2024-2025学年浙江省嘉兴市第五高级中学高二下学期3月月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省嘉兴市第五高级中学高二下学期3月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.据报道，从年月日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路，“高原版”复兴号动车组涂装用的是高耐性油漆，可适应高海拔低温环境．“高原版”复兴号动车组列车全长米，由辆编组构成，设有个商务座、个一等座、个二等座，最高运行时速达千米，全列定额载客人．假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，则当时，“高原版”复兴号动车的加速度为( )
A. B. C. D.
3.为配合垃圾分类在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动高一高二高三年级分别有名名名同学获一等奖若将上述获一等奖的名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.已知函数在处有极小值，则的值为( )
A. B. C. D. 或
5.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
6.若，，，则以下不等式正确的是( )
A. B. C. D.
7.已知函数，满足在定义域内单调递减，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知是定义在上的偶函数，是的导函数；当时，有恒成立，且，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导数的运算正确的是( )
A. B.
C. D.
10.如图，用种不同的颜色把图中五块区域涂上颜色，相邻区域不能涂同一种颜色，则( )
A.
B. 当时，若同色，共有种涂法
C. 当时，若不同色，共有种涂法
D. 当时，总的涂色方法有种
11.已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中，存在“巧值点”的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.由、、、可以组成 个在百位的没有重复数字的四位数．
13.已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ．
14.曲率在数学上是表明曲线在某一点的弯曲程度的数值对于半径为的圆，定义其曲率，同样的，对于一般曲线在某点处的曲率，我们可通过该点处的密切圆半径计算其中对于曲线在点处的密切圆半径计算公式为，其中表示的导数，表示的导数已知曲线，则曲线在点处的曲率为 ；上任一点处曲率的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
现有个数学课外兴趣小组，其中一、二、三、四组分别有人、人、人、人．
选人为负责人，有多少种不同的选法？
每组选名组长，有多少种不同的选法？
推选人发言，这人需来自不同的小组，有多少种不同的选法？
16.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，的面积为，求，的值．
17.本小题分
已知函数．
当时，求函数的极值；
讨论的单调性；
若函数在上的最小值是，求的值．
18.本小题分
如图，已知四边形是矩形，，三角形是正三角形，且平面平面．
若是的中点，证明：；
求二面角的余弦；
在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由
19.本小题分
已知函数．
当时，判断函数的零点个数；
若在上恒成立，求的取值范围；
设，若函数有两个极值点、，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
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8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：分四类：第一类，从一组中选人，有种方法；
第二类，从二组中选人，有种方法；
第三类，从三组中选人，有种方法；
第四类，从四组中选人，有种方法．
所以不同的选法共有种方法．
分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四组中选名组长，
所以不同的选法共有种方法；
分六类：第一类，从一、二组中各选人，有种方法；
第二类，从一、三组中各选人，有种方法；
第三类，从一、四组中各选人，有种方法；
第四类，从二、三组中各选人，有种方法；
第五类，从二、四组中各选人，有种方法；
第六类，从三、四组中各选人，有种方法；
所以不同的选法共有种方法．

16.解：由正弦定理及．
得，
即，
即，
因为，所以，
所以，所以．
由题意得的面积，所以
又，且，所以
由得．
17.解：当时，，
，令，则，
当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，
则的极小值为，无极大值．
，，
若，则在上恒成立，
所以在上单调递增，
当时，令，解得，令，解得，
则其在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
，，
若，则在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以，不满足题意；
若，令，解得，令，解得，
所以函数在单调递减，单调递增，
所以，解得，满足题意；
若，则在上恒成立，
所以在上单调递减，
所以，解得，不满足题意，
综上，．
18.解：连接，因为三角形是正三角形，且是的中点，则，
且平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又因为四边形是矩形，则，
且平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
以为坐标原点，分别为轴，过平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，
可得，则，所以．
由可得：，
设平面的法向量，则
令，则，可得，
设平面的法向量，则
令，则，可得，
设二面角为，
则，
又二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．
由可得，
设，可得，
由可知：平面的法向量，
则由，
整理可得，解得或舍去，
即，可知存在点，点为的中点．
19.解：当时，，该函数的定义域为，，
所以，函数在上为增函数，
因为，，则，
由零点存在定理可知，函数在区间内存在唯一零点，
所以，函数在定义域内存在唯一零点．
因为，
当时，则，由可得，
令，其中，则，令可得，列表如下：
增 极大值 减
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，，则；
当时，则，由可得，
令，其中，则对任意的恒成立，
所以，函数在上为增函数，且当时，，此时，，
综上所述，实数的取值范围是．
因为，其中，
则，
因为函数有两个极值点，则函数在上有两个不等的实根，
则，解得，
所以，
，
令，其中，则，
所以，函数在上单调递减，则，故．

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