2024-2025学年广东省深圳市聚龙科学中学教育集团高一下学期3月月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年深圳市聚龙科学中学教育集团高一下学期3月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法正确的是( )
A. 若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
B. 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C. 若，，则
D. 向量与向量的长度相等
2.若复数为纯虚数，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.下列各式中不能化简为的是( )
A. B.
C. D.
4.设复数满足，则复数对应的点位于复平面内( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5.已知向量，，，若点不能构成三角形，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知平面向量满足，且，则( )
A. B. C. D.
7.设非零向量满足，，则四边形形状( )
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 正方形 D. 菱形
8.在中，点在上，且满足，点为上任意一点，若实数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面是关于复数的四个命题，其中真命题是( )
A. B.
C. 的共轭复数为 D. 的虚部为
10.已知向量，则下列说法正确的是( )
A. B. 与的夹角为
C. 若，则 D. 存在，使得
11.在正方形中，，点满足，则下列说法不正确的是( )
A. 当时， B. 当时，
C. 存在，使得 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若向量，，能作为平面内所有向量的一组基底，则的取值范围为 ．
13.已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标是 ．
14.在山脚测得山顶的仰角，沿倾斜角的公路向上走到达处，在处测得山顶的仰角，如图，若在山高的处的点位置建造下山索道，则此索道离地面的高度为___ __．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设是不共线的两个非零向量．
若，求证：三点共线；
若与共线，求实数的值，并指出与反向共线时的取值
16.本小题分
已知向量与的夹角，且，．
求，，在上的投影向量；
求向量与夹角的余弦值．
17.本小题分
在中，角的对边分别是，已知．
求；
若，且的周长为，求．
18.本小题分
在中，角的对边分别是，．
求；
若，的面积是，求的周长．
19.本小题分
如图，已知中，，是边上一点，且．

设，，试用，表示．
若，求的大小．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由，
得，
，
所以，且有公共点，
所以三点共线．
由与共线，
则存在实数，使得，
即，
又是不共线的两个非零向量，因此
解得，或
实数的值是．
当时，与反向共线

16.，所以
，所以
在上的投影向量为：
设向量与夹角为，则

17.在中，由及正弦定理得，而，
则，又，
所以或．
由的周长为，，得，
在中，由余弦定理得，即，
则，当时，，于是，，此方程无解；
当时，，于是，解得或，
所以当时，无解；当时，或．

18.由题意在中，，
即，故，
由于，所以．
由题意的面积是，，即，
由，得，
故的周长为．

19.因为，所以，
所以．
因为，，
由余弦定理得，
因为，所以，
，
在中，，所以，则，
所以，
又因为为锐角，所以的大小为．

第1页，共1页