S△DOP= OP yD=（2-t）×2=2-t，S△DOQ= OQ xD=×2t×1=t，
∵S△ODP=S△ODQ，
∴2-t=t，
∴t=1．
（3）解：结论：的值不变，其值为2．理由如下：如图2中，
∵∠2+∠3=90°，又∵∠1=∠2，∠3=∠FCO，
∴∠GOC+∠ACO=180°，
∴OG∥AC，
∴∠1=∠CAO，
∴∠OEC=∠CAO+∠4=∠1+∠4，
如图，过H点作AC的平行线，交x轴于P，则∠4=∠PHC，PH∥OG，
∴∠PHO=∠GOF=∠1+∠2，
∴∠OHC=∠OHP+∠PHC=∠GOF+∠4=∠1+∠2+∠4，
∴=2．
【解析】【解答】解：（1）∵+|b-2|=0，
∴a-2b=0，b-2=0，解得a=4，b=2，
∴A（0，4），C（2，0）．
【分析】（1）利用非负数之和为0的性质求出a、b的值，即可得到点A、C的坐标；
（2）先求出CP=t，OP=2-t，OQ=2t，AQ=4-2t，再结合S△ODP=S△ODQ，可得2-t=t，再求出t的值即可；
（3）过H点作AC的平行线，交x轴于P，则∠4=∠PHC，PH//OG，再求出∠OHC=∠OHP+∠PHC=∠GOF+∠4=∠1+∠2+∠4，∠OEC=∠CAO+∠4=∠1+∠4，再将其代入计算即可。
18．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，且AB=10，BC=6，CD=2．点E从点B出发沿BC方向运动，过点E作EF∥AD交边AB于点F．将△BEF沿EF所在的直线折叠得到△GEF，直线FG、EG分别交AD于点M、N，当EG过点D时，点E即停止运动．设BE=x，△GEF与梯形ABCD的重叠部分的面积为y．
（1）证明△AMF是等腰三角形；
（2）当EG过点D时（如图（3）），求x的值；
（3）将y表示成x的函数，并求y的最大值．
【答案】（1）证明：如图1，∵EF∥AD，
∴∠A=∠EFB，∠GFE=∠AMF．
∵△GFE与△BFE关于EF对称，
∴△GFE≌△BFE，
∴∠GFE=∠BFE，
∴∠A=∠AMF，
∴△AMF是等腰三角形
（2）解：如图1，作DQ⊥AB于点Q，
∴∠AQD=∠DQB=90°．
∵AB∥DC，
∴∠CDQ=90°．
∵∠B=90°，
∴四边形CDQB是矩形，
∴CD=QB=2，QD=CB=6，
∴AQ=10﹣2=8．
在Rt△ADQ中，由勾股定理得
AD= =10，
∴tan∠A= ，
∴tan∠EFB= =
如图3，∵EB=x，
∴FB= x，CE=6﹣x，
∴AF=MF=10﹣ x，
∴GM= ，
∴GD=2x﹣ ，
∴DE= ﹣x，
在Rt△CED中，由勾股定理得
（ ﹣x）2﹣（6﹣x）2=4，
解得：x= ，
∴当EG过点D时x= ；
（3）解：当点G在梯形ABCD内部或边AD上时，
y= x x= x2，
当点G在边AD上时，GM= =0，求得x= ，
此时0＜x≤ ，
则当x= 时，y最大值为 ．
当点G在梯形ABCD外时，
∵△GMN∽△GFE，
∴ ，
即 ，由（2）知，x≤ ，
y=﹣2x2+20x﹣ =﹣2（x﹣5）2+ （ ＜x≤ ），
当x=5时，y最大值为 ，
由于 ＞ ，故当x=5时，y最大值为
【解析】【分析】（1）由条件EF∥AD就可以得出∠A=∠EFB，∠GFE=∠AMF，由△GFE与△BFE关于EF对称可以得出∠GFE=∠BFE，就可以得出∠A=∠AMF，从而得出结论；（2）当EG过点D时在Rt△EDC中由勾股定理建立方程求出其解即可；（3）分情况讨论当点G不在梯形外时和点G在梯形之外两种情况求出x的值就可以求出y与x之间的函数关系式，在自变量的取值范围内就可以求出相应的最大值，从而求出结论；
19．今年中秋节期间，节令商品销售非常火爆，某超市推出了、两款月饼礼盒．已知礼盒售价为100元盒，礼盒售价为200元/盒，该超市9月16日销售、两款礼盒共350盒，销售额为50000元．
（1）该超市9月16日、款礼盒的销量分别为多少盒？
（2）9月17日正好是中秋佳节，超市为减少库存，开展了“情满中秋·礼迎国庆”的促销活动，款礼盒按原价打八折出售，销量在9月16日的基础上增加了，超市调研发现，款礼盒每降价1元，日销量就在9月16日的基础上增加1盒，若要使得9月17日超市的销售额达到54000元，则款礼盒的促销价应定为多少元？
【答案】（1）A款礼盒销售了200盒，则B款礼盒销售了150盒
（2）B款礼盒的促销价应定为150元
20．如图所示，六盘水市某中学有一块不规则四边形的空地ABCD，学校计划在空地上铺悬浮地板，经测量，∠ABC＝90°，BC＝6m，AB＝8m，AD＝26m，CD＝24m.
（1）求空地ABCD的面积.
（2）若每铺1平方米悬浮地板需要120元，问总共需投入多少元？
【答案】（1）解：如图，连接AC，
在直角三角形ABC中，
∵∠ABC=90°，BC=6m，AB=8m，
∴m，
∵AC2+CD2=102+242=676=AD2，
∴∠ACD=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=＝144，
答：空地ABCD的面积是144m2.
（2）解：144×120=17280（元），
答：总共需投入17280元.
【解析】【分析】（1） 如图，连接AC，在直角三角形ABC中 ，利用勾股定理求出AC，再根据勾股定理的逆定理可得 ∠ACD=90°， 根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD，利用三角形的面积公式计算即可；
（2）根据每铺1平方米悬浮地板需要的价格× 空地ABCD的面积即得结论.
21．实践与探索
（1）填空： ； ．
（2）观察第（1）的结果填空：当 时， ；当 时， ．
（3）利用你总结的规律计算： ，其中x的取值范围在数轴上表示为 ．
【答案】（1）3；5
（2）a；-a
（3）解：由数轴可得x的取值范围为 ，
∴x-2＞0、x-4＜0，
∴
=2．
【解析】【解答】解：（1） 3； =5；
故答案为：3，5；
（2）当a≥0时 a；当a＜0时， -a；
故答案为：a，-a；
【分析】（1）利用二次根式的性质化简即可；
（2）利用二次根式的性质化简即可；
（3）利用二次根式的性质化简即可。
22．随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广.喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的 和 .去年，新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨.
（1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？
（2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了 ，漫灌试验田的面积减少了 .同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了 .经测算，今年的灌溉用水量比去年减少 ，求 的值.
（3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系.今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元.在（2）的情况下，若每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？
【答案】（1）解：设漫灌方式每亩用水 吨，则
，
，
漫灌用水： ，
喷灌用水： ，
滴灌用水： ，
答：漫灌方式每亩用水100吨，漫灌、喷灌、滴灌试验田分别用水10000、3000、2000吨
（2）解：由题意得，
，
解得 （舍去）， ，所以
（3）解：节省水费： 元，
维修投入： 元，
新增设备： 元，
，
答：节省水费大于两项投入之和.
【解析】【分析】（1）设漫灌方式每亩用水 吨，根据采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨，建立关于x的方程，解方程求出x的值，由此可求解.
（2）抓住已知条件，根据 今年的灌溉用水量比去年减少 ，建立关于m的方程，解方程求出m的值即可.
（3）利用已知分别求出节省的水费，维修投入，新增设备费，然后求出维修投入和新增设备费的和，将其与节省的水费比较大小可作出判断.
23．已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0.
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1，x2是原方程的两根，且|x1－x2|＝2 ，求m的值．
【答案】（1）解：∵△=（m+3）2﹣4（m+1）=（m+1）2+4，
∵无论m取何值，（m+1）2+4恒大于0，
∴原方程总有两个不相等的实数根
（2）解：∵x1，x2是原方程的两根，∴x1+x2=﹣（m+3），x1 x2=m+1，∵|x1﹣x2|=2 ∴（x1﹣x2）2=（2 ）2，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2=8，
∴[﹣（m+3）]2﹣4（m+1）=8∴m2+2m﹣3=0，解得：m1=﹣3，m2=1．
当m=﹣3时，原方程化为：x2﹣2=0，
解得：x1= ，x2=﹣ ，当m=1时，原方程化为：x2+4x+2=0，解得：x1=﹣2+ ，x2=﹣2﹣
【解析】【分析】（1）先求出b2-4ac的值，再证明b2-4ac＞0，即可解答。
（2）利用一元二次方程的根与系数的关系求出x1+x2、x1 x2，再将|x1－x2|＝2 两边同时平方，转化为（x1+x2）2﹣4x1x2=8，代入建立关于m的方程，解方程求出m的值，然后将m的值分别代入方程求出原方程的根。
24．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对 进人其中时，会得到一个新的实数 -3.例如把(2)， 放入其中，就会得到 .
（1）若把实数对 放入其中，得到的实数是多少
（2）若把实数对 放入其中，得到实数4，求 的值.
（3）小明说，若把实数对 放入其中，得到的实数可能小于-15.你认为小明的说法正确吗 为什么
【答案】（1）解：∵ 进人后得到 ，
∴把 放人后得到
（2）解：把 放人后得到 ，
∴ ，解得 或
（3）解：小明的说法不正确，理由如下：
把 放入后得到 ，
∴得到的实数不可能小于-15，
∴小明的说法不正确.
【解析】【分析】（1）根据新定义的运算规律列式进行计算，即可得出答案；
（2）根据新定义的运算规律列出方程，解方程求出m的值，即可得出答案；
（3）根据新定义的运算规律列出代数式，再利用配方法求出最小值，再进行比较，即可得出答案.
25．今年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2020年，2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的出厂价调整为162元/件．
（1）这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率．
（2）2021年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？
【答案】（1）解：设平均每年下降的百分率为
根据题意有：
即 或
解得： ， （舍）
答：平均每年下降的百分率为 ．
（2）解：设单价应降低 元
据题意有：
即 或
解得：
∵为了减少库存
∴ （舍）
∴
答：如果每天盈利1150元，单价应降低15元
【解析】【分析】 (1) 根据下降的百分率，列方程求解即可，注意舍去不符合题意的值；
(2)根据“总利润=销售量×每件的利润”列方程求解，注意舍去不符合题意的值。
26．已知关于x的一元二次方程（m-2）x2+2mx+m+3=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．
【答案】（1）解：由题意知，△=（2m）2-4（m-2）（m+3）＞0，
解得：m＜6，
又m-2≠0，即m≠2，
则m＜6且m≠2
（2）解：由（1）知m=5，
则方程为3x2+10x+8=0，
即（x+2）（3x+4）=0，
解得x=-2或x=-
【解析】【分析】（1）由△＞0得到关于m的不等式，解之得到哦m的范围，根据一元二次方程的定义求得答案；（2）由（1）知m=5，还原方程，利用因式分解法求解可得．
27．已知关于x的一元二次方程x2+2（k+1）x+k2+2=0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若|x1|+|x2|=2 ，求k值．
【答案】（1）解：∵方程由两个实数根，
∴△=4（k+1）2﹣4（k2+2）≥0，
解得：k≥
（2）解：∵x1+x2=﹣2（k+1）＜0，x1x2=k2+2＞0，
∴x1＜0，x2＜0，
∴由|x1|+|x2|=2 可得﹣（x1+x2）=2 ，即2（k+1）=2 ，
解得：k= ﹣1
【解析】【分析】（1）由根的判别式即可得；（2）由x1+x2=﹣2（k+1）＜0，x1x2=k2+2＞0知x1＜0，x2＜0，从而由|x1|+|x2|=2 可得﹣（x1+x2）=2 ，代入求解即可．
28．如图，用长的铝合金条制成“田”字形窗框，窗框的宽和高各是多少时，窗户的透光面积为（铝合金条的宽度不计）？
【答案】窗框的宽和高各是或时，窗户的透光面积为．
29．在△AED中，EA＝ED，∠AED＝α，点F为直线AD上一动点，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转α，得到线段EG，连接DG．
（1）如图1，探究线段AF、DG之间的数量关系；
（2）如图2，当α＝90°时，其它条件不变，试判断线段DF、AF、GF的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：AF＝DG，证明如下：
由题意得：∠AED＝∠FEG＝α，EF＝EG，
∴∠AED+∠DEF＝∠FEG+∠DEF，即∠AEF＝∠DEG，
在△AEF和△DEG中，
，
∴△AEF≌△DEG（SAS），
∴AF＝DG；
（2）解：DF2+AF2＝GF2，证明如下：
∵∠AED＝∠FEG＝90°，
∴∠AEF＝∠DEG．
在△AEF和△DEG中，
，
∴△AEF≌△DEG（SAS），
∴AF＝DG，∠EAF＝∠EDG，
∵EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA＝∠EDG＝45°，
∴∠DGF＝90°，
在Rt△DGF中，DF2+DG2＝GF2，
∴DF2+AF2＝GF2．
【解析】【分析】（1）利用“SAS”证明△AEF≌△DEG，再利用全等三角形的性质可得AF=DG；
（2）先利用“SAS”证明△AEF≌△DEG，可得AF＝DG，∠EAF＝∠EDG，再结合∠DGF＝90°，可得DF2+DG2＝GF2，最后利用等量代换可得DF2+AF2＝GF2。
30．济南市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”.某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同.
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？
【答案】（1）头盔销售量的月增长率为；
（2）该品牌的头盔每个应涨价5元.
31．如图1，已知与都是等腰直角三角形，其中，点E为边上一点．
（1）试判断与的大小关系，并说明理由；
（2）求证：；
（3）若E点不在线段上，如图2所示在内，且，，求的值．
【答案】（1）解：AE=BF．理由如下：
∵△ABC与△EFC都是等腰直角三角形
∴∠ACB=∠ECF=90°，，
又∵∠ACB=∠ACE+∠ECB，∠ECF=∠BCF+∠ECB
∴∠ACE=∠BCF
在△ACE和△BCF
∴△ACE≌△BCF（SAS）
∴AE=BF
（2）证明：∵△ABC是等腰直角三角形
∴∠CAB=∠CBA=45°
∵△ACE≌△BCF
∴∠CAE=∠CBF=45°
∴∠EBF=∠CBA+∠CBF=90°
∴BF +BE =EF
又∵AE=BF
∴AE +BE =EF
（3）解：∵△ABC与△EFC都是等腰直角三角形
∴AB =CA +CB =2CB ，EF =CE +CF =2CE
∵CB=5，CE=3
∴AB =50，EF =18
由（1）知△ACE≌△BCF
∴∠CEA=∠CFB
∵∠CEA+∠CEG=180°
∴∠CEG+∠CFG=180°
∴∠ECF+∠EGF=180°
又∵∠ECF=90°
∴∠EGF=90°
∴∠AGB=90°
∴AG +EG +BG +FG
=（AG +BG ）+（FG +EG ）
=AB +EF
=50+18
=68
【解析】【分析】（1）利用“SAS”证明△ACE≌△BCF，再利用全等三角形的性质可得AE=BF；
（2）先求出∠EBF=∠CBA+∠CBF=90°，再根据勾股定理可得BF +BE =EF ，再结合AE=BF，可得；
（3）先求出∠AGB=90°，再利用勾股定理和等量代换可得=AB +EF ，再将数据代入计算即可。
32．每年淘宝网都会举办“双十一”购物活动，许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动．甲网店销售一件A商品成本为50元，网上标价80元．
（1）“双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售A商品吸引买主，问平均每次降价率为多少，才能使这件A商品的利润率为10%？（ ≈0.83）
（2）据媒体爆料，有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天，先提高商品的网上标价后再推出促销活动，存在欺诈行为．“双十一”活动之前，乙网店销售A商品的成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出60件A商品．在“双十一”购物活动这天，乙网店先将网上标价提高a%，再推出五折销售的促销活动，吸引了大量网购者，乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A商品数量也比原来一周卖出的A商品数量增加了a%，这样“双十一”活动当天乙网店的利润达到了3600元，求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为多少？
【答案】（1）解：设平均降价率为x，
根据题意得：80（1﹣x）2=50（1+10%），
解得：x=17%，
答：平均每次降价率为17%；
（2）解：依题意得：【80（1+a%）×50%﹣50】×60（1+a%）=3600，
解得：a=100，
标价80（1+100%）=160元，
答：乙网店在双十一购物活动这天的网上标价为160元．
【解析】【分析】（1）设平均降价率为x，根据“这件A商品的利润率为10%”列出方程求解即可；（2）首先列出方程求得增长率，然后求得标价即可．
33．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”的销售十分火爆，出现了“一墩难求”的现象．据统计，某特许零售店2021年11月的销量为3万件，2022年1月的销量为3.63万件．
（1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；
（2）假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，则2022年2月“冰墩墩”的销量有没有超过4万件？请利用计算说明．
【答案】（1）解：设月平均增长率为x，
根据题意，得，
解得，（不合题意，舍去），
∴该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为10%．
（2）解：假设保持相同的月平均增长率，那么2022年2月“冰墩墩”的销量为：
（万件），
∵3.993＜4，
∴2022年2月“冰墩墩”的销量没有超过4万件．
【解析】【分析】（1）设月平均增长率为x，根据题意列出方程，再求解即可；
（2）根据题意列出算式求解即可。
34．某景区六月份的游客人数为50万人，七、八两月游客人数持续增加，八月份的人数达到万．
（1）求该景区七、八月游客人数的月平均增长率；
（2）景区内某商店销售一种纪念品，已知每件纪念品的成本是30元．如果销售价定为每件40元，那么日销售量将达到件．八月份库存不足的情况下，店主提价销售，若销售价每提高5元，日销售量将减少10件．要使每天销售这种纪念品盈利元，同时又利于游客，那么该纪念品的销售价应定为多少元？
【答案】（1）该景区七、八月游客人数的月平均增长率为
（2）该纪念品的销售价应定为元
35．已知，，求下列代数式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
，
∴．
（2）解：∵，，
∴
．
【解析】【分析】（1）根据二次根式的加减法法则可得x+y、x-y的值，然后根据x2-y2=(x+y)(x-y)进行计算；
（2）利用平方差公式求出xy的值，对待求式通分可得== ，然后代入进行计算.
36．某工厂生产一批小家电，2020年的出厂价是144元，2021年、2022年连续两年改进技术、降低成本，这两年出厂价下降的百分率相同，2022年的出厂价调整为100元．
（1）求这两年出厂价下降的百分率．
（2）某商场2022年销售这批小家电的售价为140元时，平均每天可销售20台，为了尽快减少库存，商场决定降价销售，经调查发现，小家电售价每降低5元，每天可多售出10台，若每天要盈利1250元，小家电的售价应为多少元？
【答案】（1）
（2）125元
37．如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝20，BC＝15，CD＝9．
（1）求AC的长；
（2）判断△ABC的形状并证明．
【答案】（1）解：∵在△ABC中，CD⊥AB于D，AB＝20，BC＝15，DC＝9，
∴BD＝ ，
AD＝ ，
∴AC＝AD+DC＝16+9＝25；
（2）解：∵AC＝25，BC＝15，AB＝20，202+152＝252，
∴△ABC是直角三角形．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理分别求出AD和BD的长即可求解；（2）利用勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形．
38．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
（1）请问一元二次方程x2﹣3x+2=0是倍根方程吗？如果是，请说明理由．
（2）若一元二次方程ax2+bx﹣6=0是倍根方程，且方程有一个根为2，求a、b的值？
【答案】（1）解：是倍根方程，理由如下：
解方程x2﹣3x+2=0，得x1=1，x2=2，
∵2是1的2倍，
∴一元二次方程x2﹣3x+2=0是倍根方程
（2）解：分两种情况：
①另外一个根为4时，
﹣ =2+4，﹣ =2×4，
∴a=﹣ ，b= ；
②另外一个根为1时，
﹣ =2+1，﹣ =2×1，
∴a=﹣3，b=9
【解析】【分析】（1）利用因式分解法求出方程的两根，再根据倍根方程的定义判断即可；（2）根据倍根方程的定义，倍根方程ax2+bx﹣6=0有一个根为2时，另外一个根为4或1，再利用根与系数的关系求出a、b的值．
39．某水果超市第一次花费2200元购进甲、乙两种水果共350千克．已知甲种水果进价每千克5元，售价每千克10元；乙种水果进价每千克8元，售价每千克12元．
（1）第一次购进的甲、乙两种水果各多少千克？
（2）由于第一次购进的水果很快销售完毕，超市决定再次购进甲、乙两种水果，它们的进价不变．若要本次购进的水果销售完毕后获得利润2090元，甲种水果进货量在第一次进货量的基础上增加了2m%，售价比第一次提高了m%；乙种水果的进货量为100千克，售价不变．求m的值．
【答案】（1）解：设第一次购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，
依题意，得： ，
解得： ．
答：第一次购进甲种水果200千克，购进乙种水果150千克．
（2）解：依题意，得：[10（1+m%）﹣5]×200（1+2m%）+（12﹣8）×100＝2090，
整理，得：0.4m2+40m﹣690＝0，
解得：m1＝15，m2＝﹣115（不合题意，舍去）．
答：m的值为15．
【解析】【分析】（1）设第一次购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，根据该超市花费2200元购进甲、乙两种水果共350千克，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据总利润＝每千克的利润×销售数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
40．在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，
（1）求高台A比矮台B高多少米？
（2）求旗杆的高度OM；
（3）玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．
【答案】（1）解：10-3=7(米）
（2）解：作AE⊥OM于E，BF⊥OM与F，
∵∠AOE+∠BOF=∠BOF+∠OBF=90°，
∴∠AOE=∠OBF，
在△AOE和△OBF中，
，
∴△AOE≌△OBF（AAS），
∴OE=BF，AE=OF，
即OE+OF=AE+BF=CD=17（m）
∵EF=EM﹣FM=AC﹣BD=10﹣3=7（m），
∴2EO+EF=17，
则2EO=10，
所以OE=5m，OF=12m，
所以OM=OF+FM=15m
（3）解：由勾股定理得ON=OA=13，
所以MN=15﹣13=2（m）．
答：玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为2米．
【解析】【分析】（1）根据题意得到高台A比矮台B高（10-3）米；（2）根据题意和全等三角形的判定方法AAS，得到△AOE≌△OBF，得到对应边相等，求出旗杆的高度OM的值；（3）根据勾股定理求出ON=OA的值，得到玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．
41．如图，在四边形中，，，，，求：
（1）的长；
（2）四边形的面积．
【答案】（1）解：延长，，交于点E，
在中，，，
∴.
在中，，
∴，
∴，
设，则，根据勾股定理得：
解得：，
则.
（2）解：在中，.
．
【解析】【分析】（1）延长AD、BC交于点E，在Rt△ABE中，由∠A=60°，求出∠E=30°.在Rt△DCE中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CE的长度，由BC+CE求出BE的长，再在Rt△ABE中，设AB=x，AE=2x，根据勾股定理列出方程，即可求解AB的长度.
（2）将四边形ABCD的面积看成△ABE的面积减去△CDE的面积即可.
42．我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫可爱三角形．
（1）①根据“可爱三角形”的定义，请判断：等边三角形一定 （填“是”或“不是”）可爱三角形；
②若三角形的三边长分别是4，，，则该三角形 （填“是”或“不是”）可爱三角形；
（2）若是可爱三角形，，，求的长．
【答案】（1）是；是
（2）解：∵ 是直角三角形， ，
∴ ，即 ．
∵ 是可爱三角形， ，
∴有三种情况：
① ，即 ．
∴ ．
∴ （负值已舍去）；
② ，即 ．
∴ ．
∴ （负值已舍去）；
③ ，此种情况不成立．
综上， 的长为 或 ．
【解析】【解答】解：（1）①设等边三角形的边长为a，则a2+a2=2a2，故等边三角形一定是可爱三角形；
②∵()2+42=2×()2，
∴该三角形是可爱三角形；
【分析】（1）①设等边三角形的边长为a，然后根据可爱三角形的概念进行判断；
②直接根据可爱三角形的概念进行判断；
（2）由勾股定理可得BC2=AB2-AC2，然后分AB2+AC2=2BC2、AB2+BC2=2AC2、AC2+BC2=2AB2进行计算即可.
43．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.
（1）若降价4元，则平均每天销售数量为 件：
（2）若商场平均每天要盈利1200元，则每件衬衫应降价多少元？
【答案】（1）28
（2）解：设每件衬杉应降价x元，则平均每天可销售（20+2x）件，
根据题意得：（40-x）（20+2x）=1200， 5分
整理得：x2-30x+200=0，
解得：x1=10，x2=20.7分
∵要扩大销售量，减少库存
∴x=20. 8分
答：每件衬衫应降价20元.
【解析】【解答】解：(1)∵每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件 ，
∴降价4元，每天的销售量=20+4×2=28（件）；
【分析】(1)根据“每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件 ”，结合降价4元，列式计算即可；
(2) 设每件衬杉应降价x元，则平均每天可销售（20+2x）件， 根据“盈利=（ 每件盈利 -降价）×销售量”列方程求解，即可解答.
44．已知a= +1，b= ﹣1，求下列代数式的值：
（1）求ab的值
（2）求a2+ab+b2的值
（3） + ．
【答案】（1）解：∵a= +1，b= ﹣1，
∴ab=（ +1）（ ﹣1）=2﹣1=1，
（2）解：∵a= +1，b= ﹣1，
∴a+b= +1+ ﹣1=2 ，
∴a2+ab+b2=（a+b）2﹣ab=8﹣1=7；
（3）解： + = = = =6．
【解析】【分析】（1）把a，b的值代入，根据平方差公式进行计算即可；（2）把a2+ab+b2 化为（a+b）2﹣ab，再代入计算即可；（3）先通分，再计算即可．
45．如图，某校将一块三角形废地ABC，设计为一个花园，测得AC=80m，BC=60m，AB=100m．
（1）已知花园的入口D在AB上，且到A、B的距离相等，出口为C，求CD的长．
（2）若从C到AB要修一条水沟，水沟的造价为30元∕米，要使这条水沟的造价最低，则最低要花多少元修这条水沟？
【答案】（1）解：（1）∵802+602=1002，
∴∠C=90°，
∵D点是AB的中点，
∴CD= AB=50m．
（2）解：作CE⊥AB于点E，
∵ AC BC= AB CE，
∴CE= = =48（m），
造价为30×48=1440（元）．
答：水渠CD的长为48m，其造价1440元．
【解析】【分析】（1）首先证明△ABC是直角三角形，再根据E点是AB的中点，则连接CE，CE是AB边的中线，则根据直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半；（2）根据三角形的面积计算方法建立方程即可得出CD的长，最后计算得出结论即可．
46．要在一块长52m，宽48m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路．下面分别是小亮和小颖的设计方案．
（1）求小亮设计方案中甬路的宽度x；
（2）求小颖设计方案中四块绿地的总面积（友情提示：小颖设计方案中的x与小亮设计方案中的x取值相同）
【答案】（1）解：根据小亮的设计方案列方程得：（52﹣x）（48﹣x）=2300
解得：x=2或x=98（舍去）
∴小亮设计方案中甬道的宽度为2m
（2）解：作AI⊥CD，垂足为I，
∵AB∥CD，∠1=60°，
∴∠ADI=60°，
∵BC∥AD，
∴四边形ADCB为平行四边形，
∴BC=AD
由（1）得x=2，
∴BC=HE=2=AD
在Rt△ADI中，AI=2sin60°=
∴小颖设计方案中四块绿地的总面积为52×48﹣52×2﹣48×2+（ ）2=2299平方米
【解析】【分析】（1）把两条甬路分别平移到左边、上边，则剩余绿地的长为（52-x）m，款为（48-x）m，由矩形的面积公式可列方程，从而求出答案；
（2）作AI⊥CD，垂足为I，先证明四边形ADCB为平行四边形，由三角函数求出AI=3，根据总面积减去两条甬道的面积加上中间正方形的面积可求出答案.
47．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线
y = -
x+ 4与 x 轴、y 轴分别交于点 A、点 B，点 D 在 y 轴的负半轴上，若将△DAB 沿着直线 AD 折叠，点 B 恰好落在 x 轴正半轴上的点 C处.
（1）求直线 CD 的表达式；
（2）在直线 AB 上是否存在一点 P，使得 SDPCD= SDOCD？若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：令x=0得：y=4，
∴B（0，4）.
∴OB=4
令y=0得：0=- x+4，解得：x=3，
∴A（3，0）.
∴OA=3.
在Rt△OAB中，AB= .
∴OC=OA+AC=3+5=8，
∴C（8，0）.设OD=x，则CD=DB=x+4.
在Rt△OCD中，DC2=OD2+OC2，即（x+4）2=x2+82，解得：x=6，
∴D（0，-6）.
设CD的解析式为y=kx-6，将C（8，0）代入得：8k-6=0，解得：k= ，
∴直线CD的解析式为y= x-6.
（2）解：过点P作PF∥y轴交CD于F，
∵P点在直线BA上，设P(m， - m+ 4)，则F(m， m-6)， ∴PF= = ， ∵ ，D(0，-6)，C(8，0)，∴ ×8= ×8×6× =60，解得：m=- 或m=12， ∴ (- ， )， (12，-12)，
综上所述，在直线 AB 上存在一点 P为 (- ， )， (12，-12).
【解析】【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，在Rt△AOB中，利用勾股定理可求出AB的长度，由折叠的性质可得出AC=AB，结合OC=OA+AC可得出OC的长度，进而可得出点C的坐标，设OD=x，则CD=DB=x+4.，Rt△OCD中，依据勾股定理可求得x的值，从而可得到点D（0，-6），然后利用待定系数法求解即可；（2）假设存在，设点P的坐标为(m， - m+ 4)，则F(m， m-6)，PF= 利用三角形的面积公式可得出关于m的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论.
48．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．设a+b（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ．
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： + ＝（ + ）2；
（3）化简
【答案】（1）m2+3n2；2mn
（2）21；4；1；2
（3）解：
＝﹣
＝﹣
＝﹣
＝﹣
＝++﹣
＝
【解析】【解答】解：（1）∵，＝m2+2mn+3n2
∴a＝m2+3n2，b＝2mn
故答案为：m2+3n2，2mn．
（2）设a+b＝
则＝m2+2mn+5n2
∴a＝m2+5n2，b＝2mn
若令m＝1，n＝2，则a＝21，b＝4
故答案为：21，4，1，2．
【分析】（1）根据题干中的计算方法求解即可；
（2）设a+b＝，再利用题干中的计算方法求解即可；
（3）先利用二次根式的分母有理化化简，再计算即可。
49．
（1）（问题探究）
如图①，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，不需要证明.
（2）（深入探究）
如图②，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD，连接BD、CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由.
（3）（拓展应用）
如图③，在△ABC中，∠ACB=45°，以AB为直角边，A为直角顶点向外作等腰直角△ABD，连接CD，若AC= ，BC=3，则CD长为 .
【答案】（1）解：结论：BD＝CE.
理由是：如图1中，
∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
，
∴△EAC≌△BAD（SAS），
∴BD＝CE.
（2）解：结论：BD＝CE.
理由是：如图2中，
∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE ∠BAC＝∠CAD ∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
，
∴△EAC≌△BAD（SAS），
∴BD＝CE.
（3）
【解析】【解答】解：（3）如图3中，在AC的上方作等腰直角△ACE，使得∠CAE＝90°，AC＝AE，连接BE.
∵∠ACB＝45°，∠ACE＝45°
∴∠BCE＝90°
∴△ACE是等腰直角三角形，
∵AC＝ =AE，
∴CE＝ ＝2，
在Rt△BCE中，BE＝ .
∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAE＝∠DAC，
∵AB＝AD，AE＝AC，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE＝CD，
∴CD＝ .
故答案为： .
【分析】（1）首先根据等式的性质证明∠EAC＝∠BAD，则根据SAS即可证明△EAC≌△BAD，根据全等三角形的性质即可证明；
（2）首先根据等式的性质证明∠EAC＝∠BAD，则根据SAS即可证明△EAC≌△BAD，根据全等三角形的性质即可证明；
（3）构造如问题探究的图形，得出CD＝BE，再在Rt△BCE中求出BE即可.
50．如图，在等腰 中， .点 从点 出发沿射线 方向运动，同时点 从 出发，以相同的速度沿射线 方向运动，连 ，交直线 于点
（1）当点 运动到 中点时，求 的长.
（2）求证： .
（3）过点 作 ，交直线 于 ，请探究 之间的数量关系，并直接写出结论.
【答案】（1）解：由题意，得AD=CF= =2，
∴AF=AC+CF=4+2=6
∴
（2）证明：作 ，如图所示：
∴∠BKD=∠BCA，∠KDG=∠CFG
∴∠DKG=∠FCG
∵D为AB中点，DK∥AC
∴DK=CF
∴ （ASA），
∴
（3）解：当点 在 上时，如图所示，
∵等腰
∴∠B=45°
∵
∴BH=HK
∵
∴KG=CG
∴ ；
当点 在 的延长线上时，如图所示：
∵等腰
∴∠B=45°
∵
∴BH=GH
∴
【解析】【分析】（1）根据题意得出CF，然后利用勾股定理即可得出DF；
（2）首先作 ，利用平行的性质构造 ，即可得证；
（3）分① 当点 在 上时与② 当点 在 的延长线上时 两种情况探究利用三线合一的性质进行等量转换即可.
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