人教A版高一下册数学-必修第二册 8.4.1 平面 教学设计（表格式）

人教A版高一下册数学-必修第二册8.4.1平面 教学设计
课题 8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 8.4.1 平面
课型 新授课 课时 1课时
学习目 标 1.初步理解平面的概念、三个基本事实和推论，会用图形、文字、符号三种语言形式表述三个基本事实和推论． 2.在探究三个基本事实的情境中，感悟立体几何结论发现的过程，体验研究几何体的方法，提升直观想象和数学抽象素养．
学习重 点 对三个基本事实和三个推论的理解及其集合符号语言表示．
学习难 点 对基本事实的理解和集合符号语言表示，对推论的说理证明．
学情分 析 在初中学生初步学面几何的相关知识，掌握了平面内点、直线的概念和性质,在学习新课时，可以通过类比“直线”来研究“平面”.通过以前的学习，学生对平面几何已有一定的分析和推理能力，初步具备了学习点、直线、平面之间的位置关系的能力,但学生以前接触的大多是平面图形,习惯于在平面上解决问题,空间想象能力、思维能力较弱,需要教师做好引导.
核心知 识 对三个基本事实和三个推论的理解及其集合符号语言表示．
教学内容及教师活动设计 （含情景设计、问题设计、学生活动设计等内容） 教师个人复备
一、引入新课 情境：在初中，我们已经对点和直线有了一定的认识，知道它们都是由现实事物抽象得到的，平面是构成我们生活的空间的基本元素之一，增加了对平面的研究，几何的学习就由二维到三维．你能举例说明，生活中哪些物体给我们平面的感觉呢？ 答：教室里的黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等，都给我们以平面的印象．几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的． 设计意图：通过生活实例直观感知平面，引出本节课平面的概念． 二、课堂探究 问题１：和点、直线一样，平面也是从现实世界中抽象出来的不加定义的最基本的几何概念．那么，类比直线的“直”和向两端“无限延伸”的特征，平面有哪些特征呢？ 答：（1）平面是“平”的； 平面可以向四周“无限延伸”； 没有厚度. 追问1：学习了一个数学概念，接下来就是学习它的表示，想一想，我们是怎么用图形和符号表示直线的？类似地，如何用图形和符号表示平面？ 答：类比用直线的局部，即线段表示直线，可以选取平面的一部分中最具代表性的矩形，用其直观图，即平行四边形表示平面．当平面水平放置的时候，通常把平行四边形的一边化成横向；当平面竖直放置的时候，通常把平行四边形的一边化成竖向． 平面通常用希腊字母，，，…等表示，也可以用表示平行四边形顶点的字母表示，如平面；还可以用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面、平面． 当两个平面相交时，可以把被遮挡部分画成虚线或者不画，这样看起来更加立体． 设计意图：类比直线的图形和符号表示给出平面的图形和符号表示，使学生感悟数学研究方法的特点和一致性，平面的图形表示实际也是其直观图表示，也可以进一步发展学生直观想象素养． 接下来，我们研究平面的基本性质．要研究平面，首先要确定平面． 问题２：我们知道，两点可以确定一条直线，那么几个点可以确定一个平面？ 追问1：过一个点有多少个平面？ 答：无数个． 追问2：过两个点有多少个平面？ 答：无数个． 追问3：过三个点有多少个平面？ 答：过同一条直线上的三个点有无数个平面，过不在同一直线上的三个点有且只有一个平面． 追问4：过四个点能确定一个平面吗？ 答：不一定．如图：点A，C，D，E确定一个平面；点A，C，D，D'形成了一个三棱锥，确定4个平面． 基本事实1：过不在一条直线的三个点，有且只有一个平面． 注意：①三点不共线；②“有”，指平面的存在性；③“只有一个”，指平面的唯一性． 思考：基本事实1说明“不共线的三点确定一个平面”，是从点和平面的位置关系的角度刻画平面，如何将这一基本事实用图形表示？如何用符号表示点和直线、平面的位置关系？ 答：如图，不共线的三点，，确定一个平面，记为平面． 直线上有无数个点，平面内也有无数个点，因此，直线、平面都可以看成是无数个点组成的集合，故点与直线、点与平面的关系是元素与集合的关系，用“”或“”表示． 如图，点在直线上，记作；点在直线外，记作；点在平面内，记作；点在平面外，记作． 说一说：你能举出一些生活实例来验证基本事实1吗？ 答：如：自行车用一个脚架和两个车轮着地就可以“站稳”；三脚架的三脚着地就可以支撑照相机；将教室的门的两个铰链看成两个点，门插销看成一个点，当插销插上时，门不再动了． 设计意图：类比确定直线的问题提出确定平面的问题，得到“不共线的三点确定一个平面”，并给出其图形表示以及点和直线、平面之间位置关系的集合符号表示． 基本事实1刻画了点与平面的位置关系，我们接下来研究直线与平面的位置关系． 问题３：如果直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内？如果直线与平面有两个公共点呢？ 答：如图，若直线上仅有一个点在平面内，则直线不在平面内，若直线上有两个点（不妨设为、）在平面内，则直线在平面内． 追问1：你能将上述事实归纳为一句话来表达吗？ 答：将上述事实进行抽象，可得： 基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 追问2：基本事实2反映了直线和平面的位置关系，如何将这一基本事实用图形表示？如何用符号表示直线和平面的位置关系？ 答：如图直线上有两个点、在平面内，则直线在平面内． 直线与平面都可以看成是由无数个点构成的集合，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“”或“”表示． 如图，直线上所有的点都在平面内，就说直线在平面内，记作；否则，就说直线不在平面内，记作． 这样，基本事实2也可以用符号表示为：，，且， ． 追问3：我们知道，平面具有“平”和“无限延展”的特征，而基本事实2反映了直线与平面的位置关系，我们能不能利用这种位置关系，用直线的“直”和“无限延伸”刻画平面的“平”和“无限延展”？ 答：如图，由基本事实1，给定不共线三点，，，它们可以确定一个平面；连接，，，由基本事实2，这三条直线都在平面内，进而连接这三条直线上任意两点所得直线也都在平面内，所有这些直线可以编织成一个“直线网”，这个“直线网”可以铺满平面．组成这个“直线网”的直线的“直”和向各个方向无限延伸，说明了平面的“平”和“无限延展”． 设计意图：结合基本事实1和2，用直线的“直”和“无限延伸”的基本特征说明平面的“平”和“无限延展”的基本特征，这也说明对于不加定义的“平面”概念，就是用刻画它的基本事实说明其基本特征的，从而也加深对于平面概念的理解． 基本事实1和2分别从点与平面、直线与平面关系的角度对平面进行了刻画，接下来，我们从平面与平面关系的角度对平面进一步刻画，思考下面的问题： 问题４：把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？ 答：不止一个公共点．因为平面是无限延展的，把三角尺所在的平面延展，用它“穿透”课桌，可以想象，这两个平面相交于一条直线． 追问1：你还能举出生活中其它平面与平面相交的例子吗？ 答：如，教室相邻的两个墙面在地面的墙角处有一个公共点，这两个墙面相交于过这个点的一条直线等． 由此，我们可以归纳出基本事实3： 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 符号语言：若P∈，且P∈且P∈l． 注：如无特殊说明，本章中的两个平面均指两个不重合的平面． 追问2：结合基本事实3，你能进一步说明平面的“平”和“无限延展”的特征吗？ 答：基本事实3说明：如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交于过这个公共点的一条直线．两个平面相交成一条直线的事实，可以让我们进一步认识了平面的“平”和“无限延展”． 问题５：基本事实1给出了确定一个平面的一种方法．利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，你还可以得到一些确定一个平面的方法吗？ 答：事实上，如图（1），设点是直线外一点，在直线上任取两点和，则由基本事实1，经过，，三点确定一个平面，再由基本事实2，直线也在平面内，因此平面经过直线和点，即一条直线和这条直线外一点确定一个平面． 对图（2）、（3）用类似的方法，可以得出两条相交直线确定一个平面、两条平行直线确定一个平面． 总结： 推论1：一条直线和该直线外一点确定一个平面； 推论2：两条相交直线确定一个平面； 推论3：两条平行直线确定一个平面． 以上三条推论与基本事实1都是确立平面的依据． 三、知识应用 例1 用符号表示下列语句，并画出图形： （1）点在平面内但在平面外； （2）直线经过平面内一点，外一点B； （3）直线在平面内，也在平面内． 解：（1），.(如图①) （2），，，，.(如图②) （3）.(如图③) 例2 已知：，，，． 求证：直线，，共面． 分析：因为直线与点可以确定平面，所以只需证明，，都在平面内． 证明：因为，所以与可以确定平面（推论1）． 因为，所以． 又，所以（基本事实2）． 同理，，所以，，在同一平面内，即它们共面． 例3 如图，在长方体中，为棱的中点，画出由，，三点所确定的平面与长方体表面的交线． 分析：因为点既在平面内又在平面内，所以点在平面与平面的交线上.同理，点在平面与平面的交线上.因此，就是平面与平面的交线． 作法：连接，，，它们就是平面与长方体表面的交线． 设计意图：通过例题，考查学生对3个基本事实及其推论的理解，并锻炼学生对点、直线、平面位置关系的“三种”语言的转化能力． 四、课堂练习 1.判断正误，并说明理由： （1）平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点． （2）一个点和一条直线确定一个平面． （3）两两相交的三条直线确定一个平面． （4）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合． 2.下列推理错误的是（ ） A. B. C. D. 3.如图，正四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，过对角线AC′的截面为菱形AEC′F，试着画出截面AEC′F与底面ABCD的交线． 4.若直线l与平面相交于点O，A，B∈l，C，D∈，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是 ． 参考答案： 1.（1）错误，根据基本事实3，两平面交于一条直线，有无限个公共点，错误． （2）错误，根据推论1，只有当点在线外，才能确定一个平面，若点在线上，则确定无数个平面，错误． （3）错误，若交点不重合，则能确定一个平面，若交点重合，则可能确定三个平面，错误． （4）正确，若两平面平行，无公共点；若相交，交点共线.故重合，正确． 2.A选项，，可能，所以A选项推理错误； B选项，根据基本事实2可知，B选项正确； C选项，因为，所以，所以，C选项正确； D选项，显然正确． 故选择A选项． 3.延长CB、C′E交于点M， 延长CD、C′F交于点N，连接MN， 则平面C′MN即截面AEC′F， 故MN即所需画的交线． 4.解：如图，∵AC∥BD， ∴AC，BD确定一个平面，设为平面， 则C，D，l均在平面内， ∵点O在直线l上， ∴点O在平面内， 又点O，C，D在平面内， ∴平面相交于O，C，D所在直线（基本事实3）， 故O，C，D三点共线． 五、归纳总结 回顾本节课的内容，你都学到了什么？ 答：三个基本事实即三个推论，具体内容如下： 基本事实1：过不在一条直线的三个点，有且只有一个平面． 基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 推论1：一条直线和该直线外一点确定一个平面． 推论2：两条相交直线确定一个平面． 推论3：两条平行直线确定一个平面确定一个平面． 平面的三个基本事实通过点、直线与平面的相互关系刻画了平面的基本性质“平”和“无限延展”．
板书设计
作业设计 精准化作业8.4.1；教材后习题
教学反思 在教学过程中，要与平面几何作比较，理解虚线与辅助线的区别，规范画图；另外，要注重理论与实践的结合，类似判断桌子四条腿的底端是否在同一个平面内的方法。