2024-2025学年江苏省无锡市辅仁高级中学高一下学期第一次质量调研（3月）数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省无锡市辅仁高级中学高一下学期第一次质量调研（3月）数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，，为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为( )
A. B. C. D.
2.如图所示，，为边上的三等分点，且则下列各式中正确的是( )
A. B.
C. D.
3.已知向量，，若，则 ．
A. B. C. D.
4.在中，若，则( )
A. B. C. D.
5.在平行四边形中，，，，，则( )
A. B. C. D.
6.在中，角，，所对的边分别是，，，且满足，则的形状为( )
A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形
7.已知是单位平面向量，若对任意的，都有，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.在中，角，，所对的边分别为，，若，，时，则的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则中至少有一个为
C.
D. 若，则
10.已知平面向量为非零向量，且满足，则( )
A. 夹角的取值范围是 B. 的取值范围是
C. 的取值范围是 D. 的取值范围是
11.已知不是直角三角形，角的对边分别为，且，则( )
A. B. 的最小值为
C. 若，则 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设复数满足为虚数单位，则的模为 ．
13.在中，，点在边上，，则 ．
14.勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形已知正三角形边长为，点为勒洛三角形上的一点除去三点记，若对于某个确定的实数，使得方程成立的点的位置有且只有处，则此时的 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数在复平面上对应的点分别为．
若，求复数；
若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知，，．
求与的夹角；
若，且，求及．
17.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，已知．
求角；
若，，求的周长．
18.本小题分
已知分别为三个内角的对边，且满足．
求；
若为线段上的两个动点，且满足，求的取值范围．
19.本小题分
对于平面向量，定义“变换”：，
若向量，，求；
已知，，且与不平行，，，证明：；
若向量，求．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.．
15.由题设，则
由在第四象限，则．

16.，
所以，又，所以．
由题意知，
解得，，
，
所以．

17.在中，由正弦定理得，
又因为，所以，
因为，所以，
所以，又因为，所以．
在中，由正弦定理，得，
因为，所以，
在中，，
由余弦定理得，即，
所以，所以，
所以，所以周长为．

18.已知，因为，
所以．
由正弦定理可得．
根据余弦定理，．
因为，所以．
因为，，
，，
或
又，所以，故，，
由正弦定理可得，故，
设，其中，则，，
在中，由正弦定理可得，
则，
在中，由正弦定理可得，
则．
的面积，
，
，，即，
．

19.根据题意可得，，，
代入变换可得
即
得，同理可得，
；
所以，
则，
得，
即；
易知
；
且
所以
；
因此
由，
可得
即，又，
解得．
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