2024-2025学年广东省深圳市南山实验教育集团九年级（下）第一次段考数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省深圳市南山实验教育集团九年级（下）第一次段考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四个负数中，，，，，最大的负数是( )
A. B. C. D.
2.如图是小宇同学每天作息时间扇形统计图，得到下列信息，错误的是( )
A. 小宇睡眠时间占全天时间的
B. 小宇每天体育活动时间为小时
C. 各项统计中，小宇课业学习时间最多
D. 小宇每天睡眠时间为小时
3.如图，在平地上种植树木时，要求株距相邻两棵树之间的水平距离为，若在坡度为：的山坡上种树，也要求株距为，那么相邻两棵树间的坡面距离为( )
A. B.
C. D.
4.如图，公路上有一个米高的路灯晚上小红站在位置的影子和站在位置的影子相比( )
A. 在位置的影子长些
B. 一样长
C. 在位置的影子长些
D. 无法确定
5.为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则根据题意，下列方程正确的是( )
A. B. C. D.
6.下列命题是真命题的是( )
A. 三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等
B. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是且
C. 若关于的一元一次不等式组无解，则的范围是
D. 若点是线段的黄金分割点，则
7.如图，周长为的菱形中，，点为边中点，点为对角线上一动点，沿的路径行进，长度为，，的长度之和为，设函数图象最低点的坐标为，则的值为( )
A. B. C. D.
8.如图，已知，两点的坐标分别为，，点，分别是直线和轴上的动点，，点是线段的中点，连接交轴于点，当面积取得最小值时，的值是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.已知，，则______．
10.若一个扇形的弧长为，半径为，则此扇形的面积为______．
11.若一元二次方程的两个根为，，则的值为______．
12.如图，在中，，顶点，分别在反比例函数与的图象上，则的值为______．
13.如图，在菱形中，，点在边上，连结，将绕点旋转，点恰好落在边上的点处，且若，，则 ______．
三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
阅读与理解
阅读下列材料，完成后面的任务．
在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：若，求代数式的值．
解：，，，．
任务：已知．
求的值．
求的值．
15.本小题分
为了弘扬中华优秀传统文化，某校以“中国传统节日”为主题开展活动，组织全校学生在“春节”“清明节”“端午节”“中秋节”四个传统节日中选择一个作为研学主题，了解其历史及其传统文化内涵现随机调查了部分学生，对他们选择主题的情况进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计表和统计图．
主题 人数 所占百分比
春节
清明节
端午节
中秋节
表中的值是______，本次调查的学生人数是______；
若该校共有名学生，请估计选择“中秋节”的学生人数；
若甲、乙两名学生选择上面四个传统节日的可能性相同，请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人选择的主题中含有“端午节”的概率．
16.本小题分
如图，在平行四边形中，．
用尺规完成以下基本作图：作的平分线交于点，在上截取，使保留作图痕迹，不写作法；
在所作的图形中，连接，求证：四边形是菱形．请补全下面的证明过程．
证明：四边形为平行四边形，
且，
，
，
______．
四边形是平行四边形，
，
______．
平分，
______，
．
______，
四边形是菱形．
17.本小题分
某超市以每件元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于元经过市场调查发现，该文具每天的销售量件与销售单价元之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价元
每天的销售量件
求与之间的函数关系式；
若该超市每天销售这种文具获利元，则销售单价为多少元？
该超市要使每天销售这种文具的利润最大，销售单价应为多少元？最大利润是多少元？
18.本小题分
如图，是的直径，弦于点，是上的一点，，的延长线交于一点．
求证：．
过作的切线，交的延长线于点，与交于点，若，点是的中点时，，求的长．
19.本小题分
问题提出
如图，在中，，的面积为在内作一个正方形，使正方形一边落在边上，另外两个顶点，分别落在边，上，该正方形的面积大小为______．
问题解决
某市进行绿化改造，美化生态环境如图，现有一块四边形的空地计划改造成公园，经测量，，，，且按设计要求，要在四边形公园内建造一个矩形活动场所，顶点，均在边上，顶点，分别在边，上为了满足居民需求，计划在矩形活动场所中种植草坪，在公园内其他区域种植花卉已知花卉每平方米元，草坪每平方米元，则绿化改造所需费用至少为多少元？结果保留整数，参考数据
20.本小题分
在四边形中，点为的中点，分别连接，．
如图，若，．
求证：；
若平分，求证：；
如图，若，，，，求的长．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.解：，
，
，
；
，
．
15.解：由题意得，．
本次调查的学生人数是人．
故答案为：；人．
人．
估计选择“中秋节”的学生人数约人．
设“春节”“清明节”“端午节”“中秋节”分别用，，，表示，
列表如下：
共有种等可能的结果，其中甲、乙两人选择的主题中含有“端午节”的结果有：，，，，，，，共种，
甲、乙两人选择的主题中含有“端午节”的概率为．
16.解：图形如图所示：
证明：四边形为平行四边形，
且，
，
，
．
四边形是平行四边形，
，
．
平分，
，
．
，
四边形是菱形．
故答案为：，，，．
17.解：设与之间的函数关系式为．
把和代入得
解得
故与之间的函数关系式为；
根据题意，得．
解得，．
，
．
答：销售单价为元；
设销售这种文具每天获利元，
则，
，
抛物线开口向下．
对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，
当时，取得最大值，
答：要使每天销售这种文具的利润最大，销售单价应为元，最大利润是元．
18.证明：连接，如下图所示：

是的直径，弦，
，
，
四边形内接于，
，
即；
解：，，
，
是的直径，弦，，
，
在中，，
即，
，
由勾股定理得：，
为的切线，
，
，
，
点是弧的中点，
，
，
，
设，则，
，
∽，
：：，
即：：，
解得：，即，
在中，由勾股定理得：．
19.解：过点作于点，交于点，
，，
，
，
设正方形的边长为，则，
四边形是正方形，
，
∽，
，即，
，
，
解得：，
正方形的面积为：，
故答案为：；
如图所示：
四边形是矩形，
，，，
，
≌，
，，
设，则，
，
，
，
，
当点与点重合时，则，
，
要使绿化改造所需费用最少，则需满足矩形的面积最大，
当时，矩形的面积最大，最大值为，如图，
，
过点作于点，
，
，
，
，
，
四边形的面积为，
种植花卉的面积为，
所需费用最少为元；
答：绿化改造所需费用至少为元．
20.证明：，，
∽，
，
为的中点，
，
，即；
，，
，
，
，
平分，
，
，
；
解：如图，过点作，交的延长线于点，连接，
，
，，
≌，
，，
，
，
．
，
，
在中，
，，
，
．
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