山东省临沂第三中学2024-2025学年高二下学期3月份月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省临沂第三中学高二下学期3月份月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
2.曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为( )
A. B. C. D.
3.函数在区间上的最小值为
A. B. C. D.
4.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.同一个宿舍的名同学被邀请去看电影，其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，丙同学不去，其他人根据个人情况可选择去，也可选择不去，则不同的去法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为
A. B. C. D.
7.名同学合影，站成了前排人后排人，现摄影师要从后排人中抽人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是( )
A. B. C. D.
8.若关于的不等式，对恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数的导函数的图象如图所示，以下命题正确的是( )
A. 是函数的极值点 B. 是函数的最小值点
C. 在区间上单调递增 D. 在处切线的斜率小于零
10.下列判断正确的为( )
A. 从名男同学和名女同学中选出人，则至少有名女同学的选法有种
B. 如果一个三位正整数如“”满足，且，则称这样的三位数为凹数如，，那么由，，，可以组成个凹数
C. 某会议厅有个门，某人选择一个门进，选择一个门出，则有种不同的走法
D. 已知，，则不同取值的个数为
11.已知函数的定义域为，其导函数为，且对任意的，都有，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算： 用数字作答
13.若函数存在增区间，则实数的取值范围为 ．
14.在某班举行的“庆五一”联欢晚会开幕前已排好有个不同节目的节目单，如果保持原来的节目相对顺序不变，临时再插进去三个不同的新节目，且插进的三个新节目按顺序出场，那么共有 种不同的插入方法用数字作答．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设函数．
求在处的切线方程；
求在上的最大值和最小值．
16.本小题分
已知，．
求的值；
求的值．
17.本小题分
某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共节课
如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种？
如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种排法？
原定的节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理节课，若将这节课插入原课表中且原来的节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？
18.本小题分
设函数，．
求的单调区间和极值；
证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点．
19.本小题分
设．
讨论的单调性；
当时，恒成立，求的取值范围．
参考答案
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14.．
15.由题意知，，即切点为，
又，所以
所以在处的切线方程为：，即；
，
令得；令得或，
故的减区间为，增区间为和，
函数的极大值，函数的极小值，
又，
在上的最大值是，最小值是
16.由已知得：，化简得：，
解得或，
又因为
所以．
将代入得．
17.如果数学必须比语文先上，则不同的排法有种；
如果体育排在最后一节，有种，
体育不排在最后一节有种，
所以共有种，
若将这节课插入原课表中且原来的节课相对顺序不变，
则有种
18.Ⅰ由，得
．
由解得．
与在区间上的情况如下：
所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；
在处取得极小值．
Ⅱ由Ⅰ知，在区间上的最小值为．
因为存在零点，所以，从而．
当时，在区间上单调递减，且，
所以是在区间上的唯一零点．
当时，在区间上单调递减，且，，
所以在区间上仅有一个零点．
综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点．
19.，
，
当时，即时，，
在上是减函数；
当时，即时，
由，
解得，
当时，，当时，，
在单调递减，在上单调递增，
综上，时，函数在上是减函数，无单调增区间；
时，函数在单调递减，在上单调递增．
由知，
若时，在无最小值，所以不恒成立；
若时，
当时，，
所以函数在上单调递增，
所以，
即当时，恒成立；
当时，，
函数在递减，在上递增，
所以当时，
，
只需即可，
令，，
则，
所以在上是增函数，
故，
即无解，
所以时，不恒成立。
综上，的取值范围为．
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