2024-2025学年广东省东莞市嘉荣外国语学校高一下学期3月月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省东莞市嘉荣外国语学校高一下学期3月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，若，则 ．
A. B. C. D.
3.在中，角的对边分别为，若，则( )
A. B. C. D.
4.若复数是纯虚数，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D.
5.在中，，则( )
A. B. C. D.
6.若向量，，则在上的投影向量的坐标是( )
A. B. C. D.
7.如图所示，在矩形中，，，点在边上，且，则的值是( )
A. B. C. D.
8.如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四式可以化简为的是( )
A. B.
C. D.
10.在中，角的对边分别为，则下列对的个数的判断正确的是( )
A. 当时，有两解
B. 当时，有一解
C. 当时，无解
D. 当时，有两解
11.已知分别为三个内角的对边，且，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，且，则 ．
13.在中，，则的形状为 三角形．
14.已知中，为上一点，且，垂足为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知为坐标原点，，，．
若三点共线，求实数的值；
若点满足，求的最小值．
16.本小题分
如图，在梯形中，为线段中点，记
用表示向量；
求的值；
求与夹角的余弦值．
17.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，，其中为的面积．
求角；
若，求周长的取值范围．
18.本小题分
已知甲船在海岛正北方向海里的处，以海里小时的速度沿东偏南的方向航行．
甲船航行小时到达处，求；
在海岛西偏南方向海里的处，乙船因故障等待救援．当甲船到达海岛正东方向的处时，接收到乙船的求援信号．已知距离海岛海里以外的海区为航行安全区域，甲船能否沿方向航行前往救援？请说明理由．
19.本小题分
如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作在此坐标系中，若，分别是的中点，分别与交于两点．
求：；
求的坐标；
若点在线段上运动，设，求的最大值．
参考答案
1.
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6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.直角
14.
15.因为，，，
所以，，
又三点共线，所以，
所以，解得
因为，，
所以，，
所以，
所以
，
所以当时．
16.；
由于，可得，又有，
所以；
由于，可得，又有，
所以．
由，可得，
．
17.因为，，，
所以，则，即，
又，所以．
的周长为，
因为，即，
因为，所以，
所以，则，即，
又，所以，即，
所以的周长的取值范围为．
18.由题意得，海里，海里，，
在中，由余弦定理得，
所以，海里．
甲船能沿方向航行前往救援，理由如下：
如图所示，延长，过点向正东方向作交的延长线于点，连接，过点作交于点，
在中，海里，
在中，海里，，由余弦定理得
，
所以海里，
所以，
因此甲船能沿方向航行前往救援．
19.依题意，得是单位向量，且夹角为，
所以，
而，
，
则．
因为，
所以，，
所以，则四边形是平行四边形，
所以，
因为分别是的中点，所以，
所以，，
因为
，
则，
所以，；
由知，，
因为点在线段上运动，所以设，其中，
因为，所以，
所以，
因为不共线，则，解得
所以，
因为，所以当时，取得最大值．

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