期末综合素质评价卷（含答案）鲁教版五四制九年级数学

期末综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1．给出以下光源：①探照灯；②车灯；③太阳；④月亮；⑤台灯．形成的投影是中心投影的是(　　)
A．②③ B．①③ C．①②③ D．①②⑤
2．如图是一个空心圆柱体，其主视图是(　　)
3．2025·烟台期末若点(－1，4)在反比例函数y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是(　　)
A. B．(－4，－1) C. D．(－4，1)
4．函数y＝的大致图象是(　　)
5．如图是一把圆规的平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，已知OA＝OB＝a，使用时，以点A为支撑点，笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．若支撑臂与旋转臂的夹角∠AOB＝2θ，则圆规能画出的圆的半径AB长为(　　)
A．2asin θ
B．asin 2θ
C．2atan θ
D．atan 2θ
6. INCLUDEPICTURE "../新考法·构造直角三角形法H.EPS" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../新考法·构造直角三角形法H.EPS" \* MERGEFORMAT \d 如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan A的值为(　　)
A. B. C. D.
7．如图，△ABC是等边三角形，点A和点B在x轴上，点C在y轴上，AD⊥CB，垂足为点D，反比例函数y＝(k>0)的图象经过点D，若△ABC的面积为8，则k的值为(　　)
A．2 B. C．3 D．4
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线ED交AC于点D，连接BD，若 BC＝2，则cos∠BDC的值是 (　　)
A.
B.
C.
D.
9．已知二次函数y＝mx2－2mx＋3(m为常数，且m≠0)，当－1≤x≤2时，函数有最小值2，则m的值是(　　)
A．1 B.
C．1或 D．1或－
10．[2025·日照月考]如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：
①abc>0；②3a＋c＝0；③关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为－1和3；④若点(－2，y1)，(0，y2)，(3，y3)均在二次函数图象上，则y2的结论个数为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
二、填空题(每题3分，共18分)
11．[2025·青岛胶州市月考]观察反比例函数y＝的图象，当y≥－1时，x的取值范围是____________．
12．在锐角三角形ABC中，若＋(tan B－1)2＝0，则∠C的度数为________．
13．某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中发现每天的销售量y(个)与销售价格x(元/个)的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为________元(利润＝总销售额－总成本)．
14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，过点C作CD⊥BC，且CD＝2，连接AD，则tan∠DAC＝________．
15. INCLUDEPICTURE "../母题左灰.eps" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../母题左灰.eps" \* MERGEFORMAT \d [教材P144复习题T11]一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，如图分别是它的左视图与俯视图，该几何体所用小正方体的个数是m，则m的最小值是________．
16. INCLUDEPICTURE "../新视角·新定义题H.EPS" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../新视角·新定义题H.EPS" \* MERGEFORMAT \d 定义：在平面直角坐标系xOy中，如果将点P绕点T(0，t)(t>0)旋转180°得到点Q，那么称线段PQ为“拓展带”，点Q为点P的“拓展点”．
(1)当t＝3时，点(－1，1)的“拓展点”坐标为________．
(2)如果t>1，当点M(2，1)的“拓展点”N在函数y＝－的图象上时，t的值为________．
三、解答题(17题6分，18，19题每题8分，20～22题每题12分，23题14分，共72分)
17．2025·菏泽月考计算：
(1)cos 30°＋2－1－sin 45°－(tan 60°＋1)0;
(2)cos 60°－sin 245°＋tan 230°－sin 30°.
18．如图①是一种包装盒的平面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型．
(1)这个几何体模型最确切的名称是____________；
(2)如图②是根据a，h的取值画出的几何体的主视图和俯视图，请在网格中画出该几何体的左视图；
(3)在(2)的条件下，已知h＝20 cm，求该几何体的表面积．
19．[2024·达州]“三汇彩亭会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动，起源于汉代，融数学、力学、锻造、绑扎、运载于一体(如图①)，在一次展演活动中，某数学“综合与实践”小组将彩亭抽象成如图②的示意图，AB是彩亭的中轴，甲同学站在C处．借助测角仪观察，发现中轴AB上的点D的仰角是30°，他与彩亭中轴的距离BC＝6米，乙同学在观测点E处借助无人机技术进行测量，测得AE平行于水平线BC，中轴AB上的点F的俯角∠AEF＝45°，点E，F之间的距离是4米，已知彩亭的中轴AB＝6.3米，甲同学的眼睛到地面的距离MC＝1.5米，请根据以上数据，求中轴上DF的长度．(结果精确到0.1米，参考数据≈1.73，≈1.41)
20．如图，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A(m，1)，B(2，－3)两点，与y轴交于点C.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)根据图象直接写出不等式ax＋b>的解集；
(3)设D为线段AC上的一个动点(不包括A，C两点)，过点D作DE∥y轴交反比例函数图象于点E，连接CE，当△CDE的面积最大时，求点E的坐标，并求出面积的最大值．
21．如图，某光源下有三根竖立的杆子，甲杆GH的影子为GM，乙杆EF的影子一部分落在地面EA上，另一部分落在斜坡AB上的AD处．
(1)请在图中画出形成影子的光线，确定光源所在的位置R，并画出丙杆PQ在地面上的影子；
(2)在(1)的结论下，若过点F的光线FD⊥AB，斜坡与地面的夹角为60°，AD＝1 m，AE＝2 m，求乙杆EF的高度(结果保留根号)．
22．某商场经销一种儿童玩具，该种玩具的进价是每个15元，经过一段时间的销售发现，该种玩具每天的销售量y(个)与每个的售价x(元)之间的函数关系如图所示．
(1)求y关于x的函数关系式，并求出当某天的销售量为78个时，该玩具的销售利润．
(2)每天的销售量不低于18个的情况下，若要每天获得的销售利润最大，求该玩具每个的售价是多少？最大利润是多少？
(3)根据物价部门规定，这种玩具的售价每个不能高于45元．该商场决定每销售一个这种玩具就捐款n元(1≤n≤7)，捐款后发现，该商场每天销售这种玩具所获利润随售价的增大而增大，求n的取值范围．
23．如图，抛物线y＝ax2＋bx－4(a≠0)与x轴交于点A，B(－1，0)，与y轴交于点C，且OA＝OC，点D(m，0)是线段OA上一动点(不与点O，A重合)，过点D作DP⊥x轴交直线AC于点E，交抛物线于点P，连接CP.
(1)求抛物线的表达式；
(2)过点P作PQ⊥AC，垂足为Q，求PQ的最大值；
(3)试探究在点D的运动过程中，是否存在点P，使得△CPE为直角三角形．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
一、1.D　2.B　3.D　4.A　5.A　6.A
7．A 【点拨】过点D作DE∥CO，DF∥AB，分别交AB，CO于点E，F，则四边形OEDF是矩形．∵△ABC是等边三角形，CO⊥AB，AD⊥BC，∴AO＝OB，CD＝DB，∴点D是BC边的中点．又∵DE∥CO，DF∥AB，∴DF＝OB，DE＝CO，∴S矩形OEDF＝DF·DE＝OB·OC＝S△COB＝S△ABC＝×8＝2.∵点D在反比例函数y＝的图象上，∴|k|＝2，又∵k>0，∴k＝2.
8．B
9．D 【点拨】∵二次函数y＝mx2－2mx＋3(m为常数，且m≠0)，∴抛物线的对称轴为直线x＝－＝1.当m>0时，抛物线开口向上，对称轴x＝1在－1≤x≤2范围内，∴当x＝1时，y＝mx2－2mx＋3取得最小值2，即 2＝m－2m＋3，解得m＝1.当m<0时，抛物线开口向下，对称轴x＝1在－1≤x≤2范围内，则离对称轴越远的点的纵坐标越小，∴当x＝－1时，y＝mx2－2mx＋3取得最小值2，即2＝m＋2m＋3，解得m＝－.∴ m的值是1或－.
10．B 【点拨】①∵抛物线的开口向上，∴a>0，∵对称轴在y轴右侧，∴－>0，∴b<0，∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c<0，∴abc>0，故①正确；②∵对称轴为直线x＝－＝1，∴b＝－2a，由图象可知，当x＝－1时，a－b＋c＝0，∴3a＋c＝0，故②正确；③∵对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)，∴关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为－1和3，故③正确；④由图象易得y2二、11.x≤－2或x>0　12.75°
13．121 【点拨】当10≤x≤20时，设y＝kx＋b，，把(10，20)，(20，10)的坐标代入，得 解得 ∴每天的销售量y(个)与销售价格x(元/个)的函数表达式为y＝－x＋30.设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，则w＝(x－8)y＝(x－8)(－x＋30)＝－x2＋38x－240＝－(x－19)2＋121，∵－1<0，∴当x＝19时，w有最大值为121，故答案为121.
14. 【点拨】过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E.∵∠B＝∠DCB＝∠E＝90°，AB＝BC，∴四边形ABCE是正方形．∴AE＝EC＝AB＝4，∠DCA＝45°.又∵CD＝2，∴DE＝CE－CD＝4－2＝2.在Rt△AED中，AD＝＝＝2.过点D作DF⊥AC于点F.∵∠DCA＝45°，∠DFC＝90°，∴∠CDF＝45°＝∠DCA.∴FD＝FC，∴DC＝FD＝2，∴FD＝.在Rt△AFD中，AF＝＝＝3，∴tan∠DAC＝＝＝.
15．9 【点拨】由左视图与俯视图可确定所用小正方体个数最少时的俯视图如图．
所以组成这个几何体所用的小正方体最少有9个，即m的最小值是9.
16．(1)(1，5)　(2)2
【点拨】(1)由“拓展点”的定义可得互为“拓展点”的两点的横坐标互为相反数，纵坐标的和的一半等于t，∴当t＝3时，点(－1，1)的“拓展点”坐标为(1，5)．(2)设N点坐标为(x，y)，则＝0，＝t，解得x＝－2，y＝2t－1，∵N在函数y＝－的图象上，∴－2(2t－1)＝－6，解得t＝2.
三、17.【解】(1)原式＝×＋－×－1＝＋－1－1＝0.
(2)原式＝－＋×－＝－＋×－＝0.
18．【解】(1)直三棱柱
(2)如图所示．
(3)由题可得a＝＝10(cm)，
所以该几何体的表面积为×(10)2×2＋2×10×20＋202＝600＋400(cm2)．
19．【解】过点M作MN⊥AB，垂足为N.由题易知，四边形CMNB是矩形．
∴CM＝BN＝1.5米，MN＝CB＝6米，AN＝AB－BN＝6.3－1.5＝4.8(米)．
在Rt△DMN中，tan∠DMN＝tan 30°＝，
∴DN＝MN·tan 30°＝2米．
在Rt△AEF中，EF＝4米，sin∠AEF＝sin 45°＝，
∴AF＝EF·sin 45°＝2米．
∵AF＋DN＝AN＋DF，
∴DF＝2＋2－4.8≈2×1.73＋2×1.41－4.8＝3.46＋2.82－4.8＝1.48≈1.5(米)．
∴中轴上DF的长度约为1.5米．
20．【解】(1)∵点B(2，－3)在反比例函数图象上，∴k＝－6，
∴反比例函数的表达式为y＝－.
∵点A(m，1)在反比例函数y＝－的图象上，
∴1＝－，解得m＝－6，∴A(－6，1)．
∵A(－6，1)，B(2，－3)在一次函数y＝ax＋b的图象上，
∴解得
∴一次函数的表达式为y＝－x－2.
(2)根据图象可得不等式ax＋b>的解集为x<－6或0(3)易知C(0，－2)，设点D的坐标为(－6∴ED＝－－＝－＋t＋2，
∴S△CDE＝×(－t)×＝－t2－t＋3＝－(t＋2)2＋4.∵－<0，
∴当t＝－2时，S△CDE有最大值为4，此时E(－2，3)．
21．【解】(1)如图所示，QN即为丙杆PQ在地面上的影子．
(2)如图，分别延长FD，EA交于点S，易知∠ADS＝90°.
∵∠DAS＝60°，∴∠S＝30°.
∵AD＝1 m，∴AS＝2 m，
∴ES＝AS＋AE＝2＋2＝4(m)．
在Rt△EFS中，∠FES＝90°，∠S＝30°，
∴tan S＝tan 30°＝＝＝，∴EF＝ m.
∴乙杆EF的高度为 m.
22．【解】(1)设y关于x的函数关系式为y＝kx＋b，
由题意知，图象过(30，120)，(45，75)两点，
∴解得
∴y＝－3x＋210，
当y＝78时，－3x＋210＝78，解得x＝44，
此时利润为78×(44－15)＝2 262(元)，
∴当某天的销售量为78个时，该玩具的销售利润为2 262元．
(2)由题意得，－3x＋210≥18，解得x≤64.
设每天的销售利润为W元，
依题意，得W＝(x－15)(－3x＋210)＝－3x2＋255x－3 150 ＝－3(x－42.5)2＋2 268.75.
∵－3<0，且销售个数为整数，∴当x＝42或43时，W取得最大值，最大值为2 268，∴要每天获得的销售利润最大，该玩具每个的售价是42或43元，最大利润为2 268元．
(3)设捐款后每天所获得的利润为Q元，
依题意得，Q＝(x－15－n)(－3x＋210)＝－3x2＋(255＋3n)x－3 150－210n，
∵抛物线的对称轴为直线x＝42.5＋0.5n，－3<0，
∴当x≤42.5＋0.5n时，Q随x的增大而增大．
∵物价部门规定这种玩具的售价每个不能高于45元，
∴42.5＋0.5n≥45，解得n≥5，
又∵1≤n≤7，∴5≤n≤7.
23．【解】(1)对于y＝ax2＋bx－4(a≠0)，令x＝0，则y＝－4，∴C(0，－4)，∴OC＝4，
∵OA＝OC，∴OA＝4，∴A(4，0)．
∵抛物线y＝ax2＋bx－4(a≠0)与x轴交于点A(4，0)，B(－1，0)，
∴解得
∴抛物线的表达式为y＝x2－3x－4.
(2)设直线AC的表达式为y＝kx＋n，
把A(4，0)，C(0，－4)的坐标代入，得解得
∴直线AC的表达式为y＝x－4.
∵DP⊥x轴，D(m，0)，
∴E(m，m－4)，P(m，m2－3m－4)，
∴PE＝m－4－(m2－3m－4)＝－m2＋4m.
∵OA＝OC，∠AOC＝90°，∴∠OAC＝∠OCA＝45°.
易知PE∥y轴，∴∠CEP＝∠OCA＝45°.
∵PQ⊥AC，∴△PQE为等腰直角三角形，
∴PQ＝PE＝(－m2＋4m)＝－(m－2)2＋2.
∵－<0，0(3)存在点P，使得△CPE为直角三角形．
由(2)知∠CEP＝45°≠90°，P(m，m2－3m－4)，PE＝－m2＋4m，∠CAO＝45°.∵D(m，0)，∴OD＝m.
分两种情况讨论：
①当∠PCE＝90°时，过点E作EF⊥y轴于点F，则EF＝OD＝m，
易知OA∥EF，
∴∠CEF＝∠CAO＝45°，
∴易得CE＝EF＝m.
∵易知EP＝CE，∴EP＝2m，
∴－m2＋4m＝2m，解得m＝0(舍去)或m＝2.
∴P(2，－6)；
②当∠EPC＝90°时，易知CP∥x轴，
∴点P与点C的纵坐标相同，为－4，
∴m2－3m－4＝－4，解得m＝0(舍去)或m＝3，
∴P(3，－4)．
综上，存在点P，点P的坐标为(3，－4)或(2，－6)．