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第2节 动量守恒定律及其应用
第1章 动量及其守恒定律
1．能用牛顿运动定律推导动量守恒定律。
2．理解动量守恒定律的确切含义和表达式，会运用动量守恒定律解决实际问题。
3．探究碰撞前、后动量的变化规律。
4．知道反冲运动及火箭的飞行原理，体验将所学知识应用到实际生活中。
学习任务
知识点一 动量守恒定律
1．动量守恒定律的内容：一个系统不受____或者所受______为0时，这个系统的______保持不变。
必备知识·自主预习储备
外力
合外力
总动量
2．动量守恒定律的成立条件
(1)系统不受外力的作用。
(2)系统受外力作用，但合外力____。
(3)系统受外力的作用，合外力也不为零，但合外力______内力。这种情况严格地说只是动量近似守恒，但却是最常见的情况。
(4)系统受外力，但在某一方向上不受外力或所受合外力为零，则系统在该方向上动量守恒。
为零
远小于
3．动量守恒定律的表达式
(1)p＝p′(系统相互作用前的总动量p等于相互作用后的总动量p′)。
(2)m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′(相互作用的两个物体组成的系统，作用前的动量和____作用后的动量和)。
(3)Δp1＝－Δp2(相互作用的两个物体组成的系统，一个物体动量的变化量与另一个物体动量的变化量大小____、方向____)。
(4)Δp＝0(系统总动量的增量____)。
等于
相等
相反
为零
4．适用范围：动量守恒定律是自然界普遍适用的基本规律之一，不仅低速、宏观领域遵循这一规律，____(接近光速)、____(分子、原子的尺度)领域也遵循这一规律。
提醒 动量守恒定律是实验定律，适用于任何物理研究领域。
高速
微观
体验1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果系统的机械能守恒，则动量不一定守恒。 ( )
(2)只要系统内存在摩擦力，动量不可能守恒。 ( )
(3)做匀速圆周运动的物体动量是守恒的。 ( )
√
×
×
2．填空
光滑水平面上，子弹射击木块的过程中，子弹和木块组成的系统所受合外力为零，子弹水平方向动量__(选填“是”或“否”)守恒，系统动量__(选填“是”或“否”)守恒。
否
是
知识点二 反冲运动与火箭
1．反冲运动
根据动量守恒定律，一个静止的物体在内力的作用下分裂为两个部分，一部分向某一个方向运动，另一部分向相反方向运动的现象。
2．火箭
(1)原理：火箭的飞行应用了____的原理，靠喷出气流的反作用来获得巨大速度。
(2)影响火箭获得速度大小的因素：一是喷气速度，喷气速度____，火箭能达到的速度越大；二是燃料质量____，负荷____，火箭能达到的速度也越大。
反冲
越大
越大
越小
3．反冲运动的应用和防止
(1)灌溉喷水器、反击式水轮机、喷气式飞机、火箭等都是利用了反冲的原理。
(2)消防高压水枪、射击步枪等的反冲作用都必须采取措施加以防止。
思考 火箭发射时，喷出气体与火箭间的作用力远大于重力，此过程动量是否守恒？
提示：守恒。
体验3．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)反冲运动可以用动量守恒定律来解释。 ( )
(2)宇航员利用喷气装置实现太空行走是利用反冲的原理。 ( )
(3)火箭发射时，其速度大小只与喷出气体的质量有关。 ( )
(4)一切反冲现象都是有益的。 ( )
√
√
×
×
在光滑的水平面上有一辆平板车，一个人站在车上用大锤敲打车的左端，如图所示。
(1)人和大锤组成的系统动量守恒吗？
(2)在连续敲打下，这辆车能否持续地向右运动？
关键能力·情境探究达成
提示：(1)以人和大锤组成的系统为研究对象时，人受到平板车施加的摩擦力，系统所受合外力不为零，动量不守恒、地面光滑，以人、大锤和平板车为系统动量守恒。
(2)系统总动量为零，当把锤头打下去时，锤头向右摆动，车就向左运动；举起锤头时，锤头向左运动，车就向右运动。用锤头连续敲击时，车只是左右运动，一旦锤头不动，车就会停下来，所以车不能持续向右运动。
考点1 动量守恒的判断
动量守恒定律成立条件的四种情况
(1)系统不受外力作用，这是一种理想化的情形。如宇宙中两星球的碰撞，微观粒子间的碰撞都可视为这种情形。
(2)系统受外力作用，但所受合外力为零。如光滑水平面上两物体的碰撞就是这种情形。
(3)系统受外力作用，但当系统所受的外力远远小于系统内各物体间的内力时，系统的总动量近似守恒。例如，抛出去的手榴弹在空中爆炸的瞬间，弹片所受火药爆炸时的内力远大于其重力，重力完全可以忽略不计，系统的动量近似守恒。
(4)系统受外力作用，所受的合外力不为零，但在某一方向上合外力为零，则系统在该方向上动量守恒。
【典例1】 (多选)如图所示，A、B两物体的质量mA＞mB，中间用一段细绳相连并有一被压缩的弹簧，放在平板小车C上后，A、B、C均处于静止状态。若地面光滑，则在细绳被剪断后，A、B从C上未滑离之前，A、B在C上沿相反方向滑动过程中( )
A．若A、B与C之间的摩擦力大小相等，则A、B组成的系统动量守恒，A、B、C组成的系统动量也守恒
B．若A、B与C之间的摩擦力大小不相等，则A、B组成的系统动量不守恒，A、B、C组成的系统动量也不守恒
C．若A、B与C之间的摩擦力大小不相等，则A、B组成的系统动量不守恒，但A、B、C组成的系统动量守恒
D．以上说法均不对
√
√
[思路点拨] 动量守恒定律成立的条件是系统不受外力，或所受合外力为0。
AC [当A、B两物体组成一个系统时，弹簧的弹力为内力，而A、B与C之间的摩擦力为外力。当A、B与C之间的摩擦力等大反向时，A、B组成的系统所受外力之和为零，动量守恒；当A、B与C之间的摩擦力大小不相等时，A、B组成的系统所受外力之和不为零，动量不守恒。而对于A、B、C组成的系统，A、B与C之间的摩擦力均为内力，故不论A、B与C之间的摩擦力的大小是否相等，A、B、C组成的系统所受外力之和均为零，故系统的动量守恒，故A、C正确。]
[跟进训练]
1．(多选)如图所示，小车与木箱紧挨着静止放在光滑的水平冰面上，现有一男孩站在小车上用力向右迅速推出木箱。关于上述过程，下列说法正确的是( )
A．男孩和木箱组成的系统动量守恒
B．小车与木箱组成的系统动量守恒
C．男孩、小车与木箱三者组成的系统动量守恒
D．木箱的动量增量与男孩、小车的总动量增量不同
√
√
CD [在男孩站在小车上用力向右迅速推出木箱的过程中，男孩和木箱组成的系统所受合外力不为零，系统动量不守恒，故A错误；小车与木箱组成的系统所受合外力不为零，系统动量不守恒，故B错误；男孩、小车与木箱三者组成的系统所受合外力为零，系统动量守恒，故C正确；木箱、男孩、小车组成的系统动量守恒，木箱的动量增量与男孩、小车的总动量增量大小相等，方向相反，则木箱的动量增量与男孩、小车的总动量增量不相同，故D正确。]
考点2 动量守恒定律的理解及应用
1．研究对象：相互作用的物体组成的系统
(1)系统：相互作用的几个物体所组成的整体。
(2)内力：系统内各物体之间的相互作用力。
(3)外力：系统外其他物体对系统的作用力。
2．对“系统的总动量保持不变”的四点理解
(1)系统的总动量指系统内各物体动量的矢量和。
(2)总动量保持不变指的是大小和方向始终不变。
(3)系统的总动量保持不变，但系统内每个物体的动量可能在不断变化。
(4)系统在整个过程中任意两个时刻的总动量都相等，不能误认为只是初、末两个状态的总动量相等。
3．动量守恒定律的四个特性
(1)矢量性：动量守恒定律的表达式是一个矢量式，对作用前后物体的运动方向都在同一直线上的问题，要规定一个正方向，与正方向相同的动量取正值，与正方向相反的动量取负值，将矢量运算转化为代数运算。
(2)相对性：应用动量守恒定律列方程时，各物体的速度和动量必须相对于同一参考系，通常以地面为参考系。
(3)同时性：动量是状态量，动量守恒反映的是系统某两个状态的动量是相同的，应用动量守恒定律解题一定要注意同一时刻的动量才能相加，不是同一时刻的动量不能相加。
(4)普遍性：动量守恒定律不仅适用于两个物体组成的系统，也适用于多个物体组成的系统，不仅适用于低速宏观物体组成的系统，也适用于高速微观粒子组成的系统。
【典例2】 如图所示，A、B两个木块的质量分别为2 kg与0.9 kg，A、B与水平地面间接触光滑，上表面粗糙，质量为0.1 kg的铁块以10 m/s的速度从A的左端向右滑动，最后铁块与B的共同速度大小为0.5 m/s，求：
(1)A的最终速度大小；
(2)铁块刚滑上B时的速度大小。
[思路点拨] (1)铁块从A的左端向右滑动，铁块做减速运动，A、B一起做加速运动。
(2)当铁块冲上B后，A、B分离，A做匀速运动，B继续做加速运动，当铁块与B达到共同速度后一起做匀速运动。
[解析] (1)选铁块和木块A、B为系统，取水平向右为正方向，由系统总动量守恒得mv＝(MB＋m)vB＋MAvA
代入数据解得vA＝0.25 m/s。
(2)设铁块刚滑上B时的速度为v′，此时A、B的速度均为vA＝
0.25 m/s，铁块与A、B组成的系统动量守恒，由系统动量守恒得
mv＝mv′＋(MA＋MB)vA
解得v′＝2.75 m/s。
[答案] (1)0.25 m/s (2)2.75 m/s
规律方法 应用动量守恒定律解题的基本步骤
(1)合理地选取研究对象，明确系统是由哪几个物体组成的。
(2)分析系统的受力情况，分清内力和外力，判断系统的动量是否守恒。
(3)确定所研究的作用过程。选取的过程应包括系统的已知状态和未知状态，通常为初态到末态的过程。
(4)对于物体在相互作用前后运动方向都在一条直线上的问题，应设定正方向，各物体的动量方向可以用正、负号表示。
(5)建立动量守恒方程，代入已知量求解。
[跟进训练]
2．质量为2 kg的小车以2 m/s的速度沿光滑的水平面向右运动，若将质量为0.5 kg的沙袋以3 m/s的水平速度迎面扔上小车，则沙袋与小车一起运动的速度的大小和方向是( )
A．1.0 m/s，向右 B．1.0 m/s，向左
C．2.2 m/s，向右 D．2.2 m/s，向左
√
A [选向右为正方向，则小车和沙袋组成的系统在水平方向动量守恒，有m车v车－m砂v砂＝(m车＋m砂)v，解得v＝1.0 m/s，方向向右，故A正确。]
考点3 反冲运动
1．反冲运动的特点
(1)物体的不同部分在内力作用下向相反方向运动。
(2)反冲运动中，相互作用的内力一般情况下远大于外力，所以可以用动量守恒定律来处理。
(3)反冲运动中，由于有其他形式的能转化为机械能，所以系统的总机械能增加。
2．处理反冲运动应注意的三个问题
(1)速度的方向：对于原来静止的整体，两部分的运动方向必然相反。在列动量守恒方程时，可任意规定某一部分的运动方向为正方向，则反方向的速度应取负值。
(2)相对速度问题：在讨论反冲运动时，有时给出的速度是相互作用的两物体的相对速度。由于动量守恒定律中要求速度为对同一参考系的速度(通常为对地的速度)，应先将相对速度转换成对地速度后，再列动量守恒定律方程。
(3)变质量问题：在讨论反冲运动时，还常遇到变质量物体的运动，如在火箭的运动过程中，随着燃料的消耗，火箭本身的质量不断减小，此时必须取火箭本身和在相互作用的短时间内喷出的所有气体为研究对象，取相互作用的这个过程为研究过程来进行研究。
【典例3】 一火箭喷气发动机每次喷出m＝200 g的气体，气体喷出时相对于地面的速度v＝1 000 m/s，设火箭质量M＝300 kg，发动机每秒喷气20次。
(1)当第三次气体喷出后，火箭的速度为多大？
(2)第1 s末，火箭的速度为多大？
[思路点拨] (1)火箭和气体系统动量守恒。(2)运用动量守恒定律求解时，注意系统内部质量变化关系。(3)以每喷出一次气体列一次方程，找出对应规律分步求解。
[答案] (1)2 m/s (2)13.5 m/s
规律方法 反冲运动的处理方法
(1)反冲运动过程中系统不受外力或所受外力之和为零，满足动量守恒的条件，可以用动量守恒定律分析解决问题。
(2)反冲运动过程中系统虽然受到外力作用，但内力远远大于外力，外力可以忽略，也可以用动量守恒定律分析解决问题。
(3)反冲运动过程中系统虽然所受外力之和不为零，系统的动量并不守恒，但系统在某一方向上不受外力或所受外力之和为零，则系统的动量在该方向上的分量保持不变，可以在该方向上用动量守恒分析解决问题。
[跟进训练]
3．质量为40 kg的小车上站着一个质量为60 kg的人，小车与人一起在光滑的水平轨道上以1 m/s的速度运动，若人相对小车以2 m/s的速度水平向车前方跳出，其他条件不变，则车的速度变为( )
A．2.5 m/s B．－0.5 m/s C．1 m/s D．－2 m/s
D [人从车上跳出的过程，人和车组成的系统动量守恒，规定人跳出的方向为正方向，则(m人＋m车)v0＝m人v人＋m车v车，v人＝v0＋
2 m/s，代入数据解得v车＝－2 m/s，故A、B、C错误，D正确。]
√
1．(多选)下列图片所描述的事例或应用中，利用反冲原理的是( )
学习效果·随堂评估自测
2
4
3
题号
1
√
A．喷灌装置的自动旋转
B．章鱼在水中前行和转向
C．吹足气的气球由静止释放后气球运动
D．码头边轮胎的保护作用
√
√
ABC [A图中喷灌装置的自动旋转是利用水流喷出时的反冲作用而运动的，故属于反冲运动；B图中章鱼在水中前行和转向是利用喷出的水的反冲作用；C图中吹足气的气球由静止释放后气球运动是利用喷气的方式而获得动力，利用了反冲原理；D图中码头边的轮胎的作用是延长碰撞时间，从而减小作用力，不是利用反冲作用。故选A、B、C。]
2
4
3
题号
1
2．如图所示，轻弹簧的一端固定在竖直挡板上，一质量为m的光滑弧形槽静止放在光滑水平面上，弧形槽底端与水平面相切，一质量也为m的小物块从槽上高h处由静止开始下滑，下列说法正确的是( )
2
3
题号
1
4
A．在下滑过程中，物块和槽组成的系统机械能守恒
B．在下滑过程中，物块和槽组成的系统动量守恒
C．在压缩弹簧的过程中，物块和弹簧组成的系统动量守恒
D．被弹簧反弹后，物块能回到槽上高h处
√
A [对物块和槽组成的系统，在下滑过程中没有机械能损失，系统的机械能守恒，A正确；在下滑的过程中，物块在竖直方向有加速度，物块和槽组成的系统所受合外力不为零，故系统的动量不守恒，但系统在水平方向上动量守恒，B错误；在压缩弹簧的过程中，对于物块和弹簧组成的系统，由于挡板对弹簧有向左的弹力，所以系统受到的合外力不为零，则系统动量不守恒，C错误；因为物块与槽在水平方向上动量守恒，且两者质量相等，根据动量守恒定律知物块离开槽时物块与槽的速度大小相等、方向相反，物块被弹簧反弹后，与槽的速度相同，即两者做速度相同的匀速直线运动，所以物块不会再滑上弧形槽，D错误。 ]
2
3
题号
1
4
3．如图所示，甲、乙两物体在光滑水平面上沿同一直线相向运动，甲、乙物体的速度大小分别为3 m/s 和1 m/s，碰撞后甲、乙两物体都反向运动，速度大小均为2 m/s，则甲、乙两物体质量之比为( )
A．2∶3 B．2∶5 C．3∶5 D．5∶3
2
3
题号
4
1
√
C [选取碰撞前甲物体的速度方向为正方向，根据动量守恒定律有m甲v1－m乙v2＝－m甲v′＋m乙v′，代入数据，可得m甲∶m乙＝3∶5，选项C正确。]
4．(新情境题，以火箭运行为背景，考查反冲运动)2023年10月5日8时24分，长征二号丁运载火箭从西昌卫星发射中心点火起飞，将遥感三十九号卫星送入预定轨道，发射任务取得圆满成功，为新中国成立74周年献上了一份特别的生日礼物。
问题：(1)“长征二号丁”火箭升空过程的运动是一种什么运动？
(2)“长征二号丁”火箭升空过程中是否满足动量守恒定律？
2
4
3
题号
1
[解析] (1)“长征二号丁”火箭升空过程中的运动是一种反冲运动。
(2)“长征二号丁”火箭升空过程内力远大于外力，所以满足动量守恒定律。
[答案] 见解析
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．动量守恒定律的内容是什么？
提示：一个系统不受外力或者所受合外力为零时，这个系统的总动量保持不变。
2．写出动量守恒的表达式。
提示：m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′或Δp＝0或Δp1＝－Δp2。第2节 动量守恒定律及其应用
1．能用牛顿运动定律推导动量守恒定律。
2．理解动量守恒定律的确切含义和表达式，会运用动量守恒定律解决实际问题。
3．探究碰撞前、后动量的变化规律。
4．知道反冲运动及火箭的飞行原理，体验将所学知识应用到实际生活中。
知识点一 动量守恒定律
1．动量守恒定律的内容：一个系统不受外力或者所受合外力为0时，这个系统的总动量保持不变。
2．动量守恒定律的成立条件
(1)系统不受外力的作用。
(2)系统受外力作用，但合外力为零。
(3)系统受外力的作用，合外力也不为零，但合外力远小于内力。这种情况严格地说只是动量近似守恒，但却是最常见的情况。
(4)系统受外力，但在某一方向上不受外力或所受合外力为零，则系统在该方向上动量守恒。
3．动量守恒定律的表达式
(1)p＝p′(系统相互作用前的总动量p等于相互作用后的总动量p′)。
(2)m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′(相互作用的两个物体组成的系统，作用前的动量和等于作用后的动量和)。
(3)Δp1＝－Δp2(相互作用的两个物体组成的系统，一个物体动量的变化量与另一个物体动量的变化量大小相等、方向相反)。
(4)Δp＝0(系统总动量的增量为零)。
4．适用范围：动量守恒定律是自然界普遍适用的基本规律之一，不仅低速、宏观领域遵循这一规律，高速(接近光速)、微观(分子、原子的尺度)领域也遵循这一规律。
动量守恒定律是实验定律，适用于任何物理研究领域。
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果系统的机械能守恒，则动量不一定守恒。 (√)
(2)只要系统内存在摩擦力，动量不可能守恒。 (×)
(3)做匀速圆周运动的物体动量是守恒的。 (×)
2．填空
光滑水平面上，子弹射击木块的过程中，子弹和木块组成的系统所受合外力为零，子弹水平方向动量否(选填“是”或“否”)守恒，系统动量是(选填“是”或“否”)守恒。
知识点二 反冲运动与火箭
1．反冲运动
根据动量守恒定律，一个静止的物体在内力的作用下分裂为两个部分，一部分向某一个方向运动，另一部分向相反方向运动的现象。
2．火箭
(1)原理：火箭的飞行应用了反冲的原理，靠喷出气流的反作用来获得巨大速度。
(2)影响火箭获得速度大小的因素：一是喷气速度，喷气速度越大，火箭能达到的速度越大；二是燃料质量越大，负荷越小，火箭能达到的速度也越大。
3．反冲运动的应用和防止
(1)灌溉喷水器、反击式水轮机、喷气式飞机、火箭等都是利用了反冲的原理。
(2)消防高压水枪、射击步枪等的反冲作用都必须采取措施加以防止。
火箭发射时，喷出气体与火箭间的作用力远大于重力，此过程动量是否守恒？
提示：守恒。
3．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)反冲运动可以用动量守恒定律来解释。 (√)
(2)宇航员利用喷气装置实现太空行走是利用反冲的原理。 (√)
(3)火箭发射时，其速度大小只与喷出气体的质量有关。 (×)
(4)一切反冲现象都是有益的。 (×)
在光滑的水平面上有一辆平板车，一个人站在车上用大锤敲打车的左端，如图所示。
(1)人和大锤组成的系统动量守恒吗？
(2)在连续敲打下，这辆车能否持续地向右运动？
提示：(1)以人和大锤组成的系统为研究对象时，人受到平板车施加的摩擦力，系统所受合外力不为零，动量不守恒、地面光滑，以人、大锤和平板车为系统动量守恒。
(2)系统总动量为零，当把锤头打下去时，锤头向右摆动，车就向左运动；举起锤头时，锤头向左运动，车就向右运动。用锤头连续敲击时，车只是左右运动，一旦锤头不动，车就会停下来，所以车不能持续向右运动。
考点1 动量守恒的判断
动量守恒定律成立条件的四种情况
(1)系统不受外力作用，这是一种理想化的情形。如宇宙中两星球的碰撞，微观粒子间的碰撞都可视为这种情形。
(2)系统受外力作用，但所受合外力为零。如光滑水平面上两物体的碰撞就是这种情形。
(3)系统受外力作用，但当系统所受的外力远远小于系统内各物体间的内力时，系统的总动量近似守恒。例如，抛出去的手榴弹在空中爆炸的瞬间，弹片所受火药爆炸时的内力远大于其重力，重力完全可以忽略不计，系统的动量近似守恒。
(4)系统受外力作用，所受的合外力不为零，但在某一方向上合外力为零，则系统在该方向上动量守恒。
【典例1】 (多选)如图所示，A、B两物体的质量mA＞mB，中间用一段细绳相连并有一被压缩的弹簧，放在平板小车C上后，A、B、C均处于静止状态。若地面光滑，则在细绳被剪断后，A、B从C上未滑离之前，A、B在C上沿相反方向滑动过程中( )
A．若A、B与C之间的摩擦力大小相等，则A、B组成的系统动量守恒，A、B、C组成的系统动量也守恒
B．若A、B与C之间的摩擦力大小不相等，则A、B组成的系统动量不守恒，A、B、C组成的系统动量也不守恒
C．若A、B与C之间的摩擦力大小不相等，则A、B组成的系统动量不守恒，但A、B、C组成的系统动量守恒
D．以上说法均不对
[思路点拨] 动量守恒定律成立的条件是系统不受外力，或所受合外力为0。
AC [当A、B两物体组成一个系统时，弹簧的弹力为内力，而A、B与C之间的摩擦力为外力。当A、B与C之间的摩擦力等大反向时，A、B组成的系统所受外力之和为零，动量守恒；当A、B与C之间的摩擦力大小不相等时，A、B组成的系统所受外力之和不为零，动量不守恒。而对于A、B、C组成的系统，A、B与C之间的摩擦力均为内力，故不论A、B与C之间的摩擦力的大小是否相等，A、B、C组成的系统所受外力之和均为零，故系统的动量守恒，故A、C正确。]
[跟进训练]
1．(多选)如图所示，小车与木箱紧挨着静止放在光滑的水平冰面上，现有一男孩站在小车上用力向右迅速推出木箱。关于上述过程，下列说法正确的是( )
A．男孩和木箱组成的系统动量守恒
B．小车与木箱组成的系统动量守恒
C．男孩、小车与木箱三者组成的系统动量守恒
D．木箱的动量增量与男孩、小车的总动量增量不同
CD [在男孩站在小车上用力向右迅速推出木箱的过程中，男孩和木箱组成的系统所受合外力不为零，系统动量不守恒，故A错误；小车与木箱组成的系统所受合外力不为零，系统动量不守恒，故B错误；男孩、小车与木箱三者组成的系统所受合外力为零，系统动量守恒，故C正确；木箱、男孩、小车组成的系统动量守恒，木箱的动量增量与男孩、小车的总动量增量大小相等，方向相反，则木箱的动量增量与男孩、小车的总动量增量不相同，故D正确。]
考点2 动量守恒定律的理解及应用
1．研究对象：相互作用的物体组成的系统
(1)系统：相互作用的几个物体所组成的整体。
(2)内力：系统内各物体之间的相互作用力。
(3)外力：系统外其他物体对系统的作用力。
2．对“系统的总动量保持不变”的四点理解
(1)系统的总动量指系统内各物体动量的矢量和。
(2)总动量保持不变指的是大小和方向始终不变。
(3)系统的总动量保持不变，但系统内每个物体的动量可能在不断变化。
(4)系统在整个过程中任意两个时刻的总动量都相等，不能误认为只是初、末两个状态的总动量相等。
3．动量守恒定律的四个特性
(1)矢量性：动量守恒定律的表达式是一个矢量式，对作用前后物体的运动方向都在同一直线上的问题，要规定一个正方向，与正方向相同的动量取正值，与正方向相反的动量取负值，将矢量运算转化为代数运算。
(2)相对性：应用动量守恒定律列方程时，各物体的速度和动量必须相对于同一参考系，通常以地面为参考系。
(3)同时性：动量是状态量，动量守恒反映的是系统某两个状态的动量是相同的，应用动量守恒定律解题一定要注意同一时刻的动量才能相加，不是同一时刻的动量不能相加。
(4)普遍性：动量守恒定律不仅适用于两个物体组成的系统，也适用于多个物体组成的系统，不仅适用于低速宏观物体组成的系统，也适用于高速微观粒子组成的系统。
【典例2】 如图所示，A、B两个木块的质量分别为2 kg与0.9 kg，A、B与水平地面间接触光滑，上表面粗糙，质量为0.1 kg的铁块以10 m/s的速度从A的左端向右滑动，最后铁块与B的共同速度大小为0.5 m/s，求：
(1)A的最终速度大小；
(2)铁块刚滑上B时的速度大小。
[思路点拨] (1)铁块从A的左端向右滑动，铁块做减速运动，A、B一起做加速运动。
(2)当铁块冲上B后，A、B分离，A做匀速运动，B继续做加速运动，当铁块与B达到共同速度后一起做匀速运动。
[解析] (1)选铁块和木块A、B为系统，取水平向右为正方向，由系统总动量守恒得
mv＝(MB＋m)vB＋MAvA
代入数据解得vA＝0.25 m/s。
(2)设铁块刚滑上B时的速度为v′，此时A、B的速度均为vA＝0.25 m/s，铁块与A、B组成的系统动量守恒，由系统动量守恒得
mv＝mv′＋(MA＋MB)vA
解得v′＝2.75 m/s。
[答案] (1)0.25 m/s (2)2.75 m/s
应用动量守恒定律解题的基本步骤
(1)合理地选取研究对象，明确系统是由哪几个物体组成的。
(2)分析系统的受力情况，分清内力和外力，判断系统的动量是否守恒。
(3)确定所研究的作用过程。选取的过程应包括系统的已知状态和未知状态，通常为初态到末态的过程。
(4)对于物体在相互作用前后运动方向都在一条直线上的问题，应设定正方向，各物体的动量方向可以用正、负号表示。
(5)建立动量守恒方程，代入已知量求解。
[跟进训练]
2．质量为2 kg的小车以2 m/s的速度沿光滑的水平面向右运动，若将质量为0.5 kg的沙袋以3 m/s的水平速度迎面扔上小车，则沙袋与小车一起运动的速度的大小和方向是( )
A．1.0 m/s，向右 B．1.0 m/s，向左
C．2.2 m/s，向右 D．2.2 m/s，向左
A [选向右为正方向，则小车和沙袋组成的系统在水平方向动量守恒，有m车v车－m砂v砂＝(m车＋m砂)v，解得v＝1.0 m/s，方向向右，故A正确。]
考点3 反冲运动
1．反冲运动的特点
(1)物体的不同部分在内力作用下向相反方向运动。
(2)反冲运动中，相互作用的内力一般情况下远大于外力，所以可以用动量守恒定律来处理。
(3)反冲运动中，由于有其他形式的能转化为机械能，所以系统的总机械能增加。
2．处理反冲运动应注意的三个问题
(1)速度的方向：对于原来静止的整体，两部分的运动方向必然相反。在列动量守恒方程时，可任意规定某一部分的运动方向为正方向，则反方向的速度应取负值。
(2)相对速度问题：在讨论反冲运动时，有时给出的速度是相互作用的两物体的相对速度。由于动量守恒定律中要求速度为对同一参考系的速度(通常为对地的速度)，应先将相对速度转换成对地速度后，再列动量守恒定律方程。
(3)变质量问题：在讨论反冲运动时，还常遇到变质量物体的运动，如在火箭的运动过程中，随着燃料的消耗，火箭本身的质量不断减小，此时必须取火箭本身和在相互作用的短时间内喷出的所有气体为研究对象，取相互作用的这个过程为研究过程来进行研究。
【典例3】 一火箭喷气发动机每次喷出m＝200 g的气体，气体喷出时相对于地面的速度v＝1 000 m/s，设火箭质量M＝300 kg，发动机每秒喷气20次。
(1)当第三次气体喷出后，火箭的速度为多大？
(2)第1 s末，火箭的速度为多大？
[思路点拨] (1)火箭和气体系统动量守恒。(2)运用动量守恒定律求解时，注意系统内部质量变化关系。(3)以每喷出一次气体列一次方程，找出对应规律分步求解。
[解析] 解法一 (1)喷出气体的运动方向与火箭的运动方向相反，气体和火箭系统动量守恒。
设第一次气体喷出后火箭速度为v1，有
(M－m)v1－mv＝0，所以v1＝
设第二次气体喷出后火箭速度为v2，有
(M－2m)v2－mv＝(M－m)v1，所以v2＝
设第三次气体喷出后火箭速度为v3，有
(M－3m)v3－mv＝(M－2m)v2
所以v3＝ m/s≈2 m/s。
(2)设第n次气体喷出后火箭速度为vn，由上面推导可知，有(M－nm)vn－mv＝[M－(n－1)m]vn－1
所以vn＝
因为每秒喷气20次，所以1 s末火箭速度为
v20＝ m/s≈13.5 m/s。
解法二 选取整体为研究对象，运用动量守恒定律求解。
(1)设喷出三次气体后火箭的速度为v3，以火箭和喷出的三次气体为研究对象，根据动量守恒定律，
得(M－3m)v3－3mv＝0
所以v3＝≈2 m/s。
(2)以火箭和喷出的20次气体为研究对象，根据动量守恒定律，有(M－20m)v20－20mv＝0
所以v20＝≈13.5 m/s。
[答案] (1)2 m/s (2)13.5 m/s
反冲运动的处理方法
(1)反冲运动过程中系统不受外力或所受外力之和为零，满足动量守恒的条件，可以用动量守恒定律分析解决问题。
(2)反冲运动过程中系统虽然受到外力作用，但内力远远大于外力，外力可以忽略，也可以用动量守恒定律分析解决问题。
(3)反冲运动过程中系统虽然所受外力之和不为零，系统的动量并不守恒，但系统在某一方向上不受外力或所受外力之和为零，则系统的动量在该方向上的分量保持不变，可以在该方向上用动量守恒分析解决问题。
[跟进训练]
3．质量为40 kg的小车上站着一个质量为60 kg的人，小车与人一起在光滑的水平轨道上以1 m/s的速度运动，若人相对小车以2 m/s的速度水平向车前方跳出，其他条件不变，则车的速度变为( )
A．2.5 m/s B．－0.5 m/s C．1 m/s D．－2 m/s
D [人从车上跳出的过程，人和车组成的系统动量守恒，规定人跳出的方向为正方向，则(m人＋m车)v0＝m人v人＋m车v车，v人＝v0＋2 m/s，代入数据解得v车＝－2 m/s，故A、B、C错误，D正确。]
1．(多选)下列图片所描述的事例或应用中，利用反冲原理的是( )
A．喷灌装置的自动旋转 B．章鱼在水中前行和转向
C．吹足气的气球由静止释放后气球运动 D．码头边轮胎的保护作用
ABC [A图中喷灌装置的自动旋转是利用水流喷出时的反冲作用而运动的，故属于反冲运动；B图中章鱼在水中前行和转向是利用喷出的水的反冲作用；C图中吹足气的气球由静止释放后气球运动是利用喷气的方式而获得动力，利用了反冲原理；D图中码头边的轮胎的作用是延长碰撞时间，从而减小作用力，不是利用反冲作用。故选A、B、C。]
2．如图所示，轻弹簧的一端固定在竖直挡板上，一质量为m的光滑弧形槽静止放在光滑水平面上，弧形槽底端与水平面相切，一质量也为m的小物块从槽上高h处由静止开始下滑，下列说法正确的是( )
A．在下滑过程中，物块和槽组成的系统机械能守恒
B．在下滑过程中，物块和槽组成的系统动量守恒
C．在压缩弹簧的过程中，物块和弹簧组成的系统动量守恒
D．被弹簧反弹后，物块能回到槽上高h处
A [对物块和槽组成的系统，在下滑过程中没有机械能损失，系统的机械能守恒，A正确；在下滑的过程中，物块在竖直方向有加速度，物块和槽组成的系统所受合外力不为零，故系统的动量不守恒，但系统在水平方向上动量守恒，B错误；在压缩弹簧的过程中，对于物块和弹簧组成的系统，由于挡板对弹簧有向左的弹力，所以系统受到的合外力不为零，则系统动量不守恒，C错误；因为物块与槽在水平方向上动量守恒，且两者质量相等，根据动量守恒定律知物块离开槽时物块与槽的速度大小相等、方向相反，物块被弹簧反弹后，与槽的速度相同，即两者做速度相同的匀速直线运动，所以物块不会再滑上弧形槽，D错误。 ]
3．如图所示，甲、乙两物体在光滑水平面上沿同一直线相向运动，甲、乙物体的速度大小分别为3 m/s 和1 m/s，碰撞后甲、乙两物体都反向运动，速度大小均为2 m/s，则甲、乙两物体质量之比为( )
A．2∶3 B．2∶5 C．3∶5 D．5∶3
C [选取碰撞前甲物体的速度方向为正方向，根据动量守恒定律有m甲v1－m乙v2＝－m甲v′＋m乙v′，代入数据，可得m甲∶m乙＝3∶5，选项C正确。]
4．(新情境题，以火箭运行为背景，考查反冲运动)2023年10月5日8时24分，长征二号丁运载火箭从西昌卫星发射中心点火起飞，将遥感三十九号卫星送入预定轨道，发射任务取得圆满成功，为新中国成立74周年献上了一份特别的生日礼物。
问题：(1)“长征二号丁”火箭升空过程的运动是一种什么运动？
(2)“长征二号丁”火箭升空过程中是否满足动量守恒定律？
[解析] (1)“长征二号丁”火箭升空过程中的运动是一种反冲运动。
(2)“长征二号丁”火箭升空过程内力远大于外力，所以满足动量守恒定律。
[答案] 见解析
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．动量守恒定律的内容是什么？
提示：一个系统不受外力或者所受合外力为零时，这个系统的总动量保持不变。
2．写出动量守恒的表达式。
提示：m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′或Δp＝0或Δp1＝－Δp2。
课时分层作业(二) 动量守恒定律及其应用
?题组一 动量守恒的条件
1．下列几种现象中，所选系统动量守恒的有( )
A．原来静止在光滑水平面上的车，从水平方向跳上一个人，人和车为一系统
B．运动员将铅球从肩窝开始加速推出，以运动员和铅球为一系统
C．从高空自由落下的重物落在静止于地面上的车厢中，以重物和车厢为一系统
D．光滑水平面上放一斜面，斜面也光滑，一个物体沿斜面滑下，以重物和斜面为一系统
A [原来静止在光滑水平面上的车，从水平方向跳上一个人，人和车为系统，所受合外力为零，系统动量守恒，即A正确；其他三项，系统所受合外力不为零，系统动量不守恒，即B、C、D错误。]
2．如图所示，在光滑的水平面上有静止的物体A和B，物体A的质量是B的2倍，两物体中间用细绳锁定一处于压缩状态的轻质弹簧。现把细绳剪断，在弹簧恢复原长的过程中( )
A．A的速率是B的2倍
B．A的动量大小大于B的动量大小
C．A受的力大于B受的力
D．A、B组成的系统的总动量为零
D [在弹簧恢复原长的过程中，两物体组成的系统动量守恒，规定向左为正方向，有mAvA＋mB(－vB)＝0，由于物体A的质量是B的2倍，故A的速率是B的，A的动量大小等于B的动量大小，A、B错误，D正确；根据牛顿第三定律，A受的力和B受的力大小相等、方向相反，C错误。]
?题组二 动量守恒的应用
3．如图所示，用细线挂一质量为M的木块，有一质量为m的子弹自左向右水平射穿此木块，穿透前后子弹的速度分别为v0和v(设子弹穿过木块的时间和空气阻力不计)，木块的速度大小为( )
A． B． C． D．
B [规定向右为正方向，根据动量守恒定律得：mv0＝mv＋Mv′，得v′＝，故选B。]
4．如图所示，光滑圆槽的质量为M，静止在光滑的水平面上，其内表面有一小球被细线吊着恰位于槽的边缘处，如果将线烧断，则小球滑到另一边的最高点时，圆槽的速度为( )
A．0 B．向左 C．向右 D．无法确定
A [小球和圆槽组成的系统在水平方向不受外力，故系统在水平方向上的动量守恒(Δpx＝0)。细线被烧断瞬间，系统在水平方向的总动量为零。又知小球到达最高点时，球与槽水平方向上有共同速度，设为v′，由动量守恒定律有：0＝(M＋m)v′，所以v′＝0，正确选项为A。]
5．如图所示，质量为M的密闭汽缸置于光滑水平面上，缸内有一隔板P，隔板右边是真空，隔板左边是质量为m的高压气体，若将隔板突然抽去，则汽缸的运动情况是( )
A．保持静止不动
B．向左移动一定距离后恢复静止
C．最终向左做匀速直线运动
D．先向左移动，后向右移动回到原来位置
B [突然撤去隔板，气体向右运动，由动量守恒定律可知，开始时系统的总动量为零，所以汽缸向左运动，结束时总动量为零，汽缸和气体都将停止运动，故B正确。]
6．如图所示，两个带正电的等大的小球在绝缘光滑水平面上从相距很远处沿着同一条直线相向运动，已知它们的质量m1＝m2＝m，两小球的初速度大小分别为v1和v2，当它们相距最近时(没有接触)，这两个球组成的系统的电势能为( )
A．m(v1＋v2)2 B．
C．m(v1＋v2)2 D．
C [相距最近时，两个小球速度相等，规定向右为正方向，根据动量守恒定律可知m(v1－v2)＝2mv，再根据能量守恒可知ΔEp＝－ΔEk＝m(v1＋v2)2，减少的动能转化为小球的电势能，所以C正确。]
7．两个小木块B、C中间夹着一根轻弹簧，将弹簧压缩后用细线将两个木块绑在一起，使它们一起在光滑水平面上沿直线运动，这时它们的运动图线如图中a线段所示，在t＝4 s末，细线突然断了，B、C都和弹簧分离后，运动图线分别如图中b、c线段所示，从图中的信息可知( )
A．木块B、C都和弹簧分离后的运动方向相反
B．木块B、C都和弹簧分离后，系统的总动量增大
C．木块B、C分离过程中B木块的动量变化较大
D．木块B的质量是木块C质量的
D [由x-t图像可知，位移均为正，均朝一个方向运动，没有反向，A错误；木块都与弹簧分离后木块B的速度为v1＝ m/s＝3 m/s，木块C的速度为v2＝ m/s＝0.5 m/s，细线未断前木块B、C的速度均为v0＝1 m/s，由于系统所受合外力之和为零，故系统的动量守恒：(mB＋mC)v0＝mBv1＋mCv2，计算得木块B、C的质量比为1∶4，D正确，B错误；系统动量守恒，则系统内两个木块的动量变化量等大反向，C错误。]
?题组三 反冲现象
8．某实验小组发射自制水火箭，火箭外壳重2 kg，发射瞬间将壳内质量为4 kg的水相对地面以10 m/s的速度瞬间喷出，g取10 m/s2，空气阻力忽略不计，火箭能够上升的最大高度为( )
A．15 m B．20 m C．25 m D．30 m
B [由动量守恒定律有mv1＝Mv2，解得火箭的速度v2＝20 m/s，又＝2gh，解得火箭能够上升的最大高度h＝20 m，故选B。]
9．如图所示，自行火炮(炮管水平)连同炮弹的总质量为M，在水平路面上以v1的速度向右匀速行驶，发射一枚质量为m的炮弹后，自行火炮的速度变为v2，仍向右行驶，则炮弹相对炮筒的发射速度v0为( )
A． B．
C． D．
B [自行火炮水平匀速行驶时，牵引力与阻力平衡，系统动量守恒，设向右为正方向，发射前总动量为Mv1，发射后系统的动量之和为(M－m)v2＋m(v0＋v2)，则由动量守恒定律可得：Mv1＝(M－m)v2＋m(v0＋v2)，解得v0＝，故B正确。]
10．一弹丸在飞行到距离地面5 m高时仅有水平速度v＝2 m/s，爆炸成为甲、乙两块水平飞出，甲、乙的质量比为3∶1。不计质量损失，取重力加速度g＝10 m/s2，则下列图中两块弹片飞行的轨迹可能正确的是( )
A B C D
B [由h＝gt2可知，爆炸后甲、乙两块做平抛运动的时间t＝1 s，爆炸过程中，爆炸产生的力对沿原方向运动的一块的冲量沿运动方向，故这一块的速度必然增大，即v>2 m/s，因此水平位移大于2 m，C、D项错误；甲、乙两块在爆炸前后，水平方向不受外力，故水平方向动量守恒，即甲、乙两块的动量改变量大小相等，两块质量比为3∶1，所以速度变化量之比为1∶3，由平抛运动水平方向上x＝v0t，所以A图中，v乙＝－0.5 m/s，v甲＝2.5 m/s，Δv乙＝－2.5 m/s，Δv甲＝0.5 m/s，A项错误；B图中，v乙＝0.5 m/s，v甲＝2.5 m/s，Δv乙＝－1.5 m/s，Δv甲＝0.5 m/s，B项正确。]
11．(多选)如图所示，三辆完全相同的平板小车a、b、c成一直线排列，静止在光滑水平面上。c车上有一小孩跳到b车上，接着又立即从b车跳到a车上。小孩跳离c车和b车时对地的水平速度相同。他跳到a车上相对a车保持静止，此后( )
A．a、b两车运动速率相等
B．a、c两车运动速率相等
C．三辆车的速率关系vc>va>vb
D．a、c两车运动方向相反
CD [规定以向右为正方向，若人跳离b、c车时速度为v，由动量守恒定律知，人和c车组成的系统：0＝M车vc＋m人v
对人和b车：m人v＝M车vb＋m人v
对人和a车：m人v＝(M车＋m人)va
所以：vc＝－，vb＝0，va＝vb，并且vc与va方向相反，故C、D正确。]
12．烟花爆竹中的“二踢脚”(双响爆竹)在地面点燃炸响后直飞升空，在高空再炸响一声。设质量为m的“二踢脚”在地面炸响后(不考虑质量变化)获得初速度v0，竖直升空到速度为零时再次炸响，分裂成质量之比为2∶1的两块，小块碎片获得水平速度v。已知当地的重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A．“二踢脚”上升的高度为
B．高空再次炸响后，大块碎片获得的速度为2v
C．高空分裂后，大块碎片先落地
D．落地后，两块碎片之间的距离为
D [该爆竹爆炸后做竖直上抛运动，故＝2gh，解得上升的高度为h＝，A错误；高空再次炸响后，两碎片质量之比为2∶1，则小块碎片质量为m，大块碎片质量为m，水平方向上动量守恒，根据动量守恒定律可得mv′mv＝0，解得v′＝，负号表示大块碎片的速度与小块碎片的速度方向相反，B错误；高空分裂后，两碎片都是做平抛运动，由于下落的高度相同，所以运动时间相同，即同时落地，C错误；两碎块在水平方向上做匀速直线运动，故落地距离为x＝＝|v′t|＋|vt|，在竖直方向上做自由落体运动，故h＝gt2＝，联立解得x＝，D正确。]
13．如图所示，光滑水平面上A、B两小车质量都是M，A车前站立一质量为m的人，两车在同一直线上相向运动。为避免两车相撞，人从A车跳到B车上，最终A车停止运动，B车获得反向速度v0，试求：
(1)两小车和人组成的系统的初动量大小；
(2)为避免两车相撞，若要求人跳跃速度尽量小，则人跳上B车后，A车的速度为多大。
[解析] (1)光滑水平面上，两小车与人组成的系统动量守恒，所以两小车和人组成的系统的初动量就等于最终A车停止运动、B车获得反向速度时系统的动量，所以由系统动量守恒得
p＝(M＋m)v0。
(2)为使两车恰好不会发生碰撞，则最终两车和人具有相同速度，设共速的速度为v1，由系统动量守恒得
(M＋m)v0＝(2M＋m)v1
解得v1＝v0。
[答案] (1)(M＋m)v0 (2)v0
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