2024-2025学年湖南省娄底市新化县高二上学期期末考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省娄底市新化县高二上学期期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.经过，两点的直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知等差数列中，，则的值是( )
A. B. C. D.
3.如图，在正方体中，分别为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
4. 已知点的坐标满足，则动点的轨迹是( )
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 两条射线 D. 双曲线的一支
5.已知在四面体中，，，，，为的中点，若则( )
A. B. C. D.
6.设函数满足，则( )
A. B. C. D.
7.已知抛物线：的焦点为，抛物线上的两点，均在第一象限，且，，，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
8.若数列满足，且，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列的公差和首项都不等于，且，，成等比数列，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知双曲线的右焦点为，直线是的一条渐近线，是上一点，则( )
A. 的虚轴长为 B. 的离心率为
C. 的最小值为 D. 直线的斜率不等于
11.如图，在棱长为的正方体中，点，，分别为，，的中点，若点在线段上运动，则下列结论正确的为( )
A. 与为共面直线
B. 平面平面
C. 三棱锥的体积为定值
D. 与平面所成角的正切值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列的前项和为，，，则公差为 ．
13.已知长方体的底面是正方形，，，为棱的中点，则 ．
14.已知是椭圆的右焦点，为坐标原点，是上的一点，若，且，则的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知三点，记的外接圆为．
求的方程；
若直线与交于两点，求的面积．
16.本小题分
已知函数．
求的值；
求在点处的切线方程．
17.本小题分
记为数列的前项和，已知
求数列的通项；
求最小值及取最小值时的值．
求数列的前项和．
18.本小题分
如图，在边长为的菱形中，，点分别是边，的中点，沿将翻折到的位置，连接，得到如图所示的五棱锥．
在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论；
当四棱锥体积最大时，求点到面的距离；
在的条件下，在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知椭圆的离心率为，且过点，设．分别是椭圆的左、右焦点．
是椭圆的标准方程；
若椭圆上至少有个不同的点，使得，，，组成公差为的等差数列，求公差的取值范围
若过右焦点的直线交椭圆于，两点，过左焦点的直线交椭圆于，两点，且，求的最小值．
参考答案
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15.解：设的方程为，
由题意可得，解得
所以的方程为，
化为标准方程可得．
由可得圆心，半径，
所以圆心到直线的距离为，
且，
因此的面积为．

16.解：因为，
所以，
代入得：，所以．
由可得，则
所以，，
所以切线方程为，即．

17.解：由题意知，
当时，，
：化简得，
即，
所以数列为以为首项，为公差的等差数列，
所以数列的通项．
，
所以当或时，．
记，则，
所以，
：，
化简得：

18.解：折叠前，因为四边形是菱形，所以，
由于分别是边，的中点，所以，
所以，
折叠过程中，平面，
所以平面，
所以平面，
由于平面，所以平面平面．
当平面平面时，四棱锥体积最大，
由于平面平面，平面，，
所以平面，由于平面，所以，
由此以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
依题意可知，
设平面的法向量为，
则，故可设，
所以到平面的距离为．
存在，理由如下：
，，
设，则，
平面的法向量为，
，
设平面的法向量为，
则
故可设，
设平面与平面所成角为，
由于平面与平面所成角的余弦值为，
所以，
解得或舍去，
所以当是的中点时，平面与平面所成角的余弦值为．

19.解：由题意，由，故解得
椭圆标准方程是；
设是椭圆上的点，则，，
等差数列，，，至少有项，
若，则，解得，
若，则，解得，
若，则满足条件的点最多有个，不合题意．
所求的范围是且；
当斜率为时，，，，同理当斜率不存在时，也有，
当斜率存在且不为时，设斜率为，方程为，设，
由得，
，，
，
设，同理可得，
，
，当且仅当，即时等号成立．．，
的最小值为．

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